Προσδιορίστε το μήκος και τα συνημίτονα της καθέτου. Συνημίτονα κατεύθυνσης διανυσμάτων

Ας δοθεί ένα διάνυσμα. Μοναδιαίο διάνυσμα στην ίδια κατεύθυνση με (διάνυσμα ) βρίσκεται με τον τύπο:

.

Αφήστε τον άξονα σχηματίζει γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων
.Συνημίτονα κατεύθυνσης του άξονα τα συνημίτονα αυτών των γωνιών ονομάζονται: Αν κατεύθυνση δίνεται από μοναδιαίο διάνυσμα , τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης χρησιμεύουν ως συντεταγμένες του, δηλ.:

.

Τα συνημίτονα κατεύθυνσης σχετίζονται με τη σχέση:

Αν κατεύθυνση δίνεται από ένα αυθαίρετο διάνυσμα , στη συνέχεια βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του διανύσματος και, συγκρίνοντάς το με την έκφραση για το μοναδιαίο διάνυσμα , λάβετε:

Scalar προϊόν

Προϊόν με κουκκίδες
δύο διανύσματα και ονομάζεται αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών τους με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας:
.

Το βαθμωτό προϊόν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ως εκ τούτου,
.

Η γεωμετρική σημασία του βαθμωτού γινομένου: κουκκίδα γινόμενο διανύσματος και μοναδιαίου διανύσματος ίσο με την προβολή του διανύσματος προς την κατεύθυνση που καθορίζεται , δηλ.
.

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου ακολουθεί ο ακόλουθος πίνακας πολλαπλασιασμού των όρτων
:

.

Αν τα διανύσματα δίνονται από τις συντεταγμένες τους
και
, δηλ.
,
, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας αυτά τα διανύσματα κλιμακωτά και χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού των orts, λαμβάνουμε την έκφραση για το βαθμωτό γινόμενο
μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων:

.

διανυσματικό προϊόν

Σταυρό γινόμενο ενός διανύσματοςανά διάνυσμα που ονομάζεται διάνυσμα , το μήκος και η κατεύθυνση του οποίου καθορίζεται από τις συνθήκες:

Το διανυσματικό προϊόν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Από τις τρεις πρώτες ιδιότητες προκύπτει ότι ο διανυσματικός πολλαπλασιασμός ενός αθροίσματος διανυσμάτων με ένα άθροισμα διανυσμάτων υπακούει στους συνήθεις κανόνες για τον πολυωνυμικό πολλαπλασιασμό. Είναι απαραίτητο μόνο να διασφαλιστεί ότι η σειρά των πολλαπλασιαστών δεν αλλάζει.

Τα βασικά διανύσματα μονάδων πολλαπλασιάζονται ως εξής:

Αν ένα
και
, τότε λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων, μπορούμε να εξαγάγουμε έναν κανόνα για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του διανυσματικού γινομένου από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων παραγόντων:

Αν λάβουμε υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των όρτων που λήφθηκαν παραπάνω, τότε:

Μια πιο συμπαγής μορφή γραφής μιας έκφρασης για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του διανυσματικού γινομένου δύο διανυσμάτων μπορεί να κατασκευαστεί εάν εισαγάγουμε την έννοια της ορίζουσας πίνακα.

Εξετάστε μια ειδική περίπτωση όταν τα διανύσματα και ανήκουν στο αεροπλάνο
, δηλ. μπορούν να αναπαρασταθούν ως
και
.

Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων γράφονται με τη μορφή πίνακα ως εξής:
, τότε μπορούμε να πούμε ότι από αυτά σχηματίζεται τετράγωνος πίνακας δεύτερης τάξης, δηλ. Μέγεθος
, που αποτελείται από δύο σειρές και δύο στήλες. Σε κάθε τετράγωνο πίνακα εκχωρείται ένας αριθμός που υπολογίζεται από τα στοιχεία του πίνακα σύμφωνα με ορισμένους κανόνες και ονομάζεται ορίζουσα. Η ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης τάξης είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των γινομένων των στοιχείων της κύριας και της δευτερεύουσας διαγωνίου:

.

Σε αυτήν την περίπτωση:

Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας είναι επομένως ίση με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που χτίζεται στα διανύσματα και όπως στα πλάγια.

Εάν συγκρίνουμε αυτήν την έκφραση με τον τύπο του διανυσματικού προϊόντος (4.7), τότε:

Αυτή η έκφραση είναι ένας τύπος για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα τρίτης τάξης από την πρώτη σειρά.

Ετσι:

Ορίζουσα μήτρας τρίτης τάξηςυπολογίζεται ως εξής:

και είναι το αλγεβρικό άθροισμα έξι όρων.

Ο τύπος για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα τρίτης τάξης είναι εύκολο να θυμάστε εάν χρησιμοποιείτε κανόναςSarrus, η οποία διατυπώνεται ως εξής:

Κάθε όρος είναι το γινόμενο τριών στοιχείων που βρίσκονται σε διαφορετικές στήλες και διαφορετικές σειρές του πίνακα.

Το σύμβολο συν έχει τα γινόμενα των στοιχείων που σχηματίζουν τρίγωνα με πλευρά παράλληλη προς την κύρια διαγώνιο.

Το σύμβολο μείον δίνεται στα γινόμενα των στοιχείων που ανήκουν στη δευτερεύουσα διαγώνιο και στα δύο γινόμενα των στοιχείων που σχηματίζουν τρίγωνα με πλευρά παράλληλη προς τη δευτερεύουσα διαγώνιο.

Διάνυσμα συνημίτονα κατεύθυνσης.

Συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος αείναι τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζει το διάνυσμα με τους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων.

Για να βρεθούν τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος α, είναι απαραίτητο να διαιρεθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες του διανύσματος με το δομοστοιχείο του διανύσματος.

Ιδιοκτησία:Το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων κατεύθυνσης είναι ίσο με ένα.

Έτσι σε περίπτωση προβλήματος αεροπλάνουτα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (ax; ay) βρίσκονται με τους τύπους:

Ένα παράδειγμα υπολογισμού των συνημιτόνων κατεύθυνσης ενός διανύσματος:

Να βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (3; 4).

Λύση: |α| =

Έτσι μέσα περίπτωση χωροταξικού προβλήματοςτα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a = (ax; ay; az) βρίσκονται με τους τύπους:

Ένα παράδειγμα υπολογισμού των συνημιτόνων κατεύθυνσης ενός διανύσματος

Να βρείτε τα συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος a = (2; 4; 4).

Λύση: |α| =

"Πώς να βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος"

Δείξτε με άλφα, βήτα και γάμμα τις γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα α με τη θετική φορά των αξόνων συντεταγμένων (βλ. Εικ. 1). Τα συνημίτονα αυτών των γωνιών ονομάζονται συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος α.

Εφόσον οι συντεταγμένες a στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι ίσες με τις προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων, τότε a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (γάμα). Ως εκ τούτου: cos (άλφα)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(γάμα)= a3/|a|. Επιπλέον, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Άρα cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(γάμα)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Πρέπει να σημειωθεί η κύρια ιδιότητα των συνημιτόνων κατεύθυνσης. Το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων διεύθυνσης του διανύσματος είναι ίσο με ένα. Πράγματι, cos^2(άλφα)+cos^2(βήτα)+cos^2(γάμα)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Πρώτος τρόπος

Παράδειγμα: δεδομένο: διάνυσμα a=(1, 3, 5). Βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσής του. Απόφαση. Σύμφωνα με αυτά που βρήκαμε, γράφουμε: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Έτσι, η απάντηση μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Δεύτερος τρόπος

Όταν βρίσκετε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος a, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τεχνική για τον προσδιορισμό των συνημιτόνων των γωνιών χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο. Στην περίπτωση αυτή, εννοούμε τις γωνίες μεταξύ του a και των διανυσμάτων μονάδας διεύθυνσης των ορθογώνιων καρτεσιανών συντεταγμένων i, j και k. Οι συντεταγμένες τους είναι (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), αντίστοιχα. Θα πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζεται ως εξής.

Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι φ, τότε το βαθμωτό γινόμενο δύο ανέμων (εξ ορισμού) είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των μονάδων των διανυσμάτων κατά cosφ. (α, β) = |a||b|cos f. Τότε, αν b=i, τότε (a, i) = |a||i|cos(alpha), ή a1 = |a|cos(alpha). Επιπλέον, όλες οι ενέργειες εκτελούνται παρόμοια με τη μέθοδο 1, λαμβάνοντας υπόψη τις συντεταγμένες j και k.

αυτά είναι τα συνημίτονα των γωνιών που κάνει το διάνυσμα με τους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων. Τα συνημίτονα κατεύθυνσης ορίζουν μοναδικά την κατεύθυνση του διανύσματος. Εάν ένα διάνυσμα έχει μήκος 1, τότε τα συνημίτονά του είναι ίσα με τις συντεταγμένες του. Γενικά, για ένα διάνυσμα με συντεταγμένες ( ένα; σι; ντο) τα συνημίτονα κατεύθυνσης είναι ίσα:

όπου a, b, g είναι οι γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα με τους άξονες Χ, y, zαντίστοιχα.

21) Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τα διανύσματα. Το ορθό του άξονα συντεταγμένων συμβολίζεται με , οι άξονες - με , οι άξονες - με (Εικ. 1).

Για κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στο επίπεδο, γίνεται η ακόλουθη αποσύνθεση:

Αν το διάνυσμα βρίσκεται στο χώρο, τότε η επέκταση ως προς τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων έχει τη μορφή:

22)Προϊόν με κουκκίδεςδύο μη μηδενικά διανύσματα και ο αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας λέγεται:

23) Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι οξεία, τότε το γινόμενο κουκίδων τους είναι θετικό. εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία, τότε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι αρνητικό. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια.

24) Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο διανυσμάτων.

Η συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων
Τα διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν Δίνονται δύο διανύσματα a(xa;ya) και b(xb;yb). Αυτά τα διανύσματα θα είναι κάθετα αν η έκφραση xaxb + yayb = 0.

25) Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Ένα διανυσματικό γινόμενο δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα c=a×b που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: 1) |c|=|a| |β| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Τα διανύσματα a, b, c σχηματίζουν το δεξιό τριπλό διανυσμάτων.

26) Συγγραμμικά και συνεπίπεδα διανύσματα..

Τα διανύσματα είναι συγγραμμικά αν η τετμημένη του πρώτου διανύσματος σχετίζεται με την τετμημένη του δεύτερου με τον ίδιο τρόπο όπως η τεταγμένη του πρώτου με τη τεταγμένη του δεύτερου.Δίνονται δύο διανύσματα ένα (xa;ναι) και σι (xb;yb). Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά αν x α = xbκαι y α = yb, που R.

Διανύσματα −→ ένα,−→σικαι −→ ντοπου ονομάζεται ομοεπίπεδηεάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα.

27) Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων- κλιμακωτό γινόμενο του διανύσματος α και διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων β και γ. Να βρείτε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Απόφαση:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο. Η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών διαφορών των ίδιων συντεταγμένων αυτών των σημείων.

29) Η διαίρεση του τμήματος ως προς αυτό. Αν το σημείο M(x; y) βρίσκεται σε μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία ( , ) και ( , ), και δίνεται η σχέση στην οποία το σημείο M διαιρεί το τμήμα , τότε προσδιορίζονται οι συντεταγμένες του σημείου M από τους τύπους

Αν το σημείο Μ είναι το μέσο του τμήματος, τότε οι συντεταγμένες του καθορίζονται από τους τύπους

30-31. Κλίση ευθείας γραμμήςονομάζεται εφαπτομένη της κλίσης αυτής της ευθείας. Η κλίση μιας ευθείας γραμμής συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα κ. Τότε εξ ορισμού

Γραμμική εξίσωση με κλίσηέχει τη μορφή όπου κ- γωνιακός συντελεστής ευθείας γραμμής, σιείναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Η εξίσωση μιας ευθείας με μια κλίση μπορεί να ορίσει οποιαδήποτε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα Oy(για ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y, η κλίση δεν ορίζεται).

33. Γενική εξίσωση ευθείας σε επίπεδο. Εξίσωση τύπου υπάρχει γενική εξίσωση ευθείας γραμμής Oxy. Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - η γραμμή διέρχεται από την αρχή

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

34.Εξίσωση ευθείας σε τμήματασε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyέχει τη μορφή όπου ένακαι σιείναι κάποιοι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί. Αυτό το όνομα δεν είναι τυχαίο, αφού οι απόλυτες τιμές των αριθμών ένακαι σιίσο με τα μήκη των τμημάτων που κόβει η ευθεία στους άξονες συντεταγμένων Βόδικαι Oyαντίστοιχα (τα τμήματα υπολογίζονται από την προέλευση). Έτσι, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα διευκολύνει τη δημιουργία αυτής της ευθείας γραμμής σε ένα σχέδιο. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε σημεία με συντεταγμένες και σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να τα συνδέσετε με μια ευθεία γραμμή.

35. Η κανονική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή

πού είναι η απόσταση από την ευθεία προς την αρχή;  είναι η γωνία μεταξύ της κανονικής προς την ευθεία και του άξονα.

Η κανονική εξίσωση μπορεί να ληφθεί από τη γενική εξίσωση (1) πολλαπλασιάζοντάς την με τον παράγοντα κανονικοποίησης , το πρόσημο του  είναι αντίθετο με αυτό του .

Τα συνημίτονα των γωνιών μεταξύ της ευθείας και των αξόνων συντεταγμένων ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης, το  είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας και του άξονα, το  είναι μεταξύ της ευθείας και του άξονα:

Έτσι, η κανονική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

Απόσταση από το σημείο σε ευθείακαθορίζεται από τον τύπο

36. Η απόσταση μεταξύ σημείου και ευθείας υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

όπου x 0 και y 0 είναι οι συντεταγμένες του σημείου και A, B και C οι συντελεστές από τη γενική εξίσωση της ευθείας

37. Φέρνοντας τη γενική εξίσωση ευθείας σε κανονική. Η εξίσωση και το επίπεδο σε αυτό το πλαίσιο δεν διαφέρουν μεταξύ τους σε τίποτα άλλο εκτός από τον αριθμό των όρων στις εξισώσεις και τη διάσταση του χώρου. Επομένως, στην αρχή θα πω τα πάντα για το αεροπλάνο και στο τέλος θα κάνω μια κράτηση για την ευθεία.
Έστω η γενική εξίσωση του επιπέδου: Ax + By + Cz + D = 0.
;. παίρνουμε το σύστημα: g;Mc=cosb, MB=cosaΑς το φέρουμε σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με τον παράγοντα ομαλοποίησης M. Παίρνουμε: Max + Mvu + MSz + MD = 0. Σε αυτήν την περίπτωση, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa παίρνουμε το σύστημα:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Προσθέτοντας όλες τις εξισώσεις του συστήματος, παίρνουμε M*(A2 + B2 + C2) = 1 Τώρα μένει μόνο να εκφράσουμε το M από εδώ για να ξέρουμε με ποιον παράγοντα κανονικοποίησης πρέπει να πολλαπλασιαστεί η αρχική γενική εξίσωση για να φέρει την κανονική μορφή:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
Το MD πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το μηδέν, επομένως το πρόσημο του αριθμού M λαμβάνεται αντίθετο από το πρόσημο του αριθμού D.
Με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, όλα είναι ίδια, μόνο ο όρος C2 θα πρέπει απλώς να αφαιρεθεί από τον τύπο για το M.

38.Η γενική εξίσωση του επιπέδου στο χώρο λέγεται εξίσωση της μορφής

που ΕΝΑ 2 + σι 2 + ντο 2 ≠ 0 .

Στον τρισδιάστατο χώρο σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, οποιοδήποτε επίπεδο περιγράφεται με μια εξίσωση 1ου βαθμού (γραμμική εξίσωση). Αντίθετα, οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο.

40.Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyzσε τρισδιάστατο χώρο, μια εξίσωση της μορφής , που ένα, σικαι ντολέγονται πραγματικοί αριθμοί εκτός του μηδενός επίπεδο εξίσωση σε τμήματα. Απόλυτες τιμές αριθμών ένα, σικαι ντοίσο με τα μήκη των τμημάτων που κόβει το επίπεδο στους άξονες συντεταγμένων Βόδι, Oyκαι Οζαντίστοιχα, μετρώντας από την προέλευση. Αριθμητικό σημάδι ένα, σικαι ντοδείχνει προς ποια κατεύθυνση (θετική ή αρνητική) είναι γραφικά τα τμήματα στους άξονες συντεταγμένων

41) Κανονική εξίσωση του επιπέδου.

Η κανονική εξίσωση ενός επιπέδου είναι η εξίσωσή του, γραμμένη με τη μορφή

όπου , , είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης της κανονικής του επιπέδου, π.χ

p είναι η απόσταση από την αρχή στο επίπεδο. Κατά τον υπολογισμό των συνημιτόνων διεύθυνσης της κανονικής, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι κατευθύνεται από την αρχή στο επίπεδο (αν το επίπεδο διέρχεται από την αρχή, τότε η επιλογή της θετικής κατεύθυνσης της κανονικής είναι αδιάφορη).

42) Απόσταση από σημείο σε επίπεδο.Έστω το επίπεδο να δίνεται από την εξίσωση και δόθηκε ένας βαθμός. Στη συνέχεια, η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο προσδιορίζεται από τον τύπο

Απόδειξη. Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι, εξ ορισμού, το μήκος της καθέτου που πέφτει από ένα σημείο σε ένα επίπεδο

Γωνία μεταξύ των επιπέδων

Έστω τα επίπεδα και δίνονται από τις εξισώσεις και , αντίστοιχα. Απαιτείται να βρεθεί η γωνία μεταξύ αυτών των επιπέδων.

Τα επίπεδα, που τέμνονται, σχηματίζουν τέσσερις δίεδρες γωνίες: δύο αμβλείες και δύο οξείες ή τέσσερις ευθείες, και οι δύο αμβλείες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, και οι δύο οξείες είναι επίσης ίσες μεταξύ τους. Πάντα θα αναζητούμε μια οξεία γωνία. Για να προσδιορίσουμε την τιμή του, παίρνουμε ένα σημείο στη γραμμή τομής των επιπέδων και σε αυτό το σημείο σε καθένα από αυτά

επίπεδα σχεδιάζουμε κάθετες στη γραμμή τομής.

Ιδιοκτησία:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

β) ορισμός γραμμικών πράξεων

το άθροισμα δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων και ονομάζεται το διάνυσμα που προέρχεται από την κοινή αρχή των διανυσμάτων κατά μήκος της διαγώνιου του παραλληλογράμμου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα

Η διαφορά των διανυσμάτων και ονομάζεται άθροισμα ενός διανύσματος και ενός διανύσματος αντίθετου του διανύσματος: . Συνδέστε τις αρχές των διανυσμάτων και, στη συνέχεια, το διάνυσμα κατευθύνεται από το τέλος του διανύσματος στο τέλος του διανύσματος.

εργασία διάνυσμα σε έναν αριθμό ονομάζεται διάνυσμα με ενότητα , και για και για . Γεωμετρικά, ο πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό σημαίνει «τεντώνοντας» το διάνυσμα κατά συντελεστή 1, ενώ διατηρείται η κατεύθυνση στο και αλλάζει προς το αντίθετο στο .

Από τους παραπάνω κανόνες για την πρόσθεση διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό τους με έναν αριθμό, ακολουθούν οι προφανείς δηλώσεις:

1. (η προσθήκη είναι αντικαταστατική).

2. (η προσθήκη είναι συνειρμική).

3. (ύπαρξη μηδενικού διανύσματος).

4. (ύπαρξη αντίθετου διανύσματος).

5. (η προσθήκη είναι συνειρμική).

6. (ο πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό είναι διανεμητικός).

7. (η προσθήκη του διανύσματος είναι κατανεμητική).

γ) κλιμακωτό προϊόν και οι κύριες ιδιότητές του

Προϊόν με κουκκίδεςδύο μη μηδενικών διανυσμάτων λέγεται ο αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Εάν τουλάχιστον ένα από τα δύο διανύσματα είναι μηδέν, τότε η γωνία μεταξύ τους δεν ορίζεται και το βαθμωτό γινόμενο θεωρείται μηδέν. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων και συμβολίζεται

, όπου και είναι τα μήκη των διανυσμάτων και αντίστοιχα, και είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του ονομάζεται τετράγωνο κουκίδων.

Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος.

Για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύουν τα ακόλουθα: ιδιότητες προϊόντος κουκκίδας:

ιδιότητα ανταλλαξιμότητας του κλιμακωτού προϊόντος.

ιδιότητα διανομής ή ;

συνειρμική ιδιότητα ή , όπου είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.

το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι πάντα μη αρνητικό, και αν και μόνο αν το διάνυσμα είναι μηδέν.

Δ) το διανυσματικό προϊόν και οι ιδιότητές του

διανυσματικό προϊόνΤο διάνυσμα a στο διάνυσμα b ονομάζεται διάνυσμα c, το μήκος του οποίου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα a και b, κάθετο στο επίπεδο αυτών των διανυσμάτων και κατευθύνεται έτσι ώστε η ελάχιστη περιστροφή από το a στο b γύρω από το διάνυσμα c είναι αριστερόστροφα, όταν το βλέπουμε από το ακραίο διάνυσμα c

Τύποι για τον υπολογισμό του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων

διανυσματικό προϊόνδύο διανύσματα a = (a x ; a y ; a z ) και b = (b x ; b y , b z ) στις καρτεσιανές συντεταγμένες είναι ένα διάνυσμα του οποίου η τιμή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

• Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων a και b είναι μηδέν εάν και μόνο εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
• Το διάνυσμα c, που είναι ίσο με το διασταυρούμενο γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων a και b, είναι κάθετο σε αυτά τα διανύσματα.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (α + β) × γ = α × γ + β × γ

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Α) η εξίσωση ευθείας με κλίση

Κλίση ευθείας γραμμήςονομάζεται εφαπτομένη της κλίσης αυτής της ευθείας.

Η κλίση μιας ευθείας γραμμής συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα κ. Τότε εξ ορισμού.

Εάν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα y, τότε η κλίση δεν υπάρχει (στην περίπτωση αυτή, η κλίση λέγεται επίσης ότι πηγαίνει στο άπειρο).

Μια θετική κλίση μιας ευθείας γραμμής δείχνει αύξηση στο γράφημα συνάρτησής της, μια αρνητική κλίση υποδηλώνει μείωση. Η εξίσωση μιας ευθείας με κλίση έχει τη μορφή y=kx+b, όπου k είναι η κλίση της ευθείας, b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό οποιασδήποτε ευθείας γραμμής που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα Oy (για μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y, η κλίση δεν ορίζεται).

Β) είδη ευθύγραμμων εξισώσεων

Η εξίσωση που ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείαςστην επιφάνεια.

Οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού με δύο μεταβλητές Χκαι yείδος , που ΑΛΛΑ, ΣΤΟκαι Μεείναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και ΑΛΛΑκαι ΣΤΟταυτόχρονα δεν ισούται με μηδέν, ορίζει μια ευθεία γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyστο επίπεδο, και οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο δίνεται από μια εξίσωση της μορφής .

Ευθύγραμμη εξίσωση , όπου ένακαι σικαλούνται κάποιοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το μηδέν εξίσωση ευθείας σε τμήματα. Αυτό το όνομα δεν είναι τυχαίο, αφού οι απόλυτες τιμές των αριθμών ένακαι σιίσο με τα μήκη των τμημάτων που κόβει η ευθεία στους άξονες συντεταγμένων Βόδικαι Oyαντίστοιχα (τα τμήματα υπολογίζονται από την προέλευση).

Ευθύγραμμη εξίσωση , όπου Χκαι yείναι μεταβλητές, και κκαι σιείναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί, καλούμενοι εξίσωση ευθείας με κλίση (κ- γωνιακός συντελεστής)

Κανονική εξίσωση ευθείας σε επίπεδοσε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxyέχει τη μορφή , όπου και είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και και δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα.

Είναι προφανές ότι η ευθεία, που ορίζεται από την κανονική εξίσωση της ευθείας, διέρχεται από το σημείο. Με τη σειρά τους, οι αριθμοί και , που στέκονται στους παρονομαστές των κλασμάτων, είναι οι συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας. Έτσι, η κανονική εξίσωση της γραμμής σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyστο επίπεδο αντιστοιχεί μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης .

Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδομοιάζει , όπου και είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και και δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα, και είναι μια παράμετρος που παίρνει οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές.

Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής καθορίζουν μια άρρητη σχέση μεταξύ των τετμημένης και των τεταγμένων των σημείων μιας ευθείας γραμμής χρησιμοποιώντας μια παράμετρο (εξ ου και το όνομα αυτού του τύπου εξισώσεων ευθείας γραμμής).

Ένα ζεύγος αριθμών, που υπολογίζονται από τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας για κάποια πραγματική τιμή της παραμέτρου, είναι οι συντεταγμένες κάποιου σημείου της ευθείας. Για παράδειγμα, όταν έχουμε , δηλαδή το σημείο με τις συντεταγμένες βρίσκεται σε ευθεία γραμμή.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές και στην παράμετρο στις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι οι συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία:

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να οριστεί ίσος με μηδέν. Στο επίπεδο, η ευθεία εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1 ≠ x 2 και x = x 1 εάν x 1 = x 2.

Κλάσμα = k λέγεται συντελεστής κλίσηςευθεία.

Γ) υπολογισμός της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών

αν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 . Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/ k 2 .

Θεώρημα.Οι ευθείες γραμμές Ax + Vy + C \u003d 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Δ) συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών

Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις με κλίση, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των κλίσεων τους:

κ 1 = κ 2 .

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στη γενική μορφή (6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές στις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με κλίση, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι κλίσεις τους να είναι αντίστροφες σε μέγεθος και αντίθετες σε πρόσημο, δηλ.

Αυτή η συνθήκη μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα

κ 1 κ 2 = -1.

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκής) είναι να πληρούται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0.

Όριο λειτουργίας

Α) όριο αλληλουχίας

Η έννοια του ορίου χρησιμοποιήθηκε από τον Νεύτωνα στο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα και από μαθηματικούς του 18ου αιώνα, όπως ο Euler και ο Lagrange, αλλά κατάλαβαν το όριο διαισθητικά. Οι πρώτοι αυστηροί ορισμοί του ορίου μιας ακολουθίας δόθηκαν από τον Bolzano το 1816 και από τον Cauchy το 1821.

Ο αριθμός καλείται το όριο της αριθμητικής ακολουθίας, εάν η ακολουθία είναι απείρως μικρή, δηλαδή όλα τα στοιχεία της, ξεκινώντας από μερικά, είναι λιγότερα από οποιονδήποτε θετικό αριθμό που έχει ληφθεί εκ των προτέρων.

Στην περίπτωση που μια αριθμητική ακολουθία έχει όριο με τη μορφή πραγματικού αριθμού, καλείται συγκλίνοντας σε αυτόν τον αριθμό. Διαφορετικά, καλείται η ακολουθία αποκλίνων . Εάν, επιπλέον, είναι απεριόριστο, τότε το όριό του θεωρείται ίσο με το άπειρο.

Επιπλέον, εάν όλα τα στοιχεία μιας αδέσμευτης ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, έχουν θετικό πρόσημο, τότε λέμε ότι το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας είναι ίσο με συν το άπειρο .

Εάν τα στοιχεία μιας απεριόριστης ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, έχουν αρνητικό πρόσημο, τότε λένε ότι το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας είναι ίσο με μείον το άπειρο .

Β) όριο συνάρτησης

Όριο λειτουργίας (όριο λειτουργίας) σε ένα δεδομένο σημείο, περιοριστικό για τον τομέα ορισμού μιας συνάρτησης, είναι μια τέτοια τιμή στην οποία τείνει η τιμή της υπό εξέταση συνάρτησης όταν το όρισμά της τείνει σε ένα δεδομένο σημείο.

Όριο λειτουργίαςείναι μια γενίκευση της έννοιας του ορίου μιας ακολουθίας: αρχικά, το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο κατανοήθηκε ως το όριο μιας ακολουθίας στοιχείων του εύρους της συνάρτησης, που αποτελείται από εικόνες σημείων μιας ακολουθίας στοιχείων του τομέα της συνάρτησης, που συγκλίνει σε ένα δεδομένο σημείο (το όριο στο οποίο εξετάζεται). Εάν υπάρχει ένα τέτοιο όριο, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι συγκλίνει στην καθορισμένη τιμή. Εάν δεν υπάρχει τέτοιο όριο, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι αποκλίνει.

Όριο λειτουργίας- μία από τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Η τιμή ονομάζεται όριο (οριακή τιμή) μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, εάν για οποιαδήποτε ακολουθία σημείων που συγκλίνει στο , αλλά δεν περιέχει ως ένα από τα στοιχεία της (δηλαδή σε μια τρυπημένη γειτονιά ), η ακολουθία τιμών της συνάρτησης συγκλίνει σε .

Η τιμή ονομάζεται όριο (οριακή τιμή) μιας συνάρτησης στο σημείο , εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό που λαμβάνεται εκ των προτέρων υπάρχει ένας θετικός αριθμός που αντιστοιχεί σε αυτόν έτσι ώστε για όλα τα ορίσματα που ικανοποιούν τη συνθήκη , να ικανοποιείται η ανισότητα.

Γ) δύο αξιοσημείωτα όρια

· Πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

Συνέπειες

·

·

·

· Δεύτερο αξιοσημείωτο όριο:

Συνέπειες

1.

2.

3.

4.

5. Για ,

6.

Δ) απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις

Λειτουργία y=f(x)που ονομάζεται απειροελάχιστοςστο x→aή πότε Χ→∞ εάν ή , δηλ. Μια απειροελάχιστη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όριο σε ένα δεδομένο σημείο είναι μηδέν.

εάν λειτουργία y=f(x)αντιπροσωπεύσιμο στο x→aως άθροισμα ενός σταθερού αριθμού σικαι απείρως μικρό α(x): f(x)=b+ α(x)τότε .

Αντίθετα, αν , τότε f(x)=b+α(x), που τσεκούρι)είναι απείρως μικρό στο x→a.

Συνέπεια 1.Αν και , τότε .

Συνέπεια 2.Αν c= const, τότε .

Εάν η συνάρτηση f(x)είναι απείρως μεγάλο στο x→a, μετά συνάρτηση 1 /f(x)είναι απείρως μικρό στο x→a.

Εάν η συνάρτηση f(x)- απείρως μικρό στο x→a(ή x→∞)και δεν εξαφανίζεται, λοιπόν y= 1/f(x)είναι μια άπειρη συνάρτηση. Οι απλούστερες ιδιότητες των απείρως μικρών και απείρως μεγάλων συναρτήσεων μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις υπό όρους: ΕΝΑ≠ 0

Δ) αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Ο κανόνας του L'Hopital

κύριοι τύποι αβεβαιοτήτων: μηδέν διαιρούμενο με μηδέν ( 0 έως 0), το άπειρο διαιρούμενο με το άπειρο, το μηδέν επί το άπειρο, το άπειρο μείον το άπειρο, ένα στη δύναμη του απείρου, το μηδέν στη δύναμη του μηδέν, το άπειρο στη δύναμη του μηδέν.

Ο κανόνας του L'Hopitalπολύ ευρέως χρησιμοποιούμενο για υπολογισμούς ορίωνόταν υπάρχει αβεβαιότητα της μορφής μηδέν διαιρούμενο με μηδέν, άπειρο διαιρούμενο με άπειρο.

Αυτοί οι τύποι αβεβαιοτήτων μειώνονται στο μηδέν επί του άπειρου και του άπειρου μείον το άπειρο.

Εάν και εάν λειτουργεί f(x)και g(x)είναι διαφοροποιήσιμες σε μια γειτονιά του σημείου, λοιπόν

Στην περίπτωση που η αβεβαιότητα δεν εξαφανιστεί μετά την εφαρμογή του κανόνα L'Hopital, τότε μπορεί να εφαρμοστεί ξανά.

Υπολογισμός παραγώγων

Α) ο κανόνας διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης

Ας είναι σύνθετη λειτουργία , όπου η συνάρτηση είναι ένα ενδιάμεσο όρισμα. Ας δείξουμε πώς βρίσκουμε την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης, γνωρίζοντας την παράγωγο για τη συνάρτηση (θα τη συμβολίσουμε με ) και την παράγωγο για τη συνάρτηση .

Θεώρημα 1. Αν μια συνάρτηση έχει παράγωγο σε ένα σημείο Χ, και η συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο (), μετά τη μιγαδική συνάρτηση στο σημείο Χέχει παράγωγο , και = .

Διαφορετικά, η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου της δεδομένης συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα από την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος.

Β) διαφοροποίηση συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά

Ας δοθεί η συνάρτηση σε παραμετρική μορφή, δηλαδή με τη μορφή:

όπου οι συναρτήσεις και είναι καθορισμένες και συνεχείς σε ένα ορισμένο διάστημα της παραμέτρου . Ας βρούμε τα διαφορικά από το δεξί και το αριστερό μέρος καθεμιάς από τις ισότητες:

Για να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο, εκτελούμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:

Γ) την έννοια της λογαριθμικής παραγώγου μιας συνάρτησης

Η λογαριθμική παράγωγος μιας θετικής συνάρτησης ονομάζεται παράγωγος. Αφού, λοιπόν, σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης, λαμβάνουμε την ακόλουθη σχέση για τη λογαριθμική παράγωγο:

.

Χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο, είναι βολικό να υπολογιστεί η συνήθης παράγωγος σε περιπτώσεις όπου ο λογάριθμος απλοποιεί τη μορφή της συνάρτησης.

Η ουσία μιας τέτοιας διαφοροποίησης είναι η εξής: πρώτα, βρίσκεται ο λογάριθμος της δεδομένης συνάρτησης και μόνο τότε υπολογίζεται η παράγωγος από αυτήν. Ας δοθεί κάποια συνάρτηση. Παίρνουμε τον λογάριθμο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς αυτής της έκφρασης:

Και μετά, εκφράζοντας την επιθυμητή παράγωγο, έχουμε ως αποτέλεσμα:

Δ) παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης

Αν y=f(x) και x=g(y) είναι ένα ζεύγος αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων και η συνάρτηση y=f(x) έχει παράγωγο f"(x), τότε η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης g"( x)=1/f" (x).

Έτσι, οι παράγωγοι των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων είναι αντίστροφες. Τύπος για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης:

Ε) παράγωγος άρρητης συνάρτησης

Αν η συνάρτηση μιας μεταβλητής περιγράφεται από την εξίσωση y=φά(Χ), όπου η μεταβλητή yβρίσκεται στην αριστερή πλευρά, ενώ η δεξιά πλευρά εξαρτάται μόνο από το όρισμα Χ, τότε λέμε ότι δίνεται η συνάρτηση ρητά. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες συναρτήσεις ορίζονται ρητά:

y=αμαρτία Χ,y=Χ 2+2Χ+5,y=lncos Χ.

Σε πολλές εργασίες, ωστόσο, η συνάρτηση μπορεί να δοθεί σιωπηρά, δηλ. με τη μορφή εξίσωσης

φά(Χ,y)=0.

για να βρείτε την παράγωγο y′( Χ) μιας σιωπηρά καθορισμένης συνάρτησης, δεν χρειάζεται να τη μετατρέψετε σε ρητή μορφή. Για αυτό, γνωρίζοντας την εξίσωση φά(Χ,y)=0, απλώς κάντε τα εξής:

Αρχικά, πρέπει να διαφοροποιήσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε σχέση με τη μεταβλητή Χ, υποθέτοντας ότι yείναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση Χκαι χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η παράγωγος του μηδενός (στη δεξιά πλευρά) θα είναι επίσης ίση με μηδέν.
Σχόλιο: Αν η δεξιά πλευρά είναι μη μηδενική, δηλ. η άρρητη εξίσωση έχει τη μορφή

φά(Χ,y)=σολ(Χ,y),

τότε διαφοροποιούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Λύστε την εξίσωση που προκύπτει ως προς την παράγωγο y′( Χ).

Η έννοια του παραγώγου

Α) ορισμός παραγώγου

Παράγωγος συνάρτησης ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση ενσωμάτωση.

y ΧΧ

Ορισμός παραγώγου

Εξετάστε τη συνάρτηση φά(Χ Χ 0. Στη συνέχεια η συνάρτηση φά(Χ) είναι ένα διαφοροποιήσιμοστο σημείο Χ 0 και αυτή παράγωγοκαθορίζεται από τον τύπο

φά′( Χ 0)=limΔ Χ→0Δ yΔ Χ=limΔ Χ→0φά(Χ 0+Δ Χ)−φά(Χ 0)Δ Χ.

Παράγωγος συνάρτησης- μια από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών, και στη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος, μαζί με το ολοκλήρωμα, κατέχει κεντρική θέση. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Η αντίστροφη πράξη - η επαναφορά μιας συνάρτησης από μια γνωστή παράγωγο - ονομάζεται ενσωμάτωση.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο. Μια εκτίμηση του ρυθμού μεταβολής μπορεί να ληφθεί με τον υπολογισμό του λόγου της μεταβολής της συνάρτησης Δ yστην αντίστοιχη αλλαγή στο όρισμα Δ Χ. Στον ορισμό της παραγώγου, ένας τέτοιος λόγος θεωρείται στο όριο υπό την προϋπόθεση Δ Χ→0. Ας προχωρήσουμε σε μια πιο αυστηρή διατύπωση:

Ορισμός παραγώγου

Εξετάστε τη συνάρτηση φά(Χ), του οποίου ο τομέας περιέχει κάποιο ανοιχτό διάστημα γύρω από το σημείο Χ 0. Στη συνέχεια η συνάρτηση φά(Χ) είναι ένα διαφοροποιήσιμοστο σημείο Χ 0 και αυτή παράγωγοκαθορίζεται από τον τύπο

φά′( Χ 0)=limΔ Χ→0Δ yΔ Χ=limΔ Χ→0φά(Χ 0+Δ Χ)−φά(Χ 0)Δ Χ.

Β) τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου

Η παράγωγος της συνάρτησης που υπολογίζεται για μια δεδομένη τιμή είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα και τη θετική κατεύθυνση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο σημείο με την τετμημένη:

Εάν μια συνάρτηση έχει μια πεπερασμένη παράγωγο σε ένα σημείο, τότε σε μια γειτονιά μπορεί να προσεγγιστεί με μια γραμμική συνάρτηση

Η συνάρτηση ονομάζεται εφαπτομένη στο σημείο Αριθμός.

Δ) πίνακας παραγώγων των απλούστερων στοιχειωδών συναρτήσεων

Def. 1.5.6. Συνημίτονα κατεύθυνσηςδιάνυσμα ένα ας ονομάσουμε τα συνημίτονα εκείνων των γωνιών που σχηματίζει αυτό το διάνυσμα με τα διανύσματα βάσης, αντίστοιχα, Εγώ , ι , κ .

Διάνυσμα συνημίτονα κατεύθυνσης ένα = (Χ, στο, z) βρίσκονται από τους τύπους:

Το άθροισμα των τετραγώνων των συνημιτόνων κατεύθυνσης είναι ίσο με ένα:

Διάνυσμα συνημίτονα κατεύθυνσης ένα είναι οι συντεταγμένες του ορθού του: .

Έστω τα διανύσματα βάσης Εγώ , ι , κ αντλείται από ένα κοινό σημείο Ο. Θα υποθέσουμε ότι τα ορτ ορίζουν τις θετικές κατευθύνσεις των αξόνων Ω, OU, Οζ. συλλογή σημείων Ο (προέλευση) και μια ορθοκανονική βάση Εγώ , ι , κ που ονομάζεται Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα. Ας είναι ΑΛΛΑείναι ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο. Διάνυσμα ένα = ΟΑ= Χ Εγώ + y ι + z κ που ονομάζεται διάνυσμα ακτίναςσημεία ΑΛΛΑ, οι συντεταγμένες αυτού του διανύσματος ( Χ, y, z) ονομάζονται επίσης συντεταγμένες σημείου ΑΛΛΑ(σύμβολο: ΑΛΛΑ(Χ, y, z)). Άξονες συντεταγμένων Ω, OU, Οζονομάζεται επίσης, αντίστοιχα, ο άξονας τετμημένη, άξονας τεταγμένη, άξονας αίτηση.

Αν το διάνυσμα δίνεται από τις συντεταγμένες της αφετηρίας του ΣΤΟ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) και τελικό σημείο ΣΤΟ 2 (Χ 2 , y 2 , z 2), τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι ίσες με τη διαφορά μεταξύ των συντεταγμένων του τέλους και της αρχής: (αφού ).

Καρτεσιανά ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο και στη γραμμήορίζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με αντίστοιχες ποσοτικές (κατά διάσταση) μεταβολές.

Λύση τυπικών εργασιών.

Παράδειγμα 1Να βρείτε το μήκος και τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος ένα = 6Εγώ – 2ι -3κ .

Απόφαση.Μήκος διανύσματος: . Συνημίτονα κατεύθυνσης: .

Παράδειγμα 2Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες ένα , σχηματίζοντας ίσες οξείες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων, εάν το μήκος αυτού του διανύσματος είναι ίσο με .

Απόφαση.Αφού το , στη συνέχεια αντικαθιστώντας τον τύπο (1.6), λαμβάνουμε . Διάνυσμα ένα σχηματίζει έντονες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων, άρα ο ορθ . Επομένως, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος .

Παράδειγμα 3Δίνονται τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα μι 1 = 2Εγώ – κ , μι 2 = 3Εγώ + 3ι , μι 3 = 2Εγώ + 3κ . Διάνυσμα αποσύνθεσης ρε = Εγώ + 5ι - 2κ βάση μι 1 , μι 2 , μι 3 .