Një funksion thuhet se është i kufizuar më poshtë nëse. Funksion i kufizuar
Ne do ta quajmë funksionin y=f(x) TË KUFIZUAR SIPËR (POSHT) në bashkësinë A nga fusha e përkufizimit D(f) nëse ekziston një numër i tillë. M , që për çdo x nga kjo bashkësi kushti është i plotësuar
Duke përdorur simbole logjike, përkufizimi mund të shkruhet si:
f(x) – kufizohet sipër në set
(f(x) – i kufizuar nga poshtë në set
Funksionet e kufizuara në modul ose thjesht të kufizuara janë futur në konsideratë.
Ne do të quajmë një funksion BOUNDED në bashkësinë A nga fusha e përkufizimit nëse ka një numër pozitiv M të tillë që
Në gjuhën e simboleve logjike
f(x) – kufizuar në set
Një funksion që nuk është i kufizuar quhet i pakufizuar. Ne e dimë se përkufizimet e dhëna nëpërmjet mohimit kanë pak përmbajtje. Për të formuluar këtë deklaratë si përkufizim, ne përdorim vetitë e operacioneve të sasisë (3.6) dhe (3.7). Atëherë, mohimi i kufijve të një funksioni në gjuhën e simboleve logjike do të japë:
f(x) – kufizuar në set
Rezultati i marrë na lejon të formulojmë përkufizimin e mëposhtëm.
Funksioni quhet I PAKUFIZUAR në një bashkësi A që i përket fushës së përcaktimit të funksionit nëse në këtë bashkësi për çdo numër pozitiv M ka një vlerë të tillë të argumentit x. , se vlera do të vazhdojë të kalojë vlerën e M, d.m.th.
Si shembull, merrni parasysh funksionin
Përcaktohet në të gjithë boshtin real. Nëse marrim segmentin [–2;1] (bashkësia A), atëherë mbi të ai do të kufizohet si sipër ashtu edhe poshtë.
Në të vërtetë, për të treguar se ai është i kufizuar nga lart, duhet të marrim parasysh kallëzuesin
dhe tregoni se ekziston (ekziston) M i tillë që për të gjitha x të marra në intervalin [–2;1], do të jetë e vërtetë
Gjetja e një M të tillë nuk është e vështirë. Mund të supozojmë M = 7, sasia e ekzistencës përfshin gjetjen e të paktën një vlere të M. Prania e një M të tillë konfirmon faktin se funksioni në intervalin [–2;1] është i kufizuar nga lart.
Për të vërtetuar se është i kufizuar nga poshtë, duhet të marrim parasysh kallëzuesin
Vlera e M që siguron vërtetësinë e një kallëzuesi të caktuar është, për shembull, M = –100.
Mund të vërtetohet se funksioni do të jetë gjithashtu i kufizuar në modul: për të gjitha x nga intervali [–2;1], vlerat e funksionit përkojnë me vlerat e , kështu që si M mund të marrim, për shembull, vlera e mëparshme M = 7.
Le të tregojmë se i njëjti funksion, por në interval, do të jetë i pakufizuar, d.m.th
Për të treguar se ekziston një x i tillë, merrni parasysh pohimin
Duke kërkuar për vlerat e kërkuara të x midis vlerave pozitive të argumentit, marrim
Kjo do të thotë se pavarësisht se çfarë M pozitive marrim, vlerat e x që sigurojnë përmbushjen e pabarazisë
përftohen nga relacioni .
Duke shqyrtuar një funksion në të gjithë boshtin real, mund të tregohet se ai është i pakufizuar në vlerë absolute.
Në të vërtetë, nga pabarazia
Kjo do të thotë, sado i madh të jetë M pozitiv, ose do të sigurojë përmbushjen e pabarazisë.
FUNKSIONI EKSTREM.
Funksioni ka në pikë Me maksimumi lokal (minimumi), nëse ka një lagje të tillë të kësaj pike që për x¹ Me nga kjo lagje mban pabarazia
veçanërisht se pika ekstreme mund të jetë vetëm një pikë e brendshme e intervalit dhe f(x) në të duhet domosdoshmërisht të përcaktohet. Rastet e mundshme të mungesës së një ekstremi janë paraqitur në Fig. 8.8.
Nëse një funksion rritet (zvogëlohet) në një interval të caktuar dhe zvogëlohet (rritet) në një interval të caktuar, atëherë pika Me është një pikë maksimale (minimale) lokale.
Mungesa e një maksimumi të funksionit f(x) në pikë Me mund të formulohet kështu:
_______________________
f(x) ka një maksimum në pikën c
Kjo do të thotë që nëse pika c nuk është një pikë maksimale lokale, atëherë cilado qoftë fqinjësia që përfshin pikën c si të brendshme, do të ketë të paktën një vlerë x jo të barabartë me c për të cilën . Kështu, nëse nuk ka maksimum në pikën c, atëherë në këtë pikë mund të mos ketë fare ekstrem, ose mund të jetë një pikë minimale (Fig. 8.9).
Koncepti i ekstremit jep një vlerësim krahasues të vlerës së një funksioni në çdo pikë në lidhje me funksionet e afërta. Një krahasim i ngjashëm i vlerave të funksionit mund të kryhet për të gjitha pikat e një intervali të caktuar.
Vlera MAKSIMA (ME E VOGLA) e një funksioni në një grup është vlera e tij në një pikë nga kjo bashkësi e tillë që – në . Vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën e brendshme të segmentit, dhe më e vogla – në skajin e majtë të saj.
Për të përcaktuar vlerën më të madhe (më të vogël) të një funksioni të specifikuar në një interval, është e nevojshme të zgjidhni numrin më të madh (më të vogël) midis të gjitha vlerave të maksimumeve (minimumeve) të tij, si dhe vlerave të pranuara. në skajet e intervalit. Kjo do të jetë vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit. Ky rregull do të sqarohet më vonë.
Problemi i gjetjes së më të madhit dhe vlerat më të ulëta funksionet në një interval të hapur nuk janë gjithmonë të lehta për t'u zgjidhur. Për shembull, funksioni
në intervalin (Fig. 8.11) nuk i ka.
Le të sigurohemi, për shembull, që ky funksion të mos ketë rëndësinë më të madhe. Në fakt, duke marrë parasysh monotoninë e funksionit, mund të argumentohet se sado afër vendosim vlerat e x në të majtë të unitetit, do të ketë x të tjera në të cilat vlerat e funksionit do të të jetë më i madh se vlerat e tij në pikat fikse të marra, por gjithsesi më pak se një.
Koncepti i funksionit. Karakteristika të kufizuara.
Përkufizimi i një funksioni: Nëse çdo numër x nga bashkësia e numrave D shoqërohet njëjës y, atëherë thonë se është dhënë një funksion f në bashkësinë D dhe shkruajnë y= f(x), ku x quhet ndryshore ose argument i pavarur i këtij funksioni, dhe bashkësia D është domeni i përkufizimit të këtij funksioni.
Funksione të kufizuara dhe të pakufizuara. Funksioni thirret kufizuar, nëse ka një numër kaq pozitiv Mçfarë | f(x) | M për të gjitha vlerat x. Nëse një numër i tillë nuk ekziston, atëherë funksioni është e pakufizuar.
SHEMBUJ.
Funksionet çift, tek, monoton.
Funksionet çift dhe tek. Nëse për çdo x nga fusha e përkufizimit të funksionit vlen sa vijon: f(- x) = f (x), atëherë thirret funksioni madje; nëse ndodh: f(- x) = - f (x), atëherë thirret funksioni i çuditshëm. Grafiku i një funksioni çift simetrike rreth boshtit Y(Fig. 5), një grafik i një funksioni tek simetrike rreth origjinën(Fig. 6).
Funksioni monotonik. Nëse për çdo dy vlera të argumentit x 1 dhe x 2 të gjendjes x 2 >x 1 vijon f(x 2 ) >f(x 1), pastaj funksioni f(x) thirrur në rritje; nëse për ndonjë x 1 dhe x 2 të gjendjes x 2 >x 1 vijon f(x 2 ) <f(x 1 ), pastaj funksioni f(x) quhet në rënie. Një funksion që vetëm rritet ose vetëm zvogëlohet quhet monotone.
3. Sekuencat e numrave. Përkufizimi dhe shembuj.
Do të themi se ndryshorja x ka ndryshore e renditur, nëse dihet zona e ndryshimit të saj dhe për secilën nga dy vlerat e saj mund të thuhet se cila është e mëparshmja dhe cila është tjetra. Një rast i veçantë i një sasie variabël të porositur është një sasi e ndryshueshme vlerat e së cilës formohen sekuenca e numrave x 1, x 2,…,x n,… Për vlera të tilla në i< j, i, j Î N , kuptimi x i konsiderohet paraardhëse, dhe x j- pasuese, pavarësisht se cila nga këto vlera është më e madhe. Kështu, një sekuencë numrash është një ndryshore, vlerat e njëpasnjëshme të së cilës mund të rinumërohen. Ne do të shënojmë një sekuencë numerike me . Numrat individualë në një sekuencë quhen të tij elementet.
Për shembull, sekuenca numerike formohet nga sasitë e mëposhtme:
3. , ku a, d- numra konstante.
Kufiri i sekuencës së numrave.
Numri a thirrur limit sekuencat x = {x n), nëse për një numër të vogël pozitiv arbitrarisht të paracaktuar ε ka të tillë numri natyror N që para të gjithëve n>N pabarazia |x n - a|< ε.
Nëse numri a ka një kufi të sekuencës x = {x n), pastaj ata thonë atë x n përpiqet për a, dhe shkruani.
Për të formuluar këtë përkufizim në terma gjeometrikë, ne prezantojmë konceptin e mëposhtëm. Lagjja e pikës x 0 quhet një interval arbitrar ( a, b), që përmban këtë pikë brenda vetes. Lagja e një pike shpesh konsiderohet x 0, per cilin x 0është mesi, pra x 0 thirrur qendër lagja dhe vlera ( b–a)/2 – rreze lagje.
Pra, le të zbulojmë se çfarë do të thotë gjeometrikisht koncepti i kufirit të një sekuence numrash. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë pabarazinë e fundit nga përkufizimi si Kjo pabarazi do të thotë që të gjithë elementët e sekuencës me numra n>N duhet të shtrihet në intervalin (a – ε; a + ε).
Prandaj, një numër konstant a ka një kufi për sekuencën e numrave ( x n), nëse për ndonjë lagje të vogël me qendër në pikë a rrezja ε (ε është fqinjësia e pikës a) ekziston një element i tillë i sekuencës me numër N që të gjithë elementët e mëpasshëm të jenë të numëruar n>N do të vendosen në këtë afërsi.
Shembuj.
1. Le të jetë ndryshorja x merr vlerat në mënyrë sekuenciale
Le të vërtetojmë se kufiri i kësaj sekuence numrash është i barabartë me 1. Merrni një numër arbitrar pozitiv ε. Duhet të gjejmë një numër të tillë natyror N që para të gjithëve n>N pabarazia qëndron | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.
atëherë për të kënaqur relacionin |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве Nçdo numër natyror që plotëson pabarazinë, marrim atë që na nevojitet. Pra, nëse marrim, për shembull, atëherë, duke vënë N= 6, për të gjithë n>6 do të kemi .
2. Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një vargu numrash, vërtetoni se .
Le të marrim një ε> 0 arbitrare. Konsideroni Pastaj , nëse ose , d.m.th. . Prandaj, zgjedhim çdo numër natyror që plotëson pabarazinë.
Shembuj.
3. Le të shqyrtojmë. Në x→1 numëruesi i thyesës priret në 1, dhe emëruesi priret në 0. Por meqë, d.m.th. është një funksion pafundësisht i vogël në x→ 1, atëherë
Teorema 4. Le të jepen tre funksione f(x), u(x) Dhe v(x), duke plotësuar pabarazitë u (x)≤f(x)≤ v(x). Nëse funksionet u(x) Dhe v(x) kanë të njëjtin limit në x→a(ose x→∞), pastaj funksioni f(x) priret në të njëjtin kufi, d.m.th. Nëse
Teorema 5. Nëse në x→a(ose x→∞) funksion y=f(x) pranon vlera jo negative y≥0 dhe në të njëjtën kohë tenton në kufi b, atëherë ky kufi nuk mund të jetë negativ: b≥0.
Dëshmi. Ne do ta kryejmë vërtetimin me kontradiktë. Le të pretendojmë se b<0 , Pastaj |y – b|≥|b| dhe, për rrjedhojë, moduli i diferencës nuk priret në zero kur x→a. Por pastaj y nuk e arrin kufirin b në x→a, që bie ndesh me kushtet e teoremës.
Teorema 6. Nëse dy funksione f(x) Dhe g(x) për të gjitha vlerat e argumentit x kënaqin pabarazinë f(x)≥ g(x) dhe kanë kufij, atëherë qëndron pabarazia b≥c.
Dëshmi. Sipas kushteve të teoremës f(x)-g(x) ≥0, pra, nga Teorema 5, ose .
6. Shpalosja e pasigurisë (0/0), ∞ -∞
I. Pasiguria.
Gjatë faktorizimit të numëruesit, ne përdorëm rregullin e pjesëtimit të një polinomi me një polinom me një "kënd". Që nga numri x=1 është rrënja e polinomit x 3 – 6x 2 + 11x– 6, atëherë kur pjesëtojmë marrim
7. Kufiri i sekuencës . Koncepti i logaritmit natyror.
KUFIZI I DYTË I MREKULLUESHËM
Shembuj:
Logaritmi në bazë e (e- quhet një numër transcendental afërsisht i barabartë me 2.718281828...) logaritmi natyror. Logaritmi natyror i një numri x shënohet ln x. Logaritmet natyrore përdoren gjerësisht në matematikë, fizikë dhe llogaritjet inxhinierike.
Logaritmet përdoren gjerësisht
bazë, e quajtur natyrale. Logaritmet natyrore tregohen me simbolin
Koncepti i kufirit të një funksioni.
Koncepti i vazhdimësisë së një funksioni lidhet drejtpërdrejt me konceptin e kufirit të një funksioni.
Një numër A quhet kufi i një funksioni f në një pikë a, kufi i një bashkësie E, nëse për çdo lagje V(A) të pikës A, ekziston një lagje e shpuar e pikës a e tillë që imazhi i saj nën hartëzimi f është një nëngrup i lagjes së dhënë V(A) të pikës A.
Kufiri i një funksioni f në një pikë a, një kufi për bashkësinë E, shënohet si më poshtë: ose, nëse përmendja e bashkësisë E mund të hiqet.
Meqenëse çdo lagje mund të shoqërohet me lagjen e saj të rregullt (simetrike), përkufizimi i kufirit mund të formulohet në gjuhën -δ siç është zakon në analizën matematikore:
Kufiri i një funksioni në një pikë f në një pikë a, kufiri i bashkësisë E, lidhet drejtpërdrejt me kufirin e sekuencës.
Ne do të shqyrtojmë të gjitha sekuencat e mundshme të pikave të grupit E që kanë pikën a si kufi, dhe sekuencat përkatëse të vlerave të funksionit në pikat e sekuencës. Nëse ekziston një kufi i një funksioni f në pikën a, atëherë ky kufi do të jetë kufiri i çdo sekuence.
E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse të gjitha sekuencat konvergojnë në të njëjtën vlerë, atëherë funksioni ka një kufi të barabartë me atë vlerë.
KUFIRI I PARË I MADHËSHËM
Funksioni nuk është përcaktuar kur x=0, meqenëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës bëhen zero. Grafiku i funksionit është paraqitur në figurë.
Megjithatë, është e mundur të gjendet kufiri i këtij funksioni kur X→0.
Le të japim një provë të formulës së shkruar. Konsideroni një rreth me rreze 1 dhe supozoni se këndi α, i shprehur në radianë, është brenda 0< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Nga figura duket qartë se
SΔOAC .
Meqenëse zonat e treguara janë përkatësisht të barabarta
SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙mëkat α= 0.5 sina, Sekti S. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0.5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5 tgα.
Prandaj,
mëkat α< α < tg α.
Le t'i ndajmë të gjithë termat e pabarazisë me sin α > 0: .
Por . Prandaj, bazuar në teoremën 4 për kufijtë, konkludojmë se formula e prejardhur quhet kufiri i parë i shquar.
Kështu, kufiri i parë i shquar shërben për të zbuluar pasigurinë. Vini re se formula që rezulton nuk duhet të ngatërrohet me kufijtë Shembuj.
11.Limiti dhe kufijtë e saj të lidhur.
KUFIZI I DYTË I MREKULLUESHËM
Kufiri i dytë i shquar shërben për të zbuluar pasigurinë e 1 ∞ dhe duket kështu:
Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se në formulën për kufirin e dytë të shquar, eksponenti duhet të përmbajë një shprehje të kundërt me atë që i shtohet njësisë në bazë (pasi në këtë rast është e mundur të futet një ndryshim i ndryshoreve dhe zvogëloni kufirin e kërkuar në kufirin e dytë të shquar)
Shembuj.
1. Funksioni f(x)=(x-1) 2 është infinite vogël në x→1, pasi (shih figurën).
2. Funksioni f(x)= tg x– pafundësisht i vogël në x→0.
3. f(x)= log (1+ x) – pafundësisht i vogël në x→0.
4. f(x) = 1/x– pafundësisht i vogël në x→∞.
Le të vendosim marrëdhënien e mëposhtme të rëndësishme:
Teorema. Nëse funksioni y=f(x) e perfaqesueshme me x→a si shumë e një numri konstant b dhe magnitudë pafundësisht të vogël α(x): f (x)=b+ α(x) Se .
Në të kundërt, nëse , atëherë f (x)=b+α(x), Ku a(x)– pafundësisht i vogël në x→a.
Dëshmi.
1. Le të vërtetojmë pjesën e parë të pohimit. Nga barazia f(x)=b+α(x) duhet |f(x) – b|=| α|. Por që kur a(x)është pafundësisht i vogël, atëherë për ε arbitrare ka δ – një fqinjësi e pikës a, para të gjithëve x nga të cilat, vlerat a(x) kënaq relacionin |α(x)|< ε. Pastaj |f(x) – b|< ε. Dhe kjo do të thotë se.
2. Nëse , atëherë për çdo ε >0 per te gjithe X nga disa δ – lagje e një pike a do |f(x) – b|< ε. Por nëse shënojmë f(x) – b= α, Kjo |α(x)|< ε, që do të thotë se a– pafundësisht i vogël.
Le të shqyrtojmë vetitë themelore të funksioneve infiniteminale.
Teorema 1. Shuma algjebrike dy, tre dhe në përgjithësi çdo numër i fundëm infinitezimalësh është një funksion infinitezimal.
Dëshmi. Le të japim një provë për dy terma. Le f(x)=α(x)+β(x), ku dhe . Ne duhet të vërtetojmë se për ε të vogla arbitrare arbitrare > 0 u gjet δ> 0, e tillë që për x, duke kënaqur pabarazinë |x - a|<δ , kryer |f(x)|< ε.
Pra, le të rregullojmë një numër arbitrar ε > 0. Meqenëse sipas kushteve të teoremës α(x)është një funksion pafundësisht i vogël, atëherë ekziston një δ 1 i tillë > 0, që është |x – a|< δ 1 kemi |α(x)|< ε / 2. Po kështu, që nga β(x)është pafundësisht i vogël, atëherë ekziston δ 2 > 0, që është |x – a|< δ 2 kemi | β(x)|< ε / 2.
Le ta marrim δ=min(δ 1 , δ2 } .Pastaj në afërsi të pikës a rreze δ secila nga pabarazitë do të plotësohet |α(x)|< ε / 2 dhe | β(x)|< ε / 2. Prandaj, në këtë lagje do të ketë
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
ato. |f(x)|< ε, që është ajo që duhej vërtetuar.
Teorema 2. Produkt i një funksioni pafundësisht të vogël a(x) për një funksion të kufizuar f(x) në x→a(ose kur x→∞) është një funksion pafundësisht i vogël.
Dëshmi. Që nga funksioni f(x)është i kufizuar, atëherë ka një numër M të tilla që për të gjitha vlerat x nga ndonjë lagje e një pike a|f(x)|≤M. Për më tepër, që nga a(x)është një funksion pafundësisht i vogël në x→a, pastaj për një ε arbitrare > 0 ka një lagje të pikës a, në të cilën do të mbahet pabarazia |α(x)|< ε /M. Pastaj në më të vogël nga këto lagje kemi | αf|< ε /M= ε. Dhe kjo do të thotë se af– pafundësisht i vogël. Për rastin x→∞ vërtetimi kryhet në mënyrë të ngjashme.
Nga teorema e provuar rezulton:
Përfundimi 1. Nëse dhe, atëherë
Përfundimi 2. Nëse c= konst, atëherë .
Teorema 3. Raporti i një funksioni pafundësisht të vogël α(x) për funksion f(x), kufiri i të cilit është i ndryshëm nga zero, është një funksion pafundësisht i vogël.
Dëshmi. Le . Pastaj 1 /f(x) ka një funksion të kufizuar. Prandaj, një thyesë është produkt i një funksioni infinitimal dhe i një funksioni të kufizuar, d.m.th. funksioni është infinit i vogël.
Shembuj.
1. Është e qartë se kur x→+∞ funksionin y=x 2 + 1 është pafundësisht i madh. Por më pas, sipas teoremës së formuluar më sipër, funksioni është infinitimal në x→+∞, d.m.th. .
Mund të vërtetohet edhe teorema e kundërt.
Teorema 2. Nëse funksioni f(x)- pafundësisht i vogël në x→a(ose x→∞) dhe nuk zhduket, atëherë y= 1/f(x)është një funksion pafundësisht i madh.
Kryeni vetë vërtetimin e teoremës.
Shembuj.
3. , meqenëse funksionet dhe janë infinitimale në x→+∞, atëherë, pasi shuma e funksioneve infinite vogël është një funksion infinite vogël. Një funksion është shuma e një numri konstant dhe një funksioni infinite vogël. Rrjedhimisht, me Teoremën 1 për funksionet infiniteminale marrim barazinë e kërkuar.
Kështu, vetitë më të thjeshta të infinitimale dhe pafundësisht funksione të mëdha mund të shkruhet duke përdorur marrëdhëniet e mëposhtme të kushtëzuara: A≠ 0
13. Funksione infinitimale të të njëjtit rend, infinitezimale ekuivalente.
Funksionet infinitimale dhe quhen infinitime të të njëjtit rend të vogëlsisë nëse , Tregoni . Dhe së fundi, nëse nuk ekziston, atëherë funksionet infiniteminale janë të pakrahasueshme.
SHEMBULL 2. Krahasimi i funksioneve infiniteminale
Funksionet ekuivalente infiniteminale.
Nëse , atëherë thirren funksionet infiniteminale ekuivalente, tregoj ~ .
Funksione ekuivalente lokale:
Kur nëse
Disa ekuivalenca(në):
Kufijtë e njëanshëm.
Deri më tani kemi konsideruar përcaktimin e kufirit të një funksioni kur x→a në mënyrë arbitrare, d.m.th. kufiri i funksionit nuk varej nga mënyra se si ishte vendosur x drejt a, në të majtë ose në të djathtë të a. Sidoqoftë, është mjaft e zakonshme të gjesh funksione që nuk kanë kufi në këtë kusht, por ato kanë një kufi nëse x→a, duke mbetur në njërën anë të A, majtas ose djathtas (shih figurën). Prandaj, prezantohen konceptet e kufijve të njëanshëm.
Nëse f(x) priret në kufi b në x duke u përpjekur për një numër të caktuar a Kështu që x pranon vetëm vlera më të vogla se a, pastaj shkruajnë dhe thërrasin kufiri i funksionit f(x) në pikën a në të majtë.
Pra numri b quhet kufiri i funksionit y=f(x) në x→a në të majtë, nëse cilido qoftë numri pozitiv ε, ekziston një numër i tillë δ (më i vogël a
Po kështu, nëse x→a dhe merr vlera të mëdha a, pastaj shkruajnë dhe thërrasin b kufiri i funksionit në pikë A në të djathtë. ato. numri b thirrur kufiri i funksionit y=f(x) si x→a djathtas, nëse cilido qoftë numri pozitiv ε, ekziston një numër i tillë δ (më i madh A) që pabarazia vlen për të gjithë.
Vini re se nëse kufijtë në të majtë dhe të djathtë në pikë a për funksionin f(x) nuk përkojnë, atëherë funksioni nuk ka kufi (të dyanshëm) në pikë A.
Shembuj.
1. Konsideroni funksionin y=f(x), i përcaktuar në segment si më poshtë
Le të gjejmë kufijtë e funksionit f(x) në x→ 3. Natyrisht, dhe
Me fjalë të tjera, për çdo numër arbitrarisht të vogël të epsilonit, ekziston një numër delta në varësi të epsilonit të tillë që nga fakti që për çdo x që plotëson pabarazinë rrjedh se diferencat në vlerat e funksionit në këto pika do të jenë i vogël në mënyrë arbitrare.
Kriteri për vazhdimësinë e një funksioni në një pikë:
Funksioni do të vazhdueshme në pikën A nëse dhe vetëm nëse është e vazhdueshme në pikën A si në të djathtë ashtu edhe në të majtë, pra që në pikën A të ketë dy kufij të njëanshëm, ata janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe të barabartë me vlerën e funksioni në pikën A.
Përkufizimi 2: Funksioni është i vazhdueshëm në një grup nëse është i vazhdueshëm në të gjitha pikat e këtij grupi.
Derivat i një funksioni në një pikë
Le të përcaktohet dana në një lagje. Le të shqyrtojmë
Nëse ky kufi ekziston, atëherë quhet derivat i funksionit f në pikën .
Derivat i një funksioni– kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, kur argumenti rritet.
Operacioni i llogaritjes ose gjetjes së derivatit në një pikë quhet diferencimi .
Rregullat e diferencimit.
Derivat funksione f(x) në pikën x=x 0 quhet raporti i rritjes së një funksioni në këtë pikë me shtimin e argumentit, pasi ky i fundit tenton në zero Gjetja e derivatit diferencimi. Derivati i funksionit llogaritet duke përdorur rregull i përgjithshëm diferencimi: Le të shënojmë f(x) = u, g(x) = v- funksione të diferencueshme në një pikë X. Rregullat themelore të diferencimit 1) (derivati i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të tij) 2) (nga këtu, në veçanti, rrjedh se derivati i produktit të një funksioni dhe një konstante është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni dhe konstantja) 3) Derivati i një herësi: , nëse g 0 4) Derivati i një funksioni kompleks: 5) Nëse funksioni është specifikuar parametrikisht: , atëherë
Shembuj.
1. y = x a është një funksion fuqie me një eksponent arbitrar.
Funksioni i nënkuptuar
Nëse një funksion jepet me ekuacionin y=ƒ(x), i zgjidhur në lidhje me y, atëherë funksioni jepet në formë eksplicite (funksion eksplicit).
Nën detyrë e nënkuptuar funksionet e kuptojnë përkufizimin e një funksioni në formën e një ekuacioni F(x;y)=0, i pazgjidhur në lidhje me y.
Çdo funksion i dhënë në mënyrë eksplicite y=ƒ (x) mund të shkruhet si i dhënë në mënyrë implicite nga ekuacioni ƒ(x)-y=0, por jo anasjelltas.
Nuk është gjithmonë e lehtë, dhe ndonjëherë e pamundur, të zgjidhet një ekuacion për y (për shembull, y+2x+cozy-1=0 ose 2 y -x+y=0).
Nëse funksioni i nënkuptuar jepet nga ekuacioni F(x; y) = 0, atëherë për të gjetur derivatin e y në lidhje me x nuk ka nevojë të zgjidhet ekuacioni në lidhje me y: mjafton që ky ekuacion të diferencohet në lidhje me x, duke e konsideruar y si funksion të x, dhe pastaj zgjidhni ekuacionin që rezulton për y."
Derivati i një funksioni të nënkuptuar shprehet me argumentin x dhe funksionin y.
Shembull:
Gjeni derivatin e funksionit y, të dhënë me ekuacionin x 3 + y 3 -3xy = 0.
Zgjidhje: Funksioni y specifikohet në mënyrë implicite. Dallojmë në lidhje me x barazinë x 3 + y 3 -3xy = 0. Nga relacioni që rezulton
3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0
rrjedh se y 2 y"-xy"=y-x 2, pra y"=(y-x 2)/(y 2 -x).
Derivatet e rendit më të lartë
Është e qartë se derivati
funksione y=f(x) ka edhe një funksion nga x:
y" =f" (x)
Nëse funksioni f" (x)është i diferencueshëm, atëherë derivati i tij shënohet me simbolin y"" =f "" (x) x dy herë.
Derivati i derivatit të dytë, d.m.th. funksione y""=f""(x), thirri derivati i tretë i funksionit y=f(x) ose derivat i funksionit f(x) të rendit të tretë dhe tregohet nga simbolet
fare n-i derivat ose derivat n funksioni i rendit të th y=f(x) treguar me simbole
Phil Leibniz:
Le të supozojmë se funksionet dhe janë të diferencueshëm së bashku me derivatet e tyre deri në renditjen e n-të përfshirëse. Duke zbatuar rregullin për diferencimin e prodhimit të dy funksioneve, marrim
Le t'i krahasojmë këto shprehje me fuqitë e binomit:
Rregulli i korrespondencës është i mrekullueshëm: për të marrë një formulë për derivatin e rendit 1, 2 ose 3 të produktit të funksioneve dhe , ju duhet të zëvendësoni fuqitë dhe në shprehjen për (ku n= 1,2,3) derivatet e urdhrave përkatës. Për më tepër, fuqitë zero të sasive dhe duhet të zëvendësohen me derivate të rendit zero, që do të thotë prej tyre funksionet dhe:
Përgjithësimi i këtij rregulli në rastin e derivateve të rendit arbitrar n, marrim formula e Leibniz-it,
ku janë koeficientët binomialë:
Teorema e Rolit.
Kjo teoremë na lejon të gjejmë pikat kritike, dhe më pas, duke përdorur kushte të mjaftueshme, hetoni funksionin për ekstreme.
Le të jetë 1) f(x) i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të mbyllur; 2) ka një derivat të fundëm, të paktën në intervalin e hapur (a;b); 3) në skajet e intervalit f-i merr vlera të barabarta f(a) = f(b). Pastaj midis pikave a dhe b ekziston një pikë c e tillë që derivati në këtë pikë do të jetë = 0.
Sipas teoremës për vetinë e funksioneve që janë të vazhdueshme në një interval, funksioni f(x) merr vlerat e tij max dhe min në këtë interval.
f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О
1) Le të jetë M = m, d.m.th. m £ f(x) £ M
Þ f(x) do të marrë vlera konstante në intervalin nga a në b, dhe Þ derivati i tij do të jetë i barabartë me zero. f’(x)=0
2) Le të M>m
Sepse sipas kushteve të teoremës f(a) = f(b) Þ më e vogla ose vlera më e lartë f-i nuk do të marrë në skajet e segmentit, por Þ do të marrë M ose m në pikën e brendshme të këtij segmenti. Pastaj, nga teorema e Fermatit, f'(c)=0.
Teorema e Lagranzhit.
Formula e rritjes së fundme ose Teorema e vlerës mesatare të Lagranzhit thotë se nëse një funksion fështë e vazhdueshme në intervalin [ a;b] dhe i diferencueshëm në intervalin ( a;b), atëherë ka një pikë të tillë që
Teorema e Cauchy-t.
Nëse funksionet f(x) dhe g(x) janë të vazhdueshëm në interval dhe të diferencueshëm në intervalin (a, b) dhe g¢(x) ¹ 0 në intervalin (a, b), atëherë ka të paktën një pika e, a< e < b, такая, что
ato. raporti i rritjes së funksioneve në një segment të caktuar është i barabartë me raportin e derivateve në pikën e. Shembuj të kursit të leksioneve të zgjidhjes së problemit Llogaritja e vëllimit të një trupi duke përdorur sheshet e famshme seksionet e tij paralele Njehsimi integral
Shembuj të ekzekutimit punë kursi inxhinieri elektrike
Për të vërtetuar këtë teoremë, në shikim të parë është shumë e përshtatshme të përdoret teorema e Lagranzhit. Shkruani një formulë të diferencës së fundme për secilin funksion dhe më pas ndajini ato me njëri-tjetrin. Megjithatë, kjo ide është e gabuar, sepse pika e për çdo funksion është përgjithësisht e ndryshme. Sigurisht, në disa raste të veçanta kjo pikë intervali mund të rezultojë e njëjtë për të dy funksionet, por kjo është një rastësi shumë e rrallë, dhe jo një rregull, dhe për këtë arsye nuk mund të përdoret për të vërtetuar teoremën.
Dëshmi. Merrni parasysh funksionin ndihmës
Si x→x 0, vlera e c gjithashtu tenton në x 0; Le të shkojmë në kufirin në barazinë e mëparshme:
Sepse , Kjo .
Kjo është arsyeja pse
(kufiri i raportit të dy infinitezimaleve është i barabartë me kufirin e raportit të derivateve të tyre, nëse ky i fundit ekziston)
Rregulli i L'Hopital, në ∞/∞.
Ju lutemi vini re: të gjitha përkufizimet përfshijnë një grup numerik X, i cili është pjesë e domenit të funksionit: X me D(f). Në praktikë, më shpesh ka raste kur X është një interval numerik (segment, interval, rreze, etj.).
Përkufizimi 1.
Një funksion y = f(x) thuhet se po rritet në një bashkësi X me D(f) nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 të grupit X të tillë që x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).
Përkufizimi 2.
Një funksion y = f(x) thuhet se zvogëlohet në një bashkësi X me D(f) nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 të bashkësisë X të tillë që x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f (x 2).
Në praktikë, është më i përshtatshëm të përdoren formulimet e mëposhtme: një funksion rritet nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit; një funksion zvogëlohet nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.
Në klasat e 7-ta dhe të 8-ta kemi përdorur interpretimin gjeometrik të mëposhtëm të koncepteve të rritjes ose zvogëlimit të një funksioni: duke lëvizur përgjatë grafikut të një funksioni rritës nga e majta në të djathtë, duket se po ngjitemi në një kodër (Fig. 55); duke lëvizur përgjatë grafikut të një funksioni në rënie nga e majta në të djathtë, është sikur po zbresim një kodër (Fig. 56).
Zakonisht termat "funksion në rritje" dhe "funksion në rënie" kombinohen emer i perbashket funksioni monoton, dhe studimi i një funksioni për rritje ose ulje quhet studimi i një funksioni për monotoni.
Le të vërejmë një rrethanë tjetër: nëse një funksion rritet (ose zvogëlohet) në domenin e tij natyror të përkufizimit, atëherë zakonisht themi se funksioni është në rritje (ose në rënie) - pa treguar grupin numerik X.
Shembulli 1.
Shqyrtoni funksionin për monotoninë:
A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.
Zgjidhja:
a) Merrni vlera arbitrare të argumentit x 1 dhe x 2 dhe leni x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:
Pabarazia e fundit do të thotë se f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
Pra nga x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), që do të thotë se funksioni i dhënë është në rënie (në të gjithë vijën numerike).
Përkufizimi 3.
Një funksion y - f(x) thuhet se është i kufizuar nga poshtë në një grup X me D(f) nëse të gjitha vlerat e funksionit në bashkësinë X janë më të mëdha se një numër i caktuar (me fjalë të tjera, nëse ka një numër m i tillë që për çdo vlerë x є X mosbarazimi f( x) >m).
Përkufizimi 4.
Një funksion y = f(x) thuhet se është i kufizuar nga lart në një grup X me D(f) nëse të gjitha vlerat e funksionit janë më të vogla se një numër i caktuar (me fjalë të tjera, nëse ka një numër M i tillë që për çdo vlerë x є X vlen pabarazia f(x).< М).
Nëse grupi X nuk është i specifikuar, atëherë supozohet se ne po flasim për rreth kufijve të një funksioni nga poshtë ose nga lart në të gjithë fushën e përkufizimit.
Nëse një funksion është i kufizuar si poshtë ashtu edhe sipër, atëherë ai quhet i kufizuar.
Kufizimi i një funksioni lexohet lehtësisht nga grafiku i tij: nëse një funksion është i kufizuar nga poshtë, atëherë grafiku i tij ndodhet tërësisht mbi një vijë të caktuar horizontale y = m (Fig. 57); nëse një funksion është i kufizuar nga lart, atëherë grafiku i tij ndodhet tërësisht nën një vijë horizontale y = M (Fig. 58).
Shembulli 2. Shqyrtoni për kufirin e një funksioni
Zgjidhje. Nga njëra anë, pabarazia është mjaft e dukshme (sipas përkufizimit rrenja katrore Kjo do të thotë që funksioni është i kufizuar nga poshtë. Nga ana tjetër, kemi dhe prandaj
Kjo do të thotë që funksioni është i kufirit të sipërm. Tani shikoni grafikun funksioni i dhënë(Fig. 52 nga paragrafi i mëparshëm). Kufizimi i funksionit si sipër ashtu edhe poshtë mund të lexohet mjaft lehtë nga grafiku.
Përkufizimi 5.
Numri m quhet vlera më e vogël e funksionit y = f(x) në bashkësinë X C D(f) nëse:
1) në X ka një pikë x 0 të tillë që f(x 0) = m;
2) për të gjitha x nga X vlen pabarazia m>f(x 0).
Përkufizimi 6.
Numri M quhet vlera më e madhe e funksionit y = f(x) në bashkësinë X C D(f), nëse:
1) në X ka një pikë x 0 të tillë që f(x 0) = M;
2) për të gjitha x nga X pabarazia
Vlerën më të vogël të një funksioni në klasën e 7-të dhe të 8-të e shënuam me simbolin y dhe më të madhen me simbolin y.
Nëse bashkësia X nuk është e specifikuar, atëherë supozohet se po flasim për gjetjen e vlerës më të vogël ose më të madhe të funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit.
Deklaratat e mëposhtme të dobishme janë mjaft të dukshme:
1) Nëse një funksion ka Y, atëherë ai kufizohet më poshtë.
2) Nëse një funksion ka Y, atëherë ai është i kufizuar më lart.
3) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më poshtë, atëherë Y nuk ekziston.
4) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më lart, atëherë Y nuk ekziston.
Shembulli 3.
Gjeni vlerat më të vogla dhe më të mëdha të një funksioni
Zgjidhje.
Është mjaft e qartë, veçanërisht nëse përdorni grafikun e funksionit (Fig. 52), që = 0 (funksioni e arrin këtë vlerë në pikat x = -3 dhe x = 3), a = 3 (funksioni e arrin këtë vlerë në x = 0.
Në klasat e 7-ta dhe të 8-ta përmendëm edhe dy veti të funksioneve. E para quhej vetia e konveksitetit të një funksioni. Një funksion konsiderohet të jetë konveks poshtë në një interval X nëse, duke lidhur çdo dy pika të grafikut të tij (me abshisa nga X) me një segment të drejtë, gjejmë se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet poshtë segmentit të vizatuar (Fig. 59). vazhdimësia Një funksion është konveks lart në një interval X nëse, duke lidhur çdo dy pika të grafikut të tij (me abshisa nga X) të funksionit me një segment të drejtë, gjejmë se pjesa përkatëse e grafikut shtrihet mbi segmentin e vizatuar ( Fig. 60).
Vetia e dytë - vazhdimësia e një funksioni në intervalin X - do të thotë se grafiku i funksionit në intervalin X është i vazhdueshëm, d.m.th. nuk ka shpime apo kërcime.
Komentoni.
Në fakt, në matematikë gjithçka është, siç thonë ata, "pikërisht e kundërta": grafiku i një funksioni përshkruhet në formën vijë e fortë(pa shpime dhe kërcime) vetëm kur vërtetohet vazhdimësia e funksionit. Por një përkufizim formal i vazhdimësisë së një funksioni, i cili është mjaft kompleks dhe delikat, nuk është ende brenda mundësive tona. E njëjta gjë mund të thuhet për konveksitetin e një funksioni. Kur diskutojmë këto dy veti të funksioneve, ne do të vazhdojmë të mbështetemi në konceptet vizuale dhe intuitive.
Tani le të rishikojmë njohuritë tona. Duke kujtuar funksionet që kemi studiuar në klasat e 7-ta dhe të 8-ta, le të sqarojmë se si duken grafikët e tyre dhe të rendisim vetitë e funksionit, duke iu përmbajtur një renditjeje të caktuar, për shembull: fusha e përkufizimit; monotone; kufizim; , ; vazhdimësi; varg; konveks.
Më pas, do të shfaqen vetitë e reja të funksioneve dhe lista e vetive do të ndryshojë në përputhje me rrethanat.
1. Funksioni konstant y = C
Grafiku i funksionit y = C është paraqitur në Fig. 61 - vijë e drejtë, paralele me boshtin x. Ky është një tipar kaq jo interesant saqë nuk ka kuptim të rendisim pronat e tij.
Grafiku i funksionit y = kx + m është drejtëz (Fig. 62, 63).
Vetitë e funksionit y = kx + m:
1) 
2) rritet nëse k > 0 (Fig. 62), zvogëlohet nëse k< 0 (рис. 63);
4) nuk ka as vlerën më të madhe dhe as më të vogël;
5) funksioni është i vazhdueshëm;
6) 
7) nuk ka kuptim të flasim për konveksitet.
Grafiku i funksionit y = kx 2 është një parabolë me kulm në origjinë dhe me degë të drejtuara lart nëse k > O (Fig. 64), dhe poshtë nëse k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
Vetitë e funksionit y - kx 2:
Për rastin k> 0 (Fig. 64):
1) D(f) = (-oo,+oo);
4) = nuk ekziston;
5) e vazhdueshme;
6) E(f) = funksioni zvogëlohet, dhe në interval, zvogëlohet në rreze;
7) konveks lart.
Grafiku i funksionit y = f(x) paraqitet pikë për pikë; Sa më shumë pikë të formës (x; f(x)) të marrim, aq më e saktë do të kemi një ide të grafikut. Nëse merrni shumë nga këto pika, atëherë do të merrni një pamje më të plotë të grafikut. Është në këtë rast që intuita na thotë se grafiku duhet të përshkruhet si një vijë e fortë (në këtë rast, në formën e një parabole). Dhe më pas, duke lexuar grafikun, nxjerrim përfundime për vazhdimësinë e funksionit, për konveksitetin e tij poshtë ose lart, për gamën e vlerave të funksionit. Ju duhet të kuptoni se nga shtatë pronat e listuara, vetëm pronat 1), 2), 3), 4) janë "legjitime" - "legjitime" në kuptimin që ne jemi në gjendje t'i justifikojmë ato duke iu referuar përkufizimeve të sakta. Ne kemi vetëm ide vizuale dhe intuitive për pronat e mbetura. Nga rruga, nuk ka asgjë të keqe me këtë. Nga historia e zhvillimit të matematikës dihet se njerëzimi përdorte shpesh dhe për një kohë të gjatë veti të ndryshme objekte të caktuara pa e ditur përkufizime të sakta. Më pas, kur mund të formuloheshin përkufizime të tilla, gjithçka ra në vend. 
Grafiku i funksionit është hiperbolë, boshtet e koordinatave shërbejnë si asimptota të hiperbolës (Fig. 66, 67).
1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) nëse k > 0, atëherë funksioni zvogëlohet në rreze të hapur (-oo, 0) dhe në rreze të hapur (0, +oo) (Fig. 66); nëse të< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nuk kufizohet as nga poshtë as nga lart;
4) nuk ka as vlerën më të vogël e as më të madhe;
5) funksioni është i vazhdueshëm në rreze të hapur (-oo, 0) dhe në rreze të hapur (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) nëse k > 0, atëherë funksioni është konveks lart në x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, d.m.th. në traun e hapur (0, +oo) (Fig. 66). Nëse për të< 0, то функция выпукла вверх при х >O dhe konveks poshtë në x< О (рис. 67).
Grafiku i funksionit është një degë e një parabole (Fig. 68). Karakteristikat e funksionit:
1) D(f) = , rritet në rreze. Në këtë segment $16-x^2≤16$ ose $\sqrt(16-x^2)≤4$, por kjo do të thotë i kufizuar nga lart.
Përgjigje: funksioni ynë është i kufizuar në dy vija të drejta $y=0$ dhe $y=4$.
Vlera më e lartë dhe më e ulët
Vlera më e vogël e funksionit y= f(x) në bashkësinë X⊂D(f) është një numër m i tillë që:
b) Për çdo хϵХ, vlen $f(x)≥f(x0)$.
Vlera më e madhe e funksionit y=f(x) në bashkësinë X⊂D(f) është një numër m i tillë që:
a) Ka disa x0 të tillë që $f(x0)=m$.
b) Për çdo хϵХ, vlen $f(x)≤f(x0)$.
Vlerat më të mëdha dhe më të vogla zakonisht shënohen me y max. dhe emri .
Konceptet e kufizueshmërisë dhe më e madhja me vlerën më të vogël të një funksioni janë të lidhura ngushtë. Deklaratat e mëposhtme janë të vërteta:
a) Nëse ka një vlerë minimale për një funksion, atëherë ai kufizohet më poshtë.
b) Nëse një funksion ka vlerën më të madhe, atëherë ai kufizohet më lart.
c) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më lart, atëherë vlera më e madhe nuk ekziston.
d) Nëse funksioni nuk është i kufizuar më poshtë, atëherë vlera më e vogël nuk ekziston.
Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Zgjidhja: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Për $х=4$ $f(4)=5$, për të gjitha vlerat e tjera funksioni merr vlera më të vogla ose nuk ekziston, domethënë kjo është vlera më e madhe e funksionit.
Sipas përkufizimit: $9-4x^2+16x≥0$. Le të gjejmë rrënjët trinom kuadratik$(2х+1)(2х-9)≥0$. Në $x=-0.5$ dhe $x=4.5$ funksioni zhduket në të gjitha pikat e tjera është më i madh se zero. Atëherë, sipas përkufizimit, vlera më e vogël e funksionit është e barabartë me zero.
Përgjigje: y max. =5 dhe emri y. =0.
Djema, ne kemi studiuar edhe konceptin e konveksitetit të një funksioni. Kur zgjidhim disa probleme, mund të na duhet kjo pronë. Kjo veti gjithashtu përcaktohet lehtësisht duke përdorur grafikët.
Një funksion është konveks poshtë nëse çdo dy pika në grafikun e funksionit origjinal janë të lidhura dhe grafiku i funksionit është nën vijën e lidhjes së pikave.
Një funksion është konveks lart nëse çdo dy pika në grafikun e funksionit origjinal janë të lidhura dhe grafiku i funksionit është mbi vijën e lidhjes së pikave.
Një funksion është i vazhdueshëm nëse grafiku i funksionit tonë nuk ka ndërprerje, për shembull, si grafiku i funksionit të mësipërm.
Nëse keni nevojë të gjeni vetitë e një funksioni, atëherë sekuenca e kërkimit të vetive është si më poshtë:
a) Fusha e përkufizimit.
b) Monotonia.
c) Kufizimi.
d) Vlera më e madhe dhe më e vogël.
d) Vazhdimësia.
e) Gama e vlerave.
Gjeni vetitë e funksionit $y=-2x+5$.
Zgjidhje.
a) Domeni i përkufizimit D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Le të kontrollojmë për çdo vlerë x1 dhe x2 dhe le të x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Që nga x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Kufizimi. Është e qartë se funksioni nuk është i kufizuar.
d) Vlera më e madhe dhe më e vogël. Meqenëse funksioni është i pakufizuar, nuk ka vlerë maksimale ose minimale.
d) Vazhdimësia. Grafiku i funksionit tonë nuk ka ndërprerje, atëherë funksioni është i vazhdueshëm.
e) Gama e vlerave. E(y)=(-∞;+∞).
Probleme mbi vetitë e një funksioni për zgjidhje të pavarur
Gjeni vetitë e funksionit:a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.
Teorema mbi kufirin e një funksioni monoton. Një vërtetim i teoremës është dhënë duke përdorur dy metoda. Janë dhënë edhe përkufizime të funksioneve rreptësisht në rritje, jozitëse, rreptësisht zvogëluese dhe jo-rritëse. Përkufizimi i një funksioni monoton.
Përkufizimet
Përkufizimet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese
Le të jetë funksioni f (x) të përcaktuara në një grup numra realë X.
Funksioni thirret rreptësisht në rritje (rreptësisht në rënie), nëse për të gjitha x′, x′′ ∈ X e tille qe x'< x′′
выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′)
(f (x′) > f(x′′) )
.
Funksioni thirret jo në rënie (jo në rritje), nëse për të gjitha x′, x′′ ∈ X e tille qe x'< x′′
выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) )
.
Nga kjo rrjedh se një funksion rreptësisht në rritje është gjithashtu jo-zvogëlues. Një funksion rreptësisht në rënie është gjithashtu jo-rritës.
Përkufizimi i një funksioni monoton
Funksioni thirret monotone, nëse është jo në rënie ose jo në rritje.
Për të studiuar monotoninë e një funksioni në një grup të caktuar X, duhet të gjeni ndryshimin e vlerave të tij në dy pika arbitrare që i përkasin këtij grupi. Nëse , atëherë funksioni po rritet rreptësisht; nëse , atëherë funksioni nuk zvogëlohet; nëse , atëherë zvogëlohet rreptësisht; nëse , atëherë nuk rritet.
Nëse në një grup të caktuar funksioni është pozitiv: , atëherë për të përcaktuar monotoninë, mund të studioni koeficientin e ndarjes së vlerave të tij në dy pika arbitrare të këtij grupi. Nëse , atëherë funksioni po rritet rreptësisht; nëse , atëherë funksioni nuk zvogëlohet; nëse , atëherë zvogëlohet rreptësisht; nëse , atëherë nuk rritet.
Teorema
Le të jetë funksioni f (x) nuk zvogëlohet në interval (a, b), Ku.
Nëse kufizohet sipër me numrin M:, atëherë ka një kufi të fundëm majtas në pikën b:. Nëse f (x) nuk kufizohet nga lart, atëherë .
Nëse f (x) kufizohet më poshtë me numrin m : , atëherë ka një kufi të drejtë të fundëm në pikën a : . Nëse f (x) nuk kufizohet më poshtë, atëherë .
Nëse pikat a dhe b janë në pafundësi, atëherë në shprehjet shenjat kufitare nënkuptojnë se .
Kjo teoremë mund të formulohet në mënyrë më kompakte.
Le të jetë funksioni f (x) nuk zvogëlohet në interval (a, b), Ku.
;
.
Pastaj ka kufij të njëanshëm në pikat a dhe b:
Një teoremë e ngjashme për një funksion jo-rritës.
;
.
Le të mos rritet funksioni në intervalin ku . Pastaj ka kufij të njëanshëm:
Pasoja
Le të jetë funksioni monoton në interval. Atëherë, në çdo pikë nga ky interval, ka kufij të fundëm të njëanshëm të funksionit:
Dhe .
Vërtetimi i teoremës
Funksioni nuk po zvogëlohet
b - numri përfundimtar
Funksioni është i kufizuar nga lart
.
;
.
1.1.1. Le të kufizohet funksioni më sipër me numrin M: për .
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
në .
;
;
.
Le të transformojmë pabarazinë e fundit:
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Sepse, atëherë. Pastaj
"Përkufizimet e kufijve të njëanshëm të një funksioni në një pikë fundore").
Funksioni nuk është i kufizuar nga lart
1. Le të mos ulet funksioni në interval.
1.1. Le të jetë numri b i fundëm: .
1.1.2. Le të mos kufizohet funksioni më sipër.
.
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Kjo do të thotë se kufiri në të majtë në pikën b është (shih "Përkufizimet e kufijve të pafundëm të njëanshëm të një funksioni në një pikë fundore").
b hershme plus pafundësi
b - numri përfundimtar
Funksioni nuk është i kufizuar nga lart
1.2.1. Le të kufizohet funksioni më sipër me numrin M: për .
1.1.2. Le të mos kufizohet funksioni më sipër.
Meqenëse funksioni është i kufizuar më lart, ekziston një suprem i kufizuar
.
Sipas përcaktimit të kufirit të sipërm të saktë, kushtet e mëposhtme:
;
për çdo pozitiv ekziston një argument për të cilin
.
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj në. Ose
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Pra, kemi gjetur se për këdo ka një numër, kështu
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
"Përkufizimet e kufijve të njëanshëm në pafundësi").
"Përkufizimet e kufijve të njëanshëm të një funksioni në një pikë fundore").
Funksioni nuk është i kufizuar nga lart
1.2. Le të jetë numri b i barabartë me plus pafundësinë: .
1.2.2. Le të mos kufizohet funksioni më sipër.
1.1.2. Le të mos kufizohet funksioni më sipër.
Meqenëse funksioni nuk është i kufizuar më lart, atëherë për çdo numër M ekziston një argument për të cilin
.
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj në.
Pra, për çdo ka një numër, kështu
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Kjo do të thotë që kufiri në është i barabartë me (shih "Përkufizimet e kufijve të pafundëm të njëanshëm në pafundësi").
Funksioni nuk po rritet
Tani merrni parasysh rastin kur funksioni nuk rritet. Ju mund, si më sipër, të konsideroni secilin opsion veç e veç. Por ne do t'i mbulojmë ato menjëherë. Për këtë ne përdorim. Le të vërtetojmë se në këtë rast ka një kufi.
Merrni parasysh infimumin e fundëm të grupit të vlerave të funksionit:
.
Këtu B mund të jetë ose një numër i kufizuar ose një pikë në pafundësi. Sipas përkufizimit të një kufiri të saktë të poshtëm, plotësohen kushtet e mëposhtme:
;
për çdo fqinjësi të pikës B ka një argument për të cilin
.
Sipas kushteve të teoremës, . Kjo është arsyeja pse.
Meqenëse funksioni nuk rritet, atëherë kur . Që atëherë
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Ose
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Më pas, vërejmë se pabarazia përcakton lagjen e shpuar të majtë të pikës b.
Pra, kemi gjetur se për çdo lagje të pikës, ka një lagje të majtë të shpuar të pikës b e tillë që
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Kjo do të thotë që kufiri në të majtë në pikën b është:
(shih përkufizimin universal të kufirit të një funksioni sipas Cauchy).
Kufiri në pikën a
Tani do të tregojmë se ka një kufi në pikën a dhe do të gjejmë vlerën e tij.
Le të shqyrtojmë funksionin. Sipas kushteve të teoremës, funksioni është monoton për . Le të zëvendësojmë ndryshoren x me - x (ose të bëjmë një zëvendësim dhe më pas të zëvendësojmë ndryshoren t me x). Atëherë funksioni është monoton për . Shumëzimi i pabarazive me -1 dhe duke ndryshuar rendin e tyre arrijmë në përfundimin se funksioni është monoton për .
Në mënyrë të ngjashme është e lehtë të tregohet se nëse nuk zvogëlohet, atëherë nuk rritet. Pastaj, sipas asaj që u vërtetua më lart, ka një kufi
.
Nëse nuk rritet, nuk ulet. Në këtë rast ka një kufi
.
Tani mbetet të tregojmë se nëse ekziston një kufi i një funksioni në , atëherë ekziston një kufi i funksionit në , dhe këto kufij janë të barabartë:
.
Le të prezantojmë shënimin:
(1)
.
Le ta shprehim f në terma g:
.
Le të marrim një numër pozitiv arbitrar. Le të ketë një lagje epsilon të pikës A. Lagjja e epsilon përcaktohet si për vlerat e fundme ashtu edhe për ato të pafundme të A-së (shih "Lagjenia e një pike"). Meqenëse ekziston një kufi (1), atëherë, sipas përcaktimit të një kufiri, për cilindo ekziston i tillë që
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Le të jetë një numër i kufizuar. Le të shprehim lagjen e shpuar të majtë të pikës -a duke përdorur pabarazitë:
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Le të zëvendësojmë x me -x dhe të marrim parasysh se:
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Dy pabarazitë e fundit përcaktojnë lagjen e djathtë të shpuar të pikës a. Pastaj
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Le të jetë një numër i pafund, . Ne e përsërisim arsyetimin.
në ;
në ;
në ;
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Pra, ne zbuluam se për këdo ekziston një gjë e tillë
Meqenëse funksioni nuk zvogëlohet, atëherë kur . Pastaj
Do të thotë se
.
Teorema është e vërtetuar.
