Обозначения и символи. Най-простите геометрични фигури: точка, права линия, сегмент, лъч, начупена линия

В геометрията основните геометрични фигури са точката и линията. За обозначаване на точки е обичайно да се използват главни латински букви: A, B, C, D, E, F .... За обозначаване на прави линии се използват малки латински букви: a, b, c, d, e, f .... Фигурата по-долу показва права линия a и няколко точки A, B, C, D.

За да изобразим права линия на фигурата, използваме линийка, но не изобразяваме цялата линия, а само част от нея. Тъй като линията в нашия поглед се простира до безкрайност и в двете посоки, линията е безкрайна.

На фигурата по-горе виждаме, че точки A и C са разположени на права линия. а. В такива случаи казваме, че точките A и C принадлежат на правата a. Или казват, че линията минава през точки A и C. При писане принадлежността на точка към права се обозначава със специална икона. И фактът, че точката не принадлежи на линията, е маркиран със същата икона, само зачеркната.

В нашия случай точките B и D не принадлежат на правата a.

Както бе отбелязано по-горе, на фигурата точките A и C принадлежат на правата a. Нарича се частта от права, която се състои от всички точки на тази права, които лежат между две дадени точки сегмент. С други думи, отсечката е част от права линия, ограничена от две точки.

В нашия случай имаме сегмент АБ. Точки А и В се наричат ​​краища на отсечката. За да се обозначи сегмент, неговите краища са посочени, в нашия случай, AB. Едно от основните свойства на членството на точки и прави е следното Имот: през всякакви две точки можете да начертаете линия и освен това само една.

Ако две прави имат обща точка, тогава се казва, че двете прави се пресичат. На фигурата прави a и b се пресичат в точка A. Прави a и c не се пресичат.

Всякакви две прави имат само една обща точка или нямат общи точки. Ако приемем обратното, че две прави имат две общи точки, тогава две прави ще минават през тях. Но това е невъзможно, тъй като само една права може да бъде начертана през две точки.

Въпреки факта, че геометрията е една от точните науки, учените не могат да дефинират еднозначно понятието "права линия". В самото общ изгледможе да се даде това определение: "Правата линия е линия, по която пътят е равен на разстоянието между две точки."

Какво е права линия в математиката? Определение на права линия в математиката: правата линия няма краища и може да продължи в двете посоки до безкрайност.

Основните понятия на геометрията включват точка, права и равнина, те са дадени без дефиниция, но дефинициите на други геометрични форми се дават чрез тези понятия. Равнината, като права линия, е основно понятие, което няма определение. Това твърдение се установява от следната аксиома: ако две точки от права лежат в определена равнина, тогава всички точки от тази права лежат в тази равнина. А самото твърдение, което е доказано, се нарича теорема. Изявлението на теоремата обикновено се състои от две части.

Задача: къде е линията, лъчът, сегментът, кривата? Върховете на полилинията (подобно на върховете на планините) са точката, от която започва полилинията, точките, в които са свързани сегментите, образуващи полилинията, точката, където полилинията завършва. Задача: коя полилиния е по-дълга и коя има повече върхове? Съседните страни на многоъгълник са съседни връзки на прекъсната линия. Върховете на многоъгълника са върховете на полилинията. Съседните върхове са крайни точки на едната страна на многоъгълника.

В уроците по математика можете да чуете следното обяснение: математическият сегмент има дължина и краища. Сегментът в математиката е набор от всички точки, лежащи на права линия между краищата на отсечка.

В бъдеще ще има определения за различни фигури, с изключение на две - точка и права. Така че понякога можем да обозначим права линия с две големи с латински букви, например, линията\(AB\), тъй като през тези две точки не може да се прокара друга права. Записваме символично отсечката \(AB\).

Какво е точка в математиката?

Теорема: Средната линия на триъгълник е успоредна на една от страните му и равна на половината от тази страна. C. Височина на правоъгълен триъгълник, изтеглен от връх прав ъгъл, разделя триъгълника на две подобни правоъгълен триъгълник, всеки от които е подобен на даден триъгълник. C. Вписан ъгъл на базата на полукръг е прав ъгъл. Тук са събрани основните дефиниции, теореми, свойства на фигурите в равнината.

Векторът с координатите на точката се нарича нормален вектор, той е перпендикулярен на правата.

При систематично представяне на геометрията правата линия обикновено се приема като едно от изходните понятия, което само косвено се определя от аксиомите на геометрията.

4. Две несъвпадащи прави линии в равнина или се пресичат в една точка, или са успоредни. Лъчът е част от права линия, ограничена от едната страна. Сегментът, подобно на права линия, се обозначава с една или две букви. В последния случай тези букви показват краищата на сегмента.

Ще разгледаме всяка една от темите, а накрая ще има тестове по темите.

Точка по математика

Какво е точка в математиката? Математическата точка няма размери и се обозначава с главни латински букви: A, B, C, D, F и т.н.

На фигурата можете да видите изображението на точки A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Сегмент по математика

Какво е сегмент в математиката? В уроците по математика можете да чуете следното обяснение: математическият сегмент има дължина и краища. Сегментът в математиката е набор от всички точки, лежащи на права линия между краищата на отсечка. Краищата на сегмента са две гранични точки.

На фигурата виждаме следното: отсечки ,,,, и , както и две точки B и S.

Прави линии по математика

Какво е права линия в математиката? Определение на права линия в математиката: правата линия няма краища и може да продължи в двете посоки до безкрайност. Правата линия в математиката се означава с произволни две точки от права линия. За да обясним на ученик концепцията за права линия, можем да кажем, че правата е отсечка, която няма два края.

Фигурата показва две прави линии: CD и EF.

Рей по математика

Какво е лъч? Определение на лъч в математиката: Лъчът е част от права, която има начало и няма край. Името на лъча съдържа две букви, например DC. Освен това първата буква винаги показва точката на началото на лъча, така че не можете да разменяте буквите.

Фигурата показва гредите: DC, KC, EF, MT, MS. Греди KC и KD - една греда, т.к имат общ произход.

Числова права по математика

Определение на числова права в математиката: Права, чиито точки отбелязват числа, се нарича числова права.

Фигурата показва числова права, както и лъч OD и ED

Страница 1 от 3

§едно. тестови въпроси
Въпрос 1. Дайте примери за геометрични фигури.
Отговор.Примери за геометрични фигури: триъгълник, квадрат, кръг.

Въпрос 2.Кои са основните геометрични фигурина повърхността.
Отговор.Основните геометрични фигури на равнината са точката и линията.

Въпрос 3.Как се дефинират точките и линиите?
Отговор.Точките са обозначени с главни латински букви: A, B, C, D, .... Правите линии се означават с малки латински букви: a, b, c, d, ....
Една права може да бъде обозначена с две точки, лежащи върху нея. Например, линия a на фигура 4 може да бъде обозначена с AC, а линия b може да бъде обозначена с BC.

Въпрос 4.Формулирайте основните свойства на принадлежността на точки и прави.
Отговор.Каквато и да е правата, има точки, които принадлежат на тази права, и точки, които не й принадлежат.
През произволни две точки можете да начертаете права и само една.
Въпрос 5.Обяснете какво е отсечка с краища в дадени точки.
Отговор.Отсечката е част от права линия, която се състои от всички точки от тази права линия, които лежат между две дадени точки от нея. Тези точки се наричат ​​краища на отсечката. Сегментът се обозначава чрез посочване на неговите краища. Когато казват или пишат: "сегмент AB", те имат предвид отсечка с краища в точки A и B.

Въпрос 6.Формулирайте основното свойство на разположението на точките по права линия.
Отговор.От трите точки на една права, една и само една лежи между другите две.
Въпрос 7.Формулирайте основните свойства на измервателните сегменти.
Отговор.Всеки сегмент има определена дължина, по-голяма от нула. Дължината на отсечката е равна на сбора от дължините на частите, на които е разделен от някоя от неговите точки.
Въпрос 8.Какво е разстоянието между две дадени точки?
Отговор.Дължината на отсечката AB се нарича разстоянието между точките A и B.
Въпрос 9.Какви са свойствата на разделянето на равнина на две полуравнини?
Отговор.Разделянето на равнина на две полуравнини има следното свойство. Ако краищата на който и да е сегмент принадлежат на една и съща полуравнина, тогава сегментът не пресича правата. Ако крайните точки на сегмент принадлежат на различни полуравнини, тогава сегментът пресича правата.

В тази статия ще се спрем подробно на едно от основните понятия на геометрията - на концепцията за права линия върху равнина. Първо, нека дефинираме основните термини и обозначения. След това обсъждаме относителното положение на права и точка, както и две прави в равнина и даваме необходимите аксиоми. В заключение ще разгледаме начините за задаване на права линия върху равнина и ще дадем графични илюстрации.

Навигация в страницата.

Правата линия в равнина е понятие.

Преди да се даде концепцията за права линия върху равнина, трябва ясно да се разбере какво е равнина. Представяне на самолетави позволява да получите, например, равна повърхност на масата или стената на къщата. Трябва обаче да се има предвид, че размерите на масата са ограничени и равнината се простира отвъд тези граници до безкрайност (все едно имаме произволно голяма маса).

Ако вземем добре заточен молив и докоснем сърцевината му до повърхността на „масата“, тогава ще получим изображение на точка. Така че получаваме представяне на точка от равнина.

Сега можете да отидете на концепция за права линия върху равнина.

Нека поставим върху повърхността на масата (на самолета) лист чиста хартия. За да начертаем права линия, трябва да вземем линийка и да начертаем линия с молив, доколкото позволява размерът на използваната линийка и лист хартия. Трябва да се отбележи, че по този начин получаваме само част от правата линия. Една права линия в нейната цялост, простираща се до безкрайност, можем само да си представим.

Взаимно положение на права и точка.

Трябва да започнете с аксиома: има точки на всяка права линия и във всяка равнина.

Точките обикновено се означават с главни латински букви, например точки A и F. От своя страна правите линии се означават с малки латински букви, например прави линии a и d.

Възможен два варианта за относителното положение на права и точка в равнина: или точката лежи на правата (в този случай правата също се казва, че минава през точката), или точката не лежи на правата (също се казва, че точката не принадлежи на правата, или правата не минава през точката).

За да се посочи, че дадена точка принадлежи на определена линия, се използва символът "". Например, ако точка А лежи на правата а, тогава можете да пишете. Ако точка А не принадлежи на правата а, запишете.

Следното твърдение е вярно: през всякакви две точки има само една права линия.

Това твърдение е аксиома и трябва да се приеме като факт. Освен това, това е съвсем очевидно: маркираме две точки на хартия, прилагаме линийка към тях и начертаваме права линия. Права линия, минаваща през две дадени точки (например през точки A и B), може да бъде обозначена с тези две букви (в нашия случай права линия AB или BA).

Трябва да се разбере, че на права линия, дадена на равнина, има безкрайно много различни точки и всички тези точки лежат в една и съща равнина. Това твърдение се установява от аксиомата: ако две точки от права лежат в определена равнина, тогава всички точки от тази права лежат в тази равнина.

Множеството от всички точки, разположени между две точки, дадени на права линия, заедно с тези точки, се нарича праваили просто сегмент. Точките, които ограничават сегмента, се наричат ​​краища на отсечката. Сегментът се обозначава с две букви, съответстващи на точките на краищата на сегмента. Например, нека точки A и B са краищата на сегмент, тогава този сегмент може да бъде обозначен AB или BA. Моля, имайте предвид, че това обозначение на сегмент е същото като обозначението на права линия. За да избегнете объркване, препоръчваме да добавите думата "сегмент" или "направо" към обозначението.

За кратък запис на принадлежност и непринадлежност на определена точка към определен сегмент се използват едни и същи символи и. За да се покаже, че сегментът лежи или не лежи на права линия, се използват съответно символите и. Например, ако отсечката AB принадлежи на линия а, можете да запишете накратко.

Трябва да се спрем и на случая, когато три различни точки принадлежат на една и съща права. В този случай една и само една точка лежи между другите две. Това твърдение е друга аксиома. Нека точки A, B и C лежат на една и съща права линия, а точка B лежи между точки A и C. Тогава можем да кажем, че точки A и C са от противоположните страни на точка B. Можете също да кажете, че точки B и C лежат от една и съща страна на точка A, а точки A и B лежат от една и съща страна на точка C.

За да завършим картината, отбелязваме, че всяка точка от права линия разделя тази права линия на две части - две лъч. За този случай е дадена аксиома: произволна точка O, принадлежаща на права, разделя тази права на два лъча и всякакви две точки от един лъч лежат от една и съща страна на точка O и всякакви две точки от различни лъчи лежат от противоположните страни на точка О.

Взаимно подреждане на прави линии върху равнина.

Сега нека да отговорим на въпроса: "Как две прави могат да бъдат разположени на равнина една спрямо друга"?

Първо, две линии в една равнина могат съвпада.

Това е възможно, когато линиите имат поне две общи точки. Всъщност, по силата на аксиомата, изразена в предишния параграф, една права линия минава през две точки. С други думи, ако две прави минават през две дадени точки, тогава те съвпадат.

Второ, две прави линии в една равнина могат кръст.

В този случай линиите имат една обща точка, която се нарича пресечна точка на линиите. Пресечната точка на линиите се обозначава със символа "", например записът означава, че линии a и b се пресичат в точка M. Пресичащите се прави ни водят до концепцията за ъгъла между пресичащите се прави. Отделно, струва си да се обмисли местоположението на прави линии в равнина, когато ъгълът между тях е деветдесет градуса. В този случай линиите се извикват перпендикулярно(препоръчваме статията перпендикулярни линии, перпендикулярност на линиите). Ако правата a е перпендикулярна на права b, тогава може да се използва кратка нотация.

Трето, две прави в равнина могат да бъдат успоредни.

От практическа гледна точка е удобно да се разглежда права линия върху равнина заедно с вектори. От особено значение са ненулевите вектори, лежащи на дадена права или на някоя от успоредните прави, те се наричат вектори на посоката на правата линия. Статията насочващ вектор на права линия върху равнина дава примери за насочващи вектори и показва варианти за тяхното използване при решаване на задачи.

Трябва също да обърнете внимание на ненулеви вектори, лежащи на която и да е от линиите, перпендикулярни на дадената. Такива вектори се наричат нормални вектори на линията. Използването на нормални вектори на права линия е описано в статията нормален вектор на права линия върху равнина.

Когато на равнина са дадени три или повече прави линии, тогава възниква множество различни опциитяхната относителна позиция. Всички прави могат да бъдат успоредни, в противен случай някои или всички от тях се пресичат. В този случай всички линии могат да се пресичат в една точка (вижте статията молив на линиите) или могат да имат различни точки на пресичане.

Няма да се спираме на това подробно, но ще приведем няколко забележителни и много често използвани факта без доказателства:

• ако две прави са успоредни на трета права, тогава те са успоредни една на друга;
• ако две прави са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни една на друга;
• ако в равнина правата пресича една от две успоредни прави, тогава тя пресича и втората права.

Методи за задаване на права линия върху равнина.

Сега ще изброим основните начини, по които можете да дефинирате конкретна линия в равнината. Това знание е много полезно от практическа гледна точка, тъй като решаването на толкова много примери и проблеми се основава на него.

Първо, права линия може да бъде дефинирана чрез определяне на две точки в равнината.

Всъщност от аксиомата, разгледана в първия параграф на тази статия, знаем, че права линия минава през две точки и освен това само една.

Ако координатите на две несъвпадащи точки са посочени в правоъгълна координатна система на равнина, тогава е възможно да се запише уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки.

Второ, правата може да бъде определена, като се посочи точката, през която минава, и правата, на която е успоредна. Този метод е валиден, тъй като една права линия минава през дадена точка от равнината, успоредна на дадена права линия. Доказателството на този факт беше извършено на уроците по геометрия в гимназията.

Ако по този начин се зададе права линия на равнина спрямо въведения правоъгълник Декартова системакоординати, тоест способността да се състави нейното уравнение. Това е написано в статията уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, успоредна на дадена права линия.

На трето място, една линия може да бъде дефинирана чрез посочване на точката, през която минава, и нейния вектор на посоката.

Ако правата линия е дадена в правоъгълна координатна система по този начин, тогава е лесно да се състави нейното канонично уравнение на права линия върху равнина и параметрични уравнения на права линия върху равнина.

Четвъртият начин да посочите права е да посочите точката, през която тя минава, и линията, на която е перпендикулярна. Всъщност има само една права през дадена точка от равнината, която е перпендикулярна на дадената права. Нека оставим този факт без доказателства.

И накрая, линия в равнината може да бъде определена чрез посочване на точката, през която минава, и нормалния вектор на правата.

Ако координатите на точка, лежаща на дадена права, и координатите на нормалния вектор на правата са известни, тогава е възможно да се запише общото уравнение на правата.

Библиография.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 клас: учебник за учебни заведения.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на гимназията.
• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитична геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Авторско право от умни студенти

Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Не е част от www.website, включително вътрешни материалии външен дизайнне могат да бъдат възпроизвеждани под каквато и да е форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.