Ekuacioni parametrik i drejtëzës në rrafsh. Ekuacionet parametrike Ekuacioni i drejtëzës në formë parametrike në hapësirë

Sigurohuni që ta lexoni këtë paragraf! Ekuacionet parametrike, natyrisht, nuk janë alfa dhe omega e gjeometrisë hapësinore, por milingona funksionale e shumë problemeve. Për më tepër, ky lloj ekuacionesh shpesh zbatohet në mënyrë të papritur, dhe unë do të thoja, në mënyrë elegante.

Nëse pika që i përket drejtëzës dhe vektori i drejtimit të kësaj drejtëze janë të njohura, atëherë ekuacionet parametrike të kësaj drejtëze jepen nga sistemi:

Unë fola për vetë konceptin e ekuacioneve parametrike në mësime Ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh dhe Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht.

Gjithçka është më e thjeshtë se një rrepë e zier me avull, kështu që ju duhet ta shijoni detyrën:

Shembulli 7

Vendimi: Vijat jepen me ekuacione kanonike dhe në fazën e parë duhet gjetur një pikë që i përket drejtëzës dhe vektorit të drejtimit të saj.

a) Hiqni vektorin e pikës dhe të drejtimit nga ekuacionet: . Ju mund të zgjidhni një pikë tjetër (si ta bëni këtë përshkruhet më lart), por është më mirë të merrni atë më të dukshmen. Nga rruga, për të shmangur gabimet, gjithmonë zëvendësoni koordinatat e saj në ekuacione.

Le të hartojmë ekuacionet parametrike të kësaj drejtëze:

Lehtësia e ekuacioneve parametrike është se me ndihmën e tyre është shumë e lehtë të gjesh pika të tjera të vijës. Për shembull, le të gjejmë një pikë, koordinatat e së cilës, le të themi, korrespondojnë me vlerën e parametrit:

Kështu:

b) Merrni parasysh ekuacionet kanonike. Zgjedhja e një pike këtu është e thjeshtë, por tinëzare: (kujdes mos ngatërroni koordinatat!!!). Si të nxjerrim një vektor udhëzues? Mund të spekuloni se me çfarë është paralele kjo vijë, ose mund të përdorni një truk të thjeshtë formal: proporcioni është "Y" dhe "Z", kështu që ne shkruajmë vektorin e drejtimit dhe vendosim zero në hapësirën e mbetur: .

Ne hartojmë ekuacionet parametrike të drejtëzës:

c) Le t'i rishkruajmë ekuacionet në formën , domethënë "Z" mund të jetë çdo gjë. Dhe nëse ka, atëherë le, për shembull, . Kështu, pika i përket kësaj linje. Për të gjetur vektorin e drejtimit, përdorim teknikën e mëposhtme formale: në ekuacionet fillestare janë "x" dhe "y", dhe në vektorin e drejtimit në këto vende shkruajmë zero: . Në vendin e mbetur vendosim njësi: . Në vend të një, çdo numër, përveç zeros, do të bëjë.

Shkruajmë ekuacionet parametrike të drejtëzës:

Për trajnim:

Shembulli 8

Shkruani ekuacionet parametrike për rreshtat e mëposhtëm:

Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit. Përgjigjet tuaja mund të ndryshojnë pak nga përgjigjet e mia, fakti është se ekuacionet parametrike mund të shkruhen në më shumë se një mënyrë. Është e rëndësishme që vektorët e drejtimit tuaj dhe tim të jenë kolinear dhe që pika juaj të "përshtatet" me ekuacionet e mia (mirë, ose anasjelltas, pika ime me ekuacionet tuaja).

Si tjetër mund të përcaktoni një vijë të drejtë në hapësirë? Do të doja të gjeja diçka me vektorin normal. Sidoqoftë, numri nuk do të funksionojë, për një vijë hapësinore, vektorët normalë mund të duken në drejtime krejtësisht të ndryshme.

Një metodë tjetër tashmë është përmendur në mësim Ekuacioni i planit dhe në fillim të këtij artikulli.

KËNDI MIDIS PLANEVE

Le të shqyrtojmë dy plane α 1 dhe α 2 të dhëna përkatësisht nga ekuacionet:

Nën qoshe ndërmjet dy rrafsheve nënkuptojmë një nga këndet dihedrale të formuar nga këto rrafshe. Natyrisht, këndi ndërmjet vektorëve normalë dhe rrafsheve α 1 dhe α 2 është i barabartë me një nga këndet diedrale ngjitur të treguara ose . Kështu që . Sepse dhe , pastaj

Shembull. Përcaktoni këndin midis planeve x+2y-3z+4=0 dhe 2 x+3y+z+8=0.

Gjendja e paralelizmit të dy rrafsheve.

Dy rrafshe α 1 dhe α 2 janë paralele nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë paralelë, dhe për rrjedhojë .

Pra, dy plane janë paralel me njëri-tjetrin nëse dhe vetëm nëse koeficientët në koordinatat përkatëse janë proporcionale:

ose

Gjendja e pingulitetit të planeve.

Është e qartë se dy rrafshe janë pingul nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë pingul, dhe kështu, ose .

Kështu,.

Shembuj.

DIREKT NË HAPËSIRË.

EKUACIONI VEKTORI DIREKT.

EKUACIONET PARAMETRIKE DIREKTE

Pozicioni i një vije të drejtë në hapësirë përcaktohet plotësisht duke specifikuar ndonjë nga pikat e saj fikse M 1 dhe një vektor paralel me këtë vijë.

Një vektor paralel me një vijë të drejtë quhet udhëzues vektori i kësaj linje.

Pra, le të drejtë l kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) shtrirë në një vijë të drejtë paralele me vektorin .

Konsideroni një pikë arbitrare M(x,y,z) në një vijë të drejtë. Nga figura shihet se .

Vektorët dhe janë kolinear, kështu që ekziston një numër i tillë t, çfarë , ku është shumëzuesi t mund të marrë çdo vlerë numerike në varësi të pozicionit të pikës M në një vijë të drejtë. Faktori t quhet parametër. Duke treguar vektorët e rrezes së pikave M 1 dhe M përkatësisht, përmes dhe , marrim . Ky ekuacion quhet vektoriale ekuacioni drejtvizor. Ajo tregon se çdo vlerë parametër t korrespondon me vektorin e rrezes së një pike M shtrirë në një vijë të drejtë.

Këtë ekuacion e shkruajmë në formë koordinative. Vini re se, dhe nga këtu

Ekuacionet që rezultojnë quhen parametrike ekuacionet drejtvizore.

Kur ndryshoni parametrin t ndryshojnë koordinatat x, y dhe z dhe pika M lëviz në vijë të drejtë.

EKUACIONET KANONIKE DIREKTE

Le te jete M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - një pikë e shtrirë në një vijë të drejtë l, dhe është vektori i drejtimit të tij. Përsëri, merrni një pikë arbitrare në një vijë të drejtë M(x,y,z) dhe merrni parasysh vektorin.

Është e qartë se vektorët dhe janë kolinear, kështu që koordinatat e tyre përkatëse duhet të jenë proporcionale, prandaj

– kanonike ekuacionet drejtvizore.

Vërejtje 1. Vini re se ekuacionet kanonike të linjës mund të merren nga ekuacionet parametrike duke eliminuar parametrin t. Në të vërtetë, nga ekuacionet parametrike marrim ose .

Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze në mënyrë parametrike.

Shënoni , prandaj x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Vërejtje 2. Le të jetë drejtëza pingul me një nga boshtet e koordinatave, për shembull, boshti kau. Atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul kau, prandaj, m=0. Për rrjedhojë, ekuacionet parametrike të drejtëzës marrin formën

Eliminimi i parametrit nga ekuacionet t, marrim ekuacionet e drejtëzës në formë

Megjithatë, edhe në këtë rast, ne jemi dakord që të shkruajmë zyrtarisht ekuacionet kanonike të drejtëzës në formë . Kështu, nëse emëruesi i njërës prej thyesave është zero, atëherë kjo do të thotë se vija është pingul me boshtin koordinativ përkatës.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacionet kanonike korrespondon me një vijë të drejtë pingul me boshtet kau dhe Oy ose boshti paralel Oz.

Shembuj.

EKUACIONET E PËRGJITHSHME NJË VIJË E DIREKT SI VIJË PRËGJIMI I DY RROFONEVE

Nëpër çdo vijë të drejtë në hapësirë kalon një numër i pafundëm planesh. Çdo dy prej tyre, duke u kryqëzuar, e përcaktojnë atë në hapësirë. Prandaj, ekuacionet e çdo dy rrafshe të tillë, të konsideruara së bashku, janë ekuacionet e kësaj linje.

Në përgjithësi, çdo dy plane jo paralele të dhëna nga ekuacionet e përgjithshme

përcaktoni vijën e tyre të kryqëzimit. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme drejt.

Shembuj.

Ndërtoni një drejtëz të dhënë nga ekuacionet

Për të ndërtuar një vijë, mjafton të gjesh çdo dy nga pikat e saj. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni pikat e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshet koordinative. Për shembull, pika e kryqëzimit me rrafshin xOy marrim nga ekuacionet e një drejtëze, duke supozuar z= 0:

Duke zgjidhur këtë sistem, ne gjejmë pikën M 1 (1;2;0).

Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar y= 0, marrim pikën e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshin xOz:

Nga ekuacionet e përgjithshme të një vije të drejtë, mund të kalohet në ekuacionet e saj kanonike ose parametrike. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni një pikë M 1 në vijë dhe vektori i drejtimit të vijës.

Koordinatat e pikave M 1 marrim nga ky sistem ekuacionesh, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Për të gjetur vektorin e drejtimit, vini re se ky vektor duhet të jetë pingul me të dy vektorët normalë dhe . Prandaj, për vektorin e drejtimit të drejtëzës l ju mund të merrni produktin kryq të vektorëve normalë:

Shembull. Jepni ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës në formën kanonike.

Gjeni një pikë në një vijë të drejtë. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim në mënyrë arbitrare një nga koordinatat, për shembull, y= 0 dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

Vektorët normalë të rrafsheve që përcaktojnë drejtëzën kanë koordinata Prandaj, vektori i drejtimit do të jetë i drejtë

. Prandaj, l: .

KËNDI MIDIS TË DREJTAVE

qoshe ndërmjet drejtëzave në hapësirë do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy vija të drejta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë sipas formulës për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim

Një nga nënçështjet e temës “Ekuacioni i drejtëzës në rrafsh” është çështja e përpilimit të ekuacioneve parametrike të drejtëzës në rrafsh në një sistem koordinativ drejtkëndor. Artikulli më poshtë diskuton parimin e përpilimit të ekuacioneve të tilla me të dhëna të caktuara të njohura. Le të tregojmë se si të kalojmë nga ekuacionet parametrike në ekuacione të një forme tjetër; Le të analizojmë zgjidhjen e problemeve tipike.

Një vijë e veçantë mund të përcaktohet duke specifikuar një pikë që i përket asaj vije dhe një vektor të drejtimit për vijën.

Supozojmë se na është dhënë një sistem koordinativ drejtkëndor O x y . Dhe gjithashtu është dhënë një drejtëz a me një tregues të pikës M 1 që shtrihet mbi të (x 1, y 1) dhe vektorit të drejtimit të drejtëzës së dhënë a → = (a x, a y) . Ne japim një përshkrim të vijës së dhënë a duke përdorur ekuacionet.

Ne përdorim një pikë arbitrare M (x, y) dhe marrim një vektor M 1 M →; njehso koordinatat e tij nga koordinatat e pikave të fillimit dhe të fundit: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Le të përshkruajmë rezultatin: drejtëza jepet nga një grup pikash M (x, y), kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe ka një vektor drejtimi a → = (a x, a y) . Kompleti i specifikuar përcakton një vijë të drejtë vetëm kur vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dhe a → = (a x , a y) janë kolinear.

Ekziston një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për kolinearitetin e vektorëve, i cili në këtë rast për vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dhe a → = (a x , a y) mund të shkruhet si një ekuacioni:

M 1 M → = λ · a → , ku λ është një numër real.

Përkufizimi 1

Ekuacioni M 1 M → = λ · a → quhet ekuacion vektor-parametrik i drejtëzës.

Në formën e koordinatave, duket kështu:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ekuacionet e sistemit rezultues x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ quhen ekuacione parametrike të një drejtëze në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor. Thelbi i emrit është si më poshtë: koordinatat e të gjitha pikave të vijës mund të përcaktohen me ekuacione parametrike në rrafshin e formës x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ kur përsëriten mbi të gjitha vlerat reale të parametrit λ

Sipas sa më sipër, ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në rrafshin x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ përcaktojnë një vijë të drejtë që është dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor, kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe ka një vektor udhëzues a → = (a x, a y) . Prandaj, nëse jepen koordinatat e një pike të caktuar të drejtëzës dhe koordinatat e vektorit drejtues të saj, atëherë është e mundur që menjëherë të shënohen ekuacionet parametrike të drejtëzës së dhënë.

Shembulli 1

Është e nevojshme të përpilohen ekuacione parametrike të një vije të drejtë në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor, nëse është dhënë pika M 1 (2, 3) që i përket dhe vektori i drejtimit të saj. a → = (3 , 1) .

Vendimi

Bazuar në të dhënat fillestare, marrim: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Ekuacionet parametrike do të duken kështu:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Le të ilustrojmë qartë:

Përgjigje: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Duhet të theksohet: nëse vektori a → = (a x , a y) shërben si vektor drejtues i drejtëzës a, dhe pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) i përkasin kësaj drejtëze, atëherë mund të përcaktohet duke vendosur ekuacione parametrike të formës. : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , si dhe ky opsion: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Për shembull, na jepet një vektor drejtues i një drejtëze a → \u003d (2, - 1), si dhe pikat M 1 (1, - 2) dhe M 2 (3, - 3) që i përkasin kësaj linje. Pastaj vija e drejtë përcaktohet me ekuacione parametrike: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ose x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Duhet t'i kushtohet vëmendje edhe faktit të mëposhtëm: nëse a → = (a x, a y) është vektori drejtues i drejtëzës a , atëherë cilido nga vektorët do të jetë gjithashtu vektori drejtues i saj μ a → = (μ a x, μ a y) , ku μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Kështu, një drejtëz a në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor mund të përcaktohet me ekuacione parametrike: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ për çdo vlerë të μ që është e ndryshme nga zero.

Supozojmë se drejtëza a jepet nga ekuacionet parametrike x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Pastaj a → = (2 , - 5) - vektori i drejtimit të kësaj linje. Dhe gjithashtu ndonjë nga vektorët μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 do të bëhet vektori i drejtimit për drejtëzën e dhënë. Për qartësi, merrni parasysh një vektor specifik - 2 · a → = (- 4 , 10) , ai korrespondon me vlerën μ = - 2 . Në këtë rast, drejtëza e dhënë mund të përcaktohet edhe me ekuacionet parametrike x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Kalimi nga ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh në ekuacione të tjera të një drejtëze të caktuar dhe anasjelltas

Në zgjidhjen e disa problemeve, përdorimi i ekuacioneve parametrike nuk është alternativa më optimale, atëherë bëhet e nevojshme të përkthehen ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në ekuacione të një vije të drejtë të një lloji tjetër. Le të shohim se si ta bëjmë atë.

Ekuacionet parametrike të drejtëzës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ do të korrespondojnë me ekuacionin kanonik të drejtëzës në rrafshin x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Zgjidhim secilin prej ekuacioneve parametrike në lidhje me parametrin λ, barazojmë pjesët e duhura të barazive të marra dhe marrim ekuacionin kanonik të drejtëzës së dhënë:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Në këtë rast, nuk duhet të jetë e turpshme nëse një x ose një y do të jetë e barabartë me zero.

Shembulli 2

Është e nevojshme të kryhet kalimi nga ekuacionet parametrike të drejtëzës x = 3 y = - 2 - 4 · λ në ekuacionin kanonik.

Vendimi

Ekuacionet parametrike të dhëna i shkruajmë në këtë formë: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ.

Parametrin λ e shprehim në secilin prej barazimeve: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Ne barazojmë pjesët e duhura të sistemit të ekuacioneve dhe marrim ekuacionin kanonik të kërkuar të një vije të drejtë në rrafsh:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Përgjigje: x - 3 0 = y + 2 - 4

Në rastin kur është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i drejtëzës së formës A x + B y + C = 0, ndërsa janë dhënë ekuacionet parametrike të drejtëzës në rrafsh, fillimisht duhet bërë kalimi në ekuacionin kanonik, dhe më pas në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës. Le të shkruajmë të gjithë sekuencën e veprimeve:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Shembulli 3

Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze nëse janë dhënë ekuacionet parametrike që e përcaktojnë atë: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ.

Vendimi

Së pari, le të bëjmë kalimin në ekuacionin kanonik:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporcioni që rezulton është identik me barazinë - 3 · (x + 1) = 2 · y. Le të hapim kllapat dhe të marrim ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Përgjigje: 3x + 2y + 3 = 0

Duke ndjekur logjikën e mësipërme të veprimeve, për të përftuar një ekuacion të një drejtëze me një pjerrësi, një ekuacion të një drejtëze në segmente ose një ekuacion normal të një vije të drejtë, është e nevojshme të merret ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze. , dhe prej saj për të kryer një tranzicion të mëtejshëm.

Tani merrni parasysh veprimin e kundërt: shkrimi i ekuacioneve parametrike të një drejtëze për një formë të caktuar të ndryshme të ekuacioneve të kësaj drejtëze.

Kalimi më i lehtë: nga ekuacioni kanonik në ato parametrike. Le të jepet ekuacioni kanonik i formës: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Ne marrim secilën nga relacionet e kësaj barazie të barabartë me parametrin λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Le të zgjidhim ekuacionet që rezultojnë për ndryshoret x dhe y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Shembulli 4

Është e nevojshme të shënohen ekuacionet parametrike të drejtëzës nëse dihet ekuacioni kanonik i drejtëzës në rrafsh: x - 2 5 = y - 2 2

Vendimi

Le të barazojmë pjesët e ekuacionit të njohur me parametrin λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Nga barazia e fituar fitojmë ekuacionet parametrike të drejtëzës: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Përgjigje: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Kur është e nevojshme të bëhet një kalim në ekuacionet parametrike nga një ekuacion i dhënë i përgjithshëm i një vije të drejtë, një ekuacion i një vije të drejtë me një pjerrësi ose një ekuacion i një vije të drejtë në segmente, është e nevojshme të sillni ekuacionin origjinal në kanonike, dhe më pas bëni kalimin në ekuacione parametrike.

Shembulli 5

Është e nevojshme të shënohen ekuacionet parametrike të drejtëzës me ekuacionin e përgjithshëm të njohur të kësaj drejtëze: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Vendimi

Ne e transformojmë ekuacionin e përgjithshëm të dhënë në një ekuacion të formës kanonike:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Ne barazojmë të dy pjesët e barazisë me parametrin λ dhe marrim ekuacionet parametrike të kërkuara të drejtëzës:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Përgjigje: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Shembuj dhe problema me ekuacionet parametrike të drejtëzës në rrafsh

Le të shqyrtojmë llojet më të zakonshme të problemeve duke përdorur ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Në problemat e tipit të parë jepen koordinatat e pikave, nëse i përkasin apo jo një drejtëze të përshkruar me ekuacione parametrike.

Zgjidhja e problemeve të tilla bazohet në faktin vijues: numrat (x, y) të përcaktuar nga ekuacionet parametrike x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ për një vlerë reale λ janë koordinatat e një pika që i përket vijës së drejtë, e cila përshkruhet në këto ekuacione parametrike.

Shembulli 6

Është e nevojshme të përcaktohen koordinatat e një pike që shtrihet në një drejtëz të dhënë nga ekuacionet parametrike x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ për λ = 3 .

Vendimi

Ne e zëvendësojmë vlerën e njohur λ = 3 në ekuacionet parametrike të dhëna dhe llogarisim koordinatat e dëshiruara: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Përgjigje: 1 1 2 , 5

Problemi i mëposhtëm është gjithashtu i mundur: le të jepet një pikë M 0 (x 0, y 0) në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor dhe është e nevojshme të përcaktohet nëse kjo pikë i përket vijës së përshkruar nga ekuacionet parametrike x = x. 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Për të zgjidhur një problem të tillë, është e nevojshme të zëvendësohen koordinatat e një pike të caktuar në ekuacionet e njohura parametrike të një drejtëze. Nëse përcaktohet se është e mundur një vlerë e tillë e parametrit λ = λ 0, në të cilën të dy ekuacionet parametrike do të jenë të vërteta, atëherë pika e dhënë i përket drejtëzës së dhënë.

Shembulli 7

Janë dhënë pikët M 0 (4, - 2) dhe N 0 (- 2, 1). Është e nevojshme të përcaktohet nëse i përkasin drejtëzës së përcaktuar nga ekuacionet parametrike x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Vendimi

Ne i zëvendësojmë koordinatat e pikës M 0 (4, - 2) në ekuacionet parametrike të dhëna:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Përfundojmë se pika M 0 i përket një drejtëze të caktuar, sepse korrespondon me vlerën λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Është e qartë se nuk ekziston një parametër i tillë λ të cilit do t'i korrespondojë pika N 0. Me fjalë të tjera, vija e dhënë nuk kalon në pikën N 0 (- 2 , 1) .

Përgjigje: pika M 0 i përket një linje të caktuar; pika N 0 nuk i përket drejtëzës së dhënë.

Në problemat e tipit të dytë, kërkohet të përpilohen ekuacione parametrike të një vije të drejtë në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor. Shembulli më i thjeshtë i një problemi të tillë (me koordinata të njohura të pikës së vijës dhe vektorit të drejtimit) u shqyrtua më sipër. Tani le të shohim shembuj në të cilët së pari duhet të gjeni koordinatat e vektorit të drejtimit dhe më pas të shkruani ekuacionet parametrike.

Shembulli 8

Është dhënë pika M 1 1 2 , 2 3. Është e nevojshme të përpilohen ekuacione parametrike të një vije të drejtë që kalon nëpër këtë pikë dhe një drejtëze paralele x 2 \u003d y - 3 - 1.

Vendimi

Sipas gjendjes së problemit, vija e drejtë, ekuacioni i së cilës duhet të kalojmë përpara, është paralel me drejtëzën x 2 \u003d y - 3 - 1. Pastaj, si një vektor drejtues i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar, është e mundur të përdoret vektori drejtues i një drejtëze x 2 = y - 3 - 1, të cilin e shkruajmë në formën: a → = (2, - 1). Tani dihen të gjitha të dhënat e nevojshme për të hartuar ekuacionet parametrike të dëshiruara:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Përgjigje: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Shembulli 9

Është dhënë pika M 1 (0, - 7). Është e nevojshme të shkruhen ekuacionet parametrike të drejtëzës që kalon nga kjo pikë pingul me drejtëzën 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Vendimi

Si vektor drejtues i drejtëzës, ekuacioni i së cilës duhet të përbëhet, është e mundur të merret vektori normal i drejtëzës 3 x - 2 y - 5 = 0 . Koordinatat e saj janë (3 , - 2) . Ne shkruajmë ekuacionet parametrike të kërkuara të drejtëzës:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Përgjigje: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Në problemat e llojit të tretë, kërkohet kalimi nga ekuacionet parametrike të një drejtëze të caktuar në llojet e tjera të ekuacioneve që e përcaktojnë atë. Zgjidhjen e shembujve të tillë e shqyrtuam më lart, do të japim edhe një.

Shembulli 10

Jepet një drejtëz në një rrafsh në një sistem koordinativ drejtkëndor, i përcaktuar nga ekuacionet parametrike x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Është e nevojshme të gjenden koordinatat e ndonjë vektori normal të kësaj linje.

Vendimi

Për të përcaktuar koordinatat e dëshiruara të vektorit normal, do të bëjmë kalimin nga ekuacionet parametrike në ekuacionin e përgjithshëm:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeficientët e ndryshoreve x dhe y na japin koordinatat e kërkuara të vektorit normal. Kështu, vektori normal i drejtëzës x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ka koordinatat 1 , 3 4 .

Përgjigje: 1 , 3 4 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Ekuacionet parametrike të një drejtëze janë marrë në mënyrë elementare nga ekuacioni kanonik i kësaj drejtëze, e cila ka formën . Le të marrim si parametër vlerën me të cilën mund të shumëzohen pjesa e majtë dhe e djathtë e ekuacionit kanonik.

Meqenëse njëri prej emërtuesve është domosdoshmërisht i ndryshëm nga zero, dhe numëruesi përkatës mund të marrë çdo vlerë, diapazoni i parametrit është i gjithë boshti i numrave realë: .

Do të marrim ose më në fund

Ekuacionet (1) janë ekuacionet parametrike të dëshiruara të drejtëzës. Këto ekuacione lejojnë interpretimin mekanik. Nëse supozojmë se parametri është koha e matur nga një moment fillestar, atëherë ekuacionet parametrike përcaktojnë ligjin e lëvizjes së një pike materiale në një vijë të drejtë me një shpejtësi konstante (lëvizje e tillë ndodh me inerci).

Shembulli 1 Hartoni në një rrafsh ekuacionet parametrike të një drejtëze që kalon nga një pikë dhe ka një vektor drejtimi.

Vendimi. Të dhënat e pikës dhe vektorit të drejtimit i zëvendësojmë në (1) dhe marrim:

Shpesh në detyra kërkohet të shndërrohen ekuacionet parametrike të një drejtëze në lloje të tjera ekuacionesh, dhe nga ekuacionet e llojeve të tjera të merren ekuacionet parametrike të një drejtëze. Le të shohim disa shembuj të tillë. Për të shndërruar ekuacionet parametrike të një drejtëze në ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze së pari ato duhet të reduktohen në formën kanonike, dhe më pas nga ekuacioni kanonik për të marrë ekuacionin e përgjithshëm të vijës së drejtë.

Shembulli 2 Shkruani ekuacionin e një drejtëze

në përgjithësi.

Vendimi. Së pari, ne sjellim ekuacionet parametrike të vijës së drejtë në ekuacionin kanonik:

Transformimet e mëtejshme e sjellin ekuacionin në formën e përgjithshme:

Është disi më e vështirë të konvertohet një ekuacion i përgjithshëm në ekuacione parametrike të një vije të drejtë, por gjithashtu mund të hartohet një algoritëm i qartë për këtë veprim. Së pari, ne mund ta transformojmë ekuacionin e përgjithshëm në ekuacioni i pjerrësisë dhe gjeni prej saj koordinatat e një pike që i përkasin vijës, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Kur dihen koordinatat e pikës dhe vektorit të drejtimit (nga ekuacioni i përgjithshëm), mund të shkruhen ekuacionet parametrike të drejtëzës.

Shembulli 3 Shkruani ekuacionin e drejtëzës në formën e ekuacioneve parametrike.

Vendimi. Ne sjellim ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë në një ekuacion me një pjerrësi:

Gjejmë koordinatat e një pike që i përkasin drejtëzës. Jepini njërës nga koordinatat e pikës një vlerë arbitrare

Nga ekuacioni i një drejtëze me një pjerrësi, marrim një koordinatë tjetër të pikës:

Kështu, ne e dimë pikën dhe vektorin e drejtimit. Ne i zëvendësojmë të dhënat e tyre në (1) dhe marrim ekuacionet parametrike të dëshiruara të vijës së drejtë:

Shembulli 4 Gjeni pjerrësinë e një drejtëze të dhënë nga ekuacionet parametrike

Vendimi. Ekuacionet parametrike të një vije të drejtë fillimisht duhet të shndërrohen në ekuacionin kanonik, më pas në të përgjithshëm dhe në fund në ekuacionin e pjerrësisë.

Kështu, pjerrësia e një vije të drejtë të caktuar:

Shembulli 5 Hartoni ekuacionet parametrike të një drejtëze që kalon nga një pikë dhe një drejtëz pingule

Barazimi në ekuacionet kanonike të drejtëzës së secilit prej thyesave me ndonjë parametër t:

Ne marrim ekuacione që shprehin koordinatat aktuale të secilës pikë të drejtëzës përmes parametrit t.

pra, ekuacionet parametrike të drejtëzës kanë formën:

Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Le të lëmë dy pika M 1 (x1, y1, z1) dhe M 2 (x2, y2, z2). Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna merren në të njëjtën mënyrë si një ekuacion i ngjashëm në një plan. Prandaj, ne japim menjëherë formën e këtij ekuacioni.

Një vijë e drejtë në kryqëzimin e dy planeve. Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze në hapësirë.

Nëse marrim parasysh dy plane jo paralele, atëherë kryqëzimi i tyre do të jetë një vijë e drejtë.

Nëse vektorët normalë dhe jokolineare.

Më poshtë, kur shqyrtojmë shembuj, do të tregojmë një mënyrë për t'i shndërruar ekuacionet e tilla drejtvizore në ekuacione kanonike.

5.4 Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave.

Një kënd midis dy vijave të drejta në hapësirë është cilido nga këndet e formuar nga dy vija të drejta të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy rreshta nga ekuacionet e tyre kanonike.

Për këndin ndërmjet dy drejtëzave do të marrim këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit.

dhe

Kushti i pingulitetit të dy vijave të drejta reduktohet në kushtin e pingulitetit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe, domethënë, në barazinë me zero të produktit skalar: ose në formë koordinative: .

Kushti i paralelizmit të dy drejtëzave reduktohet në kushtin e paralelizmit të vektorëve të drejtimit të tyre dhe

5.5 Rregullimi i ndërsjellë i vijës së drejtë dhe rrafshit.

Le të jepen ekuacionet e drejtëzës:

dhe aeroplanët. Këndi ndërmjet vijës dhe rrafshit do të jetë cilido nga dy këndet ngjitur të formuar nga vija dhe projeksioni i saj në rrafsh (Figura 5.5).

Figura 5.5

Nëse drejtëza është pingul me rrafshin, vektori drejtues i drejtëzës dhe vektori normal me rrafshin janë kolinear. Kështu, kushti i pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi reduktohet në gjendjen e vektorëve kolinearë.

Në rastin e paralelizmit të një drejtëze dhe një rrafshi, vektorët e tyre të treguar më sipër janë reciprokisht pingul. Prandaj, kushti i paralelizmit të drejtëzës dhe rrafshit reduktohet në kushtin e pingulitetit të vektorëve; ato. produkti i tyre me pika është zero ose në formë koordinative: .

Më poshtë janë shembuj të zgjidhjes së problemeve që lidhen me temën e kapitullit 5.

Shembulli 1:

Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nga pika A (1,2,4) pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni:

Vendimi:

Ne përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Si pikë marrim pikën A (1,2,4), nëpër të cilën kalon rrafshi pranë kushtit.

Duke ditur ekuacionet kanonike të drejtëzës, ne njohim vektorin paralel me drejtëzën.

Për shkak të faktit se, sipas kushtit, vija e drejtë është pingul me rrafshin e dëshiruar, vektori i drejtimit mund të merret si vektor normal i rrafshit.

Kështu, marrim ekuacionin e rrafshit në formën:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Shembulli 2:

Gjeni në aeroplan 4x-7y+5z-20=0 një pikë P për të cilën OP bën kënde të barabarta me boshtet koordinative.

Vendimi:

Le të bëjmë një vizatim skematik. (Figura 5.6)

në

Figura 5.6

Pika boshe Р ka koordinata . Meqenëse vektori bën të njëjtat kënde me boshtet e koordinatave, kosinuset e drejtimit të këtij vektori janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Le të gjejmë projeksionet e vektorit:

atëherë kosinuset e drejtimit të këtij vektori gjenden lehtësisht.

Nga barazia e kosinuseve të drejtimit, barazia rrjedh:

x p \u003d y p \u003d z p

meqenëse pika P shtrihet në rrafsh, zëvendësimi i koordinatave të kësaj pike në ekuacionin e rrafshit e kthen atë në një identitet.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Përkatësisht: y r=10; z f=10.

Kështu, pika e dëshiruar P ka koordinatat P (10; 10; 10)

Shembulli 3:

Jepen dy pika A (2, -1, -2) dhe B (8, -7.5). Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon në pikën B, pingul me segmentin AB.

Vendimi:

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Si pikë, përdorim pikën B (8, -7.5), dhe si vektor pingul me rrafshin, vektor. Le të gjejmë projeksionet e vektorit:

atëherë marrim ekuacionin e rrafshit në formën:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Shembulli 4:

Gjeni ekuacionin e një rrafshi paralel me boshtin OY dhe që kalon nga pikat K(1,-5,1) dhe M(3,2,-2).

Vendimi:

Meqenëse rrafshi është paralel me boshtin OY, do të përdorim ekuacionin jo të plotë të rrafshit.

Ax+Cz+D=0

Për shkak të faktit se pikat K dhe M shtrihen në rrafsh, marrim dy kushte.

Le të shprehim nga këto kushte koeficientët A dhe C në terma të D.

Ne i zëvendësojmë koeficientët e gjetur në ekuacionin jo të plotë të rrafshit:

meqenëse, atëherë zvogëlojmë D:

Shembulli 5:

Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Vendimi:

Le të përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nga 3 pika të dhëna.

duke zëvendësuar koordinatat e pikave M, K, R si e para, e dyta dhe e treta, marrim:

zgjeroni përcaktorin përgjatë vijës 1.

Shembulli 6:

Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikat M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) dhe pingul me rrafshin 3x+5y-7z-21=0

Vendimi:

Le të bëjmë një vizatim skematik (Figura 5.7)

Figura 5.7

Shënojmë rrafshin e dhënë P 2 dhe planin e dëshiruar P 2. . Nga ekuacioni i një rrafshi të caktuar Р 1 përcaktojmë projeksionet e vektorit pingul me rrafshin Р 1.

Vektori mund të zhvendoset në rrafshin P 2 me anë të përkthimit paralel, pasi, sipas kushtit të problemit, rrafshi P 2 është pingul me rrafshin P 1, që do të thotë se vektori është paralel me planin P 2 .

Le të gjejmë projeksionet e vektorit të shtrirë në rrafshin Р 2:

tani kemi dy vektorë dhe të shtrirë në rrafshin R 2 . Natyrisht, vektori është i barabartë me produktin vektorial të vektorëve dhe do të jetë pingul me rrafshin P 2, pasi është pingul me dhe, për rrjedhojë, vektori i tij normal me planin P 2.

Vektorët dhe janë dhënë nga projeksionet e tyre, pra:

Më pas, ne përdorim ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me vektorin. Si pikë, mund të merrni ndonjë nga pikat M 1 ose M 2, për shembull M 1 (8, -3.1); Si vektor normal ndaj rrafshit Р 2 marrim .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Shembulli 7:

Një vijë e drejtë përcaktohet nga kryqëzimi i dy planeve. Gjeni ekuacionet kanonike të drejtëzës.

Vendimi:

Ne kemi një ekuacion në formën:

Duhet gjetur një pikë x 0, y 0, z 0) nëpër të cilin kalon drejtëza dhe vektori i drejtimit.

Ne zgjedhim njërën nga koordinatat në mënyrë arbitrare. Për shembull, z=1, atëherë marrim një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura:

Kështu, ne kemi gjetur një pikë të shtrirë në vijën e dëshiruar (2,0,1).

Si vektor drejtues të drejtëzës së dëshiruar, marrim prodhimin kryq të vektorëve dhe , të cilët janë vektorë normalë meqënëse , që do të thotë paralel me vijën e dëshiruar.

Kështu, vektori i drejtimit të drejtëzës ka projeksione . Duke përdorur ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar paralele me një vektor të caktuar:

Pra, ekuacioni i dëshiruar kanonik ka formën:

Shembulli 8:

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzës dhe aeroplan 2x+3y+3z-8=0

Vendimi:

Le ta shkruajmë ekuacionin e dhënë të drejtëzës në formë parametrike.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

çdo pikë e drejtëzës i përgjigjet një vlere të vetme të parametrit t. Për të gjetur parametrin t që korrespondon me pikën e kryqëzimit të drejtëzës dhe rrafshit, ne e zëvendësojmë shprehjen në ekuacionin e rrafshit x, y, z nëpërmjet parametrit t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

pastaj koordinatat e pikës së dëshiruar

pika e dëshiruar e kryqëzimit ka koordinatat (1;1;1).

Shembulli 9:

Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër drejtëza paralele.

Le të bëjmë një vizatim skematik (Figura 5.9)

Figura 5.9

Nga ekuacionet e dhëna të drejtëzave dhe përcaktojmë projeksionet e vektorëve drejtues të këtyre drejtëzave. Ne gjejmë projeksionet e vektorit të shtrirë në rrafshin P, dhe marrim pikat dhe nga ekuacionet kanonike të drejtëzave M 1 (1, -1,2) dhe M 2 (0,1, -2).