Τι είναι οι γραμμικές εξισώσεις. Πώς να λύσετε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή; Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Gauss

Μια γραμμική εξίσωση με αγνώστους x 1, x 2, ..., x n είναι μια εξίσωση της μορφής

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

οι αριθμοί a και a 2 , a 2 , ..., a n λέγονται συντελεστές των αγνώστων, ο αριθμός b είναι ελεύθερο μέλος της εξίσωσης.

Γραμμικές εξισώσεις με ένα άγνωστο είχαν ήδη λυθεί στην Αρχαία Βαβυλώνα και την Αίγυπτο πριν από περισσότερα από 4 χιλιάδες χρόνια. Ας αναφέρουμε, για παράδειγμα, ένα πρόβλημα από τον πάπυρο Rhinda (ονομάζεται επίσης πάπυρος Ahmes) που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο και χρονολογείται από την περίοδο 2000–1700. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε .: "Βρες έναν αριθμό αν είναι γνωστό ότι προσθέτοντας τα 2/3 του και αφαιρώντας από το άθροισμα του τρίτου του που προκύπτει, προκύπτει ο αριθμός 10." Η λύση αυτού του προβλήματος ανάγεται στη λύση της γραμμικής εξίσωσης

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, από όπου x = 9.

Ας αναφέρουμε επίσης το πρόβλημα του Μητρόδωρου, για τη ζωή του οποίου τίποτα δεν είναι γνωστό, εκτός από το ότι είναι ο συγγραφέας ενδιαφερόντων προβλημάτων που συντέθηκαν σε στίχους.

Εδώ είναι θαμμένος ο Διόφαντος και η ταφόπλακα
Με επιδέξια μέτρηση, θα μας πει
Πόσο καιρό ήταν η ηλικία του.
Με την εντολή του Θεού, ήταν αγόρι το έκτο της ζωής του.
Στο δωδέκατο μέρος, μετά πέρασε τα λαμπερά του νιάτα.
Ας προσθέσουμε ένα έβδομο μέρος της ζωής - μπροστά μας είναι η εστία του Hymen.
Πέρασαν πέντε χρόνια. και ο Hymen του έστειλε ένα γιο.
Αλλά αλίμονο στο παιδί! Μετά βίας έζησε τα μισά
Εκείνα τα χρόνια που ο πατέρας, ως ο άτυχος πέθανε.
Επί τέσσερα χρόνια ο Διόφαντος υπέφερε από την απώλεια ενός τέτοιου
Και πέθανε, έχοντας ζήσει για την επιστήμη. Πες μου,
Πόσο χρονών δέχτηκε τον θάνατο ο Διόφαντος όταν έφτασε;

Επίλυση γραμμικής εξίσωσης

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

διαπιστώνουμε ότι x = 84 - τόσα χρόνια έζησε ο Διόφαντος.

Ο ίδιος ο Διόφαντος έδωσε μεγάλη προσοχή στις αόριστες εξισώσεις (οι λεγόμενες αλγεβρικές εξισώσεις ή συστήματα τέτοιων εξισώσεων με δύο ή περισσότερους αγνώστους με ακέραιους συντελεστές, για τις οποίες αναζητούνται ακέραιοι ή ορθολογικές λύσεις· ο αριθμός των αγνώστων πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων ). Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται Διοφαντικές εξισώσεις. Είναι αλήθεια ότι ο Διόφαντος, που έζησε στο γύρισμα του 2ου-3ου αιώνα, ασχολήθηκε κυρίως με αόριστες εξισώσεις ανώτερων βαθμών.

Ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, καθεμία από τις οποίες έχει τη μορφή (1), ονομάζεται γραμμικό σύστημα. Οι συντελεστές των εξισώσεων που περιλαμβάνονται στο σύστημα αριθμούνται συνήθως με δύο δείκτες, ο πρώτος από τους οποίους είναι ο αριθμός της εξίσωσης και ο δεύτερος (όπως στο (1)) είναι ο αριθμός του αγνώστου. Για παράδειγμα, ένα σύστημα m εξισώσεων με n αγνώστους γράφεται ως

$\ αριστερά. \begin(ευθυγραμμισμένο) ((a)_(11))((x)_(1))+(a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+(a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))(x) _(n))=((β)_(μ)). \\ \end(στοίχιση) \δεξιά\)(2)$

Θεωρήστε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους:

$\ αριστερά. \begin(ευθυγραμμισμένο) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1 )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((β)_(2 )), \\ \end(στοίχιση) \δεξιά\)(3)$

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση του συστήματος (3) με ένα 22 και αφαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση από την εξίσωση που προκύπτει, πολλαπλασιαζόμενη με ένα 12. Ομοίως, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (3) με ένα 11 και αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί 21 από την εξίσωση που προκύπτει. Μετά από αυτό, το σύστημα θα αποδειχθεί:

$\ αριστερά. \αρχή(ευθυγραμμισμένη) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(aligned) \right\)(4)$

$\ αριστερά. \αρχή(ευθυγραμμισμένο) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(στοίχιση) \δεξιά\)(4)$

που είναι συνέπεια του συστήματος (3). Το σύστημα (4) μπορεί να γραφτεί ως

$\ αριστερά. \αρχή(ευθυγραμμισμένη) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(στοίχιση) \δεξιά\)(5)$

όπου Δ είναι η ορίζουσα ενός πίνακα που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος (βλ. Ορίζουσα), Δ i είναι οι ορίζουσες των πινάκων που λαμβάνονται από τον προηγούμενο αντικαθιστώντας την i-η στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων, i = 1, 2. Επιπλέον, αν Δ ≠ 0, τότε το σύστημα (5) έχει μια μοναδική λύση:

x 1 = ∆ 1 / ∆, x 2 = ∆ 2 / ∆.

Επαληθεύεται με άμεση αντικατάσταση ότι αυτό το ζεύγος αριθμών είναι επίσης λύση στο σύστημα (3). Ο ίδιος κανόνας χρησιμοποιείται για την εύρεση λύσης σε ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους: εάν η ορίζουσα του συστήματος Δ είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, και

x i = ∆i /∆

όπου Δ i είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον πίνακα που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος αντικαθιστώντας την i-η στήλη σε αυτόν με μια στήλη ελεύθερων μελών. Ο περιγραφόμενος κανόνας για την επίλυση γραμμικών συστημάτων ονομάζεται κανόνας του Cramer. (G. Kramer - Ελβετός μαθηματικός, 1704–1752).

Αν ∆ = 0, τότε και το ∆ 1 και το ∆ 2 πρέπει να εξαφανιστούν (διαφορετικά (5), και πολύ περισσότερο το (3) δεν έχει λύσεις). Υπό την συνθήκη ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, αν οι αντίστοιχοι συντελεστές στους αγνώστους και οι ελεύθεροι όροι της εξίσωσης του συστήµατος (3) είναι ανάλογοι, τότε το σύστηµα θα έχει άπειρες λύσεις. εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές στους αγνώστους είναι μη μηδενικός (για παράδειγμα, εάν a 12 ≠ 0), τότε το x 1 μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε, τότε

x 2 \u003d b 1 / a 12 - a 11 x 1 / a 12

Μένει να αναλύσουμε την περίπτωση όταν το σύστημα έχει τη μορφή

$\ αριστερά. \αρχή(ευθυγραμμισμένη) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(στοίχιση) \δεξιά\)$

για το οποίο η απάντηση είναι προφανής: αν b 1 = b 2 = 0, τότε η λύση είναι οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών, διαφορετικά δεν υπάρχουν λύσεις.

Στη γενική περίπτωση, για ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους για Δ ≠ 0, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία, όπως ήδη αναφέρθηκε, μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer. Αν Δ = 0 και τουλάχιστον μία από τις ορίζουσες Δ i είναι διαφορετική από το μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές (δηλαδή, δεν έχει λύσεις). Στην περίπτωση που ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, το σύστηµα µπορεί είτε να είναι ασυνεπές είτε να έχει άπειρες λύσεις. Είναι αρκετά δύσκολο να διαπιστωθεί ποια από αυτές τις δύο περιπτώσεις πραγματοποιείται με τη βοήθεια καθοριστικών παραγόντων και δεν θα ασχοληθούμε με αυτό. Στην πράξη, για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, συνήθως δεν χρησιμοποιείται ο κανόνας του Cramer. Τις περισσότερες φορές, η μέθοδος Gauss χρησιμοποιείται για αυτούς τους σκοπούς (βλ. Άγνωστη εξαίρεση).

Όπως γνωρίζετε, η γραμμική εξίσωση a 1 x 1 + a 2 x 2 \u003d b ορίζει μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο (x 1; x 2) στην περίπτωση που τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές a 1 και a 2 είναι μη μηδενικός . Αν πάρουμε δύο ευθείες στο επίπεδο, τότε είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις (βλ. σχήμα): 1) οι ευθείες είναι παράλληλες και δεν έχουν κοινά σημεία και τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις. 2) οι γραμμές τέμνονται και τότε το σύστημα έχει μία λύση. 3) οι γραμμές συμπίπτουν και τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Αλλά δύο "τυχαία" λαμβανόμενες ευθείες "κατά κανόνα" θα τέμνονται, δηλαδή, κατά κανόνα, ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές θα έχει μία λύση. Οποιοδήποτε σημείο κάποιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο αντιστοιχεί στη λύση του «συστήματος» (που αποτελείται από μία εξίσωση), δηλαδή, κατά κανόνα, λαμβάνει χώρα η περίπτωση 3 (η περίπτωση 2 είναι αδύνατη και η περίπτωση 1 πραγματοποιείται αν πάρουμε το εξίσωση 0 x 1 + 0 x 2 = b, όπου b ≠ 0, που δεν ορίζει ευθεία γραμμή στο επίπεδο). Εάν πάρουμε 3 ή περισσότερες γραμμές στο επίπεδο, τότε, γενικά μιλώντας, μπορούν όλες να συμπίπτουν ή να περάσουν από ένα σημείο, αλλά, κατά κανόνα, λαμβάνει χώρα η πρώτη περίπτωση - οι γραμμές δεν έχουν κοινό σημείο.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται ευρέως στην οικονομική βιομηχανία στη μαθηματική μοντελοποίηση διαφόρων διαδικασιών. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση προβλημάτων διαχείρισης και προγραμματισμού παραγωγής, διαδρομών logistics (πρόβλημα μεταφοράς) ή τοποθέτησης εξοπλισμού.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στον τομέα των μαθηματικών, αλλά και στη φυσική, τη χημεία και τη βιολογία, κατά την επίλυση προβλημάτων εύρεσης του μεγέθους του πληθυσμού.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένας όρος για δύο ή περισσότερες εξισώσεις με πολλές μεταβλητές για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθεί μια κοινή λύση. Μια τέτοια ακολουθία αριθμών για την οποία όλες οι εξισώσεις γίνονται αληθινές ισότητες ή αποδεικνύουν ότι η ακολουθία δεν υπάρχει.

Γραμμική εξίσωση

Οι εξισώσεις της μορφής ax+by=c ονομάζονται γραμμικές. Οι χαρακτηρισμοί x, y είναι οι άγνωστοι, η τιμή των οποίων πρέπει να βρεθεί, b, a είναι οι συντελεστές των μεταβλητών, c είναι ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης.
Η επίλυση της εξίσωσης σχεδιάζοντας τη γραφική της παράσταση θα μοιάζει με ευθεία γραμμή, της οποίας όλα τα σημεία είναι η λύση του πολυωνύμου.

Είδη συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Τα πιο απλά είναι παραδείγματα συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές X και Y.

F1(x, y) = 0 και F2(x, y) = 0, όπου F1,2 είναι συναρτήσεις και (x, y) είναι μεταβλητές συνάρτησης.

Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων - σημαίνει να βρούμε τέτοιες τιμές (x, y) για τις οποίες το σύστημα γίνεται αληθινή ισότητα ή να διαπιστωθεί ότι δεν υπάρχουν κατάλληλες τιμές των x και y.

Ένα ζεύγος τιμών (x, y), γραμμένο ως συντεταγμένες σημείου, ονομάζεται λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Εάν τα συστήματα έχουν μία κοινή λύση ή δεν υπάρχει λύση, ονομάζονται ισοδύναμα.

Ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι συστήματα των οποίων η δεξιά πλευρά είναι ίση με μηδέν. Αν το δεξί μέρος μετά το πρόσημο "ίσο" έχει τιμή ή εκφράζεται με συνάρτηση, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ομοιογενές.

Ο αριθμός των μεταβλητών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερος από δύο, τότε θα πρέπει να μιλήσουμε για ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές.

Αντιμέτωποι με συστήματα, οι μαθητές υποθέτουν ότι ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει απαραίτητα να συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, αλλά αυτό δεν είναι έτσι. Ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα δεν εξαρτάται από τις μεταβλητές, μπορεί να υπάρχει ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός από αυτές.

Απλές και σύνθετες μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων

Δεν υπάρχει γενικός αναλυτικός τρόπος επίλυσης τέτοιων συστημάτων, όλες οι μέθοδοι βασίζονται σε αριθμητικές λύσεις. Το μάθημα των σχολικών μαθηματικών περιγράφει λεπτομερώς μεθόδους όπως η μετάθεση, η αλγεβρική πρόσθεση, η αντικατάσταση, καθώς και η μέθοδος γραφικής και μήτρας, η λύση με τη μέθοδο Gauss.

Το κύριο καθήκον στις μεθόδους διδασκαλίας επίλυσης είναι να διδάξουν πώς να αναλύουν σωστά το σύστημα και να βρίσκουν τον βέλτιστο αλγόριθμο λύσης για κάθε παράδειγμα. Το κύριο πράγμα δεν είναι να απομνημονεύσετε ένα σύστημα κανόνων και ενεργειών για κάθε μέθοδο, αλλά να κατανοήσετε τις αρχές της εφαρμογής μιας συγκεκριμένης μεθόδου.

Η λύση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων της 7ης τάξης του σχολικού προγράμματος γενικής εκπαίδευσης είναι αρκετά απλή και επεξηγείται με μεγάλη λεπτομέρεια. Σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο για τα μαθηματικά, δίνεται αρκετή προσοχή σε αυτό το τμήμα. Η επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των Gauss και Cramer μελετάται λεπτομερέστερα στα πρώτα μαθήματα των ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο υποκατάστασης

Οι ενέργειες της μεθόδου αντικατάστασης στοχεύουν στην έκφραση της τιμής μιας μεταβλητής μέσω της δεύτερης. Η έκφραση αντικαθίσταται στην υπόλοιπη εξίσωση και στη συνέχεια ανάγεται σε μια ενιαία μεταβλητή μορφή. Η ενέργεια επαναλαμβάνεται ανάλογα με τον αριθμό των αγνώστων στο σύστημα

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων της 7ης τάξης με τη μέθοδο της αντικατάστασης:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η μεταβλητή x εκφράστηκε μέσω F(X) = 7 + Y. Η προκύπτουσα έκφραση, που αντικαταστάθηκε στη 2η εξίσωση του συστήματος στη θέση του X, βοήθησε να ληφθεί μία μεταβλητή Y στη 2η εξίσωση . Η λύση αυτού του παραδείγματος δεν προκαλεί δυσκολίες και σας επιτρέπει να λάβετε την τιμή Y. Το τελευταίο βήμα είναι να ελέγξετε τις λαμβανόμενες τιμές.

Δεν είναι πάντα δυνατό να λυθεί ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αντικατάσταση. Οι εξισώσεις μπορεί να είναι σύνθετες και η έκφραση της μεταβλητής ως προς το δεύτερο άγνωστο θα είναι πολύ επαχθής για περαιτέρω υπολογισμούς. Όταν υπάρχουν περισσότερα από 3 άγνωστα στο σύστημα, η λύση αντικατάστασης είναι επίσης μη πρακτική.

Λύση παραδείγματος συστήματος γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων:

Λύση με αλγεβρική πρόσθεση

Κατά την αναζήτηση μιας λύσης σε συστήματα με τη μέθοδο της πρόσθεσης, εκτελούνται προσθήκη όρου προς όρο και πολλαπλασιασμός των εξισώσεων με διάφορους αριθμούς. Ο απώτερος στόχος των μαθηματικών πράξεων είναι μια εξίσωση με μία μεταβλητή.

Οι εφαρμογές αυτής της μεθόδου απαιτούν εξάσκηση και παρατήρηση. Δεν είναι εύκολο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης με τον αριθμό των μεταβλητών 3 ή περισσότερες. Η αλγεβρική πρόσθεση είναι χρήσιμη όταν οι εξισώσεις περιέχουν κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς.

Αλγόριθμος δράσης λύσης:

1. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με κάποιο αριθμό. Ως αποτέλεσμα της αριθμητικής πράξης, ένας από τους συντελεστές της μεταβλητής πρέπει να γίνει ίσος με 1.
2. Προσθέστε την προκύπτουσα έκφραση όρο προς όρο και βρείτε ένα από τα άγνωστα.
3. Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στη 2η εξίσωση του συστήματος για να βρείτε την υπόλοιπη μεταβλητή.

Μέθοδος επίλυσης με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής

Μια νέα μεταβλητή μπορεί να εισαχθεί εάν το σύστημα χρειάζεται να βρει μια λύση για όχι περισσότερες από δύο εξισώσεις, ο αριθμός των αγνώστων δεν πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερος από δύο.

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει μία από τις εξισώσεις εισάγοντας μια νέα μεταβλητή. Η νέα εξίσωση λύνεται σε σχέση με το εισαγόμενο άγνωστο και η τιμή που προκύπτει χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της αρχικής μεταβλητής.

Μπορεί να φανεί από το παράδειγμα ότι με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής t, ήταν δυνατό να αναχθεί η 1η εξίσωση του συστήματος σε ένα τυπικό τετράγωνο τριώνυμο. Μπορείτε να λύσετε ένα πολυώνυμο βρίσκοντας το διαχωριστικό.

Είναι απαραίτητο να βρούμε την τιμή του διαχωριστή χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο: D = b2 - 4*a*c, όπου D είναι η επιθυμητή διάκριση, b, a, c είναι οι πολλαπλασιαστές του πολυωνύμου. Στο δεδομένο παράδειγμα, a=1, b=16, c=39, άρα D=100. Εάν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε υπάρχουν δύο λύσεις: t = -b±√D / 2*a, εάν η διάκριση είναι μικρότερη από μηδέν, τότε υπάρχει μόνο μία λύση: x= -b / 2*a.

Η λύση για τα συστήματα που προκύπτουν βρίσκεται με τη μέθοδο της προσθήκης.

Μια οπτική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων

Κατάλληλο για συστήματα με 3 εξισώσεις. Η μέθοδος συνίσταται στην γραφική παράσταση κάθε εξίσωσης που περιλαμβάνεται στο σύστημα στον άξονα συντεταγμένων. Οι συντεταγμένες των σημείων τομής των καμπυλών θα είναι η γενική λύση του συστήματος.

Η γραφική μέθοδος έχει μια σειρά από αποχρώσεις. Εξετάστε διάφορα παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με οπτικό τρόπο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, κατασκευάστηκαν δύο σημεία για κάθε γραμμή, οι τιμές της μεταβλητής x επιλέχθηκαν αυθαίρετα: 0 και 3. Με βάση τις τιμές του x, βρέθηκαν οι τιμές για το y: 3 και 0. Σημεία με συντεταγμένες (0, 3) και (3, 0) σημειώθηκαν στο γράφημα και συνδέθηκαν με μια γραμμή.

Τα βήματα πρέπει να επαναληφθούν για τη δεύτερη εξίσωση. Το σημείο τομής των ευθειών είναι η λύση του συστήματος.

Στο παρακάτω παράδειγμα, απαιτείται να βρεθεί μια γραφική λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: 0,5x-y+2=0 και 0,5x-y-1=0.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το σύστημα δεν έχει λύση, γιατί οι γραφικές παραστάσεις είναι παράλληλες και δεν τέμνονται σε όλο τους το μήκος.

Τα συστήματα από τα Παραδείγματα 2 και 3 είναι παρόμοια, αλλά όταν κατασκευάζονται, γίνεται προφανές ότι οι λύσεις τους είναι διαφορετικές. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν είναι πάντα δυνατό να πούμε εάν το σύστημα έχει λύση ή όχι, είναι πάντα απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα γράφημα.

Το Matrix και οι ποικιλίες του

Οι πίνακες χρησιμοποιούνται για τη σύντομη εγγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Ο πίνακας είναι ένας ειδικός τύπος πίνακα γεμάτο με αριθμούς. Το n*m έχει n - γραμμές και m - στήλες.

Ένας πίνακας είναι τετράγωνος όταν ο αριθμός των στηλών και των γραμμών είναι ίσος. Ένας πίνακας-διάνυσμα είναι ένας πίνακας μονής στήλης με έναν απεριόριστο δυνατό αριθμό σειρών. Ένας πίνακας με μονάδες κατά μήκος μιας από τις διαγωνίους και άλλα μηδενικά στοιχεία ονομάζεται ταυτότητα.

Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας τέτοιος πίνακας, όταν πολλαπλασιαστεί με τον οποίο ο αρχικός μετατρέπεται σε μονάδα, ένας τέτοιος πίνακας υπάρχει μόνο για τον αρχικό τετράγωνο.

Κανόνες μετατροπής συστήματος εξισώσεων σε πίνακα

Όσον αφορά τα συστήματα εξισώσεων, οι συντελεστές και τα ελεύθερα μέλη των εξισώσεων γράφονται ως αριθμοί του πίνακα, μια εξίσωση είναι μια σειρά του πίνακα.

Μια γραμμή πίνακα ονομάζεται μη μηδενική εάν τουλάχιστον ένα στοιχείο της γραμμής δεν είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, εάν σε κάποια από τις εξισώσεις ο αριθμός των μεταβλητών διαφέρει, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγετε μηδέν στη θέση του αγνώστου που λείπει.

Οι στήλες του πίνακα πρέπει να αντιστοιχούν αυστηρά στις μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές της μεταβλητής x μπορούν να γραφτούν μόνο σε μία στήλη, για παράδειγμα η πρώτη, ο συντελεστής του αγνώστου y - μόνο στη δεύτερη.

Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα, όλα τα στοιχεία του πίνακα πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με έναν αριθμό.

Επιλογές για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Ο τύπος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα είναι αρκετά απλός: K -1 = 1 / |K|, όπου K -1 είναι ο αντίστροφος πίνακας και |K| - ορίζουσα μήτρας. |Κ| δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια λύση.

Η ορίζουσα υπολογίζεται εύκολα για έναν πίνακα δύο προς δύο, είναι απαραίτητο μόνο να πολλαπλασιαστούν τα στοιχεία διαγώνια μεταξύ τους. Για την επιλογή "τρία επί τρία", υπάρχει ένας τύπος |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο ή μπορείτε να θυμηθείτε ότι πρέπει να πάρετε ένα στοιχείο από κάθε γραμμή και κάθε στήλη, έτσι ώστε οι αριθμοί στηλών και σειρών των στοιχείων να μην επαναλαμβάνονται στο γινόμενο.

Επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Η μέθοδος μήτρας για την εύρεση λύσης καθιστά δυνατή τη μείωση των δυσκίνητων εγγραφών κατά την επίλυση συστημάτων με μεγάλο αριθμό μεταβλητών και εξισώσεων.

Στο παράδειγμα, a nm είναι οι συντελεστές των εξισώσεων, ο πίνακας είναι διάνυσμα x n είναι οι μεταβλητές και b n είναι οι ελεύθεροι όροι.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Gauss

Στα ανώτερα μαθηματικά, η μέθοδος Gauss μελετάται μαζί με τη μέθοδο Cramer και η διαδικασία εύρεσης λύσης σε συστήματα ονομάζεται μέθοδος λύσης Gauss-Cramer. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση των μεταβλητών συστημάτων με μεγάλο αριθμό γραμμικών εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss είναι πολύ παρόμοια με τις λύσεις αντικατάστασης και αλγεβρικής προσθήκης, αλλά είναι πιο συστηματική. Στο σχολικό μάθημα, η λύση Gauss χρησιμοποιείται για συστήματα 3 και 4 εξισώσεων. Ο σκοπός της μεθόδου είναι να φέρει το σύστημα στη μορφή ενός ανεστραμμένου τραπεζοειδούς. Με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και αντικαταστάσεις, η τιμή μιας μεταβλητής βρίσκεται σε μια από τις εξισώσεις του συστήματος. Η δεύτερη εξίσωση είναι μια έκφραση με 2 άγνωστα, και 3 και 4 - με 3 και 4 μεταβλητές, αντίστοιχα.

Αφού φέρει το σύστημα στην περιγραφόμενη μορφή, η περαιτέρω λύση ανάγεται στη διαδοχική αντικατάσταση γνωστών μεταβλητών στις εξισώσεις του συστήματος.

Στα σχολικά εγχειρίδια για την 7η τάξη, ένα παράδειγμα μιας λύσης Gauss περιγράφεται ως εξής:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, στο βήμα (3) προέκυψαν δύο εξισώσεις 3x 3 -2x 4 =11 και 3x 3 +2x 4 =7. Η λύση οποιασδήποτε από τις εξισώσεις θα σας επιτρέψει να βρείτε μία από τις μεταβλητές x n.

Το θεώρημα 5, το οποίο αναφέρεται στο κείμενο, λέει ότι εάν μια από τις εξισώσεις του συστήματος αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη, τότε το σύστημα που προκύπτει θα είναι επίσης ισοδύναμο με το αρχικό.

Η μέθοδος Gaussian είναι δύσκολο να κατανοηθεί από τους μαθητές γυμνασίου, αλλά είναι ένας από τους πιο ενδιαφέροντες τρόπους για να αναπτύξουν την εφευρετικότητα των παιδιών που σπουδάζουν στο προχωρημένο πρόγραμμα σπουδών στα μαθήματα μαθηματικών και φυσικής.

Για ευκολία καταγραφής των υπολογισμών, συνηθίζεται να κάνετε τα εξής:

Οι συντελεστές εξισώσεων και οι ελεύθεροι όροι γράφονται με τη μορφή πίνακα, όπου κάθε σειρά του πίνακα αντιστοιχεί σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. χωρίζει την αριστερή πλευρά της εξίσωσης από τη δεξιά πλευρά. Οι λατινικοί αριθμοί δηλώνουν τους αριθμούς των εξισώσεων στο σύστημα.

Πρώτα, γράφουν τη μήτρα με την οποία θα εργαστούν και μετά όλες τις ενέργειες που πραγματοποιήθηκαν με μία από τις σειρές. Ο προκύπτων πίνακας γράφεται μετά το σύμβολο "βέλος" και συνεχίζει να εκτελεί τις απαραίτητες αλγεβρικές πράξεις μέχρι να επιτευχθεί το αποτέλεσμα.

Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να ληφθεί ένας πίνακας στον οποίο μία από τις διαγώνιες είναι 1 και όλοι οι άλλοι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή ο πίνακας μειώνεται σε μια ενιαία μορφή. Δεν πρέπει να ξεχνάμε να κάνουμε υπολογισμούς με τους αριθμούς και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

Αυτή η σημείωση είναι λιγότερο επαχθής και σας επιτρέπει να μην αποσπάτε την προσοχή αναφέροντας πολλά άγνωστα.

Η δωρεάν εφαρμογή οποιασδήποτε μεθόδου λύσης θα απαιτήσει προσοχή και ορισμένο βαθμό εμπειρίας. Δεν εφαρμόζονται όλες οι μέθοδοι. Ορισμένοι τρόποι εύρεσης λύσεων είναι πιο προτιμότεροι σε έναν συγκεκριμένο τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας, ενώ άλλοι υπάρχουν για σκοπούς μάθησης.

Μια γραμμική εξίσωση είναι μια αλγεβρική εξίσωση της οποίας ο πλήρης βαθμός πολυωνύμων είναι ίσος με ένα. Η επίλυση γραμμικών εξισώσεων είναι μέρος του σχολικού προγράμματος, και όχι το πιο δύσκολο. Ωστόσο, ορισμένοι εξακολουθούν να αντιμετωπίζουν δυσκολίες στο πέρασμα αυτού του θέματος. Ελπίζουμε ότι μετά την ανάγνωση αυτού του υλικού, όλες οι δυσκολίες για εσάς θα παραμείνουν στο παρελθόν. Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις.

Γενική μορφή

Η γραμμική εξίσωση παριστάνεται ως:

• ax + b = 0, όπου a και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.

Παρόλο που το a και το b μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός, οι τιμές τους επηρεάζουν τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης. Υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις λύσης:

• Αν a=b=0, η εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
• Αν a=0, b≠0, η εξίσωση δεν έχει λύση.
• Αν a≠0, b=0, η εξίσωση έχει λύση: x = 0.

Στην περίπτωση που και οι δύο αριθμοί έχουν μη μηδενικές τιμές, η εξίσωση πρέπει να λυθεί για να εξαχθεί η τελική έκφραση για τη μεταβλητή.

Πώς να αποφασίσετε;

Η επίλυση μιας γραμμικής εξίσωσης σημαίνει να βρείτε με τι ισούται μια μεταβλητή. Πως να το κάνεις? Ναι, είναι πολύ απλό - χρησιμοποιώντας απλές αλγεβρικές πράξεις και ακολουθώντας τους κανόνες μεταφοράς. Εάν η εξίσωση εμφανίστηκε μπροστά σας σε γενική μορφή, είστε τυχεροί, το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι:

1. Μετακινήστε το b στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, χωρίς να ξεχάσετε να αλλάξετε το πρόσημο (κανόνας μεταφοράς!), Έτσι, από μια έκφραση της μορφής ax + b = 0, θα πρέπει να ληφθεί μια έκφραση της μορφής ax = -b.
2. Εφαρμόστε τον κανόνα: για να βρείτε έναν από τους παράγοντες (x - στην περίπτωσή μας), πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο (-b στην περίπτωσή μας) με έναν άλλο παράγοντα (a - στην περίπτωσή μας). Έτσι, θα πρέπει να ληφθεί μια έκφραση της φόρμας: x \u003d -b / a.

Αυτό είναι όλο - η λύση βρέθηκε!

Ας δούμε τώρα ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

1. 2x + 4 = 0 - μετακινήστε το b, που σε αυτή την περίπτωση είναι 4, προς τα δεξιά
2. 2x = -4 - διαιρέστε το b με το a (μην ξεχνάτε το σύμβολο μείον)
3. x=-4/2=-2

Αυτό είναι όλο! Η λύση μας: x = -2.

Όπως μπορείτε να δείτε, η εύρεση λύσης σε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή είναι αρκετά απλή, αλλά όλα είναι τόσο απλά αν έχουμε την τύχη να συναντήσουμε την εξίσωση σε μια γενική μορφή. Στις περισσότερες περιπτώσεις, πριν λύσετε την εξίσωση στα δύο βήματα που περιγράφηκαν παραπάνω, είναι επίσης απαραίτητο να φέρετε την υπάρχουσα έκφραση σε μια γενική μορφή. Ωστόσο, αυτό δεν είναι επίσης ένα δύσκολο έργο. Ας δούμε μερικές ειδικές περιπτώσεις με παραδείγματα.

Επίλυση ειδικών περιπτώσεων

Αρχικά, ας ρίξουμε μια ματιά στις περιπτώσεις που περιγράψαμε στην αρχή του άρθρου και ας εξηγήσουμε τι σημαίνει να έχεις άπειρο αριθμό λύσεων και καμία λύση.

• Αν a=b=0, η εξίσωση θα μοιάζει με: 0x + 0 = 0. Εκτελώντας το πρώτο βήμα, παίρνουμε: 0x = 0. Τι σημαίνει αυτή η ανοησία, αναφωνείς! Άλλωστε, όποιον αριθμό και να πολλαπλασιάσετε με το μηδέν, πάντα θα παίρνετε μηδέν! Σωστά! Επομένως, λένε ότι η εξίσωση έχει άπειρο αριθμό λύσεων - όποιον αριθμό κι αν πάρετε, η ισότητα θα είναι αληθινή, 0x \u003d 0 ή 0 \u003d 0.
• Αν a=0, b≠0, η εξίσωση θα μοιάζει με: 0x + 3 = 0. Εκτελούμε το πρώτο βήμα, παίρνουμε 0x = -3. Πάλι ανοησίες! Είναι προφανές ότι αυτή η ισότητα δεν θα είναι ποτέ αληθινή! Γι' αυτό λένε ότι η εξίσωση δεν έχει λύσεις.
• Αν a≠0, b=0, η εξίσωση θα μοιάζει με: 3x + 0 = 0. Κάνοντας το πρώτο βήμα, παίρνουμε: 3x = 0. Ποια είναι η λύση; Είναι εύκολο, x = 0.

Δυσκολίες στη μετάφραση

Οι περιγραφόμενες συγκεκριμένες περιπτώσεις δεν είναι όλες με τις οποίες μπορούν να μας εκπλήξουν οι γραμμικές εξισώσεις. Μερικές φορές η εξίσωση είναι γενικά δύσκολο να προσδιοριστεί με την πρώτη ματιά. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα:

• 12x - 14 = 2x + 6

Είναι αυτή μια γραμμική εξίσωση; Τι γίνεται όμως με το μηδέν στη δεξιά πλευρά; Δεν θα βιαστούμε να βγάλουμε συμπεράσματα, θα δράσουμε - θα μεταφέρουμε όλα τα συστατικά της εξίσωσής μας στην αριστερή πλευρά. Παίρνουμε:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Τώρα αφαιρώντας το like από το like, παίρνουμε:

• 10x - 20 = 0

Εμαθα? Η πιο γραμμική εξίσωση όλων των εποχών! Τίνος η λύση: x = 20/10 = 2.

Τι γίνεται αν έχουμε αυτό το παράδειγμα:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ναι, αυτή είναι επίσης μια γραμμική εξίσωση, μόνο που πρέπει να γίνουν περισσότεροι μετασχηματισμοί. Ας επεκτείνουμε πρώτα τις αγκύλες:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - τώρα εκτελέστε τη μεταφορά:
4. 25x - 4 = 0 - απομένει να βρεθεί μια λύση σύμφωνα με το ήδη γνωστό σχήμα:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα έχουν λυθεί, το κύριο πράγμα δεν είναι να ανησυχείτε, αλλά να ενεργήσετε. Θυμηθείτε, εάν η εξίσωσή σας περιέχει μόνο μεταβλητές πρώτου βαθμού και αριθμούς, αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση, η οποία, ανεξάρτητα από το πώς φαίνεται αρχικά, μπορεί να αναχθεί σε μια γενική μορφή και να λυθεί. Ελπίζουμε ότι όλα θα πάνε καλά για εσάς! Καλή τύχη!

ή προφορικά - σε τρεις φίλους δόθηκαν μήλα ο καθένας, με βάση το γεγονός ότι η Βάσια έχει όλα τα μήλα.

Και τώρα το αποφάσισες γραμμική εξίσωση
Τώρα ας δώσουμε σε αυτόν τον όρο έναν μαθηματικό ορισμό.

Γραμμική εξίσωση - είναι μια αλγεβρική εξίσωση της οποίας ο συνολικός βαθμός των πολυωνύμων που την αποτελούν είναι. Μοιάζει με αυτό:

Πού και είναι τυχόν αριθμοί και

Για την περίπτωσή μας με τη Βάσια και τα μήλα, θα γράψουμε:

- "Αν ο Βάσια δώσει και στους τρεις φίλους τον ίδιο αριθμό μήλων, δεν θα του μείνουν μήλα"

«Κρυμμένες» γραμμικές εξισώσεις ή η σημασία των πανομοιότυπων μετασχηματισμών

Παρά το γεγονός ότι με την πρώτη ματιά όλα είναι εξαιρετικά απλά, όταν λύνετε εξισώσεις, πρέπει να είστε προσεκτικοί, γιατί γραμμικές εξισώσεις ονομάζονται όχι μόνο εξισώσεις της φόρμας, αλλά και οποιεσδήποτε εξισώσεις μειώνονται σε αυτή τη μορφή με μετασχηματισμούς και απλοποιήσεις. Για παράδειγμα:

Βλέπουμε ότι βρίσκεται στα δεξιά, κάτι που, θεωρητικά, δείχνει ήδη ότι η εξίσωση δεν είναι γραμμική. Επιπλέον, αν ανοίξουμε τις αγκύλες, θα έχουμε δύο ακόμη όρους στους οποίους θα είναι, αλλά μην βιαστείτε να βγάλετε συμπεράσματα! Πριν κρίνουμε αν η εξίσωση είναι γραμμική, είναι απαραίτητο να γίνουν όλοι οι μετασχηματισμοί και έτσι να απλοποιηθεί το αρχικό παράδειγμα. Σε αυτή την περίπτωση, οι μετασχηματισμοί μπορούν να αλλάξουν την εμφάνιση, αλλά όχι την ίδια την ουσία της εξίσωσης.

Με άλλα λόγια, αυτοί οι μετασχηματισμοί πρέπει να είναι πανομοιότυποή ισοδύναμος. Υπάρχουν μόνο δύο τέτοιοι μετασχηματισμοί, αλλά παίζουν πολύ, ΠΟΛΥ σημαντικό ρόλο στην επίλυση προβλημάτων. Ας εξετάσουμε και τους δύο μετασχηματισμούς σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Μετακίνηση αριστερά - δεξιά.

Ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση:

Πίσω στο δημοτικό σχολείο, μας έλεγαν: "με Χ - στα αριστερά, χωρίς Χ - στα δεξιά." Ποια έκφραση με x βρίσκεται στα δεξιά; Σωστά, όχι πώς όχι. Και αυτό είναι σημαντικό, γιατί αν παρεξηγηθεί αυτή η φαινομενικά απλή ερώτηση, βγαίνει λάθος απάντηση. Και ποια είναι η έκφραση με το x στα αριστερά; Σωστά, .

Τώρα που ασχοληθήκαμε με αυτό, μεταφέρουμε όλους τους όρους με αγνώστους στα αριστερά και ό,τι είναι γνωστό στα δεξιά, θυμόμαστε ότι αν δεν υπάρχει σημάδι μπροστά από τον αριθμό, για παράδειγμα, τότε ο αριθμός είναι θετικός, ότι δηλαδή, προηγείται το σύμβολο " ".

Μετακινήθηκε; Τι πήρες?

Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φέρουμε παρόμοιους όρους. Παρουσιάζουμε:

Έτσι, αναλύσαμε με επιτυχία τον πρώτο πανομοιότυπο μετασχηματισμό, αν και είμαι σίγουρος ότι τον γνωρίζατε ήδη και τον χρησιμοποιήσατε ενεργά χωρίς εμένα. Το κύριο πράγμα - μην ξεχνάτε τα σημάδια για τους αριθμούς και αλλάξτε τα στο αντίθετο κατά τη μεταφορά μέσω του ίσου!

Πολλαπλασιασμός-διαίρεση.

Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα

Κοιτάμε και σκεφτόμαστε: τι δεν μας αρέσει σε αυτό το παράδειγμα; Το άγνωστο είναι όλο στο ένα μέρος, το γνωστό είναι στο άλλο, αλλά κάτι μας σταματά… Και αυτό είναι κάτι - ένα τέσσερα, γιατί αν δεν ήταν εκεί, όλα θα ήταν τέλεια - το x ισούται με έναν αριθμό - όπως ακριβώς χρειαζόμαστε!

Πώς μπορείτε να απαλλαγείτε από αυτό; Δεν μπορούμε να μεταφέρουμε προς τα δεξιά, γιατί τότε πρέπει να μεταφέρουμε ολόκληρο τον πολλαπλασιαστή (δεν μπορούμε να τον πάρουμε και να τον αφαιρέσουμε) και η μεταφορά ολόκληρου του πολλαπλασιαστή επίσης δεν έχει νόημα ...

Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε τη διαίρεση, σε σχέση με την οποία θα χωρίσουμε τα πάντα! Όλα - αυτό σημαίνει τόσο την αριστερή όσο και τη δεξιά πλευρά. Έτσι και μόνο έτσι! Τι παίρνουμε;

Εδώ είναι η απάντηση.

Ας δούμε τώρα ένα άλλο παράδειγμα:

Μαντέψτε τι πρέπει να κάνετε σε αυτή την περίπτωση; Αυτό είναι σωστό, πολλαπλασιάστε το αριστερό και το δεξί μέρος με! Τι απάντηση πήρες; Σωστά. .

Σίγουρα γνωρίζατε τα πάντα για πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Σκεφτείτε ότι μόλις ανανεώσαμε αυτή τη γνώση στη μνήμη σας και ήρθε η ώρα για κάτι περισσότερο - Για παράδειγμα, να λύσουμε το μεγάλο μας παράδειγμα:

Όπως είπαμε νωρίτερα, κοιτάζοντας το, δεν μπορείτε να πείτε ότι αυτή η εξίσωση είναι γραμμική, αλλά πρέπει να ανοίξουμε τις αγκύλες και να εκτελέσουμε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν!

Αρχικά, υπενθυμίζουμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό, ειδικότερα, το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς. Εάν δεν θυμάστε τι είναι και πώς ανοίγουν οι αγκύλες, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβάσετε το θέμα, καθώς αυτές οι δεξιότητες θα σας φανούν χρήσιμες όταν λύνετε σχεδόν όλα τα παραδείγματα που βρίσκονται στην εξέταση.
Αποκάλυψε? Συγκρίνω:

Τώρα ήρθε η ώρα να φέρετε παρόμοιους όρους. Θυμάστε πώς μας έλεγαν στις ίδιες τάξεις του δημοτικού «δεν βάζουμε μύγες με κοτολέτες»; Εδώ σας το θυμίζω αυτό. Προσθέτουμε τα πάντα ξεχωριστά - παράγοντες που έχουν, παράγοντες που έχουν και άλλους παράγοντες που δεν έχουν άγνωστα. Καθώς φέρνετε παρόμοιους όρους, μετακινήστε όλα τα άγνωστα προς τα αριστερά και όλα όσα είναι γνωστά στα δεξιά. Τι πήρες?

Όπως μπορείτε να δείτε, το x-square έχει εξαφανιστεί και βλέπουμε ένα εντελώς συνηθισμένο γραμμική εξίσωση. Μένει μόνο να βρεθεί!

Και τέλος, θα πω ένα ακόμη πολύ σημαντικό πράγμα για τους πανομοιότυπους μετασχηματισμούς - οι ίδιοι μετασχηματισμοί ισχύουν όχι μόνο για γραμμικές εξισώσεις, αλλά και για τετράγωνους, κλασματικούς ορθολογικούς και άλλους. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι όταν μεταφέρουμε παράγοντες μέσω του ίσου, αλλάζουμε το πρόσημο στο αντίθετο και όταν διαιρούμε ή πολλαπλασιάζουμε με κάποιον αριθμό, πολλαπλασιάζουμε / διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό.

Τι άλλο αφαιρέσατε από αυτό το παράδειγμα; Ότι κοιτάζοντας μια εξίσωση δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί άμεσα και με ακρίβεια αν είναι γραμμική ή όχι. Πρέπει πρώτα να απλοποιήσετε εντελώς την έκφραση και μόνο μετά να κρίνετε τι είναι.

Γραμμικές εξισώσεις. Παραδείγματα.

Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα για να εξασκηθείτε μόνοι σας - προσδιορίστε εάν η εξίσωση είναι γραμμική και αν ναι, βρείτε τις ρίζες της:

Απαντήσεις:

1. Είναι ένα.

2. Δεν είναι.

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας δώσουμε τους ίδιους όρους:

Ας κάνουμε έναν πανομοιότυπο μετασχηματισμό - χωρίζουμε το αριστερό και το δεξί μέρος σε:

Βλέπουμε ότι η εξίσωση δεν είναι γραμμική, άρα δεν χρειάζεται να αναζητήσουμε τις ρίζες της.

3. Είναι ένα.

Ας κάνουμε έναν πανομοιότυπο μετασχηματισμό - πολλαπλασιάζουμε το αριστερό και το δεξί μέρος για να απαλλαγούμε από τον παρονομαστή.

Σκεφτείτε γιατί είναι τόσο σημαντικό; Εάν γνωρίζετε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση, προχωράμε στην περαιτέρω επίλυση της εξίσωσης, εάν όχι, φροντίστε να εξετάσετε το θέμα για να μην κάνετε λάθη σε πιο περίπλοκα παραδείγματα. Παρεμπιπτόντως, όπως μπορείτε να δείτε, μια κατάσταση όπου είναι αδύνατο. Γιατί;
Ας προχωρήσουμε λοιπόν και ας αναδιατάξουμε την εξίσωση:

Αν αντιμετωπίσατε τα πάντα χωρίς δυσκολία, ας μιλήσουμε για γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές.

Γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές

Τώρα ας προχωρήσουμε σε μια ελαφρώς πιο περίπλοκη μία - γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές.

Γραμμικές εξισώσειςμε δύο μεταβλητές μοιάζουν με:

Πού, και είναι τυχόν αριθμοί και.

Όπως μπορείτε να δείτε, η μόνη διαφορά είναι ότι μια ακόμη μεταβλητή προστίθεται στην εξίσωση. Και έτσι όλα είναι ίδια - δεν υπάρχουν x στο τετράγωνο, δεν υπάρχει διαίρεση με μια μεταβλητή κ.λπ. και τα λοιπά.

Τι παράδειγμα ζωής να σου δώσω... Ας πάρουμε τον ίδιο Βάσια. Ας υποθέσουμε ότι αποφασίζει ότι θα δώσει στον καθένα από τους 3 φίλους του τον ίδιο αριθμό μήλων και θα κρατήσει τα μήλα για τον εαυτό του. Πόσα μήλα πρέπει να αγοράσει ο Βάσια αν δώσει σε κάθε φίλο ένα μήλο; Τι θα έλεγες? Κι αν με;

Η εξάρτηση του αριθμού των μήλων που θα λάβει κάθε άτομο από τον συνολικό αριθμό των μήλων που πρέπει να αγοραστούν θα εκφραστεί με την εξίσωση:

• - ο αριθμός των μήλων που θα λάβει ένα άτομο (, ή, ή).
• - ο αριθμός των μήλων που θα πάρει ο Βάσια για τον εαυτό του.
• - πόσα μήλα πρέπει να αγοράσει η Vasya, λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό των μήλων ανά άτομο.

Επιλύοντας αυτό το πρόβλημα, καταλαβαίνουμε ότι αν ο Βάσια δώσει σε έναν φίλο ένα μήλο, τότε πρέπει να αγοράσει κομμάτια, αν δώσει μήλα - και ούτω καθεξής.

Και γενικά μιλώντας. Έχουμε δύο μεταβλητές. Γιατί να μην σχεδιάσετε αυτήν την εξάρτηση σε ένα γράφημα; Χτίζουμε και σημειώνουμε την αξία του δικού μας, δηλαδή σημεία, με συντεταγμένες και!

Όπως μπορείτε να δείτε, και εξαρτώνται ο ένας από τον άλλον γραμμικά, εξ ου και το όνομα των εξισώσεων - " γραμμικός».

Αφαιρούμε τα μήλα και εξετάζουμε γραφικά διαφορετικές εξισώσεις. Κοιτάξτε προσεκτικά τα δύο κατασκευασμένα γραφήματα - μια ευθεία γραμμή και μια παραβολή, που δίνονται από αυθαίρετες συναρτήσεις:

Βρείτε και σημειώστε τα αντίστοιχα σημεία και στα δύο σχήματα.
Τι πήρες?

Μπορείτε να το δείτε στο γράφημα της πρώτης συνάρτησης μόνοςαντιστοιχεί ένας, δηλαδή, και εξαρτώνται γραμμικά μεταξύ τους, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για τη δεύτερη συνάρτηση. Φυσικά, μπορείτε να αντιταχθείτε ότι στο δεύτερο γράφημα, το x αντιστοιχεί επίσης σε - , αλλά αυτό είναι μόνο ένα σημείο, δηλαδή μια ειδική περίπτωση, αφού μπορείτε ακόμα να βρείτε ένα που αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα. Και το κατασκευασμένο γράφημα δεν μοιάζει με γραμμή σε καμία περίπτωση, αλλά είναι παραβολή.

Επαναλαμβάνω, άλλη μια φορά: η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης πρέπει να είναι ΕΥΘΕΙΑ γραμμή.

Με το γεγονός ότι η εξίσωση δεν θα είναι γραμμική, αν πάμε σε κάποιο βαθμό - αυτό είναι κατανοητό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας παραβολής, αν και για τον εαυτό σας μπορείτε να δημιουργήσετε μερικά ακόμη απλά γραφήματα, για παράδειγμα ή. Αλλά σας διαβεβαιώνω - κανένα από αυτά δεν θα είναι ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ.

Δεν πιστεύω? Φτιάξτε και μετά συγκρίνετε με αυτό που πήρα:

Και τι γίνεται αν διαιρέσουμε κάτι με, για παράδειγμα, κάποιον αριθμό; Θα υπάρξει γραμμική εξάρτηση και; Δεν θα μαλώσουμε, αλλά θα χτίσουμε! Για παράδειγμα, ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα συνάρτησης.

Κατά κάποιο τρόπο δεν μοιάζει με μια ευθεία γραμμή που έχει κατασκευαστεί ... κατά συνέπεια, η εξίσωση δεν είναι γραμμική.
Ας συνοψίσουμε:

1. Γραμμική εξίσωση -είναι μια αλγεβρική εξίσωση στην οποία ο συνολικός βαθμός των πολυωνύμων που την αποτελούν είναι ίσος.
2. Γραμμική εξίσωσημε μία μεταβλητή μοιάζει με:
   , πού και είναι τυχόν αριθμοί.
   Γραμμική εξίσωσημε δύο μεταβλητές:
   , όπου και είναι τυχόν αριθμοί.
3. Δεν είναι πάντα άμεσα δυνατό να προσδιοριστεί εάν μια εξίσωση είναι γραμμική ή όχι. Μερικές φορές, για να το καταλάβετε αυτό, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς, να μετακινήσετε παρόμοιους όρους προς τα αριστερά / δεξιά, χωρίς να ξεχάσετε να αλλάξετε το σύμβολο ή να πολλαπλασιάσετε / διαιρέσετε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

1. Γραμμική εξίσωση

Αυτή είναι μια αλγεβρική εξίσωση στην οποία ο συνολικός βαθμός των πολυωνύμων που την αποτελούν είναι ίσος.

2. Γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητήμοιάζει με:

Πού και είναι τυχόν αριθμοί.

3. Γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητέςμοιάζει με:

Πού, και είναι τυχόν αριθμοί.

4. Μετασχηματισμοί ταυτότητας

Για να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση είναι γραμμική ή όχι, είναι απαραίτητο να κάνετε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς:

• μετακινηθείτε αριστερά/δεξιά όπως οι όροι, χωρίς να ξεχνάτε να αλλάξετε το πρόσημο.
• πολλαπλασιάστε/διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό.

Γίνε μαθητής του YouClever,

Προετοιμαστείτε για το OGE ή τη ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά,

Και επίσης αποκτήστε απεριόριστη πρόσβαση στο σεμινάριο YouClever...

Μια εξίσωση με έναν άγνωστο, που, αφού ανοίξει οι αγκύλες και μειωθούν οι ίδιοι όροι, παίρνει τη μορφή

ax + b = 0, όπου τα a και b είναι αυθαίρετοι αριθμοί, καλείται γραμμική εξίσωση με ένα άγνωστο. Σήμερα θα καταλάβουμε πώς να λύσουμε αυτές τις γραμμικές εξισώσεις.

Για παράδειγμα, όλες οι εξισώσεις:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - γραμμικό.

Η τιμή του αγνώστου που μετατρέπει την εξίσωση σε αληθινή ισότητα ονομάζεται απόφαση ή η ρίζα της εξίσωσης .

Για παράδειγμα, εάν στην εξίσωση 3x + 7 \u003d 13 αντικαταστήσουμε τον αριθμό 2 αντί του αγνώστου x, τότε παίρνουμε τη σωστή ισότητα 3 2 + 7 \u003d 13. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή x \u003d 2 είναι η λύση ή τη ρίζα της εξίσωσης.

Και η τιμή x \u003d 3 δεν μετατρέπει την εξίσωση 3x + 7 \u003d 13 σε αληθινή ισότητα, αφού 3 2 + 7 ≠ 13. Επομένως, η τιμή x \u003d 3 δεν είναι λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

Η λύση οποιωνδήποτε γραμμικών εξισώσεων ανάγεται στη λύση των εξισώσεων της μορφής

ax + b = 0.

Μεταφέρουμε τον ελεύθερο όρο από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης προς τα δεξιά, ενώ αλλάζοντας το πρόσημο μπροστά από το b στο αντίθετο, παίρνουμε

Αν a ≠ 0, τότε x = – b/a .

Παράδειγμα 1 Λύστε την εξίσωση 3x + 2 =11.

Μεταφέρουμε το 2 από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης προς τα δεξιά, ενώ αλλάζοντας το πρόσημο μπροστά από το 2 στο αντίθετο, παίρνουμε
3x \u003d 11 - 2.

Ας κάνουμε λοιπόν την αφαίρεση
3x = 9.

Για να βρείτε το x, πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο με έναν γνωστό παράγοντα, δηλαδή
x = 9:3.

Άρα η τιμή x = 3 είναι η λύση ή η ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση: x = 3.

Αν a = 0 και b = 0, τότε παίρνουμε την εξίσωση 0x \u003d 0. Αυτή η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις, αφού πολλαπλασιάζοντας οποιονδήποτε αριθμό με 0, παίρνουμε 0, αλλά το b είναι επίσης 0. Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Παράδειγμα 2Λύστε την εξίσωση 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Εδώ είναι παρόμοια μέλη:
0x = 0.

Απάντηση: x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Αν a = 0 και b ≠ 0, τότε παίρνουμε την εξίσωση 0x = - β. Αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις, αφού πολλαπλασιάζοντας οποιονδήποτε αριθμό με 0, παίρνουμε 0, αλλά b ≠ 0.

Παράδειγμα 3Λύστε την εξίσωση x + 8 = x + 5.

Ας ομαδοποιήσουμε τους όρους που περιέχουν άγνωστους στην αριστερή πλευρά και τους ελεύθερους όρους στη δεξιά πλευρά:
x - x \u003d 5 - 8.

Εδώ είναι παρόμοια μέλη:
0x = - 3.

Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

Στο Φιγούρα 1 φαίνεται το σχήμα για την επίλυση της γραμμικής εξίσωσης

Ας συνθέσουμε ένα γενικό σχήμα για την επίλυση εξισώσεων με μία μεταβλητή. Εξετάστε τη λύση του παραδείγματος 4.

Παράδειγμα 4 Ας λύσουμε την εξίσωση

1) Πολλαπλασιάστε όλους τους όρους της εξίσωσης με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών, ίσο με 12.

2) Μετά τη μείωση παίρνουμε
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Για να διαχωρίσετε μέλη που περιέχουν άγνωστα και ελεύθερα μέλη, ανοίξτε τις αγκύλες:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Ομαδοποιούμε στο ένα μέρος τους όρους που περιέχουν άγνωστους και στο άλλο - ελεύθερους όρους:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Εδώ είναι παρόμοια μέλη:
- 22x = - 154.

6) Διαιρέστε με - 22, παίρνουμε
x = 7.

Όπως μπορείτε να δείτε, η ρίζα της εξίσωσης είναι επτά.

Γενικά τέτοια οι εξισώσεις μπορούν να λυθούν ως εξής:

α) Φέρτε την εξίσωση σε ακέραια μορφή.

β) ανοιχτές αγκύλες.

γ) ομαδοποιήστε τους όρους που περιέχουν το άγνωστο σε ένα μέρος της εξίσωσης και τους ελεύθερους όρους στο άλλο.

δ) να φέρει παρόμοια μέλη.

ε) να λύσετε μια εξίσωση της μορφής aх = b, η οποία προέκυψε αφού φέρετε παρόμοιους όρους.

Ωστόσο, αυτό το σχήμα δεν απαιτείται για κάθε εξίσωση. Όταν λύνουμε πολλές απλούστερες εξισώσεις, πρέπει να ξεκινήσουμε όχι από την πρώτη, αλλά από τη δεύτερη ( Παράδειγμα. 2), τρίτο ( Παράδειγμα. δεκατρείς) και ακόμη και από το πέμπτο στάδιο, όπως στο παράδειγμα 5.

Παράδειγμα 5Λύστε την εξίσωση 2x = 1/4.

Βρίσκουμε το άγνωστο x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Εξετάστε τη λύση ορισμένων γραμμικών εξισώσεων που συναντήθηκαν στην κύρια εξέταση του κράτους.

Παράδειγμα 6Λύστε την εξίσωση 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Απάντηση: - 0,125

Παράδειγμα 7Λύστε την εξίσωση - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Απάντηση: 2.3

Παράδειγμα 8 Λύστε την Εξίσωση

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Παράδειγμα 9Βρείτε την f(6) αν f (x + 2) = 3 7's

Απόφαση

Αφού πρέπει να βρούμε την f(6), και γνωρίζουμε την f (x + 2),
τότε x + 2 = 6.

Λύνουμε τη γραμμική εξίσωση x + 2 = 6,
παίρνουμε x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Αν x = 4 τότε
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Απάντηση: 27.

Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, υπάρχει η επιθυμία να ασχοληθείτε με τη λύση των εξισώσεων πιο διεξοδικά, εγγραφείτε για τα μαθήματά μου στο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ. Θα χαρώ να σε βοηθήσω!

Το TutorOnline συνιστά επίσης να παρακολουθήσετε ένα νέο εκπαιδευτικό βίντεο από την καθηγήτριά μας Olga Alexandrovna, το οποίο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε τόσο τις γραμμικές εξισώσεις όσο και άλλες.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.