Παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Παραμετρικές εξισώσεις Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή στο χώρο

Φροντίστε να διαβάσετε αυτήν την παράγραφο!Οι παραμετρικές εξισώσεις, φυσικά, δεν είναι το άλφα και το ωμέγα της χωρικής γεωμετρίας, αλλά το λειτουργικό μυρμήγκι πολλών προβλημάτων. Επιπλέον, αυτός ο τύπος εξισώσεων εφαρμόζεται συχνά απροσδόκητα, και θα έλεγα, κομψά.

Εάν το σημείο που ανήκει στην ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας είναι γνωστά, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας δίνονται από το σύστημα:

Μίλησα για την ίδια την έννοια των παραμετρικών εξισώσεων στα μαθήματα Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδοκαι Παράγωγος παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης.

Όλα είναι πιο απλά από ένα γογγύλι στον ατμό, οπότε πρέπει να ωραιοποιήσετε την εργασία:

Παράδειγμα 7

Απόφαση: Οι ευθείες δίνονται με κανονικές εξισώσεις και στο πρώτο στάδιο θα πρέπει να βρεθεί κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία και στο διάνυσμα κατεύθυνσής της.

α) Αφαιρέστε το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις: . Μπορείτε να επιλέξετε ένα άλλο σημείο (πώς να το κάνετε αυτό περιγράφεται παραπάνω), αλλά είναι καλύτερο να πάρετε το πιο προφανές. Παρεμπιπτόντως, για να αποφύγετε λάθη, να αντικαθιστάτε πάντα τις συντεταγμένες του στις εξισώσεις.

Ας συνθέσουμε τις παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας:

Η ευκολία των παραμετρικών εξισώσεων είναι ότι με τη βοήθειά τους είναι πολύ εύκολο να βρεθούν άλλα σημεία της ευθείας. Για παράδειγμα, ας βρούμε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες, ας πούμε, αντιστοιχούν στην τιμή της παραμέτρου :

Ετσι:

β) Θεωρήστε τις κανονικές εξισώσεις . Η επιλογή ενός σημείου εδώ είναι απλή, αλλά ύπουλη: (προσοχή μην ανακατεύουμε τις συντεταγμένες!!!). Πώς να βγάλετε ένα διάνυσμα οδηγό; Μπορείτε να υποθέσετε σε τι είναι παράλληλη αυτή η ευθεία ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα απλό τυπικό τέχνασμα: η αναλογία είναι "Y" και "Z", οπότε γράφουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης και βάζουμε μηδέν στο υπόλοιπο διάστημα: .

Συνθέτουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

γ) Ας ξαναγράψουμε τις εξισώσεις με τη μορφή , δηλαδή, το "Ζ" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Και αν υπάρχει, τότε ας, για παράδειγμα, . Έτσι, το σημείο ανήκει σε αυτή τη γραμμή. Για να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη τυπική τεχνική: στις αρχικές εξισώσεις υπάρχουν "x" και "y", και στο διάνυσμα κατεύθυνσης σε αυτά τα σημεία γράφουμε μηδενικά: . Στο υπόλοιπο μέρος βάζουμε μονάδα: . Αντί για ένα, οποιοσδήποτε αριθμός, εκτός από το μηδέν, θα κάνει.

Γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

Για εκπαίδευση:

Παράδειγμα 8

Να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις για τις παρακάτω γραμμές:

Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος. Οι απαντήσεις σας μπορεί να διαφέρουν ελαφρώς από τις απαντήσεις μου, το γεγονός είναι ότι Οι παραμετρικές εξισώσεις μπορούν να γραφτούν με περισσότερους από έναν τρόπους. Είναι σημαντικό τα διανύσματα κατεύθυνσης σας και το δικό μου να είναι συγγραμμικά και το σημείο σας να «ταιριάζει» με τις εξισώσεις μου (καλά, ή το αντίστροφο, το σημείο μου με τις εξισώσεις σας).

Πώς αλλιώς μπορείτε να ορίσετε μια ευθεία γραμμή στο χώρο; Θα ήθελα να καταλήξω σε κάτι με το κανονικό διάνυσμα. Ωστόσο, ο αριθμός δεν θα λειτουργήσει, για μια γραμμή διαστήματος, τα κανονικά διανύσματα μπορούν να φαίνονται σε εντελώς διαφορετικές κατευθύνσεις.

Μια άλλη μέθοδος έχει ήδη αναφερθεί στο μάθημα Επίπεδη εξίσωσηκαι στην αρχή αυτού του άρθρου.

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Ας θεωρήσουμε δύο επίπεδα α 1 και α 2 που δίνονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις:

Κάτω από γωνίαμεταξύ δύο επιπέδων εννοούμε μία από τις δίεδρες γωνίες που σχηματίζονται από αυτά τα επίπεδα. Είναι προφανές ότι η γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων και των επιπέδων α 1 και α 2 είναι ίση με μία από τις υποδεικνυόμενες γειτονικές διεδρικές γωνίες ή . Έτσι . Επειδή και , τότε

.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων Χ+2y-3z+4=0 και 2 Χ+3y+z+8=0.

Συνθήκη παραλληλισμού δύο επιπέδων.

Δύο επίπεδα α 1 και α 2 είναι παράλληλα αν και μόνο αν τα κανονικά τους διανύσματα και είναι παράλληλα, και ως εκ τούτου .

Άρα, δύο επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους αν και μόνο αν οι συντελεστές στις αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογες:

ή

Συνθήκη καθετότητας επιπέδων.

Είναι σαφές ότι δύο επίπεδα είναι κάθετα αν και μόνο αν τα κανονικά τους διανύσματα είναι κάθετα, και επομένως, ή .

Ετσι, .

Παραδείγματα.

ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΜΕΣΗ.

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΗ

Η θέση μιας ευθείας γραμμής στο χώρο καθορίζεται πλήρως προσδιορίζοντας οποιοδήποτε από τα σταθερά σημεία της Μ 1 και ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτή τη γραμμή.

Ένα διάνυσμα παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται καθοδηγώνταςτο διάνυσμα αυτής της γραμμής.

Αφήστε λοιπόν την ευθεία μεγάλοδιέρχεται από ένα σημείο Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) που βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη προς το διάνυσμα .

Σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y,z)σε ευθεία γραμμή. Από το σχήμα φαίνεται ότι .

Τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, οπότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός t, τι , πού είναι ο πολλαπλασιαστής tμπορεί να πάρει οποιαδήποτε αριθμητική τιμή ανάλογα με τη θέση του σημείου Μσε ευθεία γραμμή. Παράγοντας tονομάζεται παράμετρος. Δηλώνοντας τα διανύσματα ακτίνας των σημείων Μ 1 και Μαντίστοιχα, μέσω και , λαμβάνουμε . Αυτή η εξίσωση ονομάζεται διάνυσμαευθύγραμμη εξίσωση. Δείχνει ότι κάθε τιμή παραμέτρου tαντιστοιχεί στο διάνυσμα ακτίνας κάποιου σημείου Μξαπλωμένος σε ευθεία γραμμή.

Γράφουμε αυτή την εξίσωση σε μορφή συντεταγμένων. Σημειώσε ότι , και από εδώ

Οι εξισώσεις που προκύπτουν καλούνται παραμετρικήευθύγραμμες εξισώσεις.

Κατά την αλλαγή της παραμέτρου tοι συντεταγμένες αλλάζουν Χ, yκαι zκαι τελεία Μκινείται σε ευθεία γραμμή.

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΗ

Ας είναι Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) - ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή μεγάλο, και είναι το διάνυσμα κατεύθυνσής του. Και πάλι, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή M(x,y,z)και εξετάστε το διάνυσμα.

Είναι σαφές ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ανάλογες, επομένως

– κανονικόςευθύγραμμες εξισώσεις.

Παρατήρηση 1.Σημειώστε ότι οι κανονικές εξισώσεις της γραμμής θα μπορούσαν να ληφθούν από τις παραμετρικές εξισώσεις εξαλείφοντας την παράμετρο t. Πράγματι, από τις παραμετρικές εξισώσεις παίρνουμε ή .

Παράδειγμα.Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με παραμετρικό τρόπο.

Σημαίνω , ως εκ τούτου Χ = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Παρατήρηση 2.Έστω η ευθεία κάθετη σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα, τον άξονα Βόδι. Τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας είναι κάθετο Βόδι, ως εκ τούτου, Μ=0. Κατά συνέπεια, οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

Εξάλειψη της παραμέτρου από τις εξισώσεις t, λαμβάνουμε τις εξισώσεις της ευθείας στη μορφή

Ωστόσο, και σε αυτήν την περίπτωση, συμφωνούμε να γράψουμε επίσημα τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας γραμμής στη μορφή . Έτσι, εάν ο παρονομαστής ενός από τα κλάσματα είναι μηδέν, τότε αυτό σημαίνει ότι η ευθεία είναι κάθετη στον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων.

Ομοίως, οι κανονικές εξισώσεις αντιστοιχεί σε μια ευθεία κάθετη στους άξονες Βόδικαι Oyή παράλληλου άξονα Οζ.

Παραδείγματα.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΩΣ ΓΡΑΜΜΗ ΑΝΑΚΟΠΗΣΗΣ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Μέσα από κάθε ευθεία στον χώρο περνά άπειρος αριθμός επιπέδων. Οποιαδήποτε δύο από αυτά, που τέμνονται, το ορίζουν στο χώρο. Επομένως, οι εξισώσεις οποιωνδήποτε δύο τέτοιων επιπέδων, θεωρούμενων μαζί, είναι οι εξισώσεις αυτής της ευθείας.

Γενικά, οποιαδήποτε δύο μη παράλληλα επίπεδα δίνονται από τις γενικές εξισώσεις

καθορίσει τη γραμμή τομής τους. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσειςευθεία.

Παραδείγματα.

Κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που δίνεται από εξισώσεις

Για να κατασκευάσουμε μια γραμμή, αρκεί να βρούμε οποιαδήποτε δύο σημεία της. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να επιλέξετε τα σημεία τομής της ευθείας με τα επίπεδα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το σημείο τομής με το επίπεδο xOyλαμβάνουμε από τις εξισώσεις μιας ευθείας, υποθέτοντας z= 0:

Λύνοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε το νόημα Μ 1 (1;2;0).

Ομοίως, υποθέτοντας y= 0, παίρνουμε το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο xOz:

Από τις γενικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής μπορεί κανείς να προχωρήσει στις κανονικές ή παραμετρικές της εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο Μ 1 στη γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής.

Συντεταγμένες σημείων Μ 1 λαμβάνουμε από αυτό το σύστημα εξισώσεων, δίνοντας σε μία από τις συντεταγμένες μια αυθαίρετη τιμή. Για να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης, σημειώστε ότι αυτό το διάνυσμα πρέπει να είναι κάθετο και στα δύο κανονικά διανύσματα και . Επομένως, για το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας μεγάλομπορείτε να πάρετε το διασταυρούμενο γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων:

.

Παράδειγμα.Να δώσετε τις γενικές εξισώσεις της ευθείας στην κανονική μορφή.

Βρείτε ένα σημείο σε ευθεία γραμμή. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε αυθαίρετα μία από τις συντεταγμένες, για παράδειγμα, y= 0 και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων που ορίζουν την ευθεία έχουν συντεταγμένες Επομένως, το διάνυσμα κατεύθυνσης θα είναι ευθύ

. Ως εκ τούτου, μεγάλο: .

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ

γωνίαμεταξύ ευθειών στο χώρο θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο παράλληλο στα δεδομένα.

Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα:

Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε

Ένα από τα επιμέρους θέματα του θέματος «Η εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο» είναι το θέμα της σύνταξης παραμετρικών εξισώσεων ευθείας γραμμής σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Το παρακάτω άρθρο εξετάζει την αρχή της σύνταξης τέτοιων εξισώσεων με ορισμένα γνωστά δεδομένα. Ας δείξουμε πώς περνάμε από παραμετρικές εξισώσεις σε εξισώσεις διαφορετικής μορφής. Ας αναλύσουμε τη λύση τυπικών προβλημάτων.

Μια συγκεκριμένη γραμμή μπορεί να οριστεί καθορίζοντας ένα σημείο που ανήκει σε αυτή τη γραμμή και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης για τη γραμμή.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y . Και επίσης δίνεται μια ευθεία γραμμή a με ένδειξη του σημείου M 1 που βρίσκεται πάνω της (x 1, y 1) και το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεδομένης ευθείας a → = (a x, a y) . Δίνουμε μια περιγραφή της δεδομένης γραμμής a χρησιμοποιώντας εξισώσεις.

Χρησιμοποιούμε ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y) και παίρνουμε ένα διάνυσμα M 1 M →; να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και λήξης: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Ας περιγράψουμε το αποτέλεσμα: η ευθεία δίνεται από ένα σύνολο σημείων M (x, y), διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y) . Το καθορισμένο σύνολο ορίζει μια ευθεία γραμμή μόνο όταν τα διανύσματα M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) και a → = (a x , a y) είναι συγγραμμικά.

Υπάρχει μια απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, η οποία στην περίπτωση αυτή για τα διανύσματα M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) και a → = (a x , a y) μπορεί να γραφεί ως εξίσωση:

M 1 M → = λ · a → , όπου λ είναι κάποιος πραγματικός αριθμός.

Ορισμός 1

Η εξίσωση M 1 M → = λ · a → ονομάζεται διανυσματική-παραμετρική εξίσωση της ευθείας.

Σε συντεταγμένη μορφή, μοιάζει με:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Οι εξισώσεις του προκύπτοντος συστήματος x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ονομάζονται παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Η ουσία του ονόματος είναι η εξής: οι συντεταγμένες όλων των σημείων της γραμμής μπορούν να προσδιοριστούν με παραμετρικές εξισώσεις στο επίπεδο της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ κατά την επανάληψη σε όλες τις πραγματικές τιμές ​της παραμέτρου λ

Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας στο επίπεδο x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ καθορίζουν μια ευθεία που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και έχει διάνυσμα οδηγό a → = (a x, a y) . Επομένως, εάν δοθούν οι συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου της ευθείας και οι συντεταγμένες του κατευθυνόμενου διανύσματος της, τότε είναι δυνατό να γραφτούν αμέσως οι παραμετρικές εξισώσεις της δεδομένης ευθείας.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, εάν δίνεται το σημείο M 1 (2, 3) που ανήκει σε αυτό και το διάνυσμα κατεύθυνσής του. a → = (3 , 1) .

Απόφαση

Με βάση τα αρχικά δεδομένα, παίρνουμε: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Οι παραμετρικές εξισώσεις θα έχουν ως εξής:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Ας δείξουμε ξεκάθαρα:

Απάντηση: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Πρέπει να σημειωθεί: αν το διάνυσμα a → = (a x , a y) χρησιμεύει ως κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας a, και τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) ανήκουν σε αυτή τη γραμμή, τότε μπορεί να προσδιοριστεί ορίζοντας παραμετρικές εξισώσεις της μορφής : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , καθώς και αυτή η επιλογή: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Για παράδειγμα, μας δίνεται ένα κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής a → \u003d (2, - 1), καθώς και τα σημεία M 1 (1, - 2) και M 2 (3, - 3) που ανήκουν σε αυτή τη γραμμή. Τότε η ευθεία προσδιορίζεται με παραμετρικές εξισώσεις: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ή x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Προσοχή πρέπει επίσης να δοθεί στο εξής γεγονός: αν a → = (a x, a y) είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας a , τότε οποιοδήποτε από τα διανύσματα θα είναι επίσης το κατευθυντικό της διάνυσμα μ a → = (μ a x , μ a y) , όπου μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Έτσι, μια ευθεία γραμμή a σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί με παραμετρικές εξισώσεις: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ για οποιαδήποτε τιμή του μ είναι διαφορετική από το μηδέν.

Έστω ότι η ευθεία a δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Τότε a → = (2 , - 5) - διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της γραμμής. Και επίσης οποιοδήποτε από τα διανύσματα μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 θα γίνει το διάνυσμα κατεύθυνσης για τη δεδομένη ευθεία. Για λόγους σαφήνειας, θεωρήστε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα - 2 · a → = (- 4 , 10) , αντιστοιχεί στην τιμή μ = - 2 . Στην περίπτωση αυτή, η δεδομένη ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί και από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο σε άλλες εξισώσεις μιας δεδομένης ευθείας γραμμής και αντίστροφα

Κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, η χρήση παραμετρικών εξισώσεων δεν είναι η πιο βέλτιστη επιλογή, τότε καθίσταται απαραίτητο να μεταφραστούν οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής διαφορετικού τύπου. Ας δούμε πώς να το κάνουμε.

Οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ θα αντιστοιχούν στην κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Λύνουμε καθεμία από τις παραμετρικές εξισώσεις ως προς την παράμετρο λ, εξισώνουμε τα σωστά μέρη των ισοτήτων που προκύπτουν και παίρνουμε την κανονική εξίσωση της δεδομένης ευθείας:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα πρέπει να είναι ενοχλητικό εάν ένα x ή ένα y θα είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας x = 3 y = - 2 - 4 · λ στην κανονική εξίσωση.

Απόφαση

Γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις με την εξής μορφή: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Εκφράζουμε την παράμετρο λ σε καθεμία από τις εξισώσεις: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Εξισώνουμε τα σωστά μέρη του συστήματος εξισώσεων και λαμβάνουμε την απαιτούμενη κανονική εξίσωση μιας ευθείας στο επίπεδο:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Απάντηση: x - 3 0 = y + 2 - 4

Στην περίπτωση που είναι απαραίτητο να γράψουμε την εξίσωση της ευθείας της μορφής A x + B y + C = 0 , ενώ δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στο επίπεδο, πρέπει πρώτα να γίνει η μετάβαση στην κανονική εξίσωση και στη συνέχεια στη γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής. Ας γράψουμε ολόκληρη τη σειρά των ενεργειών:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να γράψετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας αν δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις που την ορίζουν: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Απόφαση

Αρχικά, ας κάνουμε τη μετάβαση στην κανονική εξίσωση:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Η αναλογία που προκύπτει είναι πανομοιότυπη με την ισότητα - 3 · (x + 1) = 2 · y. Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και πάρουμε τη γενική εξίσωση της ευθείας: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Απάντηση: 3x + 2y + 3 = 0

Ακολουθώντας την παραπάνω λογική ενεργειών, για να προκύψει μια εξίσωση ευθείας με κλίση, μια εξίσωση ευθείας γραμμής σε τμήματα ή μια κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να ληφθεί η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. , και από αυτό να πραγματοποιήσει μια περαιτέρω μετάβαση.

Τώρα εξετάστε την αντίστροφη ενέργεια: γράφοντας τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής για μια διαφορετική δεδομένη μορφή των εξισώσεων αυτής της ευθείας.

Η πιο εύκολη μετάβαση: από την κανονική εξίσωση στις παραμετρικές. Έστω η κανονική εξίσωση της μορφής: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Λαμβάνουμε καθεμία από τις σχέσεις αυτής της ισότητας ίση με την παράμετρο λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Ας λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν για τις μεταβλητές x και y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Παράδειγμα 4

Είναι απαραίτητο να γράψετε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας αν είναι γνωστή η κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο: x - 2 5 = y - 2 2

Απόφαση

Ας εξισώσουμε τα μέρη της γνωστής εξίσωσης με την παράμετρο λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Από την ισότητα που προκύπτει παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Απάντηση: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Όταν είναι απαραίτητο να γίνει μετάβαση σε παραμετρικές εξισώσεις από μια δεδομένη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, μια εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση ή μια εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα, είναι απαραίτητο να φέρετε την αρχική εξίσωση στο κανονική, και στη συνέχεια κάντε τη μετάβαση σε παραμετρικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας με τη γνωστή γενική εξίσωση αυτής της ευθείας: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Απόφαση

Μετατρέπουμε τη δεδομένη γενική εξίσωση σε εξίσωση της κανονικής μορφής:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Εξισώνουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με την παράμετρο λ και παίρνουμε τις απαιτούμενες παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Απάντηση: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Παραδείγματα και προβλήματα με παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο

Ας εξετάσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους προβλημάτων χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

1. Σε προβλήματα του πρώτου τύπου δίνονται οι συντεταγμένες των σημείων, είτε ανήκουν είτε όχι σε ευθεία που περιγράφεται με παραμετρικές εξισώσεις.

Η λύση τέτοιων προβλημάτων βασίζεται στο ακόλουθο γεγονός: οι αριθμοί (x, y) που προσδιορίζονται από τις παραμετρικές εξισώσεις x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ για κάποια πραγματική τιμή λ είναι οι συντεταγμένες ενός σημείο που ανήκει στην ευθεία γραμμή, στην οποία περιγράφονται αυτές οι παραμετρικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται σε μια ευθεία που δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ για λ = 3 .

Απόφαση

Αντικαθιστούμε τη γνωστή τιμή λ = 3 στις δεδομένες παραμετρικές εξισώσεις και υπολογίζουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Απάντηση: 1 1 2 , 5

Το ακόλουθο πρόβλημα είναι επίσης δυνατό: ας δοθεί κάποιο σημείο M 0 (x 0, y 0) σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν αυτό το σημείο ανήκει στην ευθεία που περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Για να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν οι συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου στις γνωστές παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής. Αν καθοριστεί ότι είναι δυνατή μια τέτοια τιμή της παραμέτρου λ = λ 0, στην οποία θα είναι αληθείς και οι δύο παραμετρικές εξισώσεις, τότε το δεδομένο σημείο ανήκει στη δεδομένη ευθεία.

Παράδειγμα 7

Δίνονται τα σημεία M 0 (4, - 2) και N 0 (- 2, 1). Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν ανήκουν στην ευθεία γραμμή που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Απόφαση

Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου M 0 (4, - 2) στις δεδομένες παραμετρικές εξισώσεις:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Συμπεραίνουμε ότι το σημείο M 0 ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, γιατί αντιστοιχεί στην τιμή λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει τέτοια παράμετρος λ στην οποία θα αντιστοιχεί το σημείο N 0. Με άλλα λόγια, η δεδομένη ευθεία δεν διέρχεται από το σημείο N 0 (- 2 , 1) .

Απάντηση:Το σημείο M 0 ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή. το σημείο N 0 δεν ανήκει στη δεδομένη ευθεία.

1. Σε προβλήματα του δεύτερου τύπου απαιτείται η σύνθεση παραμετρικών εξισώσεων ευθείας γραμμής σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Το απλούστερο παράδειγμα ενός τέτοιου προβλήματος (με γνωστές συντεταγμένες του σημείου της ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης) εξετάστηκε παραπάνω. Τώρα ας δούμε παραδείγματα στα οποία πρέπει πρώτα να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης και στη συνέχεια να γράψετε τις παραμετρικές εξισώσεις.

Δίνεται το σημείο M 1 1 2 , 2 3. Είναι απαραίτητο να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτό το σημείο και μιας παράλληλης ευθείας x 2 \u003d y - 3 - 1.

Απόφαση

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, η ευθεία, η εξίσωση της οποίας πρέπει να προηγηθεί, είναι παράλληλη με την ευθεία x 2 \u003d y - 3 - 1. Στη συνέχεια, ως κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής x 2 = y - 3 - 1, το οποίο γράφουμε με τη μορφή: a → = (2, - 1). Τώρα είναι γνωστά όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη σύνθεση των επιθυμητών παραμετρικών εξισώσεων:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Απάντηση: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Παράδειγμα 9

Δίνεται το σημείο M 1 (0, - 7). Είναι απαραίτητο να γραφούν οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από αυτό το σημείο κάθετα στην ευθεία 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Απόφαση

Ως κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας, της οποίας πρέπει να συντεθεί η εξίσωση, είναι δυνατό να ληφθεί το κανονικό διάνυσμα της ευθείας 3 x - 2 y - 5 = 0 . Οι συντεταγμένες του είναι (3 , - 2) . Γράφουμε τις απαιτούμενες παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Απάντηση: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Στα προβλήματα του τρίτου τύπου απαιτείται η μετάβαση από παραμετρικές εξισώσεις μιας δεδομένης ευθείας γραμμής σε άλλους τύπους εξισώσεων που την καθορίζουν. Εξετάσαμε τη λύση τέτοιων παραδειγμάτων παραπάνω, θα δώσουμε ένα ακόμη.

Δίνεται μια ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες κάποιου κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας.

Απόφαση

Για να προσδιορίσουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, θα κάνουμε τη μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις στη γενική εξίσωση:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Οι συντελεστές των μεταβλητών x και y μας δίνουν τις απαιτούμενες συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Έτσι, το κανονικό διάνυσμα της ευθείας x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ έχει συντεταγμένες 1 , 3 4 .

Απάντηση: 1 , 3 4 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής λαμβάνονται στοιχειωδώς από την κανονική εξίσωση αυτής της ευθείας, η οποία έχει τη μορφή . Ας πάρουμε ως παράμετρο την τιμή με την οποία μπορούν να πολλαπλασιαστούν το αριστερό και το δεξί μέρος της κανονικής εξίσωσης.

Δεδομένου ότι ένας από τους παρονομαστές είναι αναγκαστικά διαφορετικός από το μηδέν και ο αντίστοιχος αριθμητής μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές, το εύρος της παραμέτρου είναι ολόκληρος ο άξονας των πραγματικών αριθμών: .

Θα λάβουμε ή τελικά

Οι εξισώσεις (1) είναι οι επιθυμητές παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας. Αυτές οι εξισώσεις επιτρέπουν τη μηχανική ερμηνεία. Αν υποθέσουμε ότι η παράμετρος είναι ο χρόνος που μετράται από κάποια αρχική στιγμή, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις καθορίζουν τον νόμο κίνησης ενός υλικού σημείου σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα (αυτή η κίνηση συμβαίνει με αδράνεια).

Παράδειγμα 1Να συνθέσετε σε ένα επίπεδο τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης.

Απόφαση. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα του σημείου και του διανύσματος κατεύθυνσης στο (1) και παίρνουμε:

Συχνά στις εργασίες απαιτείται να μετατραπούν οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε άλλους τύπους εξισώσεων και από εξισώσεις άλλων τύπων να ληφθούν παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής. Ας δούμε μερικά τέτοια παραδείγματα. Να μετατρέψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας σε γενική εξίσωση ευθείας γραμμήςπρώτα θα πρέπει να μειωθούν στην κανονική μορφή και στη συνέχεια από την κανονική εξίσωση για να ληφθεί η γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής

Παράδειγμα 2Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής

γενικά.

Απόφαση. Αρχικά, φέρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στην κανονική εξίσωση:

Περαιτέρω μετασχηματισμοί φέρνουν την εξίσωση στη γενική μορφή:

Είναι κάπως πιο δύσκολο να μετατραπεί μια γενική εξίσωση σε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, αλλά μπορεί επίσης να σχεδιαστεί ένας σαφής αλγόριθμος για αυτήν την ενέργεια. Πρώτον, μπορούμε να μετατρέψουμε τη γενική εξίσωση σε εξίσωση κλίσηςκαι βρείτε από αυτήν τις συντεταγμένες κάποιου σημείου που ανήκει στην ευθεία, δίνοντας σε μία από τις συντεταγμένες μια αυθαίρετη τιμή. Όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του σημείου και του διανύσματος κατεύθυνσης (από τη γενική εξίσωση), μπορούν να γραφούν οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας.

Παράδειγμα 3Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας με τη μορφή παραμετρικών εξισώσεων.

Απόφαση. Φέρνουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας σε μια εξίσωση με κλίση:

Βρίσκουμε τις συντεταγμένες κάποιου σημείου που ανήκει στην ευθεία. Δώστε σε μια από τις συντεταγμένες του σημείου μια αυθαίρετη τιμή

Από την εξίσωση μιας ευθείας με μια κλίση, παίρνουμε μια άλλη συντεταγμένη του σημείου:

Έτσι, γνωρίζουμε το σημείο και το διάνυσμα κατεύθυνσης. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα τους σε (1) και λαμβάνουμε τις επιθυμητές παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

Παράδειγμα 4Να βρείτε την κλίση μιας ευθείας που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις

Απόφαση. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας πρέπει πρώτα να μετατραπούν στην κανονική, μετά στη γενική και τέλος στην εξίσωση κλίσης.

Έτσι, η κλίση μιας δεδομένης ευθείας:

Παράδειγμα 5Να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο και μια κάθετη ευθεία

Εξισώνοντας στις κανονικές εξισώσεις της ευθείας κάθε ένα από τα κλάσματα με κάποια παράμετρο t:

Λαμβάνουμε εξισώσεις που εκφράζουν τις τρέχουσες συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας μέσω της παραμέτρου t.

Έτσι, οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας έχουν τη μορφή:

Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Έστω δύο σημεία M 1 (x1,y1,z1)και Μ 2 (x2,y2,z2). Οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία λαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο όπως μια παρόμοια εξίσωση σε ένα επίπεδο. Επομένως, δίνουμε αμέσως τη μορφή αυτής της εξίσωσης.

Μια ευθεία γραμμή στη διασταύρωση δύο επιπέδων. Γενική εξίσωση ευθείας στο χώρο.

Αν θεωρήσουμε δύο μη παράλληλα επίπεδα, τότε η τομή τους θα είναι ευθεία γραμμή.

Αν τα κανονικά διανύσματα και μη γραμμικό.

Παρακάτω, όταν εξετάζουμε παραδείγματα, θα δείξουμε έναν τρόπο μετατροπής τέτοιων ευθύγραμμων εξισώσεων σε κανονικές εξισώσεις.

5.4 Γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών.

Μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών γραμμών στο χώρο είναι οποιαδήποτε από τις γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο παράλληλο στα δεδομένα.

Έστω δύο ευθείες που δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις.

Για τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών θα πάρουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.

και

Η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών μειώνεται στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και, δηλαδή, στην ισότητα προς το μηδέν του βαθμωτού γινομένου: ή σε μορφή συντεταγμένων: .

Η συνθήκη παραλληλισμού δύο ευθειών ανάγεται στην συνθήκη παραλληλισμού των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και

5.5 Αμοιβαία διάταξη ευθείας και επιπέδου.

Έστω οι εξισώσεις της ευθείας:

και αεροπλάνα. Η γωνία μεταξύ της γραμμής και του επιπέδου θα είναι οποιαδήποτε από τις δύο παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από τη γραμμή και την προβολή της στο επίπεδο (Εικόνα 5.5).

Εικόνα 5.5

Αν η ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας και το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο είναι συγγραμμικά. Έτσι, η συνθήκη της καθετότητας μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου ανάγεται στην κατάσταση των συγγραμμικών διανυσμάτων

Στην περίπτωση παραλληλισμού μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου, τα διανύσματά τους που αναφέρονται παραπάνω είναι αμοιβαία κάθετα. Επομένως, η συνθήκη παραλληλισμού μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου ανάγεται στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων. εκείνοι. Το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν ή σε μορφή συντεταγμένων: .

Ακολουθούν παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με το θέμα του Κεφαλαίου 5.

Παράδειγμα 1:

Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Α (1,2,4) κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση:

Απόφαση:

Χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ως σημείο, παίρνουμε το σημείο Α (1,2,4), από το οποίο διέρχεται το επίπεδο από τη συνθήκη.

Γνωρίζοντας τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας, γνωρίζουμε το διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία.

Λόγω του γεγονότος ότι, από τη συνθήκη, η ευθεία γραμμή είναι κάθετη στο επιθυμητό επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης μπορεί να ληφθεί ως το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου.

Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου με τη μορφή:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Παράδειγμα 2:

Βρείτε στο αεροπλάνο 4x-7y+5z-20=0ένα σημείο P για το οποίο το OP κάνει ίσες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων.

Απόφαση:

Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο. (Εικόνα 5.6)

στο

Εικόνα 5.6

Το κενό σημείο Р έχει συντεταγμένες . Δεδομένου ότι το διάνυσμα κάνει τις ίδιες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων, τα συνημίτονα κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος είναι ίσα μεταξύ τους

Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος:

τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος βρίσκονται εύκολα.

Από την ισότητα των συνημιτόνων κατεύθυνσης προκύπτει η ισότητα:

x p \u003d y p \u003d z p

δεδομένου ότι το σημείο P βρίσκεται στο επίπεδο, η αντικατάσταση των συντεταγμένων αυτού του σημείου στην εξίσωση του επιπέδου το μετατρέπει σε ταυτότητα.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Αντίστοιχα: y r=10; z σελ=10.

Έτσι, το επιθυμητό σημείο P έχει συντεταγμένες P (10; 10; 10)

Παράδειγμα 3:

Δίνονται δύο σημεία Α (2, -1, -2) και Β (8, -7,5). Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Β, κάθετο στο τμήμα ΑΒ.

Απόφαση:

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ως σημείο, χρησιμοποιούμε το σημείο Β (8, -7,5), και ως διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο, διάνυσμα. Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος:

τότε παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου με τη μορφή:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Παράδειγμα 4:

Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου παράλληλου προς τον άξονα OY και που διέρχεται από τα σημεία Κ(1,-5,1) και Μ(3,2,-2).

Απόφαση:

Εφόσον το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα OY, θα χρησιμοποιήσουμε την ημιτελή εξίσωση του επιπέδου.

Ax+Cz+D=0

Λόγω του γεγονότος ότι τα σημεία Κ και Μ βρίσκονται στο επίπεδο, λαμβάνουμε δύο συνθήκες.

Ας εκφράσουμε από αυτές τις συνθήκες τους συντελεστές Α και Γ ως D.

Αντικαθιστούμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στην ημιτελή εξίσωση του επιπέδου:

αφού , τότε μειώνουμε το D:

Παράδειγμα 5:

Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Απόφαση:

Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από 3 δεδομένα σημεία.

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων M, K, R ως πρώτο, δεύτερο και τρίτο, παίρνουμε:

επεκτείνετε την ορίζουσα κατά μήκος της 1ης γραμμής.

Παράδειγμα 6:

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) και κάθετο στο επίπεδο 3x+5y-7z-21=0

Απόφαση:

Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο (Εικόνα 5.7)

Εικόνα 5.7

Συμβολίζουμε το δεδομένο επίπεδο P 2 και το επιθυμητό επίπεδο P 2. . Από την εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου Р 1 προσδιορίζουμε τις προβολές του διανύσματος κάθετες στο επίπεδο Р 1.

Το διάνυσμα μπορεί να μετακινηθεί στο επίπεδο P 2 μέσω παράλληλης μετάφρασης, αφού, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, το επίπεδο P 2 είναι κάθετο στο επίπεδο P 1, πράγμα που σημαίνει ότι το διάνυσμα είναι παράλληλο στο επίπεδο P 2 .

Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος που βρίσκεται στο επίπεδο Р 2:

τώρα έχουμε δύο διανύσματα και βρίσκονται στο επίπεδο R 2 . Προφανώς, το διάνυσμα είναι ίσο με το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων και θα είναι κάθετο στο επίπεδο P 2, αφού είναι κάθετο και, επομένως, το κανονικό του διάνυσμα στο επίπεδο P 2.

Τα διανύσματα και δίνονται από τις προβολές τους, επομένως:

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στο διάνυσμα. Ως σημείο, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε από τα σημεία M 1 ή M 2, για παράδειγμα M 1 (8, -3.1). Ως κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο Р 2 παίρνουμε .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Παράδειγμα 7:

Μια ευθεία γραμμή ορίζεται από την τομή δύο επιπέδων. Βρείτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

Απόφαση:

Έχουμε μια εξίσωση με τη μορφή:

Πρέπει να βρεθεί ένα σημείο x 0, y 0, z 0) από την οποία διέρχεται η ευθεία γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης.

Επιλέγουμε μια από τις συντεταγμένες αυθαίρετα. Για παράδειγμα, z=1, τότε παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

Έτσι, βρήκαμε ένα σημείο που βρίσκεται στην επιθυμητή γραμμή (2,0,1).

Ως κατευθυντικό διάνυσμα της επιθυμητής ευθείας, λαμβάνουμε το εγκάρσιο γινόμενο των διανυσμάτων και , που είναι κανονικά διανύσματα αφού , που σημαίνει παράλληλη προς την επιθυμητή γραμμή.

Έτσι, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας έχει προβολές . Χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο παράλληλο σε ένα δεδομένο διάνυσμα:

Άρα η επιθυμητή κανονική εξίσωση έχει τη μορφή:

Παράδειγμα 8:

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής μιας ευθείας και αεροπλάνο 2x+3y+3z-8=0

Απόφαση:

Ας γράψουμε τη δεδομένη εξίσωση μιας ευθείας σε παραμετρική μορφή.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της παραμέτρου t. Για να βρείτε την παράμετρο tπου αντιστοιχεί στο σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου, αντικαθιστούμε την έκφραση στην εξίσωση του επιπέδου x, y, zμέσω παραμέτρου t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

τότε οι συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου

το επιθυμητό σημείο τομής έχει συντεταγμένες (1;1;1).

Παράδειγμα 9:

Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από παράλληλες ευθείες.

Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο (Εικόνα 5.9)

Εικόνα 5.9

Από τις δοσμένες εξισώσεις ευθειών και προσδιορίζουμε τις προβολές των κατευθυνόμενων διανυσμάτων αυτών των γραμμών. Βρίσκουμε τις προβολές του διανύσματος που βρίσκεται στο επίπεδο P, και παίρνουμε τα σημεία και από τις κανονικές εξισώσεις των ευθειών M 1 (1, -1,2) και M 2 (0,1, -2).