Vektorların cəminin vektor məhsulu. vektor məhsulu

Vektorlar arasındakı bucaq

İki vektorun çarpaz məhsulu anlayışını təqdim etmək üçün əvvəlcə bu vektorlar arasındakı bucaq kimi bir anlayışla məşğul olmalıyıq.

Bizə $\overline(α)$ və $\overline(β)$ iki vektoru verilsin. Kosmosda $O$ nöqtəsini götürək və ondan $\overline(α)=\overline(OA)$ və $\overline(β)=\overline(OB)$ vektorlarını, sonra $AOB bucağını bir kənara qoyaq. $ bu vektorlar arasında bucaq adlanacaq (şək. 1).

Qeyd: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Vektorların çarpaz hasilinin anlayışı və tapma düsturu

Tərif 1

İki vektorun vektor məhsulu verilmiş hər iki vektora perpendikulyar vektordur və uzunluğu bu vektorlar arasındakı bucağın sinusu ilə bu vektorların uzunluqlarının hasilinə bərabər olacaq və iki ilkin olan bu vektor eynidir. oriyentasiya dekart koordinat sistemi kimi.

Qeyd: $\overline(α)х\overline(β)$.

Riyazi olaraq belə görünür:

$|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
$\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
$(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ və $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ eyni yönümlü (Şəkil 2)

Aydındır ki, vektorların xarici məhsulu iki halda sıfır vektoruna bərabər olacaq:

Bir və ya hər iki vektorun uzunluğu sıfır olarsa.
Bu vektorlar arasındakı bucaq $180^\circ$ və ya $0^\circ$-a bərabər olarsa (çünki bu halda sinus sıfıra bərabərdir).

Vektorların çarpaz məhsulunun necə tapıldığını aydın görmək üçün aşağıdakı həll nümunələrinə nəzər salın.

Misal 1

$\overline(δ)$ vektorunun $\overline(α)=(0,4,0)$ və $\overline(β) koordinatları ilə vektorların çarpaz hasilinin nəticəsi olacaq vektorun uzunluğunu tapın. =(3,0,0)$.

Həll.

Bu vektorları Dekart koordinat fəzasında təsvir edək (şək. 3):

Şəkil 3. Kartezian koordinat fəzasında vektorlar. Author24 - tələbə sənədlərinin onlayn mübadiləsi

Bu vektorların müvafiq olaraq $Ox$ və $Oy$ oxları üzərində yerləşdiyini görürük. Buna görə də, onların arasındakı bucaq $90^\circ$-a bərabər olacaqdır. Bu vektorların uzunluqlarını tapaq:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Sonra 1-ci təriflə $|\overline(δ)|$ modulunu əldə edirik

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Cavab: 12 dollar.

Vektorların koordinatları ilə çarpaz məhsulun hesablanması

1-ci tərif dərhal iki vektor üçün çarpaz məhsulu tapmaq yolunu nəzərdə tutur. Vektorun qiymətdən əlavə istiqaməti də olduğu üçün onu yalnız skalyar qiymətdən istifadə etməklə tapmaq mümkün deyil. Bununla yanaşı, koordinatlardan istifadə edərək bizə verilən vektorları tapmağın başqa bir yolu var.

Bizə müvafiq olaraq $(α_1,α_2,α_3)$ və $(β_1,β_2,β_3)$ koordinatlarına malik olan $\overline(α)$ və $\overline(β)$ vektorları verilsin. Sonra çarpaz məhsulun vektorunu (yəni koordinatlarını) aşağıdakı düsturla tapmaq olar:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Əks halda, determinantı genişləndirərək, aşağıdakı koordinatları əldə edirik

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Misal 2

$(0,3,3)$ və $(-1,2,6)$ koordinatları olan $\overline(α)$ və $\overline(β)$ kollinear vektorlarının çarpaz hasilinin vektorunu tapın.

Həll.

Yuxarıdakı düsturdan istifadə edək. alın

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18) -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Cavab: $(12,-3,3)$.

Vektorların çarpaz məhsulunun xassələri

$\overline(α)$, $\overline(β)$ və $\overline(γ)$, həmçinin $r∈R$ ixtiyari qarışıq üç vektor üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər qorunur:

Misal 3

Təpələri $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ və $(3,8,0) koordinatları olan paraleloqramın sahəsini tapın. $.

Həll.

Əvvəlcə bu paraleloqramı koordinat fəzasında çəkin (şək. 5):

Şəkil 5. Koordinat fəzasında paraleloqram. Author24 - tələbə sənədlərinin onlayn mübadiləsi

Bu paraleloqramın iki tərəfinin $\overline(α)=(3,0,0)$ və $\overline(β)=(0,8,0)$ koordinatları olan kollinear vektorlardan istifadə edilərək qurulduğunu görürük. Dördüncü xüsusiyyətdən istifadə edərək, əldə edirik:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

$\overline(α)х\overline(β)$ vektorunu tapın:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Nəticədə

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

İngilis dili: Vikipediya saytı daha təhlükəsiz edir. Siz gələcəkdə Vikipediyaya qoşula bilməyəcək köhnə veb brauzerdən istifadə edirsiniz. Lütfən cihazınızı yeniləyin və ya İT administratorunuzla əlaqə saxlayın.

中文: 维基百科正正在正正正安全安全使网站更加安全安全您在在使用使用旧的在在维基维基维基维基百科百科百科的设备您您的的的的的的长长的的的长长的的更新仅英语长的更新仅英语英语的更新仅英语英语英语更新仅英语英语英语更新仅英语英语英语更新仅英语英语英语更新仅英语英语英语更新仅英语英语英语更新仅英语英语SALAM).

İspan dili: Vikipediya daha çox yer tutur. Vikipediyaya daxil olmaq üçün heç bir məlumat əldə etmək üçün veb saytı istifadə etməkdən istifadə edin. Aktuallıq və ya məlumat idarəçi ilə əlaqə saxlayın. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Vikipediya və son saytın təhlükəsizliyini artırın. Vikipediyaya daxil olmaq üçün əlavə olaraq əlavə olaraq veb-navigatordan istifadə edə bilərsiniz. Merci de mettre à jour votre appareil ya da contacter votre administrateur informatique à cette fin. Məlumat əlavələri üstəgəl texnikalar və ci-dessous proqramları ilə tanış olun.

日本語: ウィキペディアでははサイトのセキュリティをてていい.更新更新更新詳しい詳しい詳しい詳しい HIP情報は以下に英語で提侁せし

Alman: Vikipediya Sicherheit der Webseite-ə daxil olur. Webbrowser-ə daxil olun, Vikipediyaya daxil olun. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator və. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise İngilis dili Sprache-də Du unten tapdı.

İtalyanca: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Gələcəkdə Vikipediya ilə əlaqə saxlayaraq, brauzerinizin veb brauzerini istifadə edin. İstədiyiniz halda, məlumat idarəçiliyi ilə əlaqə saxlayın. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico inglise.

macar: Vikipediyaya daxil olun. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

İsveç: Vikipediya gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. IT-administrator ilə əlaqə saxlamaq üçün yeniləmələr. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska langre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Təhlükəsiz TLS protokol versiyaları, xüsusən də brauzer proqramınızın saytlarımıza qoşulmaq üçün etibar etdiyi TLSv1.0 və TLSv1.1 üçün dəstəyi ləğv edirik. Buna adətən köhnəlmiş brauzerlər və ya köhnə Android smartfonları səbəb olur. Və ya bu, əlaqə təhlükəsizliyini faktiki olaraq aşağı salan korporativ və ya şəxsi "Veb Təhlükəsizliyi" proqram təminatının müdaxiləsi ola bilər.

Saytlarımıza daxil olmaq üçün veb brauzerinizi təkmilləşdirməli və ya bu problemi başqa yolla həll etməlisiniz. Bu mesaj 1 yanvar 2020-ci il tarixinə qədər qalacaq. Həmin tarixdən sonra brauzeriniz serverlərimizlə əlaqə yarada bilməyəcək.

Bu dərsdə vektorlarla daha iki əməliyyata baxacağıq: vektorların çarpaz məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu (ehtiyacı olanlar üçün dərhal link). Tamam, bəzən olur ki, tam xoşbəxtlik üçün əlavə olaraq vektorların nöqtə hasili, getdikcə daha çox ehtiyac duyulur. Bu vektor asılılığıdır. İnsanda elə təəssürat yarana bilər ki, biz analitik həndəsə cəngəlliyinə giririk. Bu doğru deyil. Ali riyaziyyatın bu bölməsində Pinokkio üçün bəlkə də kifayət qədər odun istisna olmaqla, ümumiyyətlə az odun var. Əslində, material çox yaygın və sadədir - eyni şeydən çətin ki, daha çətindir skalyar məhsul, hətta daha az tipik tapşırıqlar olacaq. Analitik həndəsədə əsas şey, çoxlarının görəcəyi və ya artıq gördüyü kimi, hesablamalarda səhv etməməkdir. Bir sehr kimi təkrarlayın və xoşbəxt olacaqsınız =)

Vektorlar üfüqdə ildırım kimi uzaq bir yerdə parıldayırsa, fərq etməz, dərsdən başlayın Butaforlar üçün vektorlar vektorlar haqqında əsas bilikləri bərpa etmək və ya yenidən əldə etmək. Daha hazırlıqlı oxucular məlumatla seçmə şəkildə tanış ola bilərlər, mən praktiki işdə tez-tez rast gəlinən ən dolğun nümunələr toplusunu toplamağa çalışdım.

Sizi nə xoşbəxt edəcək? Mən balaca olanda iki, hətta üç topla hoqqabazlıq edə bilirdim. Yaxşı nəticə verdi. İndi ümumiyyətlə hoqqabazlığa ehtiyac yoxdur, çünki nəzərdən keçirəcəyik yalnız kosmik vektorlar, və iki koordinatlı düz vektorlar kənarda qalacaq. Niyə? Bu hərəkətlər belə yarandı - vektorların vektoru və qarışıq hasilatı müəyyən edilir və üçölçülü məkanda işləyir. Artıq daha asan!

Bu əməliyyatda, skalyar hasildə olduğu kimi, iki vektor. Qoy ölməz məktublar olsun.

Fəaliyyətin özü işarələnmişdir aşağıdakı şəkildə: . Başqa variantlar da var, amma mən vektorların çarpaz məhsulunu bu şəkildə, xaç ilə kvadrat mötərizədə təyin etməyə öyrəşmişəm.

Və dərhal sual: varsa vektorların nöqtə hasili iki vektor iştirak edir və burada iki vektor da vurulur, onda fərq nədir? Aydın fərq, ilk növbədə, NƏTİCƏ:

Vektorların skalyar hasilinin nəticəsi SƏDƏdir:

Vektorların çarpaz məhsulunun nəticəsi VEKTORdur: , yəni vektorları vurub yenidən vektor alırıq. Qapalı klub. Əslində əməliyyatın adı belədir. Müxtəlif tədris ədəbiyyatlarında təyinatlar da dəyişə bilər, mən hərfdən istifadə edəcəyəm.

Çarpaz məhsulun tərifi

Əvvəlcə şəkilli tərif, sonra şərhlər olacaq.

Tərif: çarpaz məhsul qeyri-kollinear vektorlar, bu qaydada alınır, VEKTOR adlanır, uzunluq ki, ədədi olaraq paraleloqramın sahəsinə bərabərdir, bu vektorlar üzərində qurulmuşdur; vektor vektorlara ortoqonaldır, və əsasın düzgün istiqamətə malik olması üçün yönəldilir:

Tərifi sümüklərlə təhlil edirik, çox maraqlı şeylər var!

Beləliklə, aşağıdakı mühüm məqamları qeyd edə bilərik:

1) Tərifinə görə qırmızı oxlarla göstərilən mənbə vektorları kollinear deyil. Kollinear vektorlar məsələsinə bir az sonra baxmaq məqsədəuyğun olar.

2) Vektorlar götürülür ciddi qaydada: – "a" "ol" ilə vurulur, "a"ya "olmaq" deyil. Vektorun vurulmasının nəticəsi mavi ilə işarələnmiş VEKTOR-dur. Vektorlar tərs ardıcıllıqla vurularsa, onda biz uzunluğa bərabər və əks istiqamətdə (qırmızı rəng) bir vektor alırıq. Yəni bərabərlik .

3) İndi vektor hasilinin həndəsi mənası ilə tanış olaq. Bu çox vacib bir məqamdır! Mavi vektorun (və deməli, qırmızı vektorun) UZUNLUĞU vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın SAHƏSİ ilə ədədi olaraq bərabərdir. Şəkildə bu paraleloqram qara rənglə kölgələnib.

Qeyd : rəsm sxematikdir və əlbəttə ki, çarpaz məhsulun nominal uzunluğu paraleloqramın sahəsinə bərabər deyil.

Həndəsi düsturlardan birini xatırlayırıq: paraleloqramın sahəsi bitişik tərəflərin hasilinə və aralarındakı bucağın sinusuna bərabərdir. Buna görə, yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, vektor məhsulunun UZUNLUĞUNUN hesablanması düsturu etibarlıdır:

Vurğulayıram ki, düsturda vektorun özündən yox, vektorun UZUNLUĞundan danışırıq. Praktik məna nədir? Və mənası belədir ki, analitik həndəsə problemlərində paraleloqramın sahəsi çox vaxt vektor məhsulu anlayışı vasitəsilə tapılır:

İkinci vacib düsturu alırıq. Paraleloqramın diaqonalı (qırmızı nöqtəli xətt) onu iki bərabər üçbucağa ayırır. Buna görə vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsi (qırmızı kölgə) düsturla tapıla bilər:

4) Eyni dərəcədə vacib bir fakt, vektorun vektorlara ortoqonal olmasıdır, yəni . Əlbəttə ki, əks istiqamətli vektor (qırmızı ox) orijinal vektorlara da ortoqonaldır.

5) Vektor elə yönəldilmişdir ki əsas Bu var sağ oriyentasiya. haqqında bir dərsdə yeni əsasa keçid haqqında ətraflı danışmışam təyyarə oriyentasiyası, və indi kosmosun oriyentasiyasının nə olduğunu anlayacağıq. Barmaqlarınızla izah edəcəyəm sağ əl. Zehni olaraq birləşdirin şəhadət barmağı vektor ilə və orta barmaq vektor ilə. Üzük barmaq və kiçik barmaq ovucunuza basin. Nəticə olaraq baş barmaq- vektor məhsulu yuxarıya baxacaq. Bu, sağ yönümlü əsasdır (şəkildədir). İndi vektorları dəyişdirin ( şəhadət və orta barmaqlar) bəzi yerlərdə nəticədə baş barmaq dönəcək və vektor məhsulu artıq aşağı baxacaq. Bu da sağ yönümlü əsasdır. Bəlkə bir sualınız var: hansı əsasda sol oriyentasiya var? Eyni barmaqları "təyin edin" sol əl vektorları və sol əsas və sol boşluq oriyentasiyasını əldə edin (bu halda baş barmaq aşağı vektor istiqamətində yerləşəcək). Obrazlı desək, bu əsaslar məkanı müxtəlif istiqamətlərdə “burur” və ya istiqamətləndirir. Və bu konsepsiya uzaq və ya mücərrəd bir şey hesab edilməməlidir - məsələn, ən adi güzgü məkanın istiqamətini dəyişdirir və əgər siz "əks olunan obyekti güzgüdən çıxarsanız", onda ümumiyyətlə mümkün olmayacaqdır. onu "orijinal" ilə birləşdirin. Yeri gəlmişkən, üç barmağınızı güzgüyə gətirin və əksini təhlil edin ;-)

... indi bildiyiniz nə qədər yaxşıdır sağa və sola yönəldilmişdirəsaslar, çünki bəzi mühazirəçilərin oriyentasiya dəyişikliyi ilə bağlı açıqlamaları dəhşətlidir =)

Kollinear vektorların vektor məhsulu

Tərif ətraflı şəkildə işlənmişdir, vektorlar kollinear olduqda nə baş verdiyini tapmaq qalır. Vektorlar kollineardırsa, onda onlar bir düz xətt üzərində yerləşdirilə bilər və bizim paraleloqramımız da bir düz xəttə "qatlanır". Bu sahə, riyaziyyatçıların dediyi kimi, degenerasiya etmək paraleloqram sıfırdır. Eyni şey düsturdan gəlir - sıfır və ya 180 dərəcə sinusu sıfıra bərabərdir, yəni sahə sıfırdır

Beləliklə, əgər varsa, onda və . Nəzərə alın ki, çarpaz məhsulun özü sıfır vektoruna bərabərdir, lakin praktikada buna çox vaxt əhəmiyyət verilmir və onun da sıfıra bərabər olduğu yazılır.

Xüsusi hal vektorun və özünün vektor məhsuludur:

Çarpaz məhsuldan istifadə edərək, siz üçölçülü vektorların kollinearlığını yoxlaya bilərsiniz və biz başqaları arasında bu problemi də təhlil edəcəyik.

Praktik nümunələri həll etmək üçün lazım ola bilər triqonometrik cədvəl ondan sinusların dəyərlərini tapmaq.

Yaxşı, atəş açaq:

Misal 1

a) Əgər vektorların vektor hasilinin uzunluğunu tapın

b) Əgər vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini tapın

Həll: Xeyr, bu yazı səhvi deyil, mən qəsdən şərt maddələrindəki ilkin məlumatları eyni etdim. Çünki həllərin dizaynı fərqli olacaq!

a) Şərtə görə tapmaq tələb olunur uzunluq vektor (vektor məhsulu). Müvafiq düstura görə:

Cavab verin:

Uzunluq haqqında soruşulduğundan, cavabda ölçüsü - vahidləri göstəririk.

b) Şərtə görə tapmaq tələb olunur kvadrat vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram. Bu paraleloqramın sahəsi ədədi olaraq çarpaz məhsulun uzunluğuna bərabərdir:

Cavab verin:

Nəzərə alın ki, vektor məhsulu ilə bağlı cavabda ümumiyyətlə söhbət yoxdur, bizdən soruşuldu fiqur sahəsi, müvafiq olaraq, ölçü kvadrat vahidlərdir.

Biz həmişə şərtə görə NƏNİN tapılması tələb olunduğuna baxırıq və buna əsaslanaraq formalaşdırırıq aydın cavab. Bu, hərfilik kimi görünə bilər, amma müəllimlər arasında kifayət qədər hərfçilər var və şansları yaxşı olan tapşırıq yenidən baxılmaq üçün geri qaytarılacaq. Baxmayaraq ki, bu, xüsusilə gərgin nitpick deyil - əgər cavab səhvdirsə, o zaman adamın sadə şeyləri başa düşmədiyi və / və ya tapşırığın mahiyyətini araşdırmadığı təəssüratı yaranır. Ali riyaziyyatda və digər fənlərdə də istənilən problemi həll edərkən bu məqam həmişə nəzarətdə saxlanılmalıdır.

Böyük "en" hərfi hara getdi? Prinsipcə, əlavə olaraq həllə yapışdırıla bilərdi, amma rekordu qısaltmaq üçün etmədim. Ümid edirəm ki, hamı bunu başa düşür və eyni şeyin təyinatıdır.

Öz əlinizlə həll üçün məşhur bir nümunə:

Misal 2

Əgər vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsini tapın

Vektor məhsulu vasitəsilə üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düstur tərifin şərhlərində verilmişdir. Dərsin sonunda həll və cavab.

Praktikada vəzifə həqiqətən çox yaygındır, üçbucaqlar ümumiyyətlə işgəncə edilə bilər.

Digər problemləri həll etmək üçün bizə lazımdır:

Vektorların çarpaz məhsulunun xassələri

Biz vektor məhsulunun bəzi xüsusiyyətlərini artıq nəzərdən keçirdik, lakin mən onları bu siyahıya daxil edəcəyəm.

İxtiyari vektorlar və ixtiyari ədədlər üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) Digər məlumat mənbələrində bu maddə adətən xassələrinə görə fərqlənmir, lakin praktiki baxımdan çox vacibdir. Qoy belə olsun.

2) - mülkdən də yuxarıda bəhs edilir, bəzən ona da deyilir antikommutativlik. Başqa sözlə, vektorların sırası vacibdir.

3) - birləşmə və ya assosiativ vektor məhsul qanunları. Sabitlər vektor məhsulunun hüdudlarından asanlıqla çıxarılır. Doğrudan da, onların orada nə işi var?

4) - paylama və ya paylanması vektor məhsul qanunları. Mötərizənin açılmasında da heç bir problem yoxdur.

Nümayiş olaraq, qısa bir nümunəyə nəzər salın:

Misal 3

Əgər tapın

Həll:Şərtə görə, vektor məhsulunun uzunluğunu tapmaq yenidən tələb olunur. Miniatürümüzü rəngləyək:

(1) Assosiativ qanunlara görə, vektor məhsulunun hüdudlarından kənara çıxan sabitləri çıxarırıq.

(2) Sabiti moduldan çıxarırıq, modul isə mənfi işarəni "yeyir". Uzunluq mənfi ola bilməz.

(3) Aşağıdakılar aydındır.

Cavab verin:

Odun üzərinə odun atmağın vaxtı gəldi:

Misal 4

Əgər vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsini hesablayın

Həll: Düsturdan istifadə edərək üçbucağın sahəsini tapın . Problem ondadır ki, "ce" və "te" vektorları özləri vektorların cəmi kimi təmsil olunurlar. Burada alqoritm standartdır və bir qədər dərsin 3 və 4 nömrəli misallarını xatırladır. Vektorların nöqtə hasili. Aydınlıq üçün onu üç mərhələyə bölək:

1) İlk addımda vektor məhsulunu vektor məhsulu ilə ifadə edirik, əslində, vektoru vektorla ifadə edin. Uzunluğu haqqında hələ söz yoxdur!

(1) vektorların ifadələrini əvəz edirik.

(2) Paylayıcı qanunlardan istifadə edərək, çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələr açırıq.

(3) Assosiativ qanunlardan istifadə edərək vektor məhsullarından kənar bütün sabitləri çıxarırıq. Az təcrübə ilə 2 və 3-cü hərəkətlər eyni vaxtda yerinə yetirilə bilər.

(4) Xoş xassə görə birinci və son şərtlər sıfıra bərabərdir (sıfır vektor). İkinci termində vektor məhsulunun antikommutativ xüsusiyyətindən istifadə edirik:

(5) Biz oxşar şərtləri təqdim edirik.

Nəticədə vektor bir vektor vasitəsilə ifadə edildi, buna nail olmaq lazım idi:

2) İkinci addımda bizə lazım olan vektor məhsulunun uzunluğunu tapırıq. Bu hərəkət Misal 3-ə bənzəyir:

3) Tələb olunan üçbucağın sahəsini tapın:

Həllin 2-3 addımları bir sətirdə təşkil edilə bilər.

Cavab verin:

Baxılan problem testlərdə olduqca yaygındır, burada müstəqil həll üçün bir nümunə var:

Misal 5

Əgər tapın

Qısa həll və dərsin sonunda cavab. Əvvəlki nümunələri öyrənərkən nə qədər diqqətli olduğunuzu görək ;-)

Koordinatlarda vektorların çarpaz məhsulu

, ortonormal əsasda verilir, düsturu ilə ifadə edilir:

Düstur həqiqətən sadədir: biz determinantın yuxarı sətirinə koordinat vektorlarını yazırıq, vektorların koordinatlarını ikinci və üçüncü sətirlərə “paketləyirik” və biz qoyuruq. ciddi qaydada- əvvəlcə “ve” vektorunun koordinatları, sonra “ikiqat-ve” vektorunun koordinatları. Vektorları fərqli ardıcıllıqla çoxaltmaq lazımdırsa, o zaman xətlər də dəyişdirilməlidir:

Misal 10

Aşağıdakı kosmik vektorların kolinear olub olmadığını yoxlayın:
a)
b)

Həll: Test bu dərsdəki ifadələrdən birinə əsaslanır: vektorlar kollineardırsa, onda onların çarpaz hasilatı sıfırdır (sıfır vektor): .

a) vektor məhsulunu tapın:

Beləliklə, vektorlar kollinear deyil.

b) Vektor məhsulunu tapın:

Cavab verin: a) kollinear deyil, b)

Burada, bəlkə də vektorların vektor məhsulu haqqında bütün əsas məlumatlar var.

Bu bölmə çox böyük olmayacaq, çünki vektorların qarışıq məhsulunun istifadə edildiyi bir neçə problem var. Əslində, hər şey tərifə, həndəsi mənaya və bir neçə iş düsturuna əsaslanacaq.

Vektorların qarışıq hasili üç vektorun məhsuludur:

Beləcə qatar kimi düzülüb gözləyirlər, hesablanana qədər gözləyə bilmirlər.

Əvvəlcə tərif və şəkil:

Tərif: Qarışıq məhsul qeyri-düzgün vektorlar, bu qaydada alınır, adlanır paralelepipedin həcmi, bu vektorlar üzərində qurulmuş, əsas sağdırsa "+" işarəsi, əsas qaldıqda isə "-" işarəsi ilə təchiz edilmişdir.

Gəlin rəsm çəkək. Bizə görünməyən xətlər nöqtəli xəttlə çəkilir:

Gəlin tərifə keçək:

2) Vektorlar götürülür müəyyən bir qaydada, yəni məhsulda vektorların dəyişdirilməsi, təxmin etdiyiniz kimi, nəticəsiz keçmir.

3) Həndəsi mənasını şərh etməzdən əvvəl açıq bir faktı qeyd edəcəm: vektorların qarışıq hasili SƏDƏDİR: . Təhsil ədəbiyyatında dizayn bir qədər fərqli ola bilər, mən qarışıq məhsulu təyin etmək üçün istifadə etdim və "pe" hərfi ilə hesablamaların nəticəsi.

Tərifinə görə qarışıq məhsul paralelepipedin həcmidir, vektorlar üzərində qurulmuşdur (şəkil qırmızı vektorlar və qara xətlərlə çəkilmişdir). Yəni, ədəd verilmiş paralelepipedin həcminə bərabərdir.

Qeyd : Rəsm sxematikdir.

4) Bazisin və məkanın oriyentasiyası anlayışı ilə bir daha narahat etməyək. Son hissənin mənası odur ki, həcmə mənfi işarə əlavə edilə bilər. Sadə dillə desək, qarışıq məhsul mənfi ola bilər: .

Vektorlar üzərində qurulmuş paralelepipedin həcminin hesablanması düsturu birbaşa tərifdən irəli gəlir.

Vektor məhsulu anlayışını verməzdən əvvəl a → , b → , c → vektorlarının sifarişli üçlüyünün üçölçülü fəzada oriyentasiyası məsələsinə keçək.

Başlamaq üçün a → , b → , c → vektorlarını bir nöqtədən kənara qoyaq. Üçlü a → , b → , c → istiqaməti c → vektorunun istiqamətindən asılı olaraq sağa və ya soladır. a → vektorundan b → c → vektorunun ucundan ən qısa dönüşün edildiyi istiqamətdən a → , b → , c → üçlüyünün forması müəyyən ediləcək.

Əgər ən qısa fırlanma saat əqrəbinin əksinədirsə, a → , b → , c → vektorlarının üçlüyü adlanır. sağ saat yönünde olsa - sol.

Sonra iki qeyri-kollinear vektor a → və b → götürün. O zaman A B → = a → və A C → = b → vektorlarını A nöqtəsindən təxirə salaq. Həm A B →, həm də A C → -ə eyni vaxtda perpendikulyar olan A D → = c → vektorunu quraq. Beləliklə, A D → = c → vektorunu qurarkən ona ya bir istiqamət verməklə, ya da əksinə iki şey edə bilərik (şəkli bax).

a → , b → , c → vektorlarının sifarişli üçlüyü vektorun istiqamətindən asılı olaraq, aşkar etdiyimiz kimi sağ və ya sol ola bilər.

Yuxarıdakılardan bir vektor məhsulunun tərifini təqdim edə bilərik. Bu tərif üçölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki vektor üçün verilmişdir.

Tərif 1

İki a → və b → vektorunun vektor hasili üçölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş belə vektoru belə adlandıracağıq ki:

a → və b → vektorları kollinear olarsa, sıfır olacaq;
həm a → vektoruna, həm də b vektoruna → yəni perpendikulyar olacaq. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
onun uzunluğu düsturla müəyyən edilir: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
a → , b → , c → vektorlarının üçlüyü verilmiş koordinat sistemi ilə eyni oriyentasiyaya malikdir.

a → və b → vektorlarının çarpaz hasilinin aşağıdakı qeydi var: a → × b → .

Çarpaz məhsul koordinatları

İstənilən vektorun koordinat sistemində müəyyən koordinatları olduğu üçün çarpaz məhsulun ikinci tərifini təqdim etmək olar ki, bu da vektorların verilmiş koordinatlarından onun koordinatlarını tapmağa imkan verəcəkdir.

Tərif 2

Üç ölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində iki a → = (a x ; a y ; a z) və b → = (b x ; b y ; b z) vektorunun vektor hasili vektorunu c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → adlandırırıq, burada i → , j → , k → koordinat vektorlarıdır.

Vektor hasilini üçüncü dərəcəli kvadrat matrisin müəyyənedicisi kimi təqdim etmək olar, burada birinci cərgədə orta vektorlar i → , j → , k → , ikinci cərgədə a → vektorunun koordinatları, üçüncüsü isə vektorun koordinatlarını ehtiva edir. verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində b → vektorunun koordinatlarıdır, matrisin bu təyinedicisi belə görünür: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı birinci cərgənin elementləri üzərində genişləndirərək bərabərliyi əldə edirik: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x ay → x → b = a → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çarpaz məhsul xüsusiyyətləri

Məlumdur ki, koordinatlarda vektor hasili c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matrisinin determinantı kimi, sonra əsasda göstərilir. matrisin determinant xassələri növbəti vektor məhsulunun xüsusiyyətləri:

antikommutativlik a → × b → = - b → × a → ;
paylanma a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → və ya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
assosiativlik λ a → × b → = λ a → × b → və ya a → × (λ b →) = λ a → × b → , burada λ ixtiyari real ədəddir.

Bu xassələrin mürəkkəb sübutları yoxdur.

Məsələn, vektor məhsulunun antikommutativ xassəsini sübut edə bilərik.

Antikommutativliyin sübutu

Tərifinə görə, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z və b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Və əgər matrisin iki cərgəsi bir-birini əvəz edərsə, onda matrisin determinantının qiyməti tərsinə dəyişməlidir, ona görə də a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y. - b → × a → olan və vektor məhsulunun antikommutativliyini sübut edir.

Vektor məhsulu - Nümunələr və Həllər

Əksər hallarda üç növ tapşırıq var.

Birinci növ məsələlərdə adətən iki vektorun uzunluqları və onlar arasındakı bucaq verilir, lakin çarpaz məhsulun uzunluğunu tapmaq lazımdır. Bu halda c → = a → b → sin ∠ a → , b → düsturundan istifadə edin.

Misal 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 məlumdursa a → və b → vektorlarının çarpaz hasilinin uzunluğunu tapın.

Həll

a → və b → vektorlarının vektor hasilinin uzunluğunun tərifindən istifadə edərək bu məsələni həll edirik: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Cavab: 15 2 2 .

İkinci növ tapşırıqların vektorların koordinatları ilə əlaqəsi var, onların tərkibində vektor məhsulu, uzunluğu və s. verilmiş vektorların məlum koordinatları vasitəsilə axtarılır a → = (a x ; a y ; a z) və b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tip tapşırıq üçün tapşırıqlar üçün bir çox variantı həll edə bilərsiniz. Məsələn, a → və b → vektorlarının koordinatları deyil, formanın koordinat vektorlarında genişlənmələri. b → = b x i → + b y j → + b z k → və c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → və ya a → və b → vektorları onların koordinatları ilə verilə bilər. başlanğıc və son nöqtələr.

Aşağıdakı nümunələri nəzərdən keçirin.

Misal 2

Düzbucaqlı koordinat sistemində iki vektor təyin edilir a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Onların vektor məhsulunu tapın.

Həll

İkinci tərifə görə, verilmiş koordinatlarda iki vektorun vektor hasilini tapırıq: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Əgər vektor hasilini matrisin determinantı vasitəsilə yazsaq, onda bu misalın həlli belə olur: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Cavab: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Misal 3

i → - j → və i → + j → + k → vektorlarının çarpaz hasilinin uzunluğunu tapın, burada i → , j → , k → - düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin orts.

Həll

Əvvəlcə verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində i → - j → × i → + j → + k → vektor hasilinin koordinatlarını tapaq.

Məlumdur ki, i → - j → və i → + j → + k → vektorlarının müvafiq olaraq (1 ; - 1 ; 0) və (1 ; 1 ; 1) koordinatları vardır. Matris determinantından istifadə edərək vektor məhsulunun uzunluğunu tapın, onda i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Buna görə də vektor hasilinin i → - j → × i → + j → + k → verilmiş koordinat sistemində koordinatları (- 1 ; - 1 ; 2) olur.

Vektor məhsulunun uzunluğunu düsturla tapırıq (vektorun uzunluğunu tapmaq bölməsinə baxın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Cavab: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Misal 4

Üç nöqtənin koordinatları A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində verilmişdir. Eyni zamanda A B → və A C → -ə perpendikulyar olan bəzi vektor tapın.

Həll

A B → və A C → vektorları müvafiq olaraq aşağıdakı koordinatlara (- 1 ; 2 ; 2) və (0 ; 4 ; 1) malikdirlər. A B → və A C → vektorlarının vektor hasilini tapdıqdan sonra aydın olur ki, o, həm A B →, həm də A C → tərifinə görə perpendikulyar vektordur, yəni məsələmizin həllidir. Onu tapın A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Cavab: - 6 i → + j → - 4 k → . perpendikulyar vektorlardan biridir.

Üçüncü növə aid məsələlər vektorların vektor məhsulunun xassələrindən istifadəyə yönəldilmişdir. Hansını tətbiq etdikdən sonra verilən problemin həllini əldə edəcəyik.

Misal 5

a → və b → vektorları perpendikulyardır və onların uzunluqları müvafiq olaraq 3 və 4-ə bərabərdir. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → çarpaz hasilinin uzunluğunu tapın. + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Həll

Vektor məhsulunun paylanma xüsusiyyətinə görə 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yaza bilərik. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assosiativlik xassəsinə görə, sonuncu ifadədə vektor məhsullarının işarəsindən kənar ədədi əmsalları çıxarırıq: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → və b → × b → vektor hasilləri 0-a bərabərdir, çünki a → × a → = a → a → sin 0 = 0 və b → × b → = b → b → sin 0 = 0, onda 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektor məhsulunun antikommutativliyindən belə çıxır - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektor məhsulunun xassələrindən istifadə edərək 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → bərabərliyini alırıq.

Şərtə görə a → və b → vektorları perpendikulyardır, yəni aralarındakı bucaq π 2 -ə bərabərdir. İndi yalnız tapılan dəyərləri müvafiq düsturlarla əvəz etmək qalır: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Cavab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Tərifinə görə vektorların çarpaz məhsulunun uzunluğu a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Artıq (məktəb kursundan) məlum olduğu üçün üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin uzunluqlarının məhsulunun yarısına bərabərdir, bu tərəflər arasındakı bucağın sinusuna vurulur. Buna görə vektor məhsulunun uzunluğu paraleloqramın sahəsinə bərabərdir - ikiqat üçbucaq, yəni a → və b → vektorları şəklində tərəflərin məhsulu, sinus ilə bir nöqtədən kəsilmişdir. aralarındakı bucağın sin ∠ a → , b → .

Bu vektor məhsulunun həndəsi mənasıdır.

Vektor məhsulunun fiziki mənası

Fizikanın qollarından biri olan mexanikada vektor məhsulu sayəsində kosmosdakı bir nöqtəyə nisbətən qüvvənin anını təyin etmək olar.

Tərif 3

B nöqtəsinə tətbiq olunan F → qüvvəsinin momenti altında A nöqtəsinə nisbətən aşağıdakı vektor məhsulunu başa düşəcəyik A B → × F → .

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın