Jak określić kąty przyległe i pionowe. Jakie kąty nazywamy sąsiadującymi? Jaka jest suma dwóch sąsiednich kątów?

W trakcie studiowania kursu geometrii pojęcia „kąta”, „ Pionowe kąty”, “sąsiednie kąty” spotykane są dość często. Zrozumienie każdego z terminów pomoże Ci zrozumieć problem i poprawnie go rozwiązać. Co to są kąty przyległe i jak je wyznaczać?

Kąty sąsiadujące - definicja pojęcia

Terminem „kąty sąsiadujące” charakteryzuje się dwa kąty utworzone przez wspólną półprostą i dwie dodatkowe półproste leżące na tej samej prostej. Wszystkie trzy promienie wychodzą z tego samego punktu. Wspólna półprosta jest jednocześnie bokiem jednego i drugiego kąta.

Kąty przyległe - podstawowe właściwości

1. Na podstawie wzoru na kąty sąsiednie łatwo zauważyć, że suma takich kątów tworzy zawsze kąt odwrócony, którego miara stopnia wynosi 180°:

• Jeśli μ i η są sąsiadującymi kątami, to μ + η = 180°.
• Znając wielkość jednego z sąsiednich kątów (na przykład μ), możesz łatwo obliczyć miarę drugiego kąta (η) za pomocą wyrażenia η = 180° – μ.

2. Ta właściwość kątów pozwala to zrobić następne wyjście: Kąt sąsiadujący z kątem prostym będzie również kątem prostym.

3. Rozważanie funkcje trygonometryczne(sin, cos, tg, ctg), bazując na wzorach redukcyjnych dla sąsiednich kątów μ i η, prawdziwe jest stwierdzenie:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Kąty sąsiednie - przykłady

Przykład 1

Dany trójkąt o wierzchołkach M, P, Q – ΔMPQ. Znajdź kąty sąsiadujące z kątami ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Przedłużmy każdy bok trójkąta linią prostą.
• Wiedząc, że sąsiednie kąty uzupełniają się aż do kąta odwróconego, dowiadujemy się, że:

sąsiadujący z kątem ∠QMP to ∠LMP,

sąsiadujący z kątem ∠MPQ wynosi ∠SPQ,

sąsiadujący z kątem ∠PQM wynosi ∠HQP.

Przykład 2

Wartość jednego sąsiedniego kąta wynosi 35°. Jaka jest miara stopnia drugiego sąsiedniego kąta?

• Dwa sąsiednie kąty sumują się do 180°.
• Jeżeli ∠μ = 35°, to sąsiadujące z nim ∠η = 180° – 35° = 145°.

Przykład 3

Określ wartości sąsiednich kątów, jeśli wiadomo, że miara stopnia jednego z nich jest trzykrotnie większa niż miara stopnia drugiego kąta.

• Oznaczmy wielkość jednego (mniejszego) kąta przez – ∠μ = λ.
• Wtedy, zgodnie z warunkami zadania, wartość drugiego kąta będzie równa ∠η = 3λ.
• Z podstawowej właściwości sąsiednich kątów wynika, że ​​μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Oznacza to, że pierwszy kąt wynosi ∠μ = λ = 45°, a drugi kąt wynosi ∠η = 3λ = 135°.

Umiejętność posługiwania się terminologią, a także znajomość podstawowych właściwości sąsiednich kątów, pomoże Ci rozwiązać wiele problemów geometrycznych.

Z tego są. Jeżeli dwa kąty są sobie równe i są sobie równe, to są to kąty proste. Jeśli jeden z sąsiednich kątów jest prosty, to znaczy 90 stopni, to drugi kąt również jest prosty. Jeśli jeden z sąsiednich kątów jest ostry, drugi będzie rozwarty. Podobnie, jeśli jeden z kątów jest rozwarty, wówczas drugi będzie odpowiednio ostry.

Ostry róg- to taki, którego miara stopnia jest mniejsza niż 90 stopni, ale większa niż 0. Kąt rozwarty ma miarę większą niż 90 stopni, ale mniejszą niż 180.

Inną właściwość kątów sąsiednich formułuje się w następujący sposób: jeśli dwa kąty są równe, to kąty do nich przylegające również są równe. Oznacza to, że jeśli istnieją dwa kąty, dla których miara stopnia jest taka sama (na przykład wynosi 50 stopni) i jednocześnie jeden z nich ma kąt przyległy, to wartości tych sąsiednich kątów również się pokrywają ( w przykładzie ich miara stopnia będzie równa 130 stopni).

Źródła:

• Duży Słownik encyklopedyczny- Sąsiednie rogi
• kąt 180 stopni

Słowo „” ma różne interpretacje. W geometrii kąt jest częścią płaszczyzny ograniczonej dwoma promieniami wychodzącymi z jednego punktu - wierzchołka. Gdy mówimy o o kątach prostych, ostrych, rozłożonych, to mamy na myśli kąty geometryczne.

Jak wszystkie figury geometryczne, kąty można porównywać. Równość kątów określa się za pomocą ruchu. Łatwo jest podzielić kąt na dwie równe części. Podział na trzy części jest nieco trudniejszy, ale nadal można to zrobić za pomocą linijki i kompasu. Nawiasem mówiąc, to zadanie wydawało się dość trudne. Opisanie, że jeden kąt jest większy lub mniejszy od drugiego, jest geometrycznie proste.

Jednostką miary kątów jest 1/180

Jak znaleźć sąsiedni kąt?

Matematyka jest najstarszą nauką ścisłą, której nauka jest obowiązkowa w szkołach, na uczelniach, w instytutach i na uniwersytetach. Jednak podstawowa wiedza jest zawsze przekazywana w szkole. Czasem dziecko dostaje dość skomplikowane zadania, ale rodzice nie są w stanie mu pomóc, bo po prostu zapomniało pewnych rzeczy z matematyki. Na przykład, jak znaleźć sąsiedni kąt na podstawie wielkości głównego kąta itp. Problem jest prosty, ale może powodować trudności w rozwiązaniu z powodu niewiedzy, które kąty nazywamy sąsiadującymi i jak je znaleźć.

Przyjrzyjmy się bliżej definicji i właściwościom sąsiednich kątów, a także sposobom ich obliczenia na podstawie danych zawartych w zadaniu.

Definicja i właściwości kątów sąsiednich

Dwa promienie wychodzące z jednego punktu tworzą figurę zwaną „kątem płaskim”. W tym przypadku punkt ten nazywany jest wierzchołkiem kąta, a promienie są jego bokami. Jeśli będziesz kontynuować jeden z promieni poza punktem początkowym w linii prostej, powstanie kolejny kąt, który nazywa się sąsiednim. Każdy kąt w tym przypadku ma dwa sąsiednie kąty, ponieważ boki kąta są równoważne. Oznacza to, że zawsze istnieje sąsiadujący kąt 180 stopni.

Główne właściwości sąsiednich kątów obejmują

• Sąsiednie kąty mają wspólny wierzchołek i jeden bok;
• Suma sąsiednich kątów jest zawsze równa 180 stopni lub Pi, jeśli obliczenia przeprowadza się w radianach;
• Sinusy sąsiednich kątów są zawsze równe;
• Cosinusy i styczne do sąsiednich kątów są równe, ale mają przeciwne znaki.

Jak znaleźć sąsiednie kąty

Zwykle podaje się trzy odmiany problemów, aby znaleźć wielkość sąsiednich kątów

• Podawana jest wartość kąta głównego;
• Podano stosunek kąta głównego i sąsiedniego;
• Podawana jest wartość kąta pionowego.

Każda wersja problemu ma swoje własne rozwiązanie. Przyjrzyjmy się im.

Podawana jest wartość kąta głównego

Jeśli zadanie określa wartość kąta głównego, to znalezienie kąta sąsiedniego jest bardzo proste. Aby to zrobić, wystarczy odjąć wartość kąta głównego od 180 stopni, a otrzymasz wartość kąta sąsiedniego. Rozwiązanie to opiera się na własności kąta przyległego - suma kątów przyległych jest zawsze równa 180 stopni.

Jeżeli wartość kąta głównego podana jest w radianach, a zadanie wymaga znalezienia kąta przyległego w radianach, to od liczby Pi należy odjąć wartość kąta głównego, gdyż wartość kąta pełnego rozłożonego wynosi 180 stopni jest równa liczbie Pi.

Podano stosunek kąta głównego do kąta przyległego

Problem może dać stosunek kąta głównego i sąsiednich zamiast stopni i radianów kąta głównego. W tym przypadku rozwiązanie będzie wyglądać jak równanie proporcji:

1. Proporcję kąta głównego oznaczamy jako zmienną „Y”.
2. Udział związany z sąsiednim kątem jest oznaczony jako zmienna „X”.
3. Liczba stopni przypadająca na każdą proporcję będzie oznaczona na przykład przez „a”.
4. Ogólna formuła będzie wyglądać następująco - a*X+a*Y=180 lub a*(X+Y)=180.
5. Wspólny czynnik równania „a” znajdujemy ze wzoru a=180/(X+Y).
6. Następnie mnożymy wynikową wartość wspólnego współczynnika „a” przez ułamek kąta, który należy określić.

W ten sposób możemy znaleźć wartość sąsiedniego kąta w stopniach. Jeśli jednak chcesz znaleźć wartość w radianach, wystarczy po prostu przekonwertować stopnie na radiany. Aby to zrobić, pomnóż kąt w stopniach przez Pi i podziel wszystko przez 180 stopni. Wynikowa wartość będzie wyrażona w radianach.

Podawana jest wartość kąta pionowego

Jeżeli w zadaniu nie jest podana wartość kąta głównego, ale podana jest wartość kąta pionowego, to kąt przyległy można obliczyć korzystając z tego samego wzoru, co w akapicie pierwszym, gdzie podana jest wartość kąta głównego.

Kąt pionowy to kąt, który ma swój początek w tym samym punkcie co główny, ale jest skierowany dokładnie w przeciwnym kierunku. Tak się okazuje lustrzane odbicie. Oznacza to, że kąt pionowy jest równy wielkości głównemu. Z kolei kąt przyległy kąta pionowego jest równy kątowi przyległemu kąta głównego. Dzięki temu można obliczyć kąt przyległy kąta głównego. Aby to zrobić, po prostu odejmij wartość pionową od 180 stopni i uzyskaj wartość sąsiedniego kąta kąta głównego w stopniach.

Jeśli wartość jest podana w radianach, to od liczby Pi należy odjąć wartość kąta pionowego, gdyż wartość pełnego kąta rozłożonego o 180 stopni jest równa liczbie Pi.

Możesz także przeczytać nasze przydatne artykuły I .

Pytanie 1. Jakie kąty nazywamy sąsiadującymi?
Odpowiedź. Dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, jeśli mają jedną stronę wspólną, a pozostałe strony tych kątów są dopełniającymi się półprostymi.
Na rysunku 31 kąty (a 1 b) i (a 2 b) sąsiadują ze sobą. Mają wspólny bok b, a boki a 1 i a 2 są dodatkowymi półprostami.

Pytanie 2. Udowodnić, że suma kątów przyległych wynosi 180°.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.1. Suma kątów przyległych wynosi 180°.
Dowód. Niech kąt (a 1 b) i kąt (a 2 b) będą dane przyległymi kątami (patrz ryc. 31). Promień b przechodzi pomiędzy bokami a 1 i a 2 kąta prostego. Zatem suma kątów (a 1 b) i (a 2 b) jest równa kątowi rozłożonemu, czyli 180°. co było do okazania

Pytanie 3. Udowodnić, że jeśli dwa kąty są równe, to kąty sąsiednie też są równe.
Odpowiedź.

Z twierdzenia 2.1 Wynika z tego, że jeśli dwa kąty są równe, to sąsiednie kąty są równe.
Powiedzmy, że kąty (a 1 b) i (c 1 d) są równe. Musimy udowodnić, że kąty (a 2 b) i (c 2 d) są również równe.
Suma kątów przyległych wynosi 180°. Wynika z tego, że a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + do 2 d = 180°. Zatem a 2 b = 180° - a 1 b i c 2 d = 180° - c 1 d. Ponieważ kąty (a 1 b) i (c 1 d) są równe, otrzymujemy, że a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Z własności przechodniości znaku równości wynika, że ​​a 2 b = c 2 d. co było do okazania

Pytanie 4. Jaki kąt nazywa się prostym (ostrym, rozwartym)?
Odpowiedź. Kąt równy 90° nazywa się kątem prostym.
Kąt mniejszy niż 90° nazywany jest kątem ostrym.
Kąt większy niż 90° i mniejszy niż 180° nazywa się rozwartym.

Pytanie 5. Udowodnić, że kąt sąsiadujący z kątem prostym jest kątem prostym.
Odpowiedź. Z twierdzenia o sumie kątów sąsiednich wynika, że ​​kąt przylegający do kąta prostego jest kątem prostym: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pytanie 6. Jakie kąty nazywamy pionowymi?
Odpowiedź. Dwa kąty nazywamy pionowymi, jeśli boki jednego kąta są dopełniającymi się półprostymi boków drugiego.

Pytanie 7. Udowodnić, że kąty pionowe są równe.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.2. Kąty pionowe są równe.
Dowód. Niech (a 1 b 1) i (a 2 b 2) będą danymi kątami pionowymi (ryc. 34). Kąt (a 1 b 2) sąsiaduje z kątem (a 1 b 1) i z kątem (a 2 b 2). Stąd, korzystając z twierdzenia o sumie sąsiednich kątów, wnioskujemy, że każdy z kątów (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dopełnia kąt (a 1 b 2) do 180°, tj. kąty (a 1 b 1) i (a 2 b 2) są równe. co było do okazania

Pytanie 8. Udowodnić, że jeśli przy przecięciu dwóch prostych jeden z kątów jest prosty, to pozostałe trzy kąty również są proste.
Odpowiedź. Załóżmy, że linie AB i CD przecinają się w punkcie O. Załóżmy, że kąt AOD wynosi 90°. Ponieważ suma sąsiednich kątów wynosi 180°, otrzymujemy, że AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kąt COB jest pionowy do kąta AOD, więc są one równe. Oznacza to, że kąt COB = 90°. Kąt COA jest pionowy do kąta BOD, więc są one równe. Oznacza to, że kąt BOD = 90°. Zatem wszystkie kąty są równe 90°, to znaczy wszystkie są kątami prostymi. co było do okazania

Pytanie 9. Które proste nazywamy prostopadłymi? Jaki znak służy do oznaczania prostopadłości prostych?
Odpowiedź. Dwie proste nazywamy prostopadłymi, jeśli przecinają się pod kątem prostym.
Prostopadłość linii jest oznaczona znakiem \(\perp\). Zapis \(a\perp b\) brzmi: „Linia a jest prostopadła do linii b”.

Pytanie 10. Udowodnić, że przez dowolny punkt prostej można poprowadzić do niego prostą prostopadłą i tylko jedną.
Odpowiedź. Twierdzenie 2.3. Przez każdą linię możesz narysować linię prostopadłą do niej i tylko jedną.
Dowód. Niech a będzie daną linią, a A danym punktem na niej. Oznaczmy przez 1 jedną z półprostych prostej a z punktem początkowym A (ryc. 38). Odejmijmy kąt (a 1 b 1) równy 90° od półprostej a 1. Wtedy prosta zawierająca promień b 1 będzie prostopadła do prostej a.

Załóżmy, że istnieje inna prosta, również przechodząca przez punkt A i prostopadła do prostej a. Oznaczmy przez c 1 półprostą tej prostej leżącą w tej samej półpłaszczyźnie co półprosta b 1 .
Kąty (a 1 b 1) i (a 1 c 1), każdy równy 90°, leżą w jednej półpłaszczyźnie od półprostej a 1. Ale z półprostej a 1 można włożyć do danej półpłaszczyzny tylko jeden kąt równy 90°. Zatem nie może być innej prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej a. Twierdzenie zostało udowodnione.

Pytanie 11. Co jest prostopadłe do prostej?
Odpowiedź. Prostopadła do danej prostej to odcinek prostej prostopadły do ​​danej prostej, którego jeden z końców znajduje się w punkcie przecięcia. Ten koniec segmentu nazywa się podstawa prostopadły.

Pytanie 12. Wyjaśnij na czym polega dowód przez sprzeczność.
Odpowiedź. Metoda dowodu, którą zastosowaliśmy w Twierdzeniu 2.3, nazywa się dowodem przez sprzeczność. Ta metoda dowodu polega na przyjęciu założenia przeciwnego temu, co stwierdza twierdzenie. Następnie rozumując, opierając się na aksjomatach i sprawdzonych twierdzeniach, dochodzimy do wniosku, który jest sprzeczny albo z warunkami twierdzenia, albo z jednym z aksjomatów, albo z wcześniej udowodnionym twierdzeniem. Na tej podstawie wnioskujemy, że nasze założenie było błędne, a zatem stwierdzenie twierdzenia jest prawdziwe.

Pytanie 13. Jaka jest dwusieczna kąta?
Odpowiedź. Dwusieczna kąta to półprosta, która wychodzi z wierzchołka kąta, przechodzi między jego bokami i dzieli kąt na pół.

Dwa kąty leżące na tej samej prostej i mające ten sam wierzchołek nazywane są sąsiadującymi.

W przeciwnym razie, jeśli suma dwóch kątów na jednej prostej wynosi 180 stopni i mają one jeden bok wspólny, to są to kąty sąsiednie.

1 sąsiedni kąt + 1 sąsiedni kąt = 180 stopni.

Kąty sąsiadujące to dwa kąty, w których jedna strona jest wspólna, a pozostałe dwie strony na ogół tworzą linię prostą.

Suma dwóch sąsiednich kątów wynosi zawsze 180 stopni. Na przykład, jeśli jeden kąt wynosi 60 stopni, drugi będzie koniecznie równy 120 stopni (180-60).

Kąty AOC i BOC są kątami przyległymi, ponieważ spełnione są wszystkie warunki dotyczące charakterystyki kątów sąsiednich:

1.OS - wspólna strona dwóch rogów

2.AO - strona narożnika AOS, OB - strona narożnika BOS. Razem te boki tworzą linię prostą AOB.

3. Istnieją dwa kąty, a ich suma wynosi 180 stopni.

Pamiętając szkolny kurs geometrii, o sąsiednich kątach możemy powiedzieć co następuje:

sąsiednie kąty mają jeden bok wspólny, a pozostałe dwa boki należą do tej samej linii prostej, to znaczy leżą na tej samej linii prostej. Jeśli zgodnie z rysunkiem, kąty SOV i BOA są sąsiadującymi kątami, których suma jest zawsze równa 180, ponieważ dzielą kąt prosty, a kąt prosty jest zawsze równy 180.



Kąty sąsiednie są łatwym pojęciem w geometrii. Kąty sąsiadujące, kąt plus kąt, sumują się do 180 stopni.

Dwa sąsiednie kąty będą jednym kątem rozłożonym.

Jest jeszcze kilka właściwości. W przypadku sąsiadujących kątów problemy są łatwe do rozwiązania i udowodnienia twierdzeń.

Kąty sąsiadujące tworzy się poprzez narysowanie promienia z dowolnego punktu na linii prostej. Następnie ten dowolny punkt okazuje się wierzchołkiem kąta, promień jest wspólną stroną sąsiednich kątów, a linia prosta, z której rysowany jest promień, to dwa pozostałe boki sąsiednich kątów. Kąty sąsiadujące mogą być takie same w przypadku belki prostopadłej lub różne w przypadku belki nachylonej. Łatwo zrozumieć, że suma sąsiednich kątów jest równa 180 stopni lub po prostu linii prostej. Innym sposobem wyjaśnienia tego kąta jest prosty przykład- najpierw szedłeś w jednym kierunku po linii prostej, potem zmieniłeś zdanie, zdecydowałeś się zawrócić i obróciwszy się o 180 stopni, ruszyłeś tą samą prostą w kierunku przeciwnym.



Czym zatem jest kąt przyległy? Definicja:

Dwa kąty o wspólnym wierzchołku i jednym wspólnym boku nazywane są sąsiadującymi, a pozostałe dwa boki tych kątów leżą na tej samej linii prostej.



I krótki film lekcja, podczas której w rozsądny sposób pokazano o kątach przyległych, kątach pionowych oraz o liniach prostopadłych, które są szczególnym przypadkiem kątów przyległych i kątów pionowych

Kąty sąsiadujące to kąty, w których jedna strona jest wspólna, a druga to jedna linia.

Kąty sąsiednie to kąty zależne od siebie. Oznacza to, że jeśli wspólny bok zostanie lekko obrócony, wówczas jeden kąt zmniejszy się o kilka stopni, a drugi kąt automatycznie zwiększy się o tę samą liczbę stopni. Ta właściwość sąsiednich kątów pozwala nam rozwiązywać problemy w geometrii różne zadania i przeprowadzić dowody różnych twierdzeń.

Całkowita suma sąsiednich kątów wynosi zawsze 180 stopni.



Z kursu geometrii (o ile pamiętam w 6. klasie) dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, w których jedna strona jest wspólna, a pozostałe boki są dodatkowymi promieniami, suma sąsiednich kątów wynosi 180. Każdy z dwóch sąsiednie kąty uzupełniają drugi, tworząc kąt rozszerzony. Przykład sąsiednich kątów:



Kąty przyległe to dwa kąty o wspólnym wierzchołku, z których jeden jest wspólny, a pozostałe leżą na tej samej linii prostej (nie pokrywają się). Suma sąsiednich kątów wynosi sto osiemdziesiąt stopni. Ogólnie rzecz biorąc, wszystko to bardzo łatwo znaleźć w Google lub podręczniku geometrii.