Урок «Сфера. Касательная плоскость к сфере

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем знакомство со сферой и её элементами.

На прошлом занятии вы изучили случаи взаимного расположения плоскости и сферы.

Следует помнить, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью.

Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Рассмотрим подробно случай, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

Рассмотрим касательную плоскость α к сфере с центром в точке О.

Докажем, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости α.

1.Проведём доказательство методом от противного, то есть предположим, что радиус ОА не перпендикулярен касательной плоскости α.

2. Следовательно, ОА — наклонная к плоскости α, значит расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса ОА.

3. Таким образом, получили — сфера и плоскость α пересекаются по окружности, что является противоречием условию о том, что плоскость α и сфера имеют одну общую точку.

Следовательно, радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.

Итак, мы доказали теорему о свойстве касательной плоскости к сфере: радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.

Данное свойство аналогично свойству касательной к окружности.

Докажем обратную теорему.

1.Проведём радиус сферы перпендикулярно к плоскости, проходящей через его конец.

2.Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, значит, плоскость и сфера имеют только одну общую точку, следовательно, данная плоскость является касательной к сфере.

Таким образом, мы доказали, что если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

Применим полученные знания при решении задач.

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

1)Докажем, что точка А принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

Выберем произвольную точку N на сфере.

Проведём отрезки NO и NP.

Из неравенства треугольника ONP следует:

ОА+АР=ОР, тогда

ON+NP OA+AP, где ON и OA это радиусы.

Следовательно, R+ NP R+АР или NP АР.

Итак, АР NP, а так как точка N выбрана произвольно, то точка А, принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

2.Найдём длину искомого отрезка АР как разность отрезков ОР и ОА, где ОА радиус сферы R.

По известной теореме радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы, имеем, что треугольник ОКР — прямоугольный.

Отрезок ОР является гипотенузой данного треугольника, найдём его по теореме Пифагора:

ОР=√ОК2+КР2=√1122+152=√12544+225=√12769=113 см

Итак, АР=ОР-ОА=113-112=1 см.

Таким образом, расстояние от точки, лежащей на плоскости касательной, к сфере до ближайшей к ней точки сферы равно 1 см.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Касательной плоскостью к поверхности в точке
называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.Нормалью называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Покажем, что
направлен по нормали к поверхности
в точке
­.

Рассмотрим кривую , лежащую на поверхности и проходящую через точку
(рис. 15). Пусть она задана параметрическими уравнениями

.

Если
– радиус-вектор точки
, движущейся при изменениивдоль, то, а
– радиус-вектор точки
.

Так как лежит на поверхности, то. Продифференцируем это тождество по:

. (6.6)

По определению
, а. Поэтому (6.6) означает, что скалярное произведение
во всех точках кривой.

Равенство нулю скалярного произведения векторов – необходимое и достаточное условие их перпендикулярности. Значит, в точке

. Но вектор
– вектор скорости – направлен по касательной к траектории точки

, то есть по касательной к кривой(рис. 15). Так каквыбрана произвольно, то
перпендикулярен всевозможным касательным, проведенным к линиям, лежащим на
и проходящим через точку
. А это по определению означает, что
перпендикулярен касательной плоскости, то есть является ее нормалью.

Отсюда уравнение касательной плоскости к данной поверхности имеет вид (см. гл. 3):

Уравнение нормали (см. гл. 3):

. (6.8)

В частности, если поверхность задана явным уравнением
, получим:– уравнение касательной

плоскости, и
– уравнение нормали.

ПРИМЕР . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к сфере
в точке
.

Очевидно

Уравнение касательной плоскости (6.7):

Уравнения нормали (6.8):

.

Заметим, что эта прямая проходит через начало координат, то есть центр сферы.

ПРИМЕР . Написать уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду
в точке
.

Эта поверхность задана явным уравнением и
.

Поэтому уравнение касательной плоскости в данной точке имеет вид: или.

Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция
определена во всех точках некоторой области
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Точка
называется точкой максимума (минимума) функции
, если существует её окрестность
, всюду в пределах которой.

Из определения следует, что если
– точка максимума, то

; если
– точка минимума, то

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции двух переменных). Пусть функция
имеет в точке
экстремум. Если в этой точке существуют производные первого порядка, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Зафиксируем значение
. Тогда
– функция одной переменной. Она имеет экстремум при
и по необходимому условию экстремума дифференцируемой функции одной переменной (см. гл. 5)
.

Аналогично, зафиксировав значение
, получим, что
.

Что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Стационарной точкой функции
называется точка
, в которой обе частные производные первого порядка равны нулю:

.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Сформулированное необходимое условие не является достаточным условием экстремума.

Пусть
. Значит,
– стационарная точка этой функции. Рассмотрим произвольную- окрестность начала координат.

В пределах этой окрестности имеет, очевидно, разные знаки (рис. 16). А это означает, что точка
точкой экстремума по определению не является.

Таким образом, не всякая стационарная точка – точка экстремума .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Непрерывная функция может иметь экстремум, но не иметь стационарной точки.

Рассмотрим функцию
. Её графиком является верхняя
половина конуса, и, очевидно,
– точка минимума (рис. 17).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Точки, в которых частные производные первого порядка функции
равны нулю или не существуют, называются еекритическими точками.

ТЕОРЕМА (достаточное условие экстремума функции
). Пусть функция
имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестностистационарной точки
. Пусть, кроме того,

.

Тогда, если

1)
, то
– точка экстремума, именно: точка максимума, если
, или точка минимума, если
;

2)
, то экстремума в точке
нет;

3)
, то требуются дополнительные исследования для выяснения характера точки
.

(Без доказательства).

ПРИМЕР . Исследовать на экстремум функцию
.

Найдем стационарные точки:
. Стационарных точек нет, значит, функция не имеет экстремума.

ПРИМЕР . Исследовать на экстремум функцию .

Чтобы найти стационарные точки, надо решить систему уравнений:

То есть данная функция имеет четыре стационарные точки.

Проверим достаточное условие экстремума для каждой из них:

.

Так как
, то в точках
экстремума нет.

и
, значит,
– точка минимума и
;
и
, значит,
– точка максимума и
.

Плоскость , проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 457).

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

53) Обем та площина поверхні призми.

Призмой называется многогранник, две грани которого n-угольники, а остальные n граней - параллелограммы.

Площадь поверхности и объём призмы

Пусть H - высота призмы, - боковое ребро призмы, - периметр основания призмы, площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности призмы, - площадь полной поверхности призмы, - объем призмы, - периметр перпендикулярного сечения призмы, - площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Для прямой призмы , у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, площадь боковой поверхности и объем даются формулами:

54) Обем та плошина поверхні піраміди.

Пирамидой называется многогранник одна из граней которого является произвольным многоугольником, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.

Площадь поверхности и объём пирамиды

Пусть - высота пирамиды, - периметр основания пирамиды, - площадь основания пирамиды, - площадь боковой поверхности пирамиды, - площадь полной поверхности пирамиды, - объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны , то

55) Обем та плошина поверхні зрізаної піраміди.

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды

Пусть - высота усеченной пирамиды, и - периметры оснований усеченной пирамиды, и - площади оснований усеченной пирамиды, - площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, - площадь полной поверхности усеченной пирамиды, - объем усеченной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

Если все двугранные углы при основании усеченной пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды равны , то

56) Обем та площа обема циліндра.

Цилиндр – тело которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков соединяющиеся соответственные точки кругов.

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

Полная площадь поверхности круглого цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности круглого цилиндра и удвоенной площади основания. Основание круглого цилиндра есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

2. S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r)

Формулы для расчета объема цилиндра:

1) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2) Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

57) Обем та площа обема конуса, зрізаного конуса.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. См. также Площадь поверхности усеченного конуса

58) Обем кулі та її частин. Площа сфери

1) Объем шара вычисляется по приведенной ниже формуле.

««Сфера и шар» 11 класс» - Координаты центра. Сфера. Площадь поверхности сферы. Исторические сведения о сфере и шаре. Уравнение сферы. Шар. Физкультминутка. Определение сферы. Сфера и плоскость. Взаимное расположение сферы и плоскости. Окружность и круг. Как изобразить сферу. Радиус сечения. Определение сферы, шара. Площадь сферы.

«Касательная плоскость к сфере» - Уравнение сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Сфера и шар. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере. Взаимное расположение прямой и плоскости.

«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Решение задач по готовым чертежам. Устный тест: «Тела вращения». Конус. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Шар и сфера. Работа у доски. Площадь сферы. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Установите соответствие. Цели и задачи.

«Чем отличается сфера от шара» - Координаты центра. Представление о сфере. Уравнение сферы радиуса R. Сфера и шар. Шар. Понятие сферы. Окружность. Предметы окружающей обстановки. Сфера. Определение сферы. Круг. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Уравнение сферы.

«Сфера и шар» - Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Сечение шара плоскостью. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники. Касательная плоскость к сфере. Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

«Шар» - Повторение теоретических положений. В своей работе мы: В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар. Организация исследовательской деятельности учащихся во внеурочное время. Конус. Найти объем призмы. Исследовательская деятельность во внеурочное время. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.

Всего в теме 12 презентаций

П. 64 – 67, изучить п, 576, 578

Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587

О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, - касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d

О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: - касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.