Приближенные вычисления квадратного корня. Приближенное вычисление иррациональных чисел

Задача. Комната квадратной формы имеет площадь, равную 20 кв. м. Найти её длину и ширину.

Так как комната квадратная, то её длина х равна её ширине. По условию задачи мы должны иметь:

и нам требуется найти арифметический корень из числа 20.

Очевидно, что х не может быть целым числом, так как , а между двумя соседними целыми числами 4 и 5 не содержится ни одного целого числа.

Наша задача имеет вполне определённый практический смысл, и её можно решить приближённо с требуемой точностью.

Покажем, как это можно сделать.

Мы указали два соседних целых числа 4 и 5 такие, что 42 меньше, а 52 больше, чем 20.

Число 4 называется приближённым квадратным корнем из 20 с точностью до 1 с недостатком, число 5 - приближённым корнем из 20 с точностью до 1 с избытком.

Рассмотрим теперь десятичные дроби, заключающиеся между 4 и 5 и имеющие целое число десятых долей:

Будем последовательно возводить эти дроби в квадрат, пока не получим числа, большего 20.

Итак, мы получили:

Числа 4,4 и 4,5 называются приближёнными значениями квадратного корня из 20 с точностью до 0,1 с недостатком и с избытком (соответственно).

Если нам недостаточна полученная точность, то поступим так: будем выписывать десятичные дроби, заключённые между 4,4 и 4,5 и содержащие целое число сотых долей, а затем будем последовательно возводить эти дроби в квадрат, пока не получим числа, большего 20.

Числа 4,47 и 4,48 называются приближёнными значениями квадратного корня из 20 с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком.

Точно так же (если это нужно) можно получить приближённые значения с точностью до 0,001; это будут числа 4,472 и 4,473, так как , значит,

Итак, наша задача получила решение с точностью до трёх значащих цифр; такая точность вполне достаточна во многих практических измерениях. Можно считать, что

Дадим теперь общее определение приближённого корня.

Приближёнными значениями квадратного корня из данного числа с точностью до единицы называются два последовательных натуральных числа, из которых квадрат первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.

Первое из этих чисел называется приближённым значением корня с недостатком, второе - приближённым значением корня с избытком.

Записывают приближённые значения корня так:

Вместо слов «приближённое значение квадратного корня» часто говорят просто «приближённый квадратный корень».

Чтобы найти приближённый корень с точностью до 1 с недостатком, надо найти наибольшее натуральное число, квадрат которого меньше подкоренного числа. Это можно сделать или путём испытаний, или пользуясь таблицами квадратов натуральных чисел.

Прибавив 1 к приближённому корню с недостатком, получим приближённый корень с избытком.

Определение. Приближёнными квадратными корнями с недостатком и с избытком из числа с точностью до 0,1 называются такие два числа, отличающиеся друг от друга на 0,1, из которых квадрат одного меньше, а квадрат другого больше данного числа.

При решение задач, связанных с вычислениями, получаются числовые результаты, которые часто не являются точными, т.к. при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности.

Источниками погрешностей являются:

1) погрешности исходных данных;

2) погрешности округления промежуточных и окончательных результатов;

3) погрешности приближенного метода решения задачи.

При выполнении действий над приближенными числами надо:

1) зная точность исходных данных, уметь оценивать точность результата;

2) брать исходные данные с такой точностью, чтобы обеспечить заданную точность результата.

2.1 Погрешности приближенных чисел

Пусть число х является точным значением, а число а - приближенным значением некоторой величины.

Определение. Разность между числом x и его приближенным значением а называется погрешностью приближенного числа а: Δ = |х-а |.

Пусть х=10,5, а=10, тогда Δ=10,5-10=0,5.

Пусть х=9,5, а=10, тогда Δ=9,5-10=-0,5.

Определение. Абсолютная величина разности между числом x и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного числа а: Δа = |х-а|

Пусть х=10,5, а=10, тогда Δа =|10,5-10|=0,5.

Пусть х=9,5, а=10, тогда Δa=|9,5-10|=0,5.

Часто точное число х неизвестно. Тогда нельзя найти Δа = |х-а|, поэтому используют оценку абсолютной погрешности - предельную абсолютную погрешность Δ а ≥ Δа =x-а|. При этом число х заключено в границах:

а - Δ а  х  а + Δ а или кратко: х = а ± Δ а.

Читают: х равно а с точностью Δ а.

Для того, чтобы определить качество производимых вычислений, надо определить, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеряемой величины. Для этого используют относительную погрешность.

Определение. Относительной погрешностью δа приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δа к модулю числа х:

или
.

Оценкой относительной погрешности ба является предельная относительная погрешность:

Пример. Дано число х=0,4287 и его приближенное значение а=0,4264. Найти абсолютную и относительную погрешности числа а.

Решение. Вычислим абсолютную погрешность числа а:

Δа=|0,4287- 0,4264| = 0,0023.

Вычислим относительную погрешность числа а:

или 5,4%.

Замечания. 1. При записи погрешности принято оставлять 1-2 значащих цифры. Погрешности всегда округляют в сторону увеличения. При этом границы точного числа х расширяются.

2. Если число х неизвестно, то при нахождении относительной погрешности используют число а.

3. Относительную погрешность часто выражают в процентах, домножая ее на 100%.

2.2. Значащие и верные цифры приближенного числа

Для оценки точности приближенного числа а принято записывать его в виде десятичной дроби. Точность вычислений определяется не числом десятичных знаков (цифр после запятой), а числом верных значащих цифр результата.

Определение. Значащими цифрами числа а называются все его цифры, кроме нулей, записанных перед первой цифрой, отличной от нуля, и нули в конце записи, если они служат для сохранения разряда или точности числа.

Пример. Определить значащие цифры числа а.

а = 0,02701 => значащие цифры: 2,7,0,1.

а = 0,0270 => значащие цифры: 2,7,0.

а = 2700 => значащие цифры: 2,7,0,0.

Определение. Цифра α i приближенного числа а называется верной значащей цифрой в широком смысле (в строгом смысле), если предельная абсолютная погрешность числа а не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором записана цифра α i: Δ а 10 i (Δ а 0,5∙10 i).

Пример. Определить верные цифры приближенного числа а=0,7264, если абсолютная погрешность Δ а =0,0023.

Решение. Абсолютная погрешность Δ а =0,0023  0,005 = 0,5∙10 -2 . Следовательно, цифры 7 и 2 - верные в строгом смысле, цифры 6 и 4 – неверные (сомнительные). Так как Δ а  = 0,0023 < 0,01 = 10 -2 , то цифры 7 и 2 являются верными в широком смысле.

Замечания. 1. В математических таблицах все значащие цифры являются верными в строгом смысле.

2. В окончательном результате принято оставлять только верные цифры. Тогда предельная абсолютная погрешность числа а определяется по единице младшего разряда. Например, пусть а=127,38, тогда Δ а =0,01, если все цифры являются верными в строгом смысле, и Δ а = 0,5∙ 0,01 = 0,005, если все цифры являются верными в широком смысле.

Пример. Определить, какое равенство точнее 13/19=0,684 или
=7,21?

Решение. Обозначим а =0,684, в =7,21. Найдем абсолютные погрешности этих чисел. Для этого возьмем 13/19 и
с большим числом десятичных знаков: 13/39=0,68421...,
=7,2111...

Тогда Δ а =|0,68421...-0,684| < 0,00022, Δ в = |7,2111...-7,21| < 0,0012.

Найдем относительные погрешности:

или 0,033%.

или 0,017%.

Второе равенство более точное, так как
.

2.3. Округление чисел

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа как приближенные, так и точные, т. е. отбрасывать одну или несколько последних цифр. При округ­лении числа мы заменяем его приближенным числом с меньшим коли­чеством значащих цифр, в результате чего возникает погрешность ок­ругления. Чтобы эта погрешность была минимальной, нужно придер­живаться некоторых правил округления.

Правило I . Если первая слева из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается, т.е. увеличивается на единицу. Усиление производится и тогда, когда первая слева из от­брасываемых цифр равна 5, а за ней следуют отличные от нуля цифры.

Пример. Округляя до десятых долей число 73,473, получим 73,5. Послед­няя из оставшихся цифр усилена, так как 7 > 5.

Правило II . Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то последняя из оставшихся цифр не усиливается, т. е. остается без изменения.

Пример. Округляя до сотых долей число 73,473, получим 73,47.

Правило III . Если первая слева из отброшенных цифр равна 5 и за ней не следуют отличные от нуля цифры, то последняя остав­шаяся цифра усиливается, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная (правило четной цифры).

Пример. Округляя число 5,785 до сотых долей, получаем 5,78. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 8 - четная. Округляя число 5,775 до второго десятичного знака, имеем 5,78. Последняя сохраняемая цифра 7 увеличивается на единицу, поскольку она нечетная.

При применении правила III к округлению одного числа мы фак­тически не увеличиваем точность вычислений, однако при многочис­ленных округлениях избыточные числа встречаются примерно так же часто, как и недостаточные. Происходит взаимная компенсация погреш­ностей, результат оказывается более точным.

Таким образом, при применении выше рассмотренных правил ок­ругления абсолютная погрешность округления не превосходит полови­ны единицы разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Если точное число х округляется до n значащих цифр, то получаемое приближенное число а имеет абсолютную погрешность, равную погрешности округления. В этом случае прибли­женное число а имеет n верных значащих цифр в узком смысле.

Пример. Округляя число х=26,837 до трех значащих цифр, получим а =26,8, откуда Δ а = |х-а | = | 26,837-26,8 |=0,037 < 0,05, т. е. число а имеет три верные значащие цифры в узком смысле.

При округлении приближенного числа a получаем новое прибли­женное число а 1 .

Определение. Число Δ а1 = Δ а +Δ окр называется погрешностью округления.

Абсолютная погрешность числа a 1 складывается из абсолютной погрешности первоначального числа Δ а и погрешности округления Δ окр, т. е.

Δ а1 = Δ а +Δ окр.

Пример. Округлить сомнительные цифры числа х=34,124 ± 0,021. Определить абсолютную погрешность результата.

Решение. Приближенное число a=34,124 имеет три верные цифры в узком смыс­ле: 3, 4, 1, так как Δ а =0,021 < 0,05. Применяя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив десятые доли: а 1 = 34,1. Погрешность округления Δ окр =|34,124-34,1|=0,024. Тогда абсолютная погрешность числа а 1 равна Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,021+0,024 = 0,045 < 0,05.

Таким образом, все значащие цифры числа а 2 верные (в узком смысле).

Итак, х=34,1 ±0,045.

Однако при округлении приближенного числа а, имеющего n вер­ных значащих цифр (в узком смысле), до n значащих цифр может ока­заться, что округленное число а 1 будет иметь n верных значащих цифр в широком смысле.

Пример. Приближенное число a=15,3654 (± 0,0018) имеет четыре верные значащие цифры в узком смысле (1, 5, 3, 6), так как Δ а =0,0018 < 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а 1 = 15,37 и Δ а1 =Δ а +Δ окр =0,0018+|15,3654-15,37|=0,0064.

Очевидно, что 0,005 < 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 (± 0,0064) имеет четыре верные цифры в широком смысле.

Итак, х=15,37 ±0,0064.

Пример. Округлить сомнительные цифры числа а=26,7245 (± 0,0026), оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность ре­зультата.

Решение. По условию Δ а = 0,0026 < 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а 1 , сохранив сотые доли:

Полученная погрешность больше 0,005 (0,005 < 0,0071), поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до трех; а 2 = 26,7. Находим Δ а2 = =Δ а +Δ окр =0,0026+|26,7245-26,7|=0,0271< 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле.

Итак, х=26,7 ±0,0271 => х=26,7 ±0,03, округляя погрешность до двух знаков.

Пример. Округлить сомнительные цифры числа а=22,7314, оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность числа, если δ а = 0,2%.

Решение. Запишем δ а в виде десятичной дроби: δа=0,002 и опреде­лим абсолютную погрешность . Так какΔ а = =0,0455 < 0,05, то верными в этом числе будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а 1 = 22,73. Тогда Δ а1 = =Δ а +Δ окр =0,0455+|22,7314-22,73|=0,0769>0,05, поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до двух: а 2 =23. Находим Δ а2 = =Δ а +Δ окр =0,0455+|22,7314-23|=0,3141< 0,05. Следовательно, оставшиеся две цифры верны в узком смысле.

Итак, х=23 ±0,3141 => х=23 ±0,32.

2.3. Правила действий над приближенными числами

Правило 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел:

Δ а±в =Δ а + Δ в

Правило 2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей этих чисел:

δ ав = δ а +δ в.

Правило 3. Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных этих чисел: δ а/в = δ а +δ в.

Правило 4. Относительная погрешность степени приближенного числа а равна: δa n = nδ а.

Правило 5. Относительная погрешность корня из приближенного числа а равна:
.

Правило 6. При вычислениях, если не проводится строгий подсчет погрешностей, рекомендуется пользоваться правилами подсчета цифр. Эти правила указывают, как следует проводить округление результатов, чтобы обеспечить заданную точность результата и при этом не производить вычислений с лишними знаками.

Правила предполагают, что числа, над которыми производятся действия, содержат только верные цифры, и число действий невелико.

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в числе, имеющем наименьшее число десятичных знаков.

II. При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим числом значащих цифр.

III. При возведении приближенного числа в степень в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени.

IV. При извлечении корня из приближенного числа следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе.

V. В промежуточных результатах следует сохранять на 1-2 цифры больше, чем рекомендуют правилах I-IV. В окончательном результате "запасные цифры" отбрасываются с округлением числа.

VI. Если некоторые исходные данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при других действиях), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну "эапасную цифру".

VII. Для получения результата с N верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают N+1 цифру в результате.

Пример. Найдем s=2,35+11,8 без учета погрешностей. Применяя правило I, получим s=14,15. Результат округлим по числу 11,8 с наименьшим количеством десятичных знаков. Получим: s =14,2.

Решим задачу с учетом погрешностей. В числе s=14,15 надо оставить только верные цифры. Для этого найдем предельную абсолютную погрешность суммы s, используя правило 1. Учитывая, что все цифры в числах 2,35 и 11,8 являются верными, получим: Δ 14,15 =Δ 2,35 +Δ 11,8 =0,01+0,1=0,11 < 0,5. Последняя верная цифра в числе 14,15 находится в разряде единиц. Поэтому число s=14,15 надо округлить: s=14 и найти абсолютную погрешность округленного числа. Погрешность округления равна: |14,15-14|=0,15. Тогда абсолютная погрешность округленного числа Δ 14 =0,11+0,15=0,26 <0,5. Окончательный результат примет вид: s=14 ± 0,26.

Аналогично решаются задачи при выполнении других действий над приближенными числами.

Тип урока: комбинированный.

Просмотр содержимого документа
«Приближенные вычисления квадратного корня.»

8 класс

Дата:

Урок № 9.

Тема: Приближенные вычисления квадратного корня.

Цели: 1. Научить учащихся находить приближенные значения квадратных корней.

2. Развивать наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.

Воспитывать позитивное отношение к учебному труду

Тип урока: комбинированный.

Формы организации урока: индивидуальная, коллективная

Оборудование: проектная доска, карточки для рефлексии настроений, микрокалькулятор

Три пути ведут к знанию: путь размышления

Это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький.

Конфуций

Ход урока.

Организационный момент

Этап проверки домашнего задания

№ 60 – у доски выполняет 1 учащийся, на месте проверяет правильность выполнения задания другой ученик

Устная работа: проектируется на доску

а) Найди значение корня:

б) Имеет ли смысл выражение:

в) Найди число, арифметический квадратный корень которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6

Этап объяснения нового материала

Для того, чтобы вычислить приближенное значение квадратного корня, необходимо использовать микрокалькулятор. Для этого нужно ввести в калькулятор подкоренное выражение и нажать на клавишу со знаком радикала. Но не всегда под рукой имеется калькулятор, поэтому находить приближенное значение квадратного корня можно следующим образом:

Пусть надо найти значение .

Так как , то . Теперь среди чисел, расположенных на отрезке от 1 до 2 возьмем соседние числа 1,4 и 1,5, получим: , далее возьмем числа 1,41 и 1,42,эти числа удовлетворяют неравенству . Если продолжить данный процесс возведения в квадрат соседних чисел, то получим следующую систему неравенств:

Проецируется на доску.

Из этой системы, сравнивая цифры после запятой, получаем:

Приближенные значения квадратных корней можно брать по избытку и по недостатку, т.е. по недостатку с точностью до 0,0001 и по избытку.

Закрепление изученного материала.

Уровень «А»

0,2664 0,2 – по недостатку

№93 (используется калькулятор)

5. Валеологическая пауза: упражнения для глаз.

Уровень «В»

6. Историческая справка о необходимости нахождения значения квадратных корней

(Заранее предлагается желающему ученику подготовить сообщение на эту тему, используя интернет)

Предлагается формула для нахождения приближенного значения квадратного корня из иррационального числа:

Уровень «С» № 105

7. Рефлексия.

Итог урока.

Домашнее задание: № 102,

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:

А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22"37"29". Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04"76"59"83".

Б) Навесить на число радикал и написатьзнак равенства:

22"37"29"→=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

И производим вычисление так, как это уже написано.

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:

После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:

Это наибольшая цифра k такая, что число 8 k , т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k , не превосходит 637.

В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. = 473.

943 2829

В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

= 4,123…

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а 1 - первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа - точного квадрата, не превосходящего х) .