Liniowa definicja kąta dwuściennego. Kąty dwuścienne i wzór na ich obliczenie

Kąt dwuścienny. Kąt liniowy kąta dwuściennego. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które nie należą do tej samej płaszczyzny i mają wspólną granicę - linię prostą a. Półpłaszczyzny, które tworzą kąt dwuścienny, nazywane są jego ścianami, a wspólna granica tych półpłaszczyzn nazywa się krawędzią kąta dwuściennego. Kąt liniowy kąta dwuściennego to kąt, którego bokami są promienie, wzdłuż których ściany kąta dwuściennego przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego. Każdy kąt dwuścienny ma dowolną liczbę kątów liniowych: przez każdy punkt krawędzi można narysować płaszczyznę prostopadłą do tej krawędzi; promienie, wzdłuż których ta płaszczyzna przecina ściany kąta dwuściennego i tworzą kąty liniowe.

Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Udowodnijmy, że jeśli kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyznę podstawy ostrosłupa KABC i płaszczyzny jego ścian bocznych są sobie równe, to podstawa prostopadłej poprowadzonej z wierzchołka K jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

Dowód. Przede wszystkim konstruujemy kąty liniowe o równych kątach dwuściennych. Z definicji płaszczyzna kąta liniowego musi być prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Dlatego krawędź kąta dwuściennego musi być prostopadła do boków kąta liniowego. Jeżeli KO jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to możemy narysować OP prostopadle do AC, OR prostopadle do CB, OQ do prostopadłej AB, a następnie połączyć punkty P, Q, R z punktem K. W ten sposób skonstruujemy rzut ukośnych RK, QK, RK tak, aby krawędzie AC, CB, AB były prostopadłe do tych rzutów. W konsekwencji krawędzie te są również prostopadłe do nachylonych. A zatem płaszczyzny trójkątów ROK, QOK, ROK są prostopadłe do odpowiednich krawędzi kąta dwuściennego i tworzą te równe kąty liniowe, o których mowa w warunku. Trójkąty prostokątne ROK, QOK, ROK są równe (ponieważ mają wspólną nogę OK i kąty przeciwległe do tej nogi są równe). Dlatego LUB = LUB = OQ. Jeśli narysujemy okrąg o środku O i promieniu OP, to boki trójkąta ABC są prostopadłe do promieni OP, OR i OQ, a zatem są styczne do tego okręgu.

Prostopadłość płaszczyzny. Płaszczyzny alfa i beta nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt liniowy jednego z kątów dwuściennych utworzonych na ich przecięciu wynosi 90”. Znaki prostopadłości dwóch płaszczyzn Jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, to płaszczyzny te są prostopadłe.

Na rysunku przedstawiono prostokątny równoległościan. Jego podstawami są prostokąty ABCD i A1B1C1D1. A krawędzie boczne AA1 BB1, CC1, DD1 są prostopadłe do podstaw. Wynika z tego, że AA1 jest prostopadła do AB, czyli ściana boczna jest prostokątem. W ten sposób można uzasadnić właściwości prostopadłościanu: w prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi.

Twierdzenie Kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równa sumie kwadraty jego trzech wymiarów. Wróćmy ponownie do rysunku, I udowodnimy, że AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Ponieważ krawędź CC1 jest prostopadła do podstawy ABCD, to kąt AC1 jest prosty. Z trójkąta prostokątnego ACC1, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, otrzymujemy AC12=AC2+CC12. Ale AC jest przekątną prostokąta ABCD, więc AC2 = AB2+AD2. Również CC1 = AA1. Zatem AC12=AB2+AD2+AA12 Twierdzenie zostało udowodnione.

Cel lekcji: wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego.

Zadania:

Edukacyjny: rozważać zadania związane z zastosowaniem tych pojęć, kształtować konstruktywną umiejętność znajdowania kąta między płaszczyznami;

Rozwój: rozwój kreatywne myslenie studenci, samorozwój osobisty studentów, rozwój mowy uczniów;

Edukacyjny: edukacja kulturalna praca umysłowa, kultura komunikatywna, kultura refleksyjna.

Rodzaj lekcji: lekcja zdobywania nowej wiedzy

Metody nauczania: wyjaśniający i ilustrujący

Sprzęt: komputer, tablica interaktywna.

Literatura:

Geometria. Klasy 10-11: podręcznik. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [L. S. Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev i inni] - wyd. - M. : Edukacja, 2009. - 255 s.

Plan lekcji:

Moment organizacyjny (2 min)

Aktualizowanie wiedzy (5 min)

Nauka nowego materiału (12 min)

Konsolidacja badanego materiału (21 min)

Praca domowa (2 minuty)

Podsumowanie (3 minuty)

Podczas zajęć:

1. Moment organizacyjny.

Obejmuje powitanie przez prowadzącego zajęcia, przygotowanie sali do lekcji, sprawdzenie obecności nieobecnych.

2. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Nauczyciel: W ostatniej lekcji, którą napisałeś niezależna praca. Ogólnie praca została dobrze napisana. Teraz powtórzmy trochę. Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie?

Student: Kąt w płaszczyźnie to figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu.

Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?

Student: Kąt między dwiema przecinającymi się liniami w przestrzeni jest najmniejszym z kątów utworzonych przez promienie tych linii z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia.

Student: Kąt między przecinającymi się liniami to odpowiednio kąt między przecinającymi się liniami równoległymi do danych.

Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?

Student: Kąt między linią a płaszczyznąNazywa się dowolny kąt między linią prostą a jej rzutem na tę płaszczyznę.

3. Badanie nowego materiału.

Nauczyciel: W stereometrii wraz z takimi kątami rozważany jest inny rodzaj kątów - kąty dwuścienne. Pewnie już odgadliście, jaki jest temat dzisiejszej lekcji, więc otwórzcie zeszyty, zapiszcie dzisiejszą datę i temat lekcji.

Pisanie na tablicy iw zeszytach:

10.12.14.

Kąt dwuścienny.

Nauczyciel : Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego, należy przypomnieć, że każda prosta poprowadzona w danej płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny(Rys. 1a)

Nauczyciel : Wyobraźmy sobie, że zagięliśmy płaszczyznę wzdłuż linii prostej, tak że dwie półpłaszczyzny z granicą okazały się nie leżeć już w tej samej płaszczyźnie (ryc. 1, b). Wynikowa liczba to kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami. Kąt dwuścienny ma dwie ściany, stąd nazwa - kąt dwuścienny. Linia prosta - wspólna granica półpłaszczyzn - nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Zapisz definicję w zeszycie.

Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny.

Nauczyciel : W życiu codziennym często spotykamy przedmioty, które mają kształt kąta dwuściennego. Daj przykłady.

Student : Półotwarty folder.

Student : Ściana pokoju wraz z podłogą.

Student : dachy dwuspadowe Budynki.

Nauczyciel : Prawidłowy. A takich przykładów jest wiele.

Nauczyciel : Jak wiesz, kąty na płaszczyźnie są mierzone w stopniach. Pewnie masz pytanie, ale jak mierzy się kąty dwuścienne? Odbywa się to w następujący sposób.Zaznaczamy jakiś punkt na krawędzi kąta dwuściennego i na każdej ścianie od tego punktu rysujemy promień prostopadły do ​​krawędzi. Kąt utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego. Wykonaj rysunek w zeszytach.

Pisanie na tablicy iw zeszytach.

O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ A, SABD- kąt dwuścienny,∠ AOBjest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Nauczyciel : Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe. Zrób sobie coś takiego.

Nauczyciel : Udowodnijmy to. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB iPQR. Promienie OA iQPleżą na tej samej twarzy i są prostopadłeOK, co oznacza, że ​​są wyrównane. Podobnie promienie OB iQRwspółreżyserowany. Oznacza,∠ AOB= ∠ PQR(jak kąty o bokach współkierunkowych).

Nauczyciel : Cóż, teraz odpowiedź na nasze pytanie brzmi: jak mierzony jest kąt dwuścienny.Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego. Przerysuj rysunki kąta dwuściennego ostrego, prostego i rozwartego z podręcznika na stronie 48.

4. Konsolidacja badanego materiału.

Nauczyciel : Wykonaj rysunki do zadań.

№ 1 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, AC = BC, AB leży na płaszczyźnieα, płyta CD ⊥ α, C∉ A. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoCABD.

Student : Rozwiązanie:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - pożądany.

№ 2. Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leży płaskoα, AO⊥ α, A∈ α.

Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoAVSO.

Student : Rozwiązanie:AB ⊥ pne, JSC⊥ Słońce oznacza system operacyjny⊥ Słońce.∠ ACO - pożądany.

№ 3 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB leży w płaszczyźnieα, płyta CD⊥ α, C∉ A. Zbudowaćliniowy kąt dwuściennyDABC.

Student : Rozwiązanie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB oznacza∠ DKC - pożądany.

№ 4 . Dany:DABC- czworościan,DO⊥ ABC.Konstrukcja kąta liniowego kąta dwuściennegoABCD.

Student : Rozwiązanie:DM ⊥ słońce,DO ⊥ BC oznacza OM⊥ słońce;∠ OMD - pożądany.

5. Podsumowanie.

Nauczyciel: Czego nowego nauczyłeś się na dzisiejszej lekcji?

Studenci : To, co nazywa się kątem dwuściennym, kątem liniowym, jak mierzony jest kąt dwuścienny.

Nauczyciel : Co powtórzyłeś?

Studenci : Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie; kąt między liniami.

6. Praca domowa.

Zapisywanie na tablicy iw dzienniczkach: poz. 22, nr 167, nr 170.

Pojęcie kąta dwuściennego

Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego, najpierw przypomnijmy sobie jeden z aksjomatów stereometrii.

Dowolną płaszczyznę można podzielić na dwie półpłaszczyzny prostej $a$ leżącej na tej płaszczyźnie. W tym przypadku punkty leżące na tej samej półpłaszczyźnie leżą po tej samej stronie prostej $a$, a punkty leżące na różnych półpłaszczyznach leżą po tej samej stronie. różne strony od prostej $a$ (rys. 1).

Obrazek 1.

Zasada konstruowania kąta dwuściennego opiera się na tym aksjomacie.

Definicja 1

Postać nazywa się kąt dwuścienny jeśli składa się z prostej i dwóch półpłaszczyzn tej prostej, które nie należą do tej samej płaszczyzny.

W tym przypadku nazywane są półpłaszczyzny kąta dwuściennego twarze, a prosta oddzielająca półpłaszczyzny - krawędź dwuścienna(Rys. 1).

Rysunek 2. Kąt dwuścienny

Stopniowa miara kąta dwuściennego

Definicja 2

Wybieramy dowolny punkt $A$ na krawędzi. Kąt między dwiema liniami leżącymi w różnych półpłaszczyznach, prostopadłymi do krawędzi i przecinającymi się w punkcie $A$, nazywa się kąt liniowy kąt dwuścienny(Rys. 3).

Rysunek 3

Oczywiście każdy kąt dwuścienny ma nieskończoną liczbę kątów liniowych.

Twierdzenie 1

Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.

Dowód.

Rozważmy dwa kąty liniowe $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (rys. 4).

Rysunek 4

Ponieważ promienie $OA$ i $(OA)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\alpha $ i są prostopadłe do jednej prostej, są współkierunkowe. Ponieważ promienie $OB$ i $(OB)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\beta $ i są prostopadłe do jednej prostej, są współkierunkowe. Stąd

\[\kąt AOB=\kąt A_1(OB)_1\]

Ze względu na dowolność wyboru kątów liniowych. Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja 3

Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą kąta liniowego kąta dwuściennego.

Przykłady zadań

Przykład 1

Dajmy sobie dane dwie nieprostopadłe płaszczyzny $\alpha $ i $\beta $, które przecinają się wzdłuż prostej $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\beta $. $AB$ jest prostopadłą do prostej $m$. $AC$ jest prostopadła do płaszczyzny $\alpha $ (punkt $C$ należy do $\alpha $). Udowodnij, że kąt $ABC$ jest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Dowód.

Narysujmy obraz zgodnie ze stanem problemu (ryc. 5).

Rysunek 5

Aby to udowodnić, przypomnijmy sobie następujące twierdzenie

Twierdzenie 2: Prosta przechodząca przez podstawę pochylonej, prostopadła do niej, jest prostopadła do jej rzutu.

Ponieważ $AC$ jest prostopadła do płaszczyzny $\alpha $, to punkt $C$ jest rzutem punktu $A$ na płaszczyznę $\alpha $. Stąd $BC$ jest rzutem ukośnego $AB$. Zgodnie z Twierdzeniem 2 $BC$ jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.

Wtedy kąt $ABC$ spełnia wszystkie wymagania dla określenia kąta liniowego kąta dwuściennego.

Przykład 2

Kąt dwuścienny wynosi $30^\circ$. Na jednej ze ścian leży punkt $A$, który jest oddalony od drugiej ściany o 4$ cm. Znajdź odległość od punktu $A$ do krawędzi kąta dwuściennego.

Rozwiązanie.

Spójrzmy na rysunek 5.

Z założenia mamy $AC=4\ cm$.

Z definicji miary stopnia kąta dwuściennego wynika, że ​​kąt $ABC$ jest równy $30^\circ$.

Trójkąt $ABC$ to trójkąt prostokątny. Z definicji sinusa kąta ostrego

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Ta lekcja jest dla samokształcenie temat „Kąt dwuścienny”. Podczas tej lekcji uczniowie zapoznają się z jednym z najważniejszych kształtów geometrycznych, kątem dwuściennym. Również na lekcji musimy nauczyć się określać kąt liniowy rozpatrywanego figura geometryczna i jaki jest kąt dwuścienny u podstawy figury.

Powtórzmy, czym jest kąt na płaszczyźnie i jak się go mierzy.

Ryż. 1. Samolot

Rozważ płaszczyznę α (ryc. 1). Z punktu O wychodzą dwa promienie OW I OO.

Definicja. Figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z tego samego punktu nazywa się kątem.

Kąt mierzony jest w stopniach i radianach.

Przypomnijmy sobie, czym jest radian.

Ryż. 2. Radian

Jeżeli mamy kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi, to taki kąt środkowy nazywamy kątem 1 radiana. , ∠ AOB= 1 rad (ryc. 2).

Zależność między radianami a stopniami.

zadowolony.

Rozumiemy, szczęśliwy. (). Następnie,

Definicja. kąt dwuścienny nazywamy figurą utworzoną przez linię prostą A i dwie półpłaszczyzny ze wspólną granicą A nie należących do tej samej płaszczyzny.

Ryż. 3. Półsamoloty

Rozważmy dwie półpłaszczyzny α i β (rys. 3). Ich wspólną granicą jest A. Ta figura nazywa się kątem dwuściennym.

Terminologia

Półpłaszczyzny α i β są ścianami kąta dwuściennego.

Prosty A jest krawędzią kąta dwuściennego.

Na wspólnej krawędzi A kąt dwuścienny wybierz dowolny punkt O(Rys. 4). W półpłaszczyźnie α od punktu O przywrócić pion OO do linii prostej A. Z tego samego punktu O w drugiej półpłaszczyźnie β konstruujemy prostopadłą OW do żebra A. Mam kąt AOB, który nazywa się kątem liniowym kąta dwuściennego.

Ryż. 4. Pomiar kąta dwuściennego

Udowodnijmy równość wszystkich kątów liniowych dla danego kąta dwuściennego.

Niech mamy kąt dwuścienny (ryc. 5). Wybierz punkt O i punkt około 1 na linii prostej A. Skonstruujmy kąt liniowy odpowiadający punktowi O, czyli rysujemy dwie prostopadłe OO I OW w płaszczyznach odpowiednio α i β do krawędzi A. Otrzymujemy kąt AOB jest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Ryż. 5. Ilustracja dowodu

Z punktu około 1 narysuj dwie prostopadłe OA 1 I OB 1 do żebra A odpowiednio w płaszczyznach α i β i otrzymujemy drugi kąt liniowy A 1 O 1 B 1.

Promienie O 1 A 1 I OO współkierunkowe, ponieważ leżą w tej samej półpłaszczyźnie i są do siebie równoległe jak dwie prostopadłe do tej samej prostej A.

Podobnie promienie Około 1 w 1 I OW wyrównany, tzn ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 jako kąty o bokach współkierunkowych, co należało udowodnić.

Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.

Udowodnić: A ⊥ AOW.

Ryż. 6. Ilustracja dowodu

Dowód:

OO ⊥ A według konstrukcji, OW ⊥ A według konstrukcji (ryc. 6).

Otrzymujemy tę linię A prostopadle do dwóch przecinających się linii OO I OW wyjść z samolotu AOB, co oznacza prosto A prostopadle do płaszczyzny OAB, co należało udowodnić.

Kąt dwuścienny mierzy się jego kątem liniowym. Oznacza to, że kąt liniowy zawiera tyle stopni radianów, ile stopni radianów zawiera jego kąt dwuścienny. Zgodnie z tym wyróżnia się następujące typy kątów dwuściennych.

Ostry (ryc. 6)

Kąt dwuścienny jest ostry, jeśli jego kąt liniowy jest ostry, tj. .

Prosty (Rys. 7)

Kąt dwuścienny jest właściwy, gdy jego kąt liniowy wynosi 90 ° - Rozwarty (ryc. 8)

Kąt dwuścienny jest rozwarty, gdy jego kąt liniowy jest rozwarty, tj. .

Ryż. 7. Kąt prosty

Ryż. 8. Kąt rozwarty

Przykłady konstruowania kątów liniowych na figurach rzeczywistych

ABCD- czworościan.

1. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB.

Ryż. 9. Ilustracja problemu

Budynek:

Mówimy o kącie dwuściennym, który jest utworzony przez krawędź AB i twarze ABD I ABC(Rys. 9).

Narysujmy linię prostą DH prostopadle do płaszczyzny ABC, H jest podstawą prostopadłej. Narysujmy ukośną DM prostopadle do linii AB,M- pochylona podstawa. Z twierdzenia o trzech prostopadłych dochodzimy do wniosku, że rzut ukośnego NM również prostopadle do linii AB.

To znaczy z punktu widzenia M przywrócono dwie prostopadłe do krawędzi AB z dwóch stron ABD I ABC. Otrzymaliśmy kąt liniowy DMN.

Zauważ, że AB, krawędź kąta dwuściennego, prostopadła do płaszczyzny kąta liniowego, tj. płaszczyzny DMN. Problem rozwiązany.

Komentarz. Kąt dwuścienny można oznaczyć w następujący sposób: DABC, Gdzie

AB- krawędź i punkty D I Z leżeć po różnych stronach rogu.

2. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AC.

Narysujmy prostopadłą DH do samolotu ABC i ukośne DN prostopadle do linii JAK. Z twierdzenia o trzech prostopadłych otrzymujemy to HN- projekcja ukośna DN do samolotu ABC, również prostopadle do linii JAK.DNH- kąt liniowy kąta dwuściennego z żebrem AC.

w czworościanie DABC wszystkie krawędzie są równe. Kropka M- środek żebra AC. Udowodnij, że kąt DMV- kąt liniowy kąta dwuściennego TYD, tj. kąt dwuścienny z krawędzią AC. Jedna z jego krawędzi jest ACD, drugi - DIA(Rys. 10).

Ryż. 10. Ilustracja problemu

Rozwiązanie:

Trójkąt ADC- równoboczny, DM jest medianą, a więc wysokością. Oznacza, DM ⊥ JAK. Podobnie trójkąt AWC- równoboczny, WM jest medianą, a więc wysokością. Oznacza, maszyna wirtualna ⊥ JAK.

Więc od sedna Mżeberka AC kąt dwuścienny przywrócił dwie prostopadłe DM I maszyna wirtualna do tej krawędzi w ścianach kąta dwuściennego.

Więc ∠ DMW jest kątem liniowym kąta dwuściennego, który miał zostać udowodniony.

Więc zdefiniowaliśmy kąt dwuścienny, kąt liniowy kąta dwuściennego.

W następnej lekcji rozważymy prostopadłość linii i płaszczyzn, następnie dowiemy się, jaki jest kąt dwuścienny u podstawy figur.

Referencje na temat „Kąt dwuścienny”, „Kąt dwuścienny u podstawy figur geometrycznych”

1. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla szkół ogólnokształcących / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
2. Geometria. Klasa 10: podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębionym i profilowym studium matematyki / E. V. Potoskuev, LI Zvalich. - 6. edycja, stereotyp. - M.: Drop, 2008. - 233 s.: chory.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Praca domowa na temat „Kąt dwuścienny”, określająca kąt dwuścienny u podstawy figur

Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych (poziom podstawowy i profilowy) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i uzupełnione - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: il.

Zadania 2, 3 s. 67.

Jaki jest kąt liniowy kąta dwuściennego? Jak to zbudować?

ABCD- czworościan. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią:

A) WD B) DZ.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - sześcian Wykreśl kąt liniowy kąta dwuściennego 1 ABC z żebrem AB. Wyznacz jego miarę stopnia.

Tył do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego i jego kąta liniowego;

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Poinformuj temat lekcji, sformułuj cele lekcji.

II. Aktualizacja wiedzy uczniów (slajdy 2, 3).

1. Przygotowanie do studiowania nowego materiału.

Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie?

Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?

Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?

Sformułuj twierdzenie o trzech prostopadłych

III. Nauka nowego materiału.

• Pojęcie kąta dwuściennego.

Figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny przechodzące przez linię MN nazywana jest kątem dwuściennym (slajd 4).

Półpłaszczyzny to ściany, prosta MN to krawędź kąta dwuściennego.

Jakie przedmioty w życiu codziennym mają kształt kąta dwuściennego? (Slajd 5)

• Kąt między płaszczyznami ACH i CHD jest kątem dwuściennym ACND, gdzie CH jest krawędzią. Punkty A i D leżą na ścianach tego kąta. Kąt AFD jest kątem liniowym kąta dwuściennego ACHD (slajd 6).

• Algorytm konstruowania kąta liniowego (slajd 7).

1 sposób. Na krawędzi weź dowolny punkt O i narysuj prostopadłe do tego punktu (PO DE, KO DE) i uzyskaj kąt ROCK - liniowy.

2 sposoby. Weź punkt K na jednej półpłaszczyźnie i upuść z niego dwie prostopadłe do drugiej półpłaszczyzny i krawędzi (KO i KR), a następnie zgodnie z odwrotnym twierdzeniem TTP PODE

• Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe (slajd 8). Dowód: promienie OA i O 1 A 1 są współkierowane, promienie OB i O 1 B 1 są również współkierowane, kąty BOA i B 1 O 1 A 1 są równe kątom o bokach współkierowanych.

• Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego (slajd 9).

IV. Konsolidacja badanego materiału.

• Rozwiązywanie problemów (ustnie według gotowych rysunków). (Slajdy 10-12)

1. RAVS - piramida; kąt ACB ma miarę 90°, prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC. Udowodnij, że kąt PCB jest kątem liniowym kąta dwuściennego z

2. RAVS - piramida; AB \u003d BC, D jest środkiem odcinka AC, prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC. Udowodnij, że kąt PDB jest kątem liniowym kąta dwuściennego o krawędzi AC.

3. PBCD - piramida; prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC, prosta BC jest prostopadła do DC. Wykaż, że kąt PKB jest kątem liniowym kąta dwuściennego o krawędzi CD.

• Zadania do konstruowania kąta liniowego (slajdy 13-14).

1. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi AC, jeżeli w ostrosłupie RABC ściana ABC jest trójkątem foremnym, O jest punktem przecięcia środkowych, prosta RO jest prostopadła do płaszczyzny ABC

2. Dany jest romb ABCD Prosta PC jest prostopadła do płaszczyzny ABCD.

Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi BD i kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi AD.

• Zadanie obliczeniowe. (Slajd 15)

W równoległoboku ABCD kąt ADC wynosi 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, prosta PC jest prostopadła do płaszczyzny ABC, PC = 9 cm.

Znajdź wartość kąta dwuściennego z krawędzią AD i polem równoległoboku.

V. Praca domowa (slajd 16).

S. 22, nr 168, 171.

Używane książki:

1. Geometria 10-11 LS Atanasyan.
2. System zadań na temat „Kąty dwuścienne” M.V. Sevostyanova (Murmańsk), czasopismo Matematyka w szkole 198 ...