Heim-Außentreppe-Die Quadratwurzel aus 10 ist gleich. Wurzelformeln

Die Quadratwurzel aus 10 ist gleich. Wurzelformeln

Rationale Zahlen

Die nichtnegative Quadratwurzel einer positiven Zahl heißt arithmetische Quadratwurzel und wird mit dem Radikalzeichen bezeichnet.

Komplexe Zahlen

Über dem Körper komplexer Zahlen gibt es immer zwei Lösungen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden (außer Quadratwurzel von Null). Die Wurzel einer komplexen Zahl wird oft als bezeichnet, diese Schreibweise muss jedoch mit Vorsicht verwendet werden. Häufiger Fehler:

Um die Quadratwurzel einer komplexen Zahl zu ziehen, ist es praktisch, die exponentielle Schreibweise einer komplexen Zahl zu verwenden: if

, ,

wobei die Modulwurzel im Sinne eines arithmetischen Wertes verstanden wird und k die Werte k=0 und k=1 annehmen kann, so dass die Antwort zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen führt.


Verallgemeinerungen

Quadratwurzeln werden als Lösungen für Gleichungen der Form für andere Objekte eingeführt: Matrizen, Funktionen, Operatoren usw. Als Operation können ganz beliebige multiplikative Operationen verwendet werden, beispielsweise Superposition.

Quadratwurzel in der Informatik

In vielen Programmiersprachen auf Funktionsebene (sowie Auszeichnungssprachen wie LaTeX) wird die Quadratwurzelfunktion als geschrieben Quadrat(aus dem Englischen Quadratwurzel"Quadratwurzel").

Algorithmen zum Finden der Quadratwurzel

Das Finden oder Berechnen der Quadratwurzel einer bestimmten Zahl nennt man Extraktion(Quadratwurzel.

Erweiterung der Taylor-Reihe

bei .

Arithmetische Quadratwurzel

Für Zahlenquadrate gelten folgende Gleichungen:

Das heißt, Sie können den ganzzahligen Teil der Quadratwurzel einer Zahl ermitteln, indem Sie alle ungeraden Zahlen der Reihe nach davon subtrahieren, bis der Rest kleiner ist als die nächste zu subtrahierende Zahl oder gleich Null und Zählen der Anzahl der durchgeführten Aktionen. Zum Beispiel so:

3 Schritte sind abgeschlossen, die Quadratwurzel aus 9 ist 3.

Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass Sie, wenn die zu extrahierende Wurzel keine ganze Zahl ist, nur den gesamten Teil ermitteln können, jedoch nicht genauer. Gleichzeitig ist diese Methode für Kinder, die einfache Probleme lösen können, gut zugänglich. Mathe-Aufgaben, was eine Quadratwurzelextraktion erfordert.

Grobe Schätzung

Viele Berechnungsalgorithmen Quadratwurzeln vom Positiven reelle Zahl S erfordern einen Anfangswert. Wenn der Anfangswert zu weit vom tatsächlichen Wert der Wurzel entfernt ist, werden die Berechnungen langsamer. Daher ist es sinnvoll, eine grobe Schätzung zu haben, die zwar sehr ungenau sein kann, aber leicht zu berechnen ist. Wenn S≥ 1, let D wird die Anzahl der Ziffern sein S links vom Dezimalpunkt. Wenn S < 1, пусть D ist die Anzahl der aufeinanderfolgenden Nullen rechts vom Dezimalpunkt, angegeben mit einem Minuszeichen. Dann sieht die grobe Schätzung so aus:

Wenn D seltsam, D = 2N+ 1, dann verwenden Wenn D sogar, D = 2N+ 2, dann verwenden

Zwei und sechs werden verwendet, weil Und

Bei der Arbeit in einem binären System (z. B. in Computern) sollte eine andere Auswertung verwendet werden (hier). D ist die Anzahl der Binärziffern).

Geometrische Quadratwurzel

Um die Wurzel manuell zu extrahieren, wird eine Notation ähnlich der Langdivision verwendet.

Die Zahl, deren Wurzel wir suchen, wird aufgeschrieben. Rechts davon erhalten wir nach und nach die Zahlen der gewünschten Wurzel. Ziehen wir die Wurzel einer Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen. Zunächst teilen wir gedanklich oder mit Markierungen die Zahl N in Gruppen von zwei Ziffern links und rechts vom Dezimalpunkt auf. Bei Bedarf werden Gruppen mit Nullen aufgefüllt – der ganzzahlige Teil wird links aufgefüllt, der Nachkommateil rechts. 31234,567 kann also als 03 12 34 dargestellt werden. 56 70. Im Gegensatz zur Division erfolgt der Abriss in solchen Gruppen von 2 Ziffern.

Eine visuelle Beschreibung des Algorithmus:

Bevor es Taschenrechner gab, berechneten Schüler und Lehrer die Quadratwurzeln von Hand. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl manuell zu berechnen. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

    Primfaktorzerlegung Faktorisieren Sie die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind.

    • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (von Hand). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu faktorisieren. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar – das ist eine Quadratzahl. Wenn man 400 durch 25 teilt, erhält man 16. Die Zahl 16 ist ebenfalls eine Quadratzahl. Somit lässt sich 400 in die Quadratfaktoren 25 und 16 einrechnen, also 25 x 16 = 400.
    • Dies kann wie folgt geschrieben werden: √400 = √(25 x 16).

  1. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Termes, d. h. √(a x b) = √a x √b.

    • Verwenden Sie diese Regel, um die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors zu ziehen und die Ergebnisse zu multiplizieren, um die Antwort zu finden.
      • Ziehen Sie in unserem Beispiel die Wurzel aus 25 und 16.
      • √(25 x 16)
      • √25 x √16

  2. 5 x 4 = 20 Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei zerfällt Quadratfaktor

    • (und das passiert in den meisten Fällen), werden Sie die genaue Antwort nicht in Form einer ganzen Zahl finden können.
      • Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehen die Wurzel aus dem gemeinsamen Faktor.
      • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 lässt sich nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegen, wohl aber in die folgenden Faktoren: 49 und 3. Lösen Sie das Problem wie folgt:
      • = 7√3

  3. = √(49 x 3)= √49 x √3

  4. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreiben Sie die Primfaktoren in eine Reihe und finden Sie Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen entnommen werden.

    • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Grundzahl in Primfaktoren: 45 = 9 x 5 und 9 = 3 x 3. Somit ist √45 = √(3 x 3 x 5). 3 kann als Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 schätzen.
    • Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: √88.
      • = √(2 x 44)
      • = √ (2 x 4 x 11)
      • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikatoren von 2 erhalten; Nehmen Sie ein paar davon und verschieben Sie sie über das Wurzelzeichen hinaus.
      • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können Sie √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

    Quadratwurzel manuell berechnen

    Mit langer Division

    1. Diese Methode beinhaltet einen Prozess ähnlich der Langdivision und liefert eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zunächst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und zeichnen Sie dann rechts und etwas unterhalb der Oberkante des Blattes eine horizontale Linie zur vertikalen Linie. Teilen Sie nun die Grundzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Nachkommateil. Die Zahl 79520789182.47897 wird also als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“ geschrieben.

      • Berechnen wir zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie oben links die angegebene Zahl in der Form „7 80, 14“. Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel dieser Zahl) schreiben Sie oben rechts.

    2. Finden Sie für das erste Zahlenpaar (oder die einzelne Zahl) von links die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem betreffenden Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) ist.

      • Mit anderen Worten: Finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner als dieses ist, und ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Quadratzahl. Sie erhalten die Nummer n. Schreiben Sie das n, das Sie gefunden haben, oben rechts und das Quadrat von n unten rechts.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. In unserem Fall ist die erste Zahl links die 7. Als nächstes die 4 Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7 und erhalten Sie 3.

    4. Notieren Sie sich das zweite Zahlenpaar und notieren Sie es neben dem im vorherigen Schritt erhaltenen Wert. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreiben Sie „80“ nach der 3. Dann ergibt das Doppelte der Zahl oben rechts 4. Schreiben Sie „4_×_=" unten rechts.

    5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.

      • Wenn wir in unserem Fall die Zahl 8 anstelle von Bindestrichen eingeben, dann ist 48 x 8 = 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 reicht aus. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 = 329. Schreiben Sie oben rechts 7 – das ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.

    6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl links, ermitteln Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter den Subtrahend.

      • In unserem Beispiel subtrahieren Sie 329 von 380, was 51 ergibt.

    7. Wiederholen Sie Schritt 4. Handelt es sich bei dem übertragenen Zahlenpaar um den Bruchteil der ursprünglichen Zahl, dann setzen Sie in der erforderlichen Quadratwurzel oben rechts ein Trennzeichen (Komma) zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen. Bringen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das nächste zu entfernende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14. Platzieren Sie daher das Trennzeichen für den ganzzahligen Teil und den Bruchteil in der gewünschten Quadratwurzel oben rechts. Notieren Sie sich 14 und schreiben Sie sie unten links auf. Das Doppelte der Zahl oben rechts (27) ist 54, also schreiben Sie unten rechts „54_×_=".

    8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Suchen Sie anstelle der Bindestriche auf der rechten Seite die größte Zahl (anstelle der Bindestriche müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Ergebnis der Multiplikation kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.

      • In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, was kleiner ist als die aktuelle Zahl links (5114). Schreiben Sie oben rechts eine 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.

    9. Wenn Sie weitere Dezimalstellen für die Quadratwurzel suchen müssen, schreiben Sie ein paar Nullen links von der aktuellen Zahl und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die Antwortgenauigkeit (Anzahl der Dezimalstellen) erhalten brauchen.

      Den Prozess verstehen

      1. Zur Assimilation diese Methode Stellen Sie sich die Zahl, deren Quadratwurzel Sie ermitteln möchten, als Fläche des Quadrats S vor. In diesem Fall suchen Sie nach der Länge der Seite L eines solchen Quadrats. Wir berechnen den Wert von L so, dass L² = S.

        Geben Sie für jede Zahl in der Antwort einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit A die erste Ziffer im Wert von L (der gewünschten Quadratwurzel). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.

        Geben Sie für jedes Paar erster Ziffern einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit S a das erste Ziffernpaar im Wert von S, mit S b das zweite Ziffernpaar und so weiter.

        Verstehen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Methode und der Langdivision. Genau wie bei der Division, bei der wir jedes Mal nur an der nächsten Ziffer der Zahl interessiert sind, die wir dividieren, arbeiten wir bei der Berechnung einer Quadratwurzel nacheinander mit einem Ziffernpaar (um die nächste Ziffer im Quadrat zu erhalten). Wurzelwert).

      2. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (in unserem Beispiel Sa = 7) und ermitteln Sie deren Quadratwurzel. In diesem Fall ist die erste Ziffer A des gewünschten Wertes der Quadratwurzel eine Ziffer, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (das heißt, wir suchen nach einem A, für das die Ungleichung A² ≤ Sa gilt< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

        • Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die bei Multiplikation mit 7 einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Stellen Sie sich im Geiste ein Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, also der Seitenlänge eines Quadrats, dessen Fläche S ist. A, B, C sind die Zahlen in der Zahl L. Sie können es auch anders schreiben: 10A + B = L (für zweistellige Zahl) oder 100A + 10B + C = L (für eine dreistellige Zahl) und so weiter.

        • Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der die Ziffer B für Einer und die Ziffer A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann ist 10A+B gleich der Zahl 12. (10A+B)²- das ist die Fläche des gesamten Platzes, 100A²- Fläche des großen inneren Platzes, B²- Fläche des kleinen inneren Platzes, 10A×B- die Fläche jedes der beiden Rechtecke. Durch Addition der Flächen der beschriebenen Figuren erhalten Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.

In diesem Artikel stellen wir vor Konzept einer Wurzel einer Zahl. Wir werden der Reihe nach vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, gehen von dort aus zur Beschreibung der Kubikwurzel über und verallgemeinern anschließend das Konzept einer Wurzel, indem wir die n-te Wurzel definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen und Notationen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erläuterungen und Kommentare.

Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel

Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, benötigen Sie . An dieser Stelle stoßen wir häufig auf die zweite Potenz einer Zahl – das Quadrat einer Zahl.

Beginnen wir mit Quadratwurzeldefinitionen.

Definition

Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Führen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen wir mehrere Zahlen, zum Beispiel 5, −0,3, 0,3, 0, und quadrieren sie, wir erhalten die Zahlen 25, 0,09, 0,09 bzw. 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 und 0 2 =0·0=0 ). Dann ist nach der oben gegebenen Definition die Zahl 5 die Quadratwurzel der Zahl 25, die Zahlen −0,3 und 0,3 sind die Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.

Es ist zu beachten, dass es für keine Zahl a ein a gibt, dessen Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a ist. Tatsächlich ist die Gleichheit a=b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht negative Zahl ist. Daher, Es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen. Mit anderen Worten: Auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und hat keine Bedeutung.

Dies führt zu einer logischen Frage: „Gibt es eine Quadratwurzel aus a für jedes nichtnegative a“? Die Antwort ist ja. Diese Tatsache kann durch die konstruktive Methode zur Ermittlung des Wertes der Quadratwurzel gerechtfertigt werden.

Dann stellt sich die nächste logische Frage: „Wie groß ist die Anzahl aller Quadratwurzeln einer gegebenen nicht negativen Zahl a – eins, zwei, drei oder sogar mehr“? Hier ist die Antwort: Wenn a Null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel aus Null Null; Wenn a eine positive Zahl ist, dann beträgt die Anzahl der Quadratwurzeln der Zahl a zwei und die Wurzeln sind . Begründen wir das.

Beginnen wir mit dem Fall a=0 . Zeigen wir zunächst, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 =0·0=0 und der Definition der Quadratwurzel.

Beweisen wir nun, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist. Verwenden wir die umgekehrte Methode. Angenommen, es gibt eine Zahl b ungleich Null, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 =0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da für jedes b ungleich Null der Wert des Ausdrucks b 2 positiv ist. Wir sind zu einem Widerspruch gelangt. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist.

Kommen wir zu den Fällen, in denen a eine positive Zahl ist. Wir haben oben gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt. Die Quadratwurzel von a sei die Zahl b. Nehmen wir an, es gibt eine Zahl c, die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann sind nach der Definition einer Quadratwurzel die Gleichungen b 2 =a und c 2 =a wahr, woraus folgt, dass b 2 −c 2 =a−a=0, aber da b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , dann ist (b−c)·(b+c)=0 . Die resultierende Gleichheit ist gültig Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen nur möglich, wenn b−c=0 oder b+c=0 . Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.

Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine weitere Quadratwurzel der Zahl a ist, dann wird durch ähnliche Überlegungen wie die bereits gegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl beträgt also zwei, und die Quadratwurzeln sind entgegengesetzte Zahlen.

Um die Arbeit mit Quadratwurzeln zu erleichtern, wird die negative Wurzel von der positiven „getrennt“. Zu diesem Zweck wird es eingeführt Definition der arithmetischen Quadratwurzel.

Definition

Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Die Notation für die arithmetische Quadratwurzel von a ist . Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch das Radikalzeichen genannt. Daher kann man manchmal sowohl „Wurzel“ als auch „Radikal“ hören, was dasselbe Objekt bedeutet.

Die Zahl unter dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen heißt Wurzelzahl, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck, während der Begriff „Radikalzahl“ oft durch „Radikalausdruck“ ersetzt wird. Beispielsweise ist in der Notation die Zahl 151 eine Wurzelzahl und in der Notation der Ausdruck a ein Wurzelausdruck.

Beim Lesen wird das Wort „Arithmetik“ oft weggelassen, beispielsweise wird der Eintrag als „Quadratwurzel aus sieben Komma neunundzwanzig“ gelesen. Das Wort „Arithmetik“ wird nur verwendet, wenn sie dies betonen wollen wir reden darüber speziell über die positive Quadratwurzel einer Zahl.

Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition einer arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nichtnegative Zahl a .

Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden mit dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen als und geschrieben. Die Quadratwurzeln von 13 lauten beispielsweise und . Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, also . Für negative Zahlen a werden wir der Notation erst beim Studium eine Bedeutung beimessen komplexe Zahlen. Beispielsweise sind die Ausdrücke und bedeutungslos.

Basierend auf der Definition der Quadratwurzel werden die Eigenschaften von Quadratwurzeln nachgewiesen, die in der Praxis häufig verwendet werden.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die Quadratwurzeln der Zahl a Lösungen der Form x 2 =a in Bezug auf die Variable x sind.

Kubikwurzel einer Zahl

Definition der Kubikwurzel der Zahl a erfolgt ähnlich wie die Definition der Quadratwurzel. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.

Definition

Kubikwurzel von a ist eine Zahl, deren Potenz gleich a ist.

Geben wir Beispiele für Kubikwurzeln. Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7, 0, −2/3, und würfeln Sie sie: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Basierend auf der Definition einer Kubikwurzel können wir dann sagen, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343, 0 die Kubikwurzel von Null und −2/3 die Kubikwurzel von −8/27 ist.

Es lässt sich zeigen, dass die Kubikwurzel einer Zahl im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, nicht nur für nichtnegative a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu können Sie dieselbe Methode verwenden, die wir bei der Untersuchung von Quadratwurzeln erwähnt haben.

Darüber hinaus gibt es nur eine einzige Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Aussage. Betrachten Sie dazu drei Fälle getrennt: a ist eine positive Zahl, a=0 und a ist eine negative Zahl.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Kubikwurzel von a weder eine negative Zahl noch Null sein kann, wenn a positiv ist. Sei b tatsächlich die Kubikwurzel von a, dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 =a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit für negatives b und für b=0 nicht gelten kann, da in diesen Fällen b 3 =b·b·b eine negative Zahl bzw. Null sein wird. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.

Nehmen wir nun an, dass es zusätzlich zur Zahl b eine weitere Kubikwurzel der Zahl a gibt, nennen wir sie c. Dann ist c 3 =a. Daher ist b 3 −c 3 =a−a=0, aber b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel Differenz der Würfel), woraus (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Die resultierende Gleichheit ist nur möglich, wenn b−c=0 oder b 2 +b·c+c 2 =0. Aus der ersten Gleichung gilt b=c, und die zweite Gleichung hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für alle positiven Zahlen b und c als Summe dreier positiver Terme b 2, b·c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.

Wenn a=0, ist die Kubikwurzel der Zahl a nur die Zahl Null. Wenn wir tatsächlich annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine von Null verschiedene Kubikwurzel von Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 =0 gelten, was nur möglich ist, wenn b=0.

Für negatives a können ähnliche Argumente wie für positives a angegeben werden. Zunächst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl weder einer positiven Zahl noch Null gleich sein kann. Zweitens nehmen wir an, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese notwendigerweise mit der ersten zusammenfällt.

Es gibt also immer eine Kubikwurzel jeder gegebenen reellen Zahl a und zwar eine eindeutige.

Geben wir Definition der arithmetischen Kubikwurzel.

Definition

Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Potenz gleich a ist.

Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird als bezeichnet, das Vorzeichen heißt das Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Notation heißt Stammindex. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Wurzelzahl, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck.

Obwohl die arithmetische Kubikwurzel nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, ist es auch praktisch, Notationen zu verwenden, in denen negative Zahlen unter dem Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel stehen. Wir werden sie wie folgt verstehen: , wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, .

Über die Eigenschaften von Kubikwurzeln sprechen wir im allgemeinen Artikel Eigenschaften von Wurzeln.

Das Berechnen des Wertes einer Kubikwurzel wird als Extrahieren einer Kubikwurzel bezeichnet; diese Aktion wird im Artikel Extrahieren von Wurzeln: Methoden, Beispiele, Lösungen besprochen.

Um diesen Punkt abzuschließen, nehmen wir an, dass die Kubikwurzel der Zahl a eine Lösung der Form x 3 =a ist.

n-te Wurzel, arithmetische Wurzel vom Grad n

Lassen Sie uns das Konzept einer Wurzel einer Zahl verallgemeinern – wir führen es ein Definition der n-ten Wurzel für n.

Definition

n-te Wurzel von a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Aus diese Definition Es ist klar, dass die Wurzel ersten Grades der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir bei der Untersuchung des Grades mit einem natürlichen Exponenten a 1 = a angenommen haben.

Oben haben wir uns Sonderfälle der n-ten Wurzel für n=2 und n=3 angesehen – Quadratwurzel und Kubikwurzel. Das heißt, eine Quadratwurzel ist eine Wurzel zweiten Grades und eine Kubikwurzel ist eine Wurzel dritten Grades. Um Wurzeln n-ten Grades für n=4, 5, 6, ... zu untersuchen, ist es zweckmäßig, sie in zwei Gruppen zu unterteilen: Die erste Gruppe sind Wurzeln geraden Grades (d. h. für n = 4, 6, 8). , ...), die zweite Gruppe - Wurzeln ungeraden Grades (d. h. mit n=5, 7, 9, ...). Dies liegt daran, dass Wurzeln gerader Potenzen Quadratwurzeln ähneln und Wurzeln ungerader Potenzen kubischen Wurzeln ähneln. Lassen Sie uns sie einzeln behandeln.

Beginnen wir mit den Wurzeln, deren Potenzen die geraden Zahlen 4, 6, 8, ... sind. Wie wir bereits sagten, ähneln sie der Quadratwurzel der Zahl a. Das heißt, die Wurzel jedes geraden Grades der Zahl a existiert nur für nicht negatives a. Wenn außerdem a=0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a>0, dann gibt es zwei Wurzeln geraden Grades der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.

Untermauern wir die letzte Aussage. Sei b eine Wurzel geraden Grades (wir bezeichnen sie als 2 m, wobei m einige ist). natürliche Zahl) ab Nummer a . Angenommen, es gibt eine Zahl c – eine weitere Wurzel vom Grad 2·m aus der Zahl a. Dann ist b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Aber wir kennen die Form b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), dann (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Aus dieser Gleichheit folgt, dass b−c=0, oder b+c=0, oder b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b=c=0, da auf ihrer linken Seite ein Ausdruck steht, der für jedes b und c als Summe nichtnegativer Zahlen nicht negativ ist.

Die Wurzeln n-ten Grades für ungerades n ähneln der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a und ist für eine gegebene Zahl a eindeutig.

Die Eindeutigkeit einer Wurzel ungeraden Grades 2·m+1 der Zahl a wird analog zum Beweis der Eindeutigkeit der Kubikwurzel von a bewiesen. Nur hier statt Gleichheit a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) Es wird eine Gleichheit der Form b 2 m+1 −c 2 m+1 = verwendet (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Zum Beispiel gilt mit m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind und ihr Produkt eine positive Zahl ist, dann ist der Ausdruck b 2 +c 2 +b·c in der höchsten geschachtelten Klammer positiv als Summe der positiven Zahlen. Wenn wir nun der Reihe nach zu den Ausdrücken in Klammern der vorherigen Verschachtelungsgrade übergehen, sind wir überzeugt, dass sie auch als Summe positiver Zahlen positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 nur möglich, wenn b−c=0, also wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.

Es ist Zeit, die Notation der n-ten Wurzeln zu verstehen. Zu diesem Zweck ist es gegeben Definition der arithmetischen Wurzel n-ten Grades.

Definition

Arithmetische Wurzel n-te Potenz einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Es ist Zeit, das zu klären Wurzelextraktionsmethoden. Sie basieren auf den Eigenschaften von Wurzeln, insbesondere auf der Gleichheit, die für jede nichtnegative Zahl b gilt.

Im Folgenden werden wir uns die wichtigsten Methoden zum Extrahieren von Wurzeln einzeln ansehen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – dem Ziehen von Wurzeln aus natürlichen Zahlen mithilfe einer Quadrattabelle, einer Kubiktabelle usw.

Wenn Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. Wenn Sie es nicht zur Hand haben, ist es logisch, die Methode des Wurzelziehens zu verwenden, bei der die Wurzelzahl in Primfaktoren zerlegt wird.

Besonders hervorzuheben ist, was für Wurzeln mit ungeraden Exponenten möglich ist.

Betrachten wir abschließend eine Methode, mit der wir nacheinander die Ziffern des Wurzelwerts ermitteln können.

Fangen wir an.

Verwendung einer Quadrattabelle, einer Würfeltabelle usw.

In den meisten Fällen einfache Fälle Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. ermöglichen das Ziehen von Wurzeln. Was sind das für Tabellen?

Die Tabelle der Quadrate ganzer Zahlen von 0 bis einschließlich 99 (siehe unten) besteht aus zwei Zonen. Der erste Bereich der Tabelle befindet sich auf einem grauen Hintergrund; durch Auswahl einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte können Sie eine Zahl von 0 bis 99 zusammenstellen. Wählen wir zum Beispiel eine Reihe mit 8 Zehnern und eine Spalte mit 3 Einern aus, damit haben wir die Zahl 83 festgelegt. Die zweite Zone belegt den Rest der Tabelle. Jede Zelle befindet sich am Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte und enthält das Quadrat der entsprechenden Zahl von 0 bis 99. Am Schnittpunkt der von uns gewählten Zehnerreihe und der Einer-Spalte 3 befindet sich eine Zelle mit der Zahl 6.889, die dem Quadrat der Zahl 83 entspricht.


Würfeltabellen, Tabellen der vierten Potenzen von Zahlen von 0 bis 99 usw. ähneln der Quadrattabelle, nur dass sie in der zweiten Zone Würfel, vierte Potenzen usw. enthalten. entsprechende Nummern.

Tabellen mit Quadraten, Würfeln, vierten Potenzen usw. Ermöglicht das Extrahieren von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, vierten Wurzeln usw. entsprechend aus den Zahlen in diesen Tabellen. Lassen Sie uns das Prinzip ihrer Verwendung bei der Wurzelextraktion erklären.

Nehmen wir an, wir müssen die n-te Wurzel der Zahl a ziehen, während die Zahl a in der Tabelle der n-ten Potenzen enthalten ist. Mithilfe dieser Tabelle finden wir die Zahl b mit a=b n. Dann Daher ist die Zahl b die gesuchte Wurzel n-ten Grades.

Als Beispiel zeigen wir, wie man eine Würfeltabelle verwendet, um die Kubikwurzel von 19.683 zu extrahieren. Wir finden die Zahl 19.683 in der Würfeltabelle, daraus finden wir, dass diese Zahl die Kubikzahl der Zahl 27 ist, also .


Es ist klar, dass Tabellen mit n-ten Potenzen sehr praktisch sind, um Wurzeln zu ziehen. Allerdings sind sie oft nicht zur Hand und ihre Zusammenstellung nimmt einige Zeit in Anspruch. Darüber hinaus ist es oft notwendig, Wurzeln aus Zahlen zu ziehen, die nicht in den entsprechenden Tabellen enthalten sind. In diesen Fällen müssen Sie auf andere Methoden der Wurzelextraktion zurückgreifen.

Zerlegen einer Wurzelzahl in Primfaktoren

Genug auf bequeme Weise, die es ermöglicht, eine Wurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen (wenn natürlich die Wurzel gezogen wird), ist die Zerlegung der Wurzelzahl in Primfaktoren. Sein Der Punkt ist dieser: Danach ist es ganz einfach, sie als Potenz mit dem gewünschten Exponenten darzustellen, wodurch Sie den Wert der Wurzel erhalten können. Lassen Sie uns diesen Punkt klären.

Nehmen wir die n-te Wurzel einer natürlichen Zahl a und ihr Wert ist gleich b. In diesem Fall gilt die Gleichung a=b n. Die Zahl b kann wie jede natürliche Zahl als Produkt aller ihrer Primfaktoren p 1 , p 2 , …, p m in der Form p 1 ·p 2 ·…·p m dargestellt werden, und in diesem Fall als Wurzelzahl a wird dargestellt als (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Da die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren eindeutig ist, hat die Zerlegung der Grundzahl a in Primfaktoren die Form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, was die Berechnung des Wertes der Wurzel ermöglicht als .

Beachten Sie, dass, wenn die Zerlegung einer Wurzelzahl a in Primfaktoren nicht in der Form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n dargestellt werden kann, die n-te Wurzel einer solchen Zahl a nicht vollständig extrahiert wird.

Lassen Sie uns dies beim Lösen von Beispielen herausfinden.

Beispiel.

Ziehe die Quadratwurzel aus 144.

Lösung.

Wenn Sie sich die im vorherigen Absatz angegebene Quadrattabelle ansehen, können Sie deutlich erkennen, dass 144 = 12 · 2, woraus klar hervorgeht, dass die Quadratwurzel von 144 12 ist.

Vor diesem Hintergrund interessiert uns jedoch, wie die Wurzel gezogen wird, indem die Grundzahl 144 in Primfaktoren zerlegt wird. Schauen wir uns diese Lösung an.

Lasst uns zerlegen 144 zu Primfaktoren:

Das heißt, 144=2·2·2·2·3·3. Basierend auf der resultierenden Zerlegung können folgende Transformationen durchgeführt werden: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Somit, .

Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden und Eigenschaften von Wurzeln könnte die Lösung etwas anders formuliert werden: .

Antwort:

Um das Material zu festigen, betrachten Sie die Lösungen zu zwei weiteren Beispielen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert der Wurzel.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung der Grundzahl 243 hat die Form 243=3 5 . Daher, .

Antwort:

Beispiel.

Ist der Wurzelwert eine ganze Zahl?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren und prüfen, ob sie als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden kann.

Wir haben 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Die resultierende Entwicklung wird nicht als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt, da der Grad Primfaktor 7 ist kein Vielfaches von drei. Daher kann die Kubikwurzel von 285.768 nicht vollständig gezogen werden.

Antwort:

NEIN.

Wurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Es ist an der Zeit herauszufinden, wie man die Wurzel einer Bruchzahl zieht. Die gebrochene Wurzelzahl sei als p/q geschrieben. Gemäß der Eigenschaft der Wurzel eines Quotienten gilt die folgende Gleichheit. Aus dieser Gleichheit folgt Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Ziehen einer Wurzel aus einem Bruch an.

Beispiel.

Was ist die Quadratwurzel von gemeinsamer Bruch 25/169 .

Lösung.

Mithilfe der Quadrattabelle finden wir, dass die Quadratwurzel des Zählers des ursprünglichen Bruchs gleich 5 und die Quadratwurzel des Nenners gleich 13 ist. Dann . Damit ist die Extraktion der Wurzel des gemeinsamen Bruchs 25/169 abgeschlossen.

Antwort:

Die Wurzel eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl wird extrahiert, nachdem die Grundzahlen durch gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Beispiel.

Ziehen Sie die Kubikwurzel aus dem Dezimalbruch 474,552.

Lösung.

Stellen wir uns das Original vor dezimal als gemeinsamer Bruch: 474,552=474552/1000. Dann . Es müssen noch die Kubikwurzeln gezogen werden, die im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs stehen. Weil 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 und 1 000 = 10 3, dann Und . Jetzt müssen nur noch die Berechnungen abgeschlossen werden .

Antwort:

.

Ziehen Sie die Wurzel einer negativen Zahl

Es lohnt sich, näher auf das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen einzugehen. Bei der Untersuchung von Wurzeln haben wir gesagt, dass, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist, unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl stehen kann. Wir haben diesen Einträgen folgende Bedeutung gegeben: Für eine negative Zahl −a und einen ungeraden Exponenten der Wurzel 2 n−1, . Diese Gleichheit gibt Regel zum Ziehen ungerader Wurzeln aus negativen Zahlen: Um die Wurzel einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie die Wurzel der entgegengesetzten positiven Zahl ziehen und dem Ergebnis ein Minuszeichen voranstellen.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Finden Sie den Wert der Wurzel.

Lösung.

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck so umwandeln, dass unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl steht: . Ersetzen Sie nun die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: . Wir wenden die Regel zum Ziehen der Wurzel eines gewöhnlichen Bruchs an: . Es müssen noch die Wurzeln im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs berechnet werden: .

Hier eine kurze Zusammenfassung der Lösung: .

Antwort:

.

Bitweise Bestimmung des Wurzelwerts

Im allgemeinen Fall steht unter der Wurzel eine Zahl, die mit den oben besprochenen Techniken nicht als n-te Potenz einer Zahl dargestellt werden kann. Aber gleichzeitig besteht die Notwendigkeit, die Bedeutung zu kennen gegebene Wurzel, zumindest bis zu einem bestimmten Vorzeichen. In diesem Fall können Sie zum Extrahieren der Wurzel einen Algorithmus verwenden, der es Ihnen ermöglicht, nacheinander eine ausreichende Anzahl von Ziffernwerten der gewünschten Zahl zu erhalten.

Der erste Schritt dieses Algorithmus besteht darin, herauszufinden, welches das höchstwertige Bit des Wurzelwerts ist. Dazu werden die Zahlen 0, 10, 100, ... nacheinander so lange mit n potenziert, bis der Zeitpunkt erreicht ist, an dem eine Zahl die Wurzelzahl überschreitet. Dann gibt die Zahl, die wir im vorherigen Schritt zur Potenz n erhoben haben, die entsprechende höchstwertige Ziffer an.

Betrachten Sie diesen Schritt des Algorithmus beispielsweise beim Extrahieren der Quadratwurzel aus fünf. Wir nehmen die Zahlen 0, 10, 100, ... und quadrieren sie, bis wir eine Zahl größer als 5 erhalten. Wir haben 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, was bedeutet, dass die Einerstelle die höchstwertige Ziffer ist. Der Wert dieses Bits sowie der niedrigeren Werte wird in den nächsten Schritten des Root-Extraktionsalgorithmus ermittelt.

Alle nachfolgenden Schritte des Algorithmus zielen darauf ab, den Wert der Wurzel nacheinander zu klären, indem die Werte der nächsten Bits des gewünschten Wertes der Wurzel ermittelt werden, beginnend mit dem höchsten bis hin zu den niedrigsten. Beispielsweise stellt sich heraus, dass der Wert der Wurzel beim ersten Schritt 2 ist, beim zweiten – 2,2, beim dritten – 2,23 und so weiter 2,236067977…. Beschreiben wir, wie die Werte der Ziffern ermittelt werden.

Die Ziffern werden durch Durchsuchen ihrer möglichen Werte 0, 1, 2, ..., 9 gefunden. Dabei werden parallel die n-ten Potenzen der entsprechenden Zahlen berechnet und mit der Wurzelzahl verglichen. Wenn der Wert des Grades irgendwann die Grundzahl überschreitet, gilt der Wert der Ziffer, die dem vorherigen Wert entspricht, und der Übergang zum nächsten Schritt des Wurzelextraktionsalgorithmus erfolgt; dann ist der Wert dieser Ziffer 9.

Lassen Sie uns diese Punkte anhand des gleichen Beispiels des Ziehens der Quadratwurzel aus fünf erläutern.

Zuerst ermitteln wir den Wert der Einerstelle. Wir gehen die Werte 0, 1, 2, ..., 9 durch und berechnen jeweils 0 2, 1 2, ..., 9 2, bis wir einen Wert erhalten, der größer als die Grundzahl 5 ist. Es ist zweckmäßig, alle diese Berechnungen in Form einer Tabelle darzustellen:

Der Wert der Einerstelle ist also 2 (da 2 2<5 , а 2 3 >5). Kommen wir nun dazu, den Wert des zehnten Platzes zu ermitteln. In diesem Fall quadrieren wir die Zahlen 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 und vergleichen die resultierenden Werte mit der Grundzahl 5:

Seit 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, dann ist der Wert der Zehntelstelle 2. Sie können mit der Ermittlung des Werts der Hundertstelstelle fortfahren:

So wurde der nächste Wert der Wurzel aus fünf gefunden, er beträgt 2,23. Und so finden Sie weiterhin Werte: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Um das Material zu konsolidieren, analysieren wir die Extraktion der Wurzel mit einer Genauigkeit von Hundertstel mit dem betrachteten Algorithmus.

Zuerst ermitteln wir die höchstwertige Ziffer. Dazu würfeln wir die Zahlen 0, 10, 100 usw. bis wir eine Zahl größer als 2.151.186 erhalten. Wir haben 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, die höchstwertige Ziffer ist also die Zehnerstelle.

Lassen Sie uns seinen Wert bestimmen.

Seit 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, dann ist der Wert der Zehnerstelle 1. Kommen wir zu den Einheiten.

Somit ist der Wert der Einerstelle 2. Kommen wir zu den Zehnteln.

Da sogar 12,9 3 kleiner als die Grundzahl 2 · 151,186 ist, beträgt der Wert der Zehntelstelle 9. Es bleibt noch der letzte Schritt des Algorithmus auszuführen; er wird uns den Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit liefern.

In diesem Stadium wird der Wert der Wurzel auf Hundertstel genau ermittelt: .

Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich sagen, dass es viele andere Möglichkeiten gibt, Wurzeln zu ziehen. Aber für die meisten Aufgaben reichen die oben untersuchten aus.

Referenzen.

  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Bildungseinrichtungen.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufseinsteiger).
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