Funksiyanın özəl və tam diferensialı. Qismən törəmələr və tam diferensial

özəl törəmə z = f(x, y) funksiyaları x dəyişəni ilə bu funksiyanın törəməsi y dəyişəninin sabit qiymətində çağırılır, o, və ya z "x ilə işarələnir.

özəl törəmə z = f(x, y) funksiyaları y dəyişəni ilə y dəyişəninin sabit qiymətində y-ə münasibətdə törəmə adlanır; və ya z "y ilə işarələnir.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın bir dəyişənə görə qismən törəməsi, digər dəyişənlərin sabit hesab edilməsi şərti ilə bu funksiyanın müvafiq dəyişənə görə törəməsi kimi müəyyən edilir.

tam diferensial M(X, y) nöqtəsində z = f(x, y) funksiyası ifadə adlanır

Burada və M(x, y) və dx =, dy = y nöqtəsində hesablanır.

Misal 1

Funksiyanın tam diferensialını hesablayın.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 M nöqtəsində (1; 2)

Həll:

1) qismən törəmələri tapın:

2) M(1; 2) nöqtəsində qismən törəmələrin qiymətini hesablayın.

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Özünə nəzarət üçün suallar:

1. Antitörəmə nə adlanır? Antiderivativin xüsusiyyətlərini sadalayın.

2. Qeyri-müəyyən inteqrala nə deyilir?

3. Qeyri-müəyyən inteqralın xassələrini sadalayın.

4. Əsas inteqrasiya düsturlarını sadalayın.

5. Hansı inteqrasiya üsullarını bilirsiniz?

6. Nyuton-Leybnits düsturunun mahiyyəti nədir?

7. Müəyyən inteqralın tərifini verin.

8. Əvəzetmə üsulu ilə müəyyən inteqralın hesablanmasının mahiyyəti nədir?

9. Müəyyən inteqralın hissələrə görə hesablanması metodunun mahiyyəti nədir?

10. Hansı funksiyaya iki dəyişənli funksiya deyilir? Necə təyin olunur?

11. Hansı funksiyaya üç dəyişənli funksiya deyilir?

12. Hansı çoxluğa funksiyanın oblastı deyilir?

13. Müstəvidə qapalı D bölgəsini hansı bərabərsizliklərin köməyi ilə təyin etmək olar?

14. z \u003d f (x, y) funksiyasının x dəyişəninə görə qismən törəməsi nə adlanır? Necə təyin olunur?

15. y dəyişəninə münasibətdə z \u003d f (x, y) funksiyasının qismən törəməsi nə adlanır? Necə təyin olunur?

16. Hansı ifadə funksiyanın tam diferensialı adlanır

Mövzu 1.2 Adi diferensial tənliklər.

Diferensial tənliklərə aparan problemlər. Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər. Ümumi və özəl həllər. Birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər. Sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti homogen tənliklər.

Praktiki dərs № 7 “Ayrılan dəyişənli diferensial tənliklərin ümumi və xüsusi həllərinin tapılması” *

Praktiki məşğələ No8 “Xətti və bircins diferensial tənliklər”

Praktiki məşğələ №9 “Sabit əmsallı 2-ci tərtibli diferensial tənliklərin həlli” *

L4, fəsil 15, səh. 243 - 256

Təlimatlar

Praktiki iş №2

"Funksiya Diferensial"

Dərsin məqsədi: Verilmiş mövzuya dair misal və problemləri həll etməyi öyrənin.

Nəzəriyyə sualları (ilkin səviyyə):

1. Funksiyaların ifrat həddə qədər öyrənilməsi üçün törəmələrin istifadəsi.

2. Funksiyanın diferensialı, onun həndəsi və fiziki mənası.

3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialı.

4. Çox dəyişənlərin funksiyası kimi orqanizmin vəziyyəti.

5. Təxmini hesablamalar.

6. Qismən törəmələrin və tam diferensialın tapılması.

7. Bu anlayışların farmakokinetikada, mikrobiologiyada və s.

(özünü məşq)

1. dərsin mövzusu üzrə suallara cavab vermək;

2. nümunələri həll edin.

Nümunələr

Aşağıdakı funksiyaların diferensiallarını tapın:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Funksiyaları öyrənmək üçün törəmələrdən istifadə

y = f(x) funksiyasının [a, b] seqmentində artma şərti.

y=f(x) funksiyasının [a, b] seqmentində azalma şərti.

x= a-da maksimum y=f(x) funksiyasının şərti

f"(a)=0 və f""(a)<0

Əgər x \u003d a üçün f "(a) \u003d 0 və f "(a) \u003d 0 törəmələri varsa, x \u003d a nöqtəsinin yaxınlığında f "(x) i araşdırmaq lazımdır. Funksiya y \u003d f (x) x \u003d a üçün maksimuma malikdir, əgər x \u003d nöqtəsindən keçərkən və f "(x) törəməsi işarəni "+" dan "-"yə dəyişirsə, minimum olduqda - "-"-dən "+"-a x = a nöqtəsindən keçərkən f "(x) işarəsi dəyişmirsə, bu nöqtədə funksiyanın ekstremumu yoxdur.

Funksiya diferensialı.

Müstəqil dəyişənin diferensialı onun artımına bərabərdir:

Funksiya diferensialı y=f(x)

İki funksiyanın cəminin (fərqinin) diferensialı y=u±v

İki funksiyanın hasilinin diferensialı y=uv

İki funksiyanın bölünmə diferensialı y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Funksiya artımı

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

burada Δx: arqumentin artımıdır.

Funksiya dəyərinin təxmini hesablanması:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Diferensialın təxmini hesablamalarda tətbiqi

Diferensial dolayı ölçmələrdə mütləq və nisbi səhvləri hesablamaq üçün istifadə olunur u \u003d f (x, y, z.). Ölçmə nəticəsinin mütləq səhvi

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Ölçmə nəticəsinin nisbi xətası

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKSİYA DIFFERENTİAL.

Funksiya artımının əsas hissəsi kimi funksiya diferensialı və. Funksiyanın diferensialı anlayışı törəmə anlayışı ilə sıx bağlıdır. Qoy funksiya olsun f(x) verilmiş dəyərlər üçün davamlı X və törəməsi var

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), buradan funksiya artımı Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, harada a(Dx) ® 0 saat Dx ® 0. Sonsuz kiçiklərin sırasını təyin edək f¢(x)Dx Dx.:

Buna görə də sonsuz kiçik f¢(x)Dx və Dx eyni böyüklük sırasına malikdir, yəni f¢(x)Dx = O.

Sonsuz kiçiklərin sırasını təyin edək a(Dх)Dх sonsuz kiçikə münasibətdə Dx:

Buna görə də sonsuz kiçik a(Dх)Dх sonsuz kiçikdən daha yüksək kiçiklik sırasına malikdir Dx, yəni a(Dx)Dx = o.

Beləliklə, sonsuz kiçik artım Df diferensiallanan funksiya iki termin şəklində təqdim edilə bilər: sonsuz kiçik f¢(x)Dx ilə eyni kiçiklik sırası Dx və sonsuz kiçik a(Dх)Dх sonsuz kiçiklə müqayisədə daha yüksək kiçiklik sırası Dx. Bu bərabərlik deməkdir Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx saat Dx® 0 ikinci termin birincidən "daha sürətli" sıfıra meyl edir, yəni. a(Dx)Dx = o.

Birinci dövr f¢(x)Dx, ilə əlaqədar xətti Dx, çağırdı funksiya diferensialı f(x) nöqtədə X və işarə edir dy və ya df("de game" və ya "de ef" oxuyun). Belə ki,

dy = df = f¢(x)Dx.

Diferensialın analitik mənası ondadır ki, funksiyanın diferensialı funksiyanın artımının əsas hissəsidir Df, arqumentin artımına görə xətti Dx. Funksiyanın diferensialı funksiyanın artımından daha yüksək kiçiklik sırasına malik sonsuz kiçik ilə fərqlənir. Dx. Həqiqətən, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx və ya Df = df + a(Dx)Dx . Arqument diferensialı dx onun artımına bərabərdir Dx: dx=Dx.

Misal. Funksiyanın diferensialının qiymətini hesablayın f(x) = x 3 + 2x, nə vaxt X 1-dən 1.1-ə qədər dəyişir.

Həll. Bu funksiyanın diferensialının ümumi ifadəsini tapaq:

Əvəzedici dəyərlər dx=Dx=1,1–1= 0,1 və x=1 sonuncu düsturda diferensialın istənilən qiymətini alırıq: df½ x=1; = 0,5.

QISMİ TÖRƏVVƏLƏR VƏ DİFERFENSİALLAR.

Birinci dərəcəli qismən törəmələr. z = f(x,y) funksiyasının birinci dərəcəli qismən törəməsi ) arqumentlə X nəzərə alınan nöqtədə (x; y) hədd adlanır

varsa.

Funksiyanın qismən törəməsi z = f(x, y) arqumentlə X aşağıdakı simvollardan biri ilə işarələnir:

Eynilə, ilə əlaqədar qismən törəmə saat düsturla işarələnir və müəyyən edilir:

Qismən törəmə bir arqumentin funksiyasının adi törəməsi olduğundan onu hesablamaq çətin deyil. Bunun üçün hər bir halda arqumentlərdən hansının “sabit ədəd” kimi qəbul edildiyini və hansının “diferensiasiya dəyişəni” kimi xidmət etdiyini nəzərə alaraq, indiyə qədər nəzərdən keçirilən bütün diferensiallaşdırma qaydalarından istifadə etmək lazımdır.

Şərh. Məsələn, arqumentə görə qismən törəməni tapmaq üçün x – df/dx, funksiyanın adi törəməsini tapmaq kifayətdir f(x,y), sonuncunun bir arqumentin funksiyası olduğunu fərz etsək X, a saat- daimi; tapmaq df/dy- əksinə.

Misal. Bir funksiyanın qismən törəmələrinin qiymətlərini tapın f(x,y) = 2x2 + y2 nöqtədə P(1;2).

Həll. Saymaq f(x,y) tək arqument funksiyası X və fərqləndirmə qaydalarından istifadə edərək tapırıq

nöqtədə P(1;2) törəmə dəyər

f(x; y)-ni bir y arqumentinin funksiyası kimi nəzərə alsaq, tapırıq

nöqtədə P(1;2) törəmə dəyər

TƏLƏBƏNİN MÜSTƏQİL İŞİ ÜÇÜN TOPŞURU:

Aşağıdakı funksiyaların diferensiallarını tapın:

Aşağıdakı vəzifələri həll edin:

1. Yanı x = 10 sm olan kvadratın tərəfi 0,01 sm kiçilsə, onun sahəsi nə qədər azalacaq?

2. Bədənin hərəkət tənliyi verilmişdir: y=t 3 /2+2t 2 , burada s metrlə, t saniyə ilə ifadə edilir. Hərəkətin başlanğıcından t=1,92 s-də cismin keçdiyi yolu tapın.

ƏDƏBİYYAT

1. Lobotskaya N.L. Ali riyaziyyatın əsasları - M .: "Ali məktəb", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Biologiya və tibbdə riyaziyyat. Per. ingilis dilindən. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., İsakova N.X., Maksina L.G. Tibbi və bioloji fizikada problemlər toplusu - M .: "Ali məktəb", 1987. C16-20.

İki dəyişənli funksiya anlayışı

Dəyər zçağırdı iki müstəqil dəyişənin x funksiyası və y, əgər bu kəmiyyətlərin icazə verilən hər bir cütü, müəyyən bir qanuna görə, kəmiyyətin dəqiq müəyyən edilmiş bir dəyərinə uyğun gəlirsə z. Müstəqil dəyişənlər x və yçağırdı arqumentlər funksiyaları.

Belə bir funksional asılılıq analitik olaraq işarələnir

Z = f (x, y),(1)

Funksiyanın həqiqi dəyərlərinə uyğun gələn x və y arqumentlərinin dəyərləri z, hesab olunur məqbuldur, və bütün icazə verilən x və y dəyər cütlərinin çoxluğu deyilir tərif sahəsi iki dəyişənin funksiyaları.

Bir dəyişənin funksiyasından fərqli olaraq, bir neçə dəyişənli funksiya üçün onun anlayışları qismən artımlar arqumentlərin və konsepsiyanın hər biri üçün tam artım.

Arqumentlə z=f (x,y) funksiyasının Δ x z qismən artımı x bu funksiyanın arqumenti x artırıldıqda aldığı artımdır Δx eyni ilə y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

y arqumentinə münasibətdə z= f (x, y) funksiyasının qismən artımı Δ y z, bu funksiyanın y arqumenti x dəyişməmiş Δy artımını aldıqda aldığı artımdır:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Tam artım Δz funksiyaları z= f (x, y) arqumentlərlə x və y funksiyanın hər iki arqumenti artırıldıqda aldığı artım adlanır:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Kifayət qədər kiçik artımlar üçün Δx və Δy funksiya arqumentləri

təxmini bərabərlik var:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

və nə qədər dəqiqdirsə, bir o qədər azdır Δx və Δy.

İki dəyişənli funksiyaların qismən törəmələri

(x, y) nöqtəsindəki x arqumentinə görə z=f (x, y) funksiyasının qismən törəməsi. qismən artım nisbətinin həddi adlanır ∆xz bu funksiyanı müvafiq artıma qədər artırın Δx cəhd edərkən x arqumenti Δx 0-a qədər və bu limit mövcud olduqda:

, (6)

Funksiyanın törəməsi də oxşar şəkildə müəyyən edilir z=f (x, y) arqumentlə y:

Göstərilən qeydlərə əlavə olaraq, funksiyaların qismən törəmələri də ilə işarələnir: z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Qismən törəmənin əsas mənası aşağıdakı kimidir: bir neçə dəyişənli funksiyanın onun hər hansı arqumentinə münasibətdə qismən törəməsi bu arqument dəyişdikdə bu funksiyanın dəyişmə sürətini xarakterizə edir.

Hər hansı bir arqumentə münasibətdə bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəməsi hesablanarkən bu funksiyanın bütün digər arqumentləri sabit hesab olunur.

Misal 1. Funksiyaların qismən törəmələrini tapın

f (x, y)= x 2 + y 3

Həll. Bu funksiyanın x arqumentinə görə qismən törəməsi tapılarkən y arqumenti sabit qiymət hesab olunur:

;

y arqumentinə görə qismən törəmə tapılarkən x arqumenti sabit qiymət hesab olunur:

Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən və tam diferensialları

Bir neçə dəyişənli funksiyanın hansı ilə bağlı qismən diferensiallaşması-ya onun arqumentlərindən verilmiş arqumentə və bu arqumentin diferensialına münasibətdə bu funksiyanın qismən törəməsinin hasilidir:

dxz=,(7)

dyz= (8)

Burada d x z və d y z-funksiyanın qismən diferensialları z= f (x, y) arqumentlərlə x və y. Harada

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

tam diferensial Bir neçə dəyişənin funksiyası onun qismən diferensiallarının cəmi adlanır:

dz= d x z + d y z, (10)

Misal 2 Funksiyanın qismən və tam diferensiallarını tapın f (x, y)= x 2 + y 3 .

Bu funksiyanın qismən törəmələri Nümunə 1-də tapıldığından, alırıq

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Bir neçə dəyişənli funksiyanın hər arqumentinə görə qismən diferensiallanması funksiyanın müvafiq qismən artımının əsas hissəsidir..

Nəticədə yaza bilərsiniz:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Ümumi diferensialın analitik mənası ondan ibarətdir ki, bir neçə dəyişənli funksiyanın ümumi diferensialı bu funksiyanın ümumi artımının əsas hissəsidir..

Beləliklə, təxmini bərabərlik var

∆zdz, (12)

Düsturun (12) istifadəsi təxmini hesablamalarda ümumi diferensialın istifadəsinə əsaslanır.

Bir artım təsəvvür edin Δz kimi

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

və formada ümumi diferensial

Sonra alırıq:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Dərsdə şagirdlərin məqsədi:

Tələbə bilməlidir:

1. İki dəyişənli funksiyanın tərifi.

2. İki dəyişənli funksiyanın qismən və tam artımı anlayışı.

3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəməsinin təyini.

4. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəməsinin onun hər hansı arqumentinə münasibətdə fiziki mənası.

5. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən diferensialının təyini.

6. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialının təyini.

7. Tam diferensialın analitik mənası.

Tələbə bacarmalıdır:

1. İki dəyişənli funksiyanın özəl və ümumi artımlarını tapın.

2. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəmələrini hesablayın.

3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən və tam diferensiallarını tapın.

4. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialını təxmini hesablamalarda tətbiq edin.

Nəzəri hissə:

1. Bir neçə dəyişənli funksiya anlayışı.

2. İki dəyişənin funksiyası. İki dəyişənli funksiyanın qismən və tam artımı.

3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəməsi.

4. Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən diferensialları.

5. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialı.

6. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialının təxmini hesablamalarda tətbiqi.

Praktik hissə:

1.Funksiyaların qismən törəmələrini tapın:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Verilmiş arqumentə görə funksiyanın qismən törəməsini təyin edin.

5. İki dəyişənli funksiyanın qismən və tam diferensialına nə deyilir? Onlar necə əlaqəlidirlər?

6. Biliklərin yekun səviyyəsini yoxlamaq üçün sualların siyahısı:

1. Bir neçə dəyişənli ixtiyari funksiyanın ümumi halında onun ümumi artımı bütün qismən artımların cəminə bərabərdirmi?

2. Bir neçə dəyişənli funksiyanın hər hansı arqumentinə münasibətdə qismən törəməsinin əsas mənası nədir?

3. Ümumi diferensialın analitik mənası nədir?

7. Dərsin qrafiki:

1. Təşkilati məqam - 5 dəqiqə.

2. Mövzunun təhlili - 20 dəq.

3. Nümunələrin və məsələlərin həlli - 40 dəq.

4. Biliyə cari nəzarət -30 dəq.

5. Dərsin yekunlaşdırılması - 5 dəq.

8. Dərs üçün tədris ədəbiyyatının siyahısı:

1. Morozov Yu.V. Ali riyaziyyatın və statistikanın əsasları. M., "Tibb", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavluşkov İ.V. və başqaları Ali riyaziyyatın əsasları və riyazi statistika. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Funksiyaların xəttiləşdirilməsi. Tangens müstəvisi və səthi normal.

Daha yüksək dərəcəli törəmələr və diferensiallar.

1. FNP-nin qismən törəmələri *)

Funksiyanı nəzərdən keçirin və = f(P), RÎDİR n və ya eyni olan,

və = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Dəyişənlərin dəyərlərini düzəldirik X 2 , ..., x n, və dəyişən X 1 D artıraq X bir . Sonra funksiya və bərabərliklə müəyyən edilən artım alacaq

= f (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Bu artım deyilir şəxsi artım funksiyaları və dəyişən tərəfindən X 1 .

Tərif 7.1. Funksiyanın qismən törəməsi və = f(X 1 , X 2 , ..., x n) dəyişənlə X 1 funksiyanın qismən artımının D arqumentinin artımına nisbətinin həddidir. X 1-də D X 1 ® 0 (əgər bu məhdudiyyət varsa).

ilə bağlı qismən törəmə X 1 simvol

Beləliklə, tərifə görə

Qalan dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələr oxşar şəkildə müəyyən edilir. X 2 , ..., x n. Tərifdən görünür ki, funksiyanın dəyişənə nisbətən qismən törəməsi x i bir dəyişənin funksiyasının adi törəməsidir x i qalan dəyişənlər sabit hesab edildikdə. Buna görə də, bir neçə dəyişənli funksiyanın törəməsini tapmaq üçün əvvəllər öyrənilmiş bütün qaydalar və diferensiasiya düsturlarından istifadə etmək olar.

Məsələn, funksiya üçün u = x 3 + 3xy – z 2 bizdə var

Beləliklə, əgər bir neçə dəyişənin funksiyası açıq şəkildə verilirsə, onda mövcudluq və onun qismən törəmələrinin tapılması məsələləri bir dəyişənin funksiyası ilə bağlı müvafiq suallara - törəməni təyin etmək lazım olan suallara endirilir.

Dolayı şəkildə müəyyən edilmiş funksiyanı nəzərdən keçirək. tənliyi F( x, y) = 0 bir dəyişənin gizli funksiyasını təyin edir X. ədalətli

Teorem 7.1.

Qoy F( x 0 , y 0) = 0 və F( funksiyaları x, y), F¢ X(x, y), F¢ saat(x, y) nöqtənin bəzi qonşuluğunda davamlıdır ( X 0 , saat 0) və F¢ saat(x 0 , y 0) ¹ 0. Sonra funksiya saat, F( tənliyi ilə gizli verilmişdir. x, y) = 0, nöqtəsində ( x 0 , y 0) bərabər olan törəmə

Əgər teoremin şərtləri DÌ R 2 oblastının hər hansı bir nöqtəsində ödənilirsə, bu sahənin hər bir nöqtəsində .

Məsələn, funksiya üçün X 3 –2saat 4 + Heyrət! Vay+ 1 = 0 tapın

İndi F tənliyi olsun x, y, z) = 0 iki dəyişənin gizli funksiyasını təyin edir. tapaq və . ilə bağlı törəmənin hesablanmasından bəri X sabit (sabit) istehsal olunur saat, onda bu şərtlərdə bərabərlik F( x, y= sabit, z) = 0 müəyyən edir z bir dəyişənin funksiyası kimi X və 7.1 teoreminə görə alırıq

oxşar .

Beləliklə, tənlik ilə gizli verilmiş iki dəyişənli funksiya üçün , qismən törəmələr düsturlarla tapılır: ,

Materialın qeydini və təqdimatını sadələşdirmək üçün biz özümüzü iki dəyişənin funksiyaları ilə məhdudlaşdırırıq. Aşağıdakı hər şey istənilən sayda dəyişənlərin funksiyaları üçün də etibarlıdır.

Tərif. özəl törəmə funksiyaları z = f(x, y) müstəqil dəyişən ilə X törəmə adlanır

sabit olaraq hesablanır saat.

Dəyişənlə bağlı qismən törəmə oxşar şəkildə müəyyən edilir saat.

Qismən törəmələr üçün adi qaydalar və fərqləndirmə düsturları etibarlıdır.

Tərif. Qismən törəmənin hasili və arqumentin artımı X(y) adlanır özəl diferensial dəyişən tərəfindən X(saat) iki dəyişənin funksiyaları z = f(x, y) (simvollar: ):

Müstəqil dəyişənin diferensialı altında olarsa dx(dy) artımı başa düşmək X(saat), sonra

Funksiya üçün z = f(x, y) onun tezlik törəmələrinin həndəsi mənasını tapın və .

Bir nöqtəni, bir nöqtəni düşünün P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) səthdə z = f(x,saat) və əyri L, səthi bir təyyarə ilə kəsdikdə əldə edilir y = y 0 . Bu əyriyə bir dəyişənin funksiyasının qrafiki kimi baxmaq olar z = f(x, y) təyyarədə y = y 0 . Əgər nöqtədə çəkirsinizsə R 0 (X 0 , y 0 , z 0) əyriyə toxunan L, onda bir dəyişənli funksiyanın törəməsinin həndəsi mənasına görə , harada a – müsbət ox istiqaməti olan bir tangensin yaratdığı bucaq Oh.