Eigenschaften natürlicher Logarithmen: Graph, Basis, Funktionen, Grenzwert, Formeln und Definitionsbereich. Natürlicher Logarithmus, ln x-Funktion
Unterricht und Präsentation zu den Themen: "Natürliche Logarithmen. Basis eines natürlichen Logarithmus. Logarithmus einer natürlichen Zahl"
Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Rückmeldungen und Vorschläge zu hinterlassen! Alle Materialien werden von einem Antivirenprogramm überprüft.
Lehrmittel und Simulatoren im Online-Shop "Integral" für die 11. Klasse
Interaktives Handbuch für die Klassen 9-11 "Trigonometrie"
Interaktives Handbuch für die Klassen 10-11 "Logarithmen"
Was ist natürlicher logarithmus
Leute, in der letzten Lektion haben wir eine neue, spezielle Nummer gelernt - e. Heute werden wir weiter mit dieser Nummer arbeiten.Wir haben uns mit Logarithmen beschäftigt und wissen, dass die Basis des Logarithmus eine Menge von Zahlen sein kann, die größer als 0 sind. Heute betrachten wir auch den Logarithmus, der auf der Zahl e basiert. Solch ein Logarithmus wird normalerweise als natürlicher Logarithmus bezeichnet . Es hat seine eigene Notation: $\ln(n)$ ist der natürliche Logarithmus. Diese Notation entspricht: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Die Exponential- und Logarithmusfunktion sind invers, dann ist der natürliche Logarithmus die Inverse der Funktion: $y=e^x$.
Umkehrfunktionen sind symmetrisch zur Geraden $y=x$.
Zeichnen wir den natürlichen Logarithmus, indem wir die Exponentialfunktion in Bezug auf die gerade Linie $y=x$ zeichnen.
Es ist erwähnenswert, dass die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion $y=e^x$ am Punkt (0;1) 45° beträgt. Dann ist die Steigung der Tangente an den Graphen des natürlichen Logarithmus im Punkt (1; 0) ebenfalls gleich 45°. Diese beiden Tangenten verlaufen parallel zur Linie $y=x$. Skizzieren wir die Tangenten: 
Eigenschaften der Funktion $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Ist weder gerade noch ungerade.
3. Zunahmen über den gesamten Definitionsbereich.
4. Nicht von oben begrenzt, nicht von unten begrenzt.
5. Größter Wert Nein, es gibt keinen Mindestwert.
6. Kontinuierlich.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konvex nach oben.
9. Überall differenzierbar.
Im Laufe der höheren Mathematik wird das bewiesen Die Ableitung einer Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung der gegebenen Funktion.
Es macht nicht viel Sinn, in den Beweis einzutauchen, schreiben wir einfach die Formel: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Beispiel.
Berechnen Sie den Wert der Ableitung der Funktion: $y=\ln(2x-7)$ am Punkt $x=4$.
Lösung.
BEI Gesamtansicht unsere Funktion stellt die Funktion $y=f(kx+m)$ dar, wir können die Ableitungen solcher Funktionen berechnen.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Berechnen wir den Wert der Ableitung an der gewünschten Stelle: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Antwort: 2.
Beispiel.
Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion $y=ln(x)$ im Punkt $x=e$.
Lösung.
Die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion, im Punkt $x=a$, erinnern wir uns gut.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Lassen Sie uns die erforderlichen Werte nacheinander berechnen.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Die Tangentengleichung an der Stelle $x=e$ ist die Funktion $y=\frac(x)(e)$.
Zeichnen wir den natürlichen Logarithmus und den Tangens. 
Beispiel.
Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie und Extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Lösung.
Definitionsbereich der Funktion $D(y)=(0;+∞)$.
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Die Ableitung existiert also für alle x aus dem Definitionsbereich kritische Punkte Nein. Lassen Sie uns stationäre Punkte finden:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Der Punkt $х=-1$ gehört nicht zum Definitionsbereich. Dann haben wir einen stationären Punkt $х=1$. Finden Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme: 
Der Punkt $x=1$ ist der Minimalpunkt, dann $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Antwort: Die Funktion fällt auf dem Segment (0;1] ab, die Funktion steigt auf dem Strahl $)
