Si të përcaktohen këndet ngjitur dhe vertikale. Cilat kënde quhen fqinjë? Sa është shuma e dy këndeve fqinjë?

Në procesin e studimit të një kursi gjeometrie, konceptet e "këndit", " kënde vertikale”, “kënde ngjitur” gjenden mjaft shpesh. Kuptimi i secilit prej termave do t'ju ndihmojë të kuptoni problemin dhe ta zgjidhni atë në mënyrë korrekte. Cilat janë këndet ngjitur dhe si t'i përcaktojmë ato?

Këndet ngjitur - përkufizimi i konceptit

Termi "kënde ngjitur" karakterizon dy kënde të formuara nga një rreze e përbashkët dhe dy gjysmëdrejtëza shtesë që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Të tre rrezet dalin nga e njëjta pikë. Një gjysmë vijë e zakonshme është njëkohësisht një anë e njërit dhe e këndit tjetër.

Këndet ngjitur - vetitë themelore

1. Bazuar në formulimin e këndeve ngjitur, është e lehtë të vërehet se shuma e këndeve të tilla gjithmonë formon një kënd të kundërt, masa e shkallës së të cilit është 180°:

• Nëse μ dhe η janë kënde ngjitur, atëherë μ + η = 180°.
• Duke ditur madhësinë e njërit prej këndeve ngjitur (për shembull, μ), lehtë mund të llogaritni masën e shkallës së këndit të dytë (η) duke përdorur shprehjen η = 180° - μ.

2. Kjo veti e këndeve ju lejon të bëni prodhimi tjetër: Një kënd që është ngjitur me një kënd të drejtë do të jetë gjithashtu një kënd i drejtë.

3. Duke marrë parasysh funksionet trigonometrike(sin, cos, tg, ctg), bazuar në formulat e reduktimit për këndet ngjitur μ dhe η, sa vijon është e vërtetë:

• siνη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cose = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Kënde fqinje - shembuj

Shembulli 1

Jepet një trekëndësh me kulme M, P, Q – ΔMPQ. Gjeni këndet ngjitur me këndet ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Le të zgjasim secilën anë të trekëndëshit me një vijë të drejtë.
• Duke ditur se këndet ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin deri në një kënd të kundërt, zbulojmë se:

ngjitur me këndin ∠QMP është ∠LMP,

ngjitur me këndin ∠MPQ është ∠SPQ,

ngjitur me këndin ∠PQM është ∠HQP.

Shembulli 2

Vlera e një këndi ngjitur është 35°. Sa është masa e shkallës së këndit të dytë ngjitur?

• Dy kënde ngjitur shtojnë deri në 180°.
• Nëse ∠μ = 35°, atëherë ngjitur me të ∠η = 180° – 35° = 145°.

Shembulli 3

Përcaktoni vlerat e këndeve ngjitur nëse dihet se masa e shkallës së njërit prej tyre është tre herë më e madhe se masa e shkallës së këndit tjetër.

• Le ta shënojmë madhësinë e një këndi (më të vogël) me – ∠μ = λ.
• Atëherë, sipas kushteve të problemës, vlera e këndit të dytë do të jetë e barabartë me ∠η = 3λ.
• Bazuar në vetinë bazë të këndeve ngjitur, vijon μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Kjo do të thotë se këndi i parë është ∠μ = λ = 45°, dhe këndi i dytë është ∠η = 3λ = 135°.

Aftësia për të përdorur terminologjinë, si dhe njohja e vetive themelore të këndeve ngjitur, do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme gjeometrike.

Nga kjo ka. Nëse dy kënde janë të dy ngjitur dhe të barabartë, atëherë ato janë kënde të drejta. Nëse njëri nga këndet ngjitur është i drejtë, pra 90 gradë, atëherë këndi tjetër është gjithashtu i drejtë. Nëse njëri nga këndet ngjitur është i mprehtë, atëherë tjetri do të jetë i mpirë. Në mënyrë të ngjashme, nëse njëri prej këndeve është i mpirë, atëherë i dyti, në përputhje me rrethanat, do të jetë i mprehtë.

Këndi i mprehtë- ky është ai, masa e shkallës së të cilit është më e vogël se 90 gradë, por më e madhe se 0. Një kënd i mpirë ka një masë shkallë më të madhe se 90 gradë, por më pak se 180.

Një veçori tjetër e këndeve ngjitur formulohet si më poshtë: nëse dy kënde janë të barabarta, atëherë edhe këndet ngjitur me to janë të barabartë. Kjo do të thotë që nëse ka dy kënde për të cilët masa e shkallës është e njëjtë (për shembull, është 50 gradë) dhe në të njëjtën kohë njëri prej tyre ka një kënd ngjitur, atëherë vlerat e këtyre këndeve ngjitur gjithashtu përkojnë ( në shembull, masa e shkallës së tyre do të jetë e barabartë me 130 gradë).

Burimet:

• I madh Fjalor Enciklopedik- Këndet ngjitur
• kënd 180 gradë

Fjala "" ka interpretime të ndryshme. Në gjeometri, një kënd është një pjesë e një plani të kufizuar nga dy rreze që dalin nga një pikë - kulmi. Kur po flasim për rreth këndeve të drejta, akute, të shpalosura, atëherë nënkuptohen kënde gjeometrike.

Si çdo figurë në gjeometri, këndet mund të krahasohen. Barazia e këndeve përcaktohet duke përdorur lëvizjen. Është e lehtë të ndash këndin në dy pjesë të barabarta. Ndarja në tre pjesë është pak më e vështirë, por gjithsesi mund të bëhet duke përdorur një vizore dhe busull. Nga rruga, kjo detyrë dukej mjaft e vështirë. Përshkrimi se një kënd është më i madh ose më i vogël se një tjetër është gjeometrikisht i thjeshtë.

Njësia matëse për këndet është 1/180

Si të gjeni një kënd ngjitur?

Matematika është shkenca ekzakte më e vjetër, e cila studiohet detyrimisht në shkolla, kolegje, institute dhe universitete. Megjithatë, njohuritë themelore janë gjithmonë në shkollë. Ndonjëherë, fëmijës i jepen detyra mjaft komplekse, por prindërit nuk janë në gjendje të ndihmojnë, sepse thjesht harruan disa gjëra nga matematika. Për shembull, si të gjeni një kënd ngjitur bazuar në madhësinë e këndit kryesor, etj. Problemi është i thjeshtë, por mund të shkaktojë vështirësi në zgjidhje për shkak të mosnjohjes se cilat kënde quhen ngjitur dhe si t'i gjeni ato.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në përkufizimin dhe vetitë e këndeve ngjitur, si dhe mënyrën e llogaritjes së tyre nga të dhënat në problem.

Përkufizimi dhe vetitë e këndeve ngjitur

Dy rreze që dalin nga një pikë formojnë një figurë të quajtur "kënd plan". Në këtë rast, kjo pikë quhet kulm i këndit, dhe rrezet janë anët e saj. Nëse vazhdoni njërën nga rrezet përtej pikës së fillimit në një vijë të drejtë, atëherë formohet një kënd tjetër, i cili quhet ngjitur. Çdo kënd në këtë rast ka dy kënde ngjitur, pasi anët e këndit janë ekuivalente. Kjo do të thotë, ka gjithmonë një kënd ngjitur prej 180 gradë.

Vetitë kryesore të këndeve ngjitur përfshijnë

• Këndet ngjitur kanë një kulm të përbashkët dhe një anë;
• Shuma e këndeve ngjitur është gjithmonë e barabartë me 180 gradë ose numrin Pi nëse llogaritja kryhet në radianë;
• Sinuset e këndeve ngjitur janë gjithmonë të barabartë;
• Kosinuset dhe tangjentet e këndeve ngjitur janë të barabartë, por kanë shenja të kundërta.

Si të gjeni kënde ngjitur

Zakonisht jepen tre variacione problemash për të gjetur madhësinë e këndeve ngjitur

• Është dhënë vlera e këndit kryesor;
• Është dhënë raporti i këndit kryesor dhe atij fqinj;
• Është dhënë vlera e këndit vertikal.

Çdo version i problemit ka zgjidhjen e vet. Le t'i shikojmë ato.

Është dhënë vlera e këndit kryesor

Nëse problemi specifikon vlerën e këndit kryesor, atëherë gjetja e këndit ngjitur është shumë e thjeshtë. Për ta bërë këtë, thjesht zbritni vlerën e këndit kryesor nga 180 gradë dhe do të merrni vlerën e këndit ngjitur. Kjo zgjidhje bazohet në vetinë e një këndi ngjitur - shuma e këndeve ngjitur është gjithmonë e barabartë me 180 gradë.

Nëse vlera e këndit kryesor është dhënë në radianë dhe problemi kërkon gjetjen e këndit ngjitur në radianë, atëherë është e nevojshme të zbritet vlera e këndit kryesor nga numri Pi, pasi vlera e këndit të plotë të shpalosur prej 180 gradë. është e barabartë me numrin Pi.

Është dhënë raporti i këndit kryesor dhe atij fqinj

Problemi mund të japë raportin e këndeve kryesore dhe ngjitur në vend të shkallëve dhe radianeve të këndit kryesor. Në këtë rast, zgjidhja do të duket si një ekuacion proporcioni:

1. Përpjesëtimin e këndit kryesor e shënojmë si ndryshore "Y".
2. Pjesa e lidhur me këndin ngjitur shënohet si ndryshore "X".
3. Numri i shkallëve që bien në çdo proporcion do të shënohet, për shembull, me "a".
4. Formula e përgjithshme do të duket kështu - a*X+a*Y=180 ose a*(X+Y)=180.
5. Faktorin e përbashkët të ekuacionit “a” e gjejmë duke përdorur formulën a=180/(X+Y).
6. Pastaj shumëzojmë vlerën rezultuese të faktorit të përbashkët "a" me fraksionin e këndit që duhet të përcaktohet.

Në këtë mënyrë mund të gjejmë vlerën e këndit ngjitur në gradë. Sidoqoftë, nëse ju duhet të gjeni një vlerë në radianë, atëherë thjesht duhet t'i konvertoni shkallët në radianë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni këndin në gradë me Pi dhe ndani gjithçka me 180 gradë. Vlera që rezulton do të jetë në radianë.

Është dhënë vlera e këndit vertikal

Nëse problemi nuk jep vlerën e këndit kryesor, por është dhënë vlera e këndit vertikal, atëherë këndi ngjitur mund të llogaritet duke përdorur të njëjtën formulë si në paragrafin e parë, ku jepet vlera e këndit kryesor.

Një kënd vertikal është një kënd që buron nga e njëjta pikë me këndin kryesor, por është i drejtuar pikërisht në drejtim të kundërt. Kështu rezulton pasqyrim pasqyre. Kjo do të thotë që këndi vertikal është i barabartë në madhësi me atë kryesor. Nga ana tjetër, këndi ngjitur i këndit vertikal është i barabartë me këndin ngjitur të këndit kryesor. Falë kësaj, këndi ngjitur i këndit kryesor mund të llogaritet. Për ta bërë këtë, thjesht zbritni vlerën vertikale nga 180 gradë dhe merrni vlerën e këndit ngjitur të këndit kryesor në gradë.

Nëse vlera jepet në radianë, atëherë është e nevojshme të zbritet vlera e këndit vertikal nga numri Pi, pasi vlera e këndit të plotë të shpalosur prej 180 gradë është e barabartë me numrin Pi.

Ju gjithashtu mund të lexoni tonë artikuj të dobishëm Dhe .

Pyetja 1. Cilat kënde quhen fqinjë?
Përgjigju. Dy kënde quhen ngjitur nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë gjysmëdrejtëza plotësuese.
Në figurën 31, këndet (a 1 b) dhe (a 2 b) janë ngjitur. Ata kanë anën b të përbashkët, dhe anët a 1 dhe a 2 janë gjysmë vija shtesë.

Pyetja 2. Vërtetoni se shuma e këndeve ngjitur është 180°.
Përgjigju. Teorema 2.1. Shuma e këndeve ngjitur është 180°.
Dëshmi. Le të jepen këndit (a 1 b) dhe këndit (a 2 b) kënde ngjitur (shih Fig. 31). Rrezja b kalon midis brinjëve a 1 dhe a 2 të një këndi të drejtë. Prandaj, shuma e këndeve (a 1 b) dhe (a 2 b) është e barabartë me këndin e shpalosur, pra 180°. Q.E.D.

Pyetja 3. Vërtetoni se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë edhe këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.
Përgjigju.

Nga teorema 2.1 Nga kjo rrjedh se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.
Le të themi se këndet (a 1 b) dhe (c 1 d) janë të barabarta. Duhet të vërtetojmë se këndet (a 2 b) dhe (c 2 d) janë gjithashtu të barabartë.
Shuma e këndeve ngjitur është 180°. Nga kjo rrjedh se a 1 b + a 2 b = 180° dhe c 1 d + c 2 d = 180°. Prandaj, a 2 b = 180° - a 1 b dhe c 2 d = 180° - c 1 d. Meqenëse këndet (a 1 b) dhe (c 1 d) janë të barabarta, marrim se a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Nga vetia e kalueshmërisë së shenjës së barazimit rezulton se a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pyetja 4. Cili kënd quhet i drejtë (akut, i mpirë)?
Përgjigju. Një kënd i barabartë me 90° quhet kënd i drejtë.
Një kënd më i vogël se 90° quhet kënd akut.
Një kënd më i madh se 90° dhe më i vogël se 180° quhet i mpirë.

Pyetja 5. Vërtetoni se një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.
Përgjigju. Nga teorema mbi shumën e këndeve ngjitur rrjedh se një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pyetja 6. Cilat kënde quhen vertikale?
Përgjigju. Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë gjysmëdrejtëza plotësuese të brinjëve të tjetrit.

Pyetja 7. Vërtetoni se këndet vertikale janë të barabarta.
Përgjigju. Teorema 2.2. Këndet vertikale janë të barabarta.
Dëshmi. Le të jenë (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) këndet e dhëna vertikale (Fig. 34). Këndi (a 1 b 2) është ngjitur me këndin (a 1 b 1) dhe me këndin (a 2 b 2). Nga këtu, duke përdorur teoremën mbi shumën e këndeve ngjitur, arrijmë në përfundimin se secili nga këndet (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) plotëson këndin (a 1 b 2) deri në 180°, d.m.th. këndet (a 1 b 1) dhe (a 2 b 2) janë të barabarta. Q.E.D.

Pyetja 8. Vërtetoni se nëse, kur dy drejtëza kryqëzohen, njëri nga këndet është i drejtë, atëherë edhe tre këndet e tjerë janë të drejtë.
Përgjigju. Supozoni se drejtëzat AB dhe CD kryqëzohen me njëra-tjetrën në pikën O. Supozoni se këndi AOD është 90°. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180°, marrim se AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Këndi COB është vertikal me këndin AOD, kështu që ato janë të barabarta. Kjo do të thotë, këndi COB = 90°. Këndi COA është vertikal me këndin BOD, kështu që ato janë të barabarta. Kjo do të thotë, këndi BOD = 90°. Kështu, të gjitha këndet janë të barabarta me 90°, domethënë janë të gjitha kënde të drejta. Q.E.D.

Pyetja 9. Cilat drejtëza quhen pingule? Cila shenjë përdoret për të treguar pingulitetin e vijave?
Përgjigju. Dy drejtëza quhen pingule nëse priten në kënde të drejta.
Perpendikulariteti i vijave tregohet me shenjën \(\perp\). Hyrja \(a\perp b\) lexon: "Rreshti a është pingul me vijën b".

Pyetja 10. Vërtetoni se përmes çdo pike në një vijë mund të vizatoni një vijë pingul me të, dhe vetëm një.
Përgjigju. Teorema 2.3. Nëpërmjet çdo rreshti mund të vizatoni një vijë pingul me të, dhe vetëm një.
Dëshmi. Le të jetë a një drejtëz e dhënë dhe A një pikë e dhënë në të. Le të shënojmë me a 1 një nga gjysmëdrejtëzat e drejtëzës a me pikën e fillimit A (Fig. 38). Le të zbresim një kënd (a 1 b 1) të barabartë me 90° nga gjysmëdrejtëza a 1. Atëherë drejtëza që përmban rrezen b 1 do të jetë pingul me drejtëzën a.

Le të supozojmë se ka një drejtëz tjetër, që kalon gjithashtu nga pika A dhe pingul me drejtëzën a. Le të shënojmë me c 1 gjysmëdrejtëzën e kësaj drejtëze që shtrihet në të njëjtin gjysmërrafsh me rreze b 1 .
Këndet (a 1 b 1) dhe (a 1 c 1), secili i barabartë me 90°, vendosen në një gjysmë rrafsh nga gjysmëvija a 1. Por nga gjysmëdrejtëza a 1 vetëm një kënd i barabartë me 90° mund të vendoset në një gjysmëplan të caktuar. Prandaj, nuk mund të ketë një drejtëz tjetër që kalon nga pika A dhe pingul me drejtëzën a. Teorema është vërtetuar.

Pyetja 11.Çfarë është pingul me një vijë?
Përgjigju. Një pingul me një vijë të caktuar është një segment i një drejtëze pingul me një vijë të caktuar, e cila ka një nga skajet e saj në pikën e tyre të kryqëzimit. Ky fund i segmentit quhet bazë pingul.

Pyetja 12. Shpjegoni se nga çfarë përbëhet prova me kontradiktë.
Përgjigju. Metoda e provës që përdorëm në Teoremën 2.3 quhet vërtetim me kontradiktë. Kjo metodë e provës është se ne fillimisht bëjmë një supozim të kundërt me atë që thotë teorema. Pastaj, duke arsyetuar, duke u mbështetur në aksioma dhe teorema të vërtetuara, arrijmë në një përfundim që bie ndesh ose me kushtet e teoremës, ose me njërën nga aksiomat, ose me një teoremë të provuar më parë. Mbi këtë bazë, ne konkludojmë se supozimi ynë ishte i pasaktë, dhe për këtë arsye pohimi i teoremës është i vërtetë.

Pyetja 13. Sa është përgjysmuesja e një këndi?
Përgjigju. Përgjysmuesja e një këndi është një rreze që buron nga kulmi i këndit, kalon midis anëve të tij dhe e ndan këndin në gjysmë.

Dy kënde të vendosura në të njëjtën drejtëz dhe që kanë të njëjtin kulm quhen fqinjë.

Përndryshe, nëse shuma e dy këndeve në një drejtëz është e barabartë me 180 gradë dhe ata kanë një anë të përbashkët, atëherë këto janë kënde ngjitur.

1 kënd ngjitur + 1 kënd ngjitur = 180 gradë.

Këndet ngjitur janë dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe dy anët e tjera në përgjithësi formojnë një vijë të drejtë.

Shuma e dy këndeve ngjitur është gjithmonë 180 gradë. Për shembull, nëse një kënd është 60 gradë, atëherë i dyti do të jetë domosdoshmërisht i barabartë me 120 gradë (180-60).

Këndet AOC dhe BOC janë kënde ngjitur sepse plotësohen të gjitha kushtet për karakteristikat e këndeve ngjitur:

1.OS - ana e përbashkët e dy qosheve

2.AO - ana e këndit AOS, OB - ana e këndit BOS. Së bashku këto anë formojnë një vijë të drejtë AOB.

3. Janë dy kënde dhe shuma e tyre është 180 gradë.

Duke kujtuar kursin e gjeometrisë së shkollës, mund të themi sa vijon për këndet ngjitur:

këndet ngjitur kanë njërën anë të përbashkët, dhe dy anët e tjera i përkasin të njëjtës drejtëz, domethënë janë në të njëjtën drejtëz. Nëse sipas figurës, atëherë këndet SOV dhe BOA janë kënde ngjitur, shuma e të cilave është gjithmonë e barabartë me 180, pasi ata ndajnë një kënd të drejtë, dhe një kënd i drejtë është gjithmonë i barabartë me 180.



Këndet ngjitur janë një koncept i lehtë në gjeometri. Këndet ngjitur, një kënd plus një kënd, mblidhen deri në 180 gradë.

Dy kënde ngjitur do të jenë një kënd i shpalosur.

Ka disa prona të tjera. Me kënde ngjitur, problemet janë të lehta për t'u zgjidhur dhe teoremat janë të lehta për t'u provuar.

Këndet ngjitur formohen duke tërhequr një rreze nga një pikë arbitrare në një vijë të drejtë. Atëherë kjo pikë arbitrare rezulton të jetë kulmi i këndit, rrezja është ana e përbashkët e këndeve ngjitur dhe vija e drejtë nga e cila është tërhequr rrezja është dy anët e mbetura të këndeve ngjitur. Këndet ngjitur mund të jenë të njëjta në rastin e një pingul, ose të ndryshëm në rastin e një trau të pjerrët. Është e lehtë të kuptohet se shuma e këndeve ngjitur është e barabartë me 180 gradë ose thjesht një vijë e drejtë. Një mënyrë tjetër për të shpjeguar këtë kënd është shembull i thjeshtë- në fillim keni ecur në një drejtim në një vijë të drejtë, më pas keni ndryshuar mendjen, keni vendosur të ktheheni dhe, duke u kthyer 180 gradë, u nisët përgjatë së njëjtës vijë të drejtë në drejtim të kundërt.



Pra, çfarë është një kënd ngjitur? Përkufizimi:

Dy kënde me një kulm të përbashkët dhe një anë të përbashkët quhen fqinjë, dhe dy brinjët e tjera të këtyre këndeve shtrihen në të njëjtën drejtëz.



DHE video e shkurtër një mësim ku tregohet në mënyrë të ndjeshme për këndet ngjitur, këndet vertikale, plus për vijat pingule, të cilat janë një rast i veçantë i këndeve ngjitur dhe vertikal.

Këndet ngjitur janë kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe tjetra është një vijë.

Këndet fqinje janë kënde që varen nga njëri-tjetri. Kjo do të thotë, nëse ana e përbashkët rrotullohet pak, atëherë një kënd do të ulet me disa gradë dhe automatikisht këndi i dytë do të rritet me të njëjtin numër gradë. Kjo veti e këndeve ngjitur na lejon të zgjidhim në Gjeometri detyra të ndryshme dhe kryejnë vërtetime të teoremave të ndryshme.

Shuma totale e këndeve ngjitur është gjithmonë 180 gradë.



Nga lënda e gjeometrisë, (me sa më kujtohet në klasën e 6-të), dy kënde quhen fqinjë, në të cilët njëra anë është e përbashkët, dhe brinjët e tjera janë rreze shtesë, shuma e këndeve ngjitur është 180. Secili nga të dy këndet ngjitur plotësojnë tjetrin me një kënd të zgjeruar. Shembull i këndeve ngjitur:



Këndet ngjitur janë dy kënde me një kulm të përbashkët, njëra nga anët e të cilave është e përbashkët, dhe anët e mbetura shtrihen në të njëjtën drejtëz (nuk përputhen). Shuma e këndeve ngjitur është njëqind e tetëdhjetë gradë. Në përgjithësi, e gjithë kjo është shumë e lehtë për t'u gjetur në Google ose në një libër shkollor të gjeometrisë.