Кога може да се използва интервалният метод? Дробно-рационални неравенства

Метод на разстояниее прост начин за решаване на дробни рационални неравенства. Това е името на неравенствата, съдържащи рационални (или дробно-рационални) изрази, които зависят от променлива.

1. Да разгледаме, например, следното неравенство

Методът на интервалите ви позволява да го решите за няколко минути.

От лявата страна на това неравенство е дробна рационална функция. Рационално, защото не съдържа нито корени, нито синуси, нито логаритми - само рационални изрази. Вдясно е нула.

Интервалният метод се основава на следното свойство на дробна рационална функция.

Дробна рационална функция може да промени знака само в онези точки, където е равна на нула или не съществува.

Припомнете си как квадратен трином се разлага на множители, тоест израз на формата .

Къде и са корените квадратно уравнение.

Начертаваме ос и подреждаме точките, в които числителят и знаменателят изчезват.

Нулите на знаменателя и са пробити точки, тъй като в тези точки функцията от лявата страна на неравенството не е дефинирана (не можете да разделите на нула). Нулите на числителя и - са защриховани, тъй като неравенството не е строго. Защото и нашето неравенство е изпълнено, тъй като и двете му части са равни на нула.

Тези точки разбиват оста на интервали.

Нека определим знака на дробно-рационалната функция от лявата страна на нашето неравенство на всеки от тези интервали. Не забравяйте, че дробна рационална функция може да промени знака само в онези точки, където е равна на нула или не съществува. Това означава, че на всеки от интервалите между точките, където числителят или знаменателят изчезват, знакът на израза от лявата страна на неравенството ще бъде постоянен - или "плюс", или "минус".

И следователно, за да определим знака на функцията на всеки такъв интервал, вземаме всяка точка, принадлежаща на този интервал. Този, който ни подхожда.
. Вземете например и проверете знака на израза от лявата страна на неравенството. Всяка от "скобите" е отрицателна. Лявата страна има знак.

Следващ интервал: . Нека проверим знака за . Ние разбираме това лява странапромени знака на .

Да вземем. Когато изразът е положителен - следователно, той е положителен на целия интервал от до .

За , лявата страна на неравенството е отрицателна.

И накрая class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Открихме на какви интервали изразът е положителен. Остава да напишем отговора:

Отговор: .

Моля, обърнете внимание: знаците на интервалите се редуват. Това се случи, защото при преминаване през всяка точка точно един от линейните фактори променя знака, а останалите го запазват непроменени.

Виждаме, че интервалният метод е много прост. За да решим дробно-рационално неравенство по метода на интервалите, го привеждаме във вида:

Или class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, или или .

(от лявата страна - дробно-рационална функция, от дясната страна - нула).

След това - отбелязваме на числовата права точките, в които числителят или знаменателят изчезват.
Тези точки разделят цялата числова права на интервали, на всеки от които дробно-рационалната функция запазва знака си.
Остава само да разберем неговия знак на всеки интервал.
Правим това, като проверяваме знака на израза във всяка точка от дадения интервал. След това записваме отговора. Това е всичко.

Но възниква въпросът: винаги ли се редуват знаците? Не, не винаги! Трябва да внимаваме да не поставяме знаци механично и необмислено.

2. Нека разгледаме друго неравенство.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \вляво(x-3\вдясно))>0"> !}

Отново поставяме точки по оста. Точките и са пробити, защото са нулите на знаменателя. Точката също се пробива, тъй като неравенството е строго.

Когато числителят е положителен, и двата фактора в знаменателя са отрицателни. Това е лесно да се провери, като се вземе произволно число от даден интервал, например . От лявата страна има знак:

Когато числителят е положителен; първият фактор в знаменателя е положителен, вторият фактор е отрицателен. От лявата страна има знак:

Когато ситуацията е същата! Числителят е положителен, първият фактор в знаменателя е положителен, вторият е отрицателен. От лявата страна има знак:

И накрая, с class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Отговор: .

Защо редуването на знаци беше нарушено? Защото при преминаване през точката множителят "отговаря" за това не смени знака. Следователно цялата лява част на нашето неравенство също не промени знака.

заключение: ако линейният фактор е в четна степен (например в квадрат), тогава при преминаване през точка знакът на израза от лявата страна не се променя. В случай на нечетна степен знакът, разбира се, се променя.

3. Помислете за повече труден случай. Тя се различава от предишната по това, че неравенството не е строго:

Лявата страна е същата като в предишния проблем. Картината на знаците ще бъде същата:

Може би отговорът ще бъде същият? Не! Решението се добавя Това е така, защото при , и лявата и дясната страна на неравенството са равни на нула - следователно тази точка е решение.

Отговор: .

В задачата на изпита по математика често се среща тази ситуация. Тук кандидатите попадат в капан и губят точки. Бъди внимателен!

4. Ами ако числителят или знаменателят не могат да бъдат разложени на линейни фактори? Помислете за това неравенство:

Квадратният трином не може да бъде разложен на множители: дискриминантът е отрицателен, няма корени. Но това е добре! Това означава, че знакът на израза е еднакъв за всички и по-конкретно е положителен. Можете да прочетете повече за това в статията за свойствата на квадратична функция.

И сега можем да разделим двете страни на нашето неравенство на стойност, която е положителна за всички. Стигаме до еквивалентно неравенство:

Което лесно се решава чрез интервалния метод.

Обърнете внимание – разделихме двете страни на неравенството на стойността, за която със сигурност знаехме, че е положителна. Разбира се, в общия случай не трябва да умножавате или разделяте неравенство с променлива, чийто знак е неизвестен.

5 . Помислете за друго неравенство, на пръв поглед съвсем просто:

Така че искам да го умножа по . Но ние вече сме умни и няма да направим това. В крайна сметка тя може да бъде както положителна, така и отрицателна. И знаем, че ако и двете части на неравенството се умножат по отрицателна стойност, знакът на неравенството се променя.

Ще действаме по различен начин – ще съберем всичко в една част и ще го доведем до общ знаменател. Нулата ще остане от дясната страна:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

И след това - приложимо интервален метод.

Метод на разстояние е специален алгоритъм, предназначен да решава комплексни неравенства от вида f(x) > 0. Алгоритъмът се състои от 5 стъпки:

Решете уравнението f(x) = 0. Така вместо неравенство получаваме уравнение, което е много по-лесно за решаване;
Маркирайте всички получени корени на координатната линия. Така правата линия ще бъде разделена на няколко интервала;
Намерете множеството на корените. Ако корените са равномерни, тогава начертаваме цикъл над корена. (Коренът се счита за кратен, ако има четен брой еднакви решения)
Намерете знака (плюс или минус) на функцията f(x) в най-десния интервал. За да направите това, достатъчно е да замените във f (x) всяко число, което ще бъде вдясно от всички маркирани корени;
Маркирайте знаците на останалите интервали, като ги редувате.

След това остава само да напишем интервалите, които ни интересуват. Те са маркирани със знак „+“, ако неравенството е от формата f(x) > 0, или със знак „−“, ако неравенството е от формата f(x)< 0.

При нестроги неравенства (≤ , ≥) е необходимо да се включат в интервалите точките, които са решение на уравнението f(x) = 0;

Пример 1:

Решете неравенството:

(x - 2)(x + 7)< 0

Работим по метода на интервалите.

Етап 1: заменете неравенството с уравнение и го решете:

(x - 2)(x + 7) = 0

Продуктът е равен на нула, ако и само ако поне един от факторите е равен на нула:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Има два корена.

Стъпка 2: маркирайте тези корени на координатната линия. Ние имаме:

Стъпка 3: намираме знака на функцията на най-десния интервал (вдясно от маркираната точка x = 2). За да направите това, вземете произволно число повече брой x = 2. Например, да вземем x = 3 (но никой не забранява да вземем x = 4, x = 10 и дори x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаваме, че f(3) = 10 > 0 (10 е положително число), така че поставяме знак плюс в най-десния интервал.

Стъпка 4: трябва да маркирате знаците на останалите интервали. Не забравяйте, че когато преминавате през всеки корен, знакът трябва да се промени. Например, вдясно от корена x = 2 има плюс (уверихме се в това в предишната стъпка), така че трябва да има минус отляво. Този минус се простира до целия интервал (−7; 2), така че има минус вдясно от корена x = −7. Следователно има плюс вляво от корена x = −7. Остава да маркирате тези знаци върху координатната ос.

Нека се върнем към първоначалното неравенство, което изглеждаше така:

(x - 2)(x + 7)< 0

Така че функцията трябва да бъде по-малко от нула. Това означава, че ни интересува знакът минус, който се среща само на един интервал: (−7; 2). Това ще бъде отговорът.

Пример 2:

Решете неравенството:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

решение:

Първо трябва да намерите корените на уравнението

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Нека свием първата скоба, получаваме:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

х - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Чрез решаването на тези уравнения получаваме:

Нека начертаем точките на числовата права:

Защото x 2 и x 3 са множество корени, тогава ще има една точка на правата и над нея “ примката”.

Вземете произволно число, по-малко от най-лявата точка и го заменете в първоначалното неравенство. Да вземем числото -1.

Не забравяйте да включите решението на уравнението (намерено от X), т.к нашето неравенство не е строго.

Отговор: () U ∪(3)∪ (знакът не е дефиниран на интервала (−6, 4), тъй като не е част от областта на функцията). За да направите това, вземете една точка от всеки интервал, например 16 , 8 , 6 и −8 , и изчислете стойността на функцията f в тях:

Ако имате въпроси относно това как се установи какви са изчислените стойности на функцията, положителни или отрицателни, тогава проучете материала на статията сравнение на числата.

Поставяме знаците, които току-що дефинирахме, и прилагаме щриховане върху пролуките със знак минус:

В отговор ние записваме обединението на две празнини със знака −, имаме (−∞, −6]∪(7, 12) . Обърнете внимание, че −6 е включено в отговора (съответната точка е твърда, не е пробита) Въпросът е, че тази ненулева функция (която при решаване строго неравенствоне бихме включили в отговора), а граничната точка на областта на дефиниция (тя е оцветена, а не черна), като същевременно е включена в областта на дефиницията. Стойността на функцията в тази точка е отрицателна (както се вижда от знака минус през съответния интервал), тоест тя удовлетворява неравенството. Но 4 не е необходимо да се включва в отговора (както и целият интервал ∪(7, 12) .

Библиография.

алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А.Г.алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-то изд., ст. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Кудрявцев Л.Д.Курс по математически анализ (в два тома): Учебник за студенти от университети и технически колежи. - М .: По-високо. училище, 1981, т. 1. - 687 с., ил.

Интервалният метод е универсален метод за решаване на неравенства, по-специално позволява решаване на квадратни неравенства с една променлива. В тази статия ще разгледаме подробно всички нюанси на решаването на квадратни неравенства с помощта на интервалния метод. Първо представяме алгоритъма, след което анализираме подробно готовите решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Алгоритъм

Първото запознаване с метода на интервалите обикновено става в уроците по алгебра, когато се научават да решават квадратни неравенства. В този случай алгоритъмът на интервалния метод е даден във форма, адаптирана специално за решението на квадратни неравенства. Отдавайки почит на простотата, ние също ще го дадем в тази форма и можете да видите общия алгоритъм на интервалния метод на връзката в самото начало на тази статия.

Така, алгоритъм за решаване на квадратни неравенства по интервалния методе:

Намиране на нулите на квадратен трином a x 2 +b x+c от лявата страна на квадратното неравенство.
Изобразяваме и, ако има корени, ги маркираме върху него. Освен това, ако решим строго неравенство, тогава ги маркираме с празни (пробити) точки, а ако решим нестрого неравенство, тогава с обикновени точки. Те разбиват координатната ос на интервали.
Определяме кои знаци имат стойностите на тричлена на всеки интервал (ако са намерени нули на първата стъпка) или на цялата числова права (ако няма нули), ще ви кажем как да направите това малко по-ниско. И поставете над тези празнини + или - в съответствие с определени знаци.
Ако решим квадратно неравенство със знака > или ≥, тогава прилагаме щриховане върху пролуките със знаци +, но ако решим неравенството със знака< или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
Записваме отговора.

Както обещахме, обясняваме третата стъпка от озвучения алгоритъм. Има няколко основни подхода, които ви позволяват да намерите знаци за пропуски. Ще ги изучаваме с примери и ще започнем с надежден, но не най-бърз начин, който се състои в изчисляване на стойностите на тринома в отделни точки от интервалите.

Вземете тричлена x 2 +4 x−5 , неговите корени са числата −5 и 1 , те разделят реалната ос на три интервала (−∞, −5) , (−5, 1) и (1, +∞) .

Нека определим знака на тричлена x 2 +4 x−5 на интервала (1, +∞) . За да направим това, изчисляваме стойността на този тричлен за някаква стойност на x от този интервал. Препоръчително е да вземете такава стойност на променливата, така че изчисленията да са лесни. В нашия случай, например, можем да вземем x=2 (изчисленията с това число са по-лесни, отколкото например с 1.3 , 74 или ). Заместваме го в тричлена вместо променливата x , като в резултат получаваме 2 2 +4 2−5=7 . 7 е положително число, което означава, че всяка стойност на квадратния трином на интервала (1, +∞) ще бъде положителна. Ето как дефинирахме знака +.

За да консолидираме уменията, ще определим знаците на останалите два интервала. Нека започнем със знака на интервала (−5, 1) . От този интервал е най-добре да вземем x=0 и да изчислим стойността на квадратния трином за тази стойност на променливата, имаме 0 2 +4 0−5=−5 . Тъй като −5 е отрицателно число, тогава на този интервал всички стойности на тричлена ще бъдат отрицателни, следователно сме дефинирали знак минус.

Остава да открием знака на интервала (−∞, −5) . Вземете x=−6 , заместете го с x , получаваме (−6) 2 +4 (−6)−5=7 , следователно, необходимият знак ще бъде плюс.

Но следните факти ви позволяват да подреждате знаците по-бързо:

Когато квадратен трином има два корена (с положителен дискриминант), тогава знаците на неговите стойности на интервалите, на които тези корени разделят реалната ос, се редуват (както в предишния пример). Тоест, достатъчно е да определите знака на една от трите празнини и да поставите знаците върху останалите празнини, като ги редувате. В резултат на това е възможна една от двете поредици от знаци: +, −, + или −, +, −. Освен това можете да направите без да изчислявате стойността на квадратния трином в точката на интервала и да направите заключения за знаците от стойността на водещия коефициент a: ако a > 0, тогава имаме последователност от знаци +, − , + и ако a<0 – то −, +, −.
Ако квадратният трином има един корен (когато дискриминантът е нула), тогава този корен разделя реалната ос на два интервала и знаците над тях ще бъдат еднакви. Тоест, достатъчно е да дефинирате знак върху един от тях и да поставите същия върху другия. В този случай ще се окаже или +, +, или −, −. Заключение по знаци може да се направи и въз основа на стойността на коефициента a: ако a>0, тогава ще бъде +, + и ако a<0 , то −, −.
Когато квадратен трином няма корени, тогава знаците на неговите стойности на цялата числова права съвпадат както със знака на водещия коефициент a, така и със знака на свободния член c. Например, разгледайте квадратния тричлен −4 x 2 −7, той няма корени (дискриминантът му е отрицателен), а на интервала (−∞, +∞) стойностите му са отрицателни, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателно число −4, а свободният член −7 също е отрицателен.

Сега всички стъпки на алгоритъма са анализирани и остава да разгледаме примери за решаване на квадратни неравенства с него.

Примери с решения

Да преминем към практиката. Ще решим няколко квадратни неравенства с помощта на интервалния метод и ще засегнем основните характерни случаи.

Пример.

Решете неравенството 8 x 2 −4 x−1≥0 .

Решение.

Нека решим това квадратно неравенство по интервалния метод. На първата стъпка това означава намиране на корените на квадратния трином 8 x 2 −4 x−1 . Коефициентът при x е четен, така че е по-удобно да се изчисли не дискриминанта, а неговата четвърта част: D "= (−2) 2 −8 (−1)=12. Тъй като е по-голям от нула, намираме два корена и .

Сега ги маркираме на координатната линия. Лесно е да се види, че х 1

Освен това, използвайки метода на интервалите, ние определяме знаците на всеки от трите получени интервала. Най-удобно и най-бързо е да направите това въз основа на стойността на коефициента при x 2, той е равен на 8, тоест положителен, следователно последователността от знаци ще бъде +, −, +:

Тъй като решаваме неравенството със знака ≥, рисуваме щриховане върху пропуските със знаци плюс:

Въз основа на полученото изображение на числов набор, не е трудно да го опишем аналитично: или нещо такова . Така че решихме първоначалното квадратно неравенство.

Отговор:

или .

Пример.

Решете квадратното неравенство интервален метод.

Решение.

Намираме корените на квадратния трином, разположен от лявата страна на неравенството:

Тъй като решаваме строго неравенство, начертаваме перфорирана точка с координата 7 на координатната линия:

Сега определяме знаците на двата получени интервала (−∞, 7) и (7, +∞) . Това е лесно да се направи, като се има предвид, че дискриминантът на квадратния трином е нула и водещият коефициент е отрицателен. Имаме знаци −, −:

Тъй като ние решаваме неравенство със знак<, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Ясно се вижда, че и двата интервала (−∞, 7) , (7, +∞) са решения.

Отговор:

(−∞, 7)∪(7, +∞) или в друга нотация x≠7 .

Пример.

Прави ли квадратното неравенство x 2 +x+7<0 решения?

Решение.

За да отговорим на поставения въпрос, ще решим това квадратно неравенство и щом анализираме метода на интервалите, тогава ще го използваме. Както обикновено, започваме с намирането на корените на квадратния трином от лявата страна. Намираме дискриминанта: D=1 2 −4 1 7=1−28=−27 , той е по-малък от нула, което означава, че няма реални корени.

Следователно, ние просто изобразяваме координатната линия, без да маркираме никакви точки върху нея:

Сега определяме знака на стойностите на квадратния трином. При Д<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Решаваме неравенството със знак<, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.

В резултат на това имаме празно множество, което означава, че оригиналното квадратно неравенство няма решения.

Отговор:

Библиография.

алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордкович А.Г.алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-то изд., ст. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А.Г.Алгебра и начало на математическия анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции (профилно ниво) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша си. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезния ресурс за

Просто трябва да разберете този метод и да го познавате като пръстите си! Дори само защото се използва за решаване на рационални неравенства и защото, познавайки правилно този метод, решаването на тези неравенства е изненадващо просто. Малко по-късно ще ви разкрия няколко тайни как да спестите време за решаване на тези неравенства. Е, заинтригуван ли си? Тогава да тръгваме!

Същността на метода е да се факторизира неравенството (повторете темата) и да определите ODZ и знака на факторите, сега ще обясня всичко. Да вземем най-простия пример: .

Тук няма нужда да пишете областта на допустимите стойности (), тъй като няма разделяне на променлива и тук не се наблюдават радикали (корени). Всичко тук вече е умножено за нас. Но не се отпускайте, това е всичко, за да напомните основите и да разберете същността!

Да предположим, че не знаете метода на интервалите, как бихте се справили с това неравенство? Бъдете логични и надградете това, което вече знаете. Първо, лявата страна ще бъде по-голяма от нула, ако и двата израза в скоби са или по-големи от нула, или по-малки от нула, тъй като "Плюс" на "плюс" прави "плюс", а "минус" на "минус" прави "плюс", нали? И ако знаците на изразите в скоби са различни, тогава в крайна сметка лявата страна ще бъде по-малка от нула. Но какво ни трябва, за да разберем онези стойности, за които изразите в скоби ще бъдат отрицателни или положителни?

Трябва да решим уравнението, то е точно същото като неравенството, само че вместо знака ще има знак, корените на това уравнение ще ни позволят да определим онези гранични стойности, отклонение от които факторите и ще бъдат по-големи или по-малко от нула.

А сега самите интервали. Какво е интервал? Това е определен интервал от числовата права, тоест всички възможни числа, затворени между някои две числа - краищата на интервала. Не е толкова лесно да си представите тези пропуски в главата си, така че е обичайно да чертаете интервали, сега ще ви науча.

Начертаваме ос, върху нея се намира цялата серия от числа от и до. По оста се нанасят точки, така наречените нули на функцията, стойности, при които изразът е равен на нула. Тези точки са "избодени", което означава, че не са сред онези стойности, за които неравенството е вярно. В този случай те се пробиват. знакът в неравенството и не, тоест строго по-голям от и не по-голям или равен на.

Искам да кажа, че не е необходимо да се отбелязва нула, тук е без кръгове, но така, за разбиране и ориентация по оста. Добре, оста беше начертана, точките (или по-скоро кръговете) бяха поставени, тогава какво, как ще ми помогне това при решаването? - ти питаш. Сега просто вземете стойността за x от интервалите в ред и ги заменете във вашето неравенство и вижте какъв ще бъде знакът в резултат на умножението.

Накратко, ние просто вземаме пример, заместваме го тук, ще се окаже, което означава, че на целия интервал (на целия интервал) от до, от който взехме, неравенството ще бъде вярно. С други думи, ако x е от до, тогава неравенството е вярно.

Правим същото с интервал от до, вземаме или, например, заместваме, определяме знака, знакът ще бъде „минус“. И правим същото с последния, трети интервал от до, където знакът ще се окаже „плюс“. Излезе такъв куп текст, но има малка видимост, нали?

Погледнете отново неравенството.

Сега на същата ос прилагаме и знаците, които ще бъдат резултатът. Прекъснатата линия в моя пример обозначава положителните и отрицателните участъци на оста.

Погледнете неравенството - картината, отново неравенството - и отново картинатанещо ясно ли е? Сега се опитайте да кажете на какви интервали от x, неравенството ще бъде вярно. Точно така, от до неравенството също ще важи от до, а на интервала от до неравенството на нула и този интервал не ни интересува малко, защото имаме знак в неравенството.

Е, след като го разбрахте, от вас зависи да запишете отговора! В отговор ние записваме тези интервали, при които лявата страна е по-голяма от нула, което се чете като X принадлежи на интервала от минус безкрайност до минус едно и от две до плюс безкрайност. Струва си да поясним, че скобите означават, че стойностите, от които е ограничен интервалът, не са решения на неравенството, тоест не са включени в отговора, а само казват, че преди, например, но няма решение.

Сега пример, в който ще трябва да нарисувате не само интервала:

Какво според вас трябва да се направи, преди да се поставят точки върху оста? Да, вземете предвид:

Начертаваме интервали и поставяме знаци, забелязваме точките, които сме пробили, защото знакът е строго по-малък от нула:

Време е да ви разкрия една тайна, която обещах в началото на тази тема! Но какво ще стане, ако ви кажа, че не можете да замените стойностите от всеки интервал, за да определите знака, но можете да определите знака в един от интервалите, а в останалите просто да редувате знаците!

Така спестихме малко време за поставяне на знаци - мисля, че този спечелен път на изпита няма да навреди!

Пишем отговора:

Сега разгледайте пример за дробно рационално неравенство - неравенство, и двете части на което са рационални изрази (вижте).

Какво можете да кажете за това неравенство? И вие гледате на него като на дробно рационално уравнение, какво правим първо? Веднага виждаме, че няма корени, което означава, че определено е рационално, но тогава има дроб и дори с неизвестно в знаменателя!

Точно така, ОДЗ е необходимо!

И така, нека отидем по-нататък, тук всички фактори с изключение на един имат променлива от първа степен, но има фактор, при който x има втора степен. Обикновено нашият знак се променя след преминаване през една от точките, в които лявата страна на неравенството придобива нулева стойност, за което определяме какво трябва да бъде x във всеки фактор. И тук, така че винаги е положително, т.к. всяко квадратно число > нула и положителен член.

Как мислите, че ще се отрази на стойността на неравенството? Точно така - няма значение! Можем спокойно да разделим неравенството на двете части и по този начин да премахнем този фактор, така че да не нарани очите ни.

време е да начертаете интервали, за това трябва да определите онези гранични стойности, отклоняващи се от които множителите и ще бъдат по-големи и по-малки от нула. Но обърнете внимание, че тук знакът означава точката, в която лявата страна на неравенството придобива нулева стойност, няма да го пробием, защото е включен в броя на решенията, имаме една такава точка, това е точката където х е равно на единица. Можем ли да оцветим точката, където знаменателят е отрицателен? - Разбира се, че не!

Знаменателят не трябва да е нула, така че интервалът ще изглежда така:

По тази схема вече можете лесно да напишете отговор, мога само да кажа, че сега имате на разположение нов тип скоби - квадратни! Ето една скоба [ казва, че стойността е в интервала на решението, т.е. е част от отговора, тази скоба съответства на запълнена (не перфорирана) точка на оста.

И така, получихте ли същия отговор?

Разлагаме и прехвърляме всичко в една посока, защото трябва само да оставим нула вдясно, за да сравним с нея:

Обръщам внимание на факта, че при последното преобразуване, за да попадна както в числителя, така и в знаменателя, умножавам и двете части на неравенството по. Не забравяйте, че когато умножите двете страни на неравенството по, знакът на неравенството се обръща!!!

Пишем ODZ:

В противен случай знаменателят ще се превърне в нула и, както си спомняте, не можете да разделите на нула!

Съгласете се, в полученото неравенство е изкушаващо да се намали в числителя и знаменателя! Не можете да направите това, можете да загубите някои от решенията или ODZ!

Сега се опитайте сами да поставите точки върху оста. Ще отбележа само, че когато рисувате точки, трябва да обърнете внимание на факта, че точка със стойност, която въз основа на знака, изглежда, трябва да бъде начертана върху оста, както е попълнена, няма да бъде попълнена , ще бъде избита! защо те питам? И помниш ли ОДЗ, няма да делиш така на нула?

Запомнете, ODZ е над всичко! Ако всички знаци за неравенство и равенство казват едно, а ОДЗ казва друго, доверете се на ОДЗ, велик и могъщ! Е, изградихте интервалите, сигурен съм, че сте взели съвета ми за редуването и сте го получили така (вижте снимката по-долу) Сега го зачеркнете и не повтаряйте тази грешка отново! Каква грешка? - ти питаш.

Факт е, че в това неравенство факторът се повтори два пъти (помните ли как все пак се опитахте да го намалите?). Така че, ако някакъв фактор се повтори в неравенството четен брой пъти, тогава при преминаване през точка на оста, която превръща този фактор в нула (в този случай точка), знакът няма да се промени, ако е нечетен, тогава знакът се променя!

Следната ос с интервали и знаци ще бъде правилна:

И обърнете внимание, че знакът, който не ни интересува, е този, който беше в началото (когато току-що видяхме неравенството, знакът беше), след трансформациите знакът се промени на, което означава, че се интересуваме от интервали със знака.

Отговор:

Ще кажа също, че има ситуации, когато има корени на неравенството, които не са включени в никаква празнина, в отговор те се записват в къдрави скоби, като това, например:. Повече за подобни ситуации можете да прочетете в статията Средно ниво.

Нека да обобщим как да решим неравенствата с помощта на интервалния метод:

Прехвърляме всичко от лявата страна, отдясно оставяме само нула;
Намираме ODZ;
Поставяме върху оста всички корени на неравенството;
Взимаме произволен от един от интервалите и определяме знака в интервала, към който принадлежи коренът, редуваме знаците, като обръщаме внимание на корените, които се повтарят няколко пъти в неравенството, зависи от четния или нечетния брой на времена на тяхното повторение дали знакът се променя при преминаване през тях или не;
В отговор ние записваме интервалите, като спазваме перфорираните и неперфорирани точки (виж ODZ), като между тях поставяме необходимите видове скоби.

И накрая, нашият любим раздел, „направи си сам“!

Примери:

Отговори:

ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД. СРЕДНО НИВО

Линейна функция

Функция на формата се нарича линейна. Да вземем функция като пример. То е положително при и отрицателно при. Точката е нулата на функцията (). Нека покажем знаците на тази функция върху реалната ос:

Казваме, че "функцията променя знака при преминаване през точка".

Вижда се, че знаците на функцията съответстват на позицията на графиката на функцията: ако графиката е над оста, знакът е “ ”, ако е под - “ ”.

Ако обобщим полученото правило до произволна линейна функция, получаваме следния алгоритъм:

Намираме нулата на функцията;
Отбелязваме го върху числовата ос;
Определяме знака на функцията от противоположните страни на нулата.

квадратична функция

Надявам се, че помните как се решават квадратни неравенства? Ако не, прочетете темата. Припомнете си общия изглед квадратична функция: .

Сега нека си припомним какви знаци приема квадратичната функция. Нейната графика е парабола и функцията приема знака “ ” за тези, в които параболата е над оста, и “ ” - ако параболата е под оста:

Ако функцията има нули (стойности, при които), параболата пресича оста в две точки - корените на съответното квадратно уравнение. Така оста е разделена на три интервала и знаците на функцията се сменят последователно при преминаване през всеки корен.

Възможно ли е по някакъв начин да се определят знаците, без да се чертае парабола всеки път?

Припомнете си, че квадратният трином може да бъде разложен на множители:

Например: .

Обърнете внимание на корените по оста:

Не забравяйте, че знакът на функция може да се промени само при преминаване през корена. Използваме този факт: за всеки от трите интервала, на които оста е разделена с корени, е достатъчно да определим знака на функцията само в една произволно избрана точка: в останалите точки от интервала знакът ще бъде един и същ.

В нашия пример: и за двата израза в скоби са положителни (заместваме, например:). Поставяме знака "" на оста:

Е, ако (заместете, например) и двете скоби са отрицателни, тогава продуктът е положителен:

Ето какво е интервален метод: познавайки знаците на факторите на всеки интервал, ние определяме знака на цялото произведение.

Нека разгледаме и случаите, когато функцията няма нули или е само една.

Ако ги няма, значи няма и корени. Това означава, че няма да има „преминаване през корена“. Това означава, че функцията по цялата числова ос приема само един знак. Лесно е да се определи, като се замести във функция.

Ако има само един корен, параболата докосва оста, така че знакът на функцията не се променя при преминаване през корена. Какво е правилото за подобни ситуации?

Ако изчислим такава функция, получаваме два еднакви фактора:

И всеки израз на квадрат е неотрицателен! Следователно знакът на функцията не се променя. В такива случаи ще изберем корена, при преминаване през който знакът не се променя, заобикаляйки го с квадрат:

Такъв корен ще се нарича кратно.

Методът на интервалите в неравенствата

Сега всяко квадратно неравенство може да бъде решено без да се чертае парабола. Достатъчно е само да поставите знаците на квадратичната функция върху оста и да изберете интервалите в зависимост от знака на неравенството. Например:

Измерваме корените по оста и подреждаме знаците:

Нуждаем се от частта от оста със знака ""; тъй като неравенството не е строго, самите корени също са включени в решението:

Сега разгледайте рационално неравенство - неравенство, и двете части на което са рационални изрази (вижте).

пример:

Всички фактори с изключение на един - - тук са "линейни", тоест съдържат променлива само в първа степен. Такива линейни фактори са ни необходими, за да приложим интервалния метод - знакът се променя при преминаване през техните корени. Но множителят изобщо няма корени. Това означава, че винаги е положително (проверете го сами) и следователно не влияе на знака на цялото неравенство. Това означава, че можете да разделите лявата и дясната страна на неравенството на него и по този начин да се отървете от него:

Сега всичко е същото, както беше с квадратните неравенства: определяме в кои точки изчезва всеки от факторите, маркираме тези точки върху оста и подреждаме знаците. Обръщам внимание на един много важен факт:

Отговор: . Пример: .

За да приложите интервалния метод, е необходимо в една от частите на неравенството да е. Следователно преместваме дясната страна наляво:

Числителят и знаменателят имат един и същ фактор, но не бързаме да го намаляваме! В крайна сметка, тогава можем да забравим да извадим тази точка. По-добре е да отбележите този корен като множител, тоест при преминаване през него знакът няма да се промени:

Отговор: .

И още един много илюстративен пример:

Отново не намаляваме едни и същи множители на числителя и знаменателя, защото ако намалим, ще трябва специално да запомним, че трябва да поставим точка.

: повтарящи се пъти;
: пъти;
: пъти (в числителя и едно в знаменателя).

В случай на четно число действаме по същия начин, както преди: обикаляме точката с квадрат и не променяме знака при преминаване през корена. Но в случай на нечетно число това правило не е изпълнено: знакът все пак ще се промени при преминаване през корена. Следователно не правим нищо допълнително с такъв корен, сякаш той не е кратен на нас. Горните правила важат за всички четни и нечетни степени.

Какво пишем в отговора?

Ако редуването на знаците е нарушено, трябва да бъдете много внимателни, тъй като при нестрого неравенство отговорът трябва да включва всички попълнени точки. Но някои от тях често стоят сами, тоест не влизат в сенчестата зона. В този случай ги добавяме към отговора като изолирани точки (в къдрави скоби):

Примери (решете сами):

Отговори:

Ако сред факторите е просто - това е коренът, защото може да се представи като.
.

ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Интервалният метод се използва за решаване на рационални неравенства. Състои се в определяне на знака на произведението от знаците на факторите на различни интервали.

Алгоритъм за решаване на рационални неравенства по интервалния метод.

Прехвърляме всичко от лявата страна, отдясно оставяме само нула;
Намираме ODZ;
Поставяме върху оста всички корени на неравенството;
Взимаме произволен от един от интервалите и определяме знака в интервала, към който принадлежи коренът, редуваме знаците, като обръщаме внимание на корените, които се повтарят няколко пъти в неравенството, зависи от четния или нечетния брой на времена на тяхното повторение дали знакът се променя при преминаване през тях или не;
В отговор записваме интервалите, като спазваме перфорираните и неперфорирани точки (виж ODZ), като между тях поставяме необходимите видове скоби.

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!