Урок «Сфера. Касательная плоскость к сфере

Симметрия шара

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х", симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ" и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ" следует, что ОХ" =ОХ.

Так как ОХ?R, то и ОХ"?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь Х"" - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ"" = ОХ?R, т.е. точка Х"" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.

Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Доказательство: Пусть б - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Соглашение

Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":

Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;

Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);

Запрещается использовать чужие данные;

Запрещается использовать чужие e-mail адреса;

Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:

1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.

1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).

1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.

4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.

4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.

4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".

4.4. Угрозы в адрес участников форума.

4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.

4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.

4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.

4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.

5.1. Мат и ненормативная лексика.

5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).

5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.

5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.

5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.

5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).

5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.

5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.

5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.

5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.

6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.

6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.

6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.

6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.

6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.

6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.

7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума

7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.

7.4. Удаление учетной записи.

7.5. Блокировка IP.

8. Примечания

8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.

8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.

8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.

8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.

9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Мы продолжаем знакомство со сферой и её элементами.

На прошлом занятии вы изучили случаи взаимного расположения плоскости и сферы.

Следует помнить, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью.

Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Рассмотрим подробно случай, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку.

Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

Рассмотрим касательную плоскость α к сфере с центром в точке О.

Докажем, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости α.

1.Проведём доказательство методом от противного, то есть предположим, что радиус ОА не перпендикулярен касательной плоскости α.

2. Следовательно, ОА — наклонная к плоскости α, значит расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса ОА.

3. Таким образом, получили — сфера и плоскость α пересекаются по окружности, что является противоречием условию о том, что плоскость α и сфера имеют одну общую точку.

Следовательно, радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.

Итак, мы доказали теорему о свойстве касательной плоскости к сфере: радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.

Данное свойство аналогично свойству касательной к окружности.

Докажем обратную теорему.

1.Проведём радиус сферы перпендикулярно к плоскости, проходящей через его конец.

2.Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, значит, плоскость и сфера имеют только одну общую точку, следовательно, данная плоскость является касательной к сфере.

Таким образом, мы доказали, что если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере.

Применим полученные знания при решении задач.

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

1)Докажем, что точка А принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

Выберем произвольную точку N на сфере.

Проведём отрезки NO и NP.

Из неравенства треугольника ONP следует:

ОА+АР=ОР, тогда

ON+NP OA+AP, где ON и OA это радиусы.

Следовательно, R+ NP R+АР или NP АР.

Итак, АР NP, а так как точка N выбрана произвольно, то точка А, принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р.

2.Найдём длину искомого отрезка АР как разность отрезков ОР и ОА, где ОА радиус сферы R.

По известной теореме радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы, имеем, что треугольник ОКР — прямоугольный.

Отрезок ОР является гипотенузой данного треугольника, найдём его по теореме Пифагора:

ОР=√ОК2+КР2=√1122+152=√12544+225=√12769=113 см

Итак, АР=ОР-ОА=113-112=1 см.

Таким образом, расстояние от точки, лежащей на плоскости касательной, к сфере до ближайшей к ней точки сферы равно 1 см.

««Сфера и шар» 11 класс» - Координаты центра. Сфера. Площадь поверхности сферы. Исторические сведения о сфере и шаре. Уравнение сферы. Шар. Физкультминутка. Определение сферы. Сфера и плоскость. Взаимное расположение сферы и плоскости. Окружность и круг. Как изобразить сферу. Радиус сечения. Определение сферы, шара. Площадь сферы.

«Касательная плоскость к сфере» - Уравнение сферы. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Сфера и шар. В отличие от боковой поверхности конуса или цилиндра, сферу невозможно развернуть на плоскость. Площадь сферы. Касательная плоскость к сфере. Взаимное расположение прямой и плоскости.

«Задачи на шар и сферу» - Шар вписан в цилиндр. Решение задач по готовым чертежам. Устный тест: «Тела вращения». Конус. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Шар и сфера. Работа у доски. Площадь сферы. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в один шар. Установите соответствие. Цели и задачи.

«Чем отличается сфера от шара» - Координаты центра. Представление о сфере. Уравнение сферы радиуса R. Сфера и шар. Шар. Понятие сферы. Окружность. Предметы окружающей обстановки. Сфера. Определение сферы. Круг. Вывести уравнение сферы. Центр сферы. Уравнение сферы.

«Сфера и шар» - Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Сечение шара плоскостью. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники. Касательная плоскость к сфере. Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

«Шар» - Повторение теоретических положений. В своей работе мы: В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар. Организация исследовательской деятельности учащихся во внеурочное время. Конус. Найти объем призмы. Исследовательская деятельность во внеурочное время. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.

Всего в теме 12 презентаций

Урок 10. Касательная плоскость к сфере.

Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.

Ход урока

Актуализация опорных знаний.

Повторение сведений из планиметрии.

Определение касательной.

Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

Рассмотрим последний случай подробнее.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.

К
асательная плоскость обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA а .

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .

Докажем обратную теорему.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

Формирование умений и навыков учащихся.

Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).

Решение: CN 2 = h (h + 2 R ) (см. выше п. I урока)

Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.

Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.

Работа по таблице 33.

АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)

AM = АО-ОМ=9.

Итог урока.

Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.