İrrasional ədədlər: onlar nədir və nə üçün istifadə olunur? İrrasional ədədlər, tərif, misallar 1 6-nın kökü irrasionaldır.

İrrasional ədədlər hansılardır? Onlar niyə belə adlanır? Onlar harada istifadə olunur və onlar nədir? Çox az adam bu suallara tərəddüd etmədən cavab verə bilər. Ancaq əslində onlara cavablar olduqca sadədir, baxmayaraq ki, hər kəs onlara ehtiyac duymur və çox nadir hallarda.

Mahiyyət və təyinat

İrrasional ədədlər sonsuz qeyri-dövridir Bu anlayışın təqdim edilməsi zərurəti onunla əlaqədardır ki, yeni yaranan məsələlərin həlli üçün əvvəllər mövcud olan həqiqi və ya həqiqi, tam, natural və rasional ədədlər anlayışları artıq kifayət etmirdi. Məsələn, 2-nin kvadratının nə olduğunu hesablamaq üçün təkrar olunmayan sonsuz onluqlardan istifadə etməlisiniz. Bundan əlavə, ən sadə tənliklərin çoxunun da irrasional ədəd anlayışını təqdim etmədən həlli yoxdur.

Bu çoxluq I kimi işarələnir. Və artıq aydın olduğu kimi, bu dəyərlər sadə bir kəsr kimi göstərilə bilməz, onun payında tam ədəd, məxrəcdə isə -

İlk dəfə bu və ya digər şəkildə hind riyaziyyatçıları bu hadisə ilə 7-ci əsrdə, bəzi kəmiyyətlərin kvadrat köklərinin açıq şəkildə göstərilə bilməyəcəyi aşkar edildikdə qarşılaşdılar. Və bu cür ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın öyrənilməsi prosesində bunu edən Pifaqor Hippasına aiddir. Bu toplunun tədqiqinə eramızdan əvvəl yaşamış bəzi digər alimlər də ciddi töhfə vermişlər. İrrasional ədədlər anlayışının tətbiqi mövcud riyazi sistemin yenidən nəzərdən keçirilməsinə səbəb oldu, buna görə də onlar çox vacibdir.

adının mənşəyi

Əgər latın dilində nisbət "fraksiya", "nisbət"dirsə, onda "ir" prefiksi
sözünə əks məna verir. Beləliklə, bu ədədlərin çoxluğunun adı göstərir ki, onlar tam və ya kəsrlə əlaqələndirilə bilməz, onların ayrıca yeri var. Bu, onların təbiətindən irəli gəlir.

Ümumi təsnifatda yer

İrrasional ədədlər rasionallarla yanaşı, öz növbəsində mürəkkəb olan həqiqi və ya həqiqi ədədlər qrupuna aiddir. Heç bir alt çoxluq yoxdur, lakin aşağıda müzakirə ediləcək cəbri və transsendental növlər var.

Xüsusiyyətlər

İrrasional ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğunun bir hissəsi olduğundan onların hesabda öyrənilən bütün xassələri onlara şamil olunur (bunlara əsas cəbr qanunları da deyilir).

a + b = b + a (kommutativlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (assosiativlik);

a + (-a) = 0 (əks ədədin mövcudluğu);

ab = ba (yer dəyişdirmə qanunu);

(ab)c = a(bc) (paylayıcılıq);

a(b+c) = ab + ac (paylayıcı qanun);

a x 1/a = 1 (əks ədədin mövcudluğu);

Müqayisə həmçinin ümumi qanunlara və prinsiplərə uyğun olaraq aparılır:

Əgər a > b və b > c olarsa, onda a > c (münasibətin keçidi) və. və s.

Əlbəttə ki, bütün irrasional ədədlər əsas arifmetikadan istifadə etməklə çevrilə bilər. Bunun üçün xüsusi qaydalar yoxdur.

Bundan əlavə, Arximed aksiomunun hərəkəti irrasional ədədlərə qədər uzanır. Burada deyilir ki, hər hansı iki a və b kəmiyyəti üçün a-nı kifayət qədər dəfə götürməklə b-ni ötmək olar.

İstifadəsi

Adi həyatda onlarla tez-tez məşğul olmamağınıza baxmayaraq, irrasional ədədləri saymaq olmaz. Onların çoxu var, amma demək olar ki, görünməzdir. Bizi hər yerdə irrasional rəqəmlər əhatə edir. Hamıya tanış olan nümunələr 3,1415926...-a bərabər olan pi ədədi və ya mahiyyətcə natural loqarifmin əsasını təşkil edən e, 2,718281828... Cəbr, triqonometriya və həndəsədə onlardan hər zaman istifadə etmək lazımdır. Yeri gəlmişkən, "qızıl bölmə"nin məşhur mənası, yəni həm böyük hissənin kiçikə nisbəti, həm də əksinə, həm də

bu dəstəyə aiddir. Daha az tanınan "gümüş" də.

Say xəttində onlar çox sıx yerləşirlər ki, rasional olanlar çoxluğuna aid hər hansı iki kəmiyyət arasında mütləq irrasional bir kəmiyyət yaranır.

Bu dəstlə bağlı hələ də çoxlu həll olunmamış problemlər var. İrrasionallıq ölçüsü və ədədin normallığı kimi meyarlar var. Riyaziyyatçılar bu və ya digər qrupa aid olduqları üçün ən əhəmiyyətli nümunələri araşdırmağa davam edirlər. Məsələn, hesab olunur ki, e normal ədəddir, yəni onun daxilində müxtəlif rəqəmlərin görünmə ehtimalı eynidir. Pi-yə gəlincə, bununla bağlı araşdırmalar hələ də davam edir. İrrasionallıq ölçüsü müəyyən bir ədədin rasional ədədlərlə nə qədər yaxınlaşdırıla biləcəyini göstərən dəyərdir.

Cəbri və transsendental

Artıq qeyd edildiyi kimi, irrasional ədədlər şərti olaraq cəbri və transsendental bölünür. Şərti olaraq, ciddi şəkildə desək, bu təsnifat C çoxluğunu bölmək üçün istifadə olunur.

Bu təyinat altında həqiqi və ya həqiqi ədədləri ehtiva edən mürəkkəb ədədlər gizlənir.

Beləliklə, cəbri dəyər eyni olaraq sıfıra bərabər olmayan çoxhədlinin kökü olan qiymətdir. Məsələn, 2-nin kvadrat kökü bu kateqoriyaya aid olacaq, çünki o, x 2 - 2 = 0 tənliyinin həllidir.

Bu şərti təmin etməyən bütün digər həqiqi ədədlər transsendental adlanır. Bu müxtəlifliyə ən məşhur və artıq qeyd olunan nümunələr də daxildir - pi sayı və təbii loqarifmin əsası e.

Maraqlıdır ki, nə biri, nə də ikincisi ilkin olaraq riyaziyyatçılar tərəfindən bu keyfiyyətdə çıxarılmamışdır, onların irrasionallığı və transsendensliyi kəşflərindən illər sonra sübuta yetirilmişdir. Pi üçün sübut 1882-ci ildə verildi və 1894-cü ildə sadələşdirildi, bu da dairənin kvadratlaşdırılması problemi ilə bağlı 2500 illik mübahisəyə son qoydu. Hələ də tam başa düşülməyib, ona görə də müasir riyaziyyatçıların üzərində işləmək üçün bir şey var. Yeri gəlmişkən, bu dəyərin ilk kifayət qədər dəqiq hesablanması Arximed tərəfindən aparılmışdır. Ondan əvvəl bütün hesablamalar çox təxmini idi.

e (Euler və ya Napier nömrəsi) üçün onun transsendensiyasının sübutu 1873-cü ildə tapıldı. Loqarifmik tənliklərin həllində istifadə olunur.

Digər misallara hər hansı cəbri sıfır olmayan dəyərlər üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri daxildir.

Hansı rəqəmlər irrasionaldır? irrasional ədəd rasional real ədəd deyil, yəni. kəsr kimi (iki tam ədədin nisbəti kimi) təmsil oluna bilməz, burada m tam ədəddir, n- natural ədəd. irrasional ədəd sonsuz qeyri-dövri onluq kəsr kimi göstərilə bilər.

irrasional ədəd dəqiq ola bilməz. Yalnız 3.333333 formatında... Misal üçün, ikinin kvadrat kökü - irrasional ədəddir.

İrrasional ədəd nədir? İrrasional ədəd(rasional olanlardan fərqli olaraq) sonsuz onluq qeyri-dövri kəsr adlanır.

Çoxlu irrasional rəqəmlər tez-tez kölgəsiz qalın hərflə böyük Latın hərfi ilə işarələnir. ki.:

Bunlar. irrasional ədədlər çoxluğu həqiqi və rasional ədədlər çoxluğu arasındakı fərqdir.

İrrasional ədədlərin xassələri.

• 2 qeyri-mənfi irrasional ədədin cəmi rasional ədəd ola bilər.
• İrrasional ədədlər rasional ədədlər çoxluğunda Dedekind bölmələrini müəyyən edir, aşağı sinifdə ən böyük ədəd, yuxarı sinifdə isə ondan kiçik ədəd yoxdur.
• Hər real transsendental ədəd irrasional ədəddir.
• Bütün irrasional ədədlər ya cəbri, ya da transsendentdir.
• İrrasional ədədlər çoxluğu say xəttində hər yerdə sıxdır: hər bir cüt ədəd arasında bir irrasional ədəd var.
• İrrasional ədədlər çoxluğundakı sıra həqiqi transsendental ədədlər çoxluğundakı sıraya izomorfdur.
• İrrasional ədədlər çoxluğu sonsuzdur, 2-ci kateqoriya çoxluğudur.
• Rasional ədədlər üzərində hər bir hesab əməliyyatının nəticəsi (0-a bölmədən başqa) rasional ədəddir. İrrasional ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatların nəticəsi rasional və ya irrasional ədəd ola bilər.
• Rasional və irrasional ədədin cəmi həmişə irrasional ədəd olacaqdır.
• İrrasional ədədlərin cəmi rasional ədəd ola bilər. Misal üçün, qoy x məntiqsiz, onda y=x*(-1) həm də irrasional; x+y=0, və nömrə 0 rasional (məsələn, hər hansı 7 dərəcəsinin kökünü əlavə etsək və eyni dərəcədə yeddinin kökünü çıxarsaq, 0 rasional ədədi alırıq).

İrrasional ədədlər, nümunələr.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Və onlar öz köklərini latınca “səbəb” mənasını verən “nisbət” sözündən götürüblər. Hərfi tərcüməyə əsasən:

• Rasional ədəd "ağlabatan ədəd"dir.
• İrrasional rəqəm müvafiq olaraq “əsassız rəqəmdir”.

Rasional ədəd haqqında ümumi anlayış

Rasional ədəd aşağıdakı kimi yazıla bilən ədəddir:

1. Adi müsbət kəsr.
2. Mənfi ümumi kəsr.
3. Rəqəm olaraq sıfır (0).

Başqa sözlə, aşağıdakı təriflər rasional ədədə uyğun olacaq:

• İstənilən natural ədəd rasionaldır, çünki istənilən natural ədədi adi kəsr kimi göstərmək olar.
• İstənilən tam ədəd, o cümlədən sıfır rəqəmi, çünki istənilən tam ədəd həm müsbət adi kəsr, həm mənfi adi kəsr, həm də sıfır ədədi kimi yazıla bilər.
• İstənilən adi kəsr və burada onun müsbət və ya mənfi olmasının fərqi yoxdur, həm də rasional ədədin tərifinə birbaşa yanaşır.
• Qarışıq ədəd, sonlu onluq kəsr və ya sonsuz dövri kəsr də tərifə daxil edilə bilər.

Rasional ədədlərin nümunələri

Rasional ədədlərin nümunələrini nəzərdən keçirin:

• Natural ədədlər - "4", "202", "200".
• Tam ədədlər - "-36", "0", "42".
• Adi fraksiyalar.

Yuxarıdakı misallardan aydın olur ki rasional ədədlər həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Təbii ki, həm də rasional ədəd olan 0 (sıfır) rəqəmi eyni zamanda müsbət və ya mənfi ədəd kateqoriyasına aid deyil.

Beləliklə, mən ümumi təhsil proqramını aşağıdakı tərifdən istifadə edərək xatırlatmaq istərdim: “Rasional ədədlər” x / y kəsr kimi yazıla bilən ədədlərdir, burada x (numerator) tam, y (məxrəc) isə birdir. natural ədəd.

İrrasional ədədin ümumi anlayışı və tərifi

"Rasional ədədlər"lə yanaşı, "irrasional ədədlər" deyilənləri də bilirik. Bu rəqəmləri qısaca müəyyənləşdirməyə çalışaq.

Hətta qədim riyaziyyatçılar kvadratın kənarları boyunca diaqonalını hesablamaq istəyən irrasional ədədin varlığını öyrəndilər.
Rasional ədədlərin tərifinə əsaslanaraq, məntiqi zəncir qura və irrasional ədədi təyin edə bilərsiniz.
Beləliklə, əslində rasional olmayan həqiqi ədədlər, elementar olaraq, irrasional ədədlərdir.
İrrasional ədədləri ifadə edən onluq kəsrlər dövri və sonsuz deyil.

İrrasional ədədlərin nümunələri

Aydınlıq üçün irrasional ədədin kiçik bir nümunəsini nəzərdən keçirək. Artıq başa düşdüyümüz kimi, sonsuz onluq qeyri-dövri kəsrlərə irrasional deyilir, məsələn:

• Rəqəm "-5.020020002 ... (ikilərin bir, iki, üç və s. sıfır ardıcıllığı ilə ayrıldığı aydın görünür)
• "7.040044000444 ..." rəqəmi (burada aydın olur ki, zəncirdə dördlərin sayı və sıfırların sayı hər dəfə bir artır).
• Hər kəs Pi sayını bilir (3.1415 ...). Bəli, bəli - bu da məntiqsizdir.

Ümumiyyətlə, bütün həqiqi ədədlər həm rasional, həm də irrasionaldır. Sadə dillə desək, irrasional ədəd x/y adi kəsr kimi təqdim edilə bilməz.

Ümumi nəticə və ədədlər arasında qısa müqayisə

Hər bir ədədi ayrıca nəzərdən keçirdik, rasional ədədlə irrasional ədəd arasındakı fərq qalır:

1. İrrasional ədəd kvadrat kök alındıqda, dairəni diametrə bölərkən və s.
2. Rasional ədəd adi kəsri təmsil edir.

Məqaləmizi bir neçə təriflə yekunlaşdırırıq:

• Rasional ədəd üzərində aparılan hesab əməliyyatı, 0-a (sıfır) bölməkdən əlavə, son nəticədə rasional ədədə də səbəb olacaqdır.
• İrrasional ədəd üzərində hesab əməliyyatı apararkən son nəticə həm rasional, həm də irrasional qiymətə səbəb ola bilər.
• Hər iki ədəd arifmetik əməliyyatda iştirak edərsə (sıfıra bölmə və ya vurma istisna olmaqla), nəticə bizə irrasional ədəd verəcəkdir.

Vahid uzunluğunun bir seqmenti ilə qədim riyaziyyatçılar artıq bilirdilər: onlar, məsələn, diaqonalın və kvadratın tərəfinin uyğunsuzluğunu bilirdilər ki, bu da rəqəmin irrasionallığına bərabərdir.

İrrasionaldır:

İrrasionallığı sübut edən nümunələr

2-nin kökü

Əksini fərz edək: rasionaldır, yəni azalmayan kəsr kimi göstərilir, burada və tam ədədlərdir. Gəlin ehtimal olunan bərabərliyi kvadratlaşdıraq:

Buradan belə çıxır ki, hətta, buna görə də, hətta və . Qoy bütövlükdə. Sonra

Buna görə də, hətta, buna görə də, hətta və . Biz əldə etdik və cütdür, bu kəsrin azalmazlığına ziddir. Beləliklə, ilkin fərziyyə səhv idi və irrasional bir rəqəmdir.

3 ədədinin ikili loqarifmi

Bunun əksini fərz edin: rasionaldır, yəni kəsr kimi təmsil olunur, burada və tam ədədlərdir. , və müsbət qəbul edilə bilər. Sonra

Amma aydındır, qəribədir. Bir ziddiyyət alırıq.

e

Hekayə

İrrasional ədədlər anlayışı eramızdan əvvəl 7-ci əsrdə, Manava (e.ə. 750-ci il - təxminən 690-cı illər) bəzi natural ədədlərin, məsələn, 2 və 61-in kvadrat köklərinin açıq şəkildə ifadə edilə bilməyəcəyini aşkar etdikdə hind riyaziyyatçıları tərəfindən dolayı qəbul edilmişdir.

İrrasional ədədlərin mövcudluğunun ilk sübutu adətən pentaqramın tərəflərinin uzunluqlarını öyrənməklə bu sübutu tapan Pifaqorlu Metapontuslu Hippasa (e.ə. 500) aid edilir. Pifaqorçuların dövründə, kifayət qədər kiçik və bölünməz vahid uzunluq vahidinin olduğuna inanılırdı, bu, hər hansı bir seqmentə daxil edilmiş tam sayda dəfədir. Bununla belə, Hippasus iddia edirdi ki, vahid uzunluq vahidi yoxdur, çünki onun mövcudluğu fərziyyəsi ziddiyyətə gətirib çıxarır. O göstərdi ki, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası vahid seqmentlərin tam sayını ehtiva edirsə, bu ədəd eyni zamanda həm cüt, həm də tək olmalıdır. Sübut belə görünürdü:

• Hipotenuzanın uzunluğunun ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın ayağının uzunluğuna nisbəti belə ifadə edilə bilər. a:b, harada a və b mümkün olan ən kiçik kimi seçilir.
• Pifaqor teoreminə görə: a² = 2 b².
• Çünki a² hətta, a cüt olmalıdır (çünki tək ədədin kvadratı tək olardı).
• Çünki a:b azalmaz b qəribə olmalıdır.
• Çünki a hətta, işarələmək a = 2y.
• Sonra a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², buna görə də b bərabərdir, onda b hətta.
• Bununla belə, sübut olunub b qəribə. Ziddiyyət.

Yunan riyaziyyatçıları bu nisbəti müqayisə olunmayan kəmiyyətlər adlandırdılar aloqlar(ifadə edilə bilməz), lakin əfsanələrə görə, Hippasa lazımi hörmət göstərilməyib. Hippasın dəniz səyahəti zamanı kəşf etdiyi və digər Pifaqorçular tərəfindən "kainatdakı bütün varlıqların tam ədədlərə və onların nisbətlərinə endirilə biləcəyi doktrinasını inkar edən kainatın bir elementini yaratmaq üçün gəmidən atıldığı barədə bir əfsanə var. " Hippasın kəşfi Pifaqor riyaziyyatı üçün ciddi problem yaratdı, ədədlərin və həndəsi cisimlərin bir və ayrılmaz olması ilə bağlı bütün nəzəriyyənin əsasında yatan fərziyyəni məhv etdi.

həmçinin bax

Qeydlər

1. Sübut deduktiv əsaslandırmanın nümunələridir və induktiv və ya empirik arqumentlərdən fərqlənir. Sübut sübuta yetirilən müddəanın həmişə doğru olduğunu, bəzən bütün mümkün halları sadalamaqla və onların hər birində iddianın doğru olduğunu göstərməklə nümayiş etdirməlidir. Sübut açıq-aydın və ya ümumi qəbul edilmiş hadisələrə və ya aksioma kimi tanınan hallara əsaslana bilər. Bunun əksinə olaraq, “ikinin kvadrat kökü”nün irrasionallığı sübuta yetirilir.
2. Topologiyanın burada müdaxiləsi şeylərin mahiyyəti ilə izah olunur, bu o deməkdir ki, irrasionallığı sübut etməyin sırf cəbri yolu yoxdur, xüsusən də rasional ədədlərə əsaslanaraq.Budur bir nümunə, seçiminiz sizindir: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 və ya 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Əgər “cəbri” yanaşma hesab edilən 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2 götürsəniz, onda n/m ∈ ℚ olduğunu göstərmək heç də çətin deyil. sonsuz ardıcıllıq, irrasional və sonlu ədəddir.Bu, irrasional ədədlərin ℚ sahəsinin bağlanması olduğunu göstərir, lakin bu, topoloji təkliyə aiddir.
Beləliklə, Fibonaççi ədədləri üçün F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Bu, yalnız ℚ → I davamlı homomorfizminin olduğunu göstərir və belə bir izomorfizmin mövcudluğunun cəbri aksiomların məntiqi nəticəsi olmadığını ciddi şəkildə göstərmək olar.