Liczba 1 rozwiązując nierówność x 2 1. Metoda przedziałowa: rozwiązywanie najprostszych ścisłych nierówności

Schemat na rysunku 5:

I następujący przykład: Rozwiąż nierówności 0,6 2x - 3< 0,36 .

Podążając za diagramem na rysunku 5, otrzymujemy
2x - 3 > log 0,6 0,36,
2x - 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Odpowiedź: (2,5; +∞) .

Rozważ ostatni schemat rozwiązywania nierówności formy f(x)< b , w a>0 I b<0 pokazano na rysunku 6:

Na przykład rozwiążmy nierówność:

Zauważamy, że bez względu na to, jaką liczbę podstawimy za x, lewa strona nierówności jest zawsze większa od zera, a w naszym przypadku to wyrażenie jest mniejsze od -8, czyli a zero oznacza brak rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań.

Wiedząc, jak rozwiązywane są najprostsze nierówności wykładnicze, możemy przejść do rozwiązywanie nierówności wykładniczych.

Przykład 1

Znajdź największą wartość całkowitą x, która spełnia nierówność

Ponieważ 6 x jest większe od zera (dla braku x mianownik dochodzi do zera), mnożymy obie strony nierówności przez 6 x, otrzymujemy:

440 - 2 6 2x > 8, wtedy
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2x > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odpowiedź 1.

Przykład 2.

Rozwiąż nierówności 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Oznaczmy 2 x przez y, otrzymujemy nierówność y 2 - 3y + 2 ≤ 0, rozwiązujemy tę nierówność kwadratową.

r 2 - 3 r +2 = 0,
r1 = 1 i r2 = 2.

Gałęzie paraboli skierowane są w górę, narysujmy wykres:

Wtedy rozwiązaniem nierówności będzie nierówność 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Odpowiedź: (0; 1) .

Przykład 3. Rozwiąż nierówności 5x+1 – 3x+2< 2·5 x – 2·3 x –1
Zbierz wyrażenia o tych samych podstawach w jednej części nierówności

5x+1 – 2 5x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Wyrzućmy nierówność po lewej stronie nawiasów 5 x , a po prawej stronie nierówności 3 x i weźmy nierówność

5x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5x< (25/3)·3 х

Obie części nierówności dzielimy przez wyrażenie 3 3 x, znak nierówności się nie zmieni, ponieważ 3 3 x jest liczbą dodatnią, otrzymujemy nierówność:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Odpowiedź: (–∞; 2) .

Jeśli masz pytania dotyczące rozwiązywania nierówności wykładniczych lub chcesz poćwiczyć rozwiązywanie podobnych przykładów, zapisz się na moje lekcje. Korepetytor Walentyna Galinewskaja.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Nierówności liniowe nazywane są których lewa i prawa część są funkcjami liniowymi względem nieznanej wartości. Należą do nich np. nierówności:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Ścisłe nierówności: topór+b>0 lub topór+b<0

2) Nieścisłe nierówności: topór + b≤0 lub topór+b≫ 0

Podejmijmy się tego zadania. Jedna strona równoległoboku ma 7 cm. Jaka powinna być długość drugiego boku, aby obwód równoległoboku był większy niż 44 cm?

Niech pożądana strona będzie x cm W tym przypadku obwód równoległoboku będzie reprezentowany przez (14 + 2x) cm Nierówność 14 + 2x > 44 jest matematycznym modelem problemu obwodu równoległoboku. Jeśli w tej nierówności zastępujemy zmienną x na przykład na liczbie 16, wtedy otrzymujemy prawidłową nierówność liczbową 14 + 32\u003e 44. W tym przypadku mówi się, że liczba 16 jest rozwiązaniem nierówności 14 + 2x\u003e 44.

Rozwiązanie nierówności nazwij wartość zmiennej, która zamienia ją w prawdziwą nierówność liczbową.

Dlatego każda z liczb 15.1; 20;73 działają jako rozwiązanie nierówności 14 + 2x > 44, a na przykład liczba 10 nie jest jej rozwiązaniem.

Rozwiąż nierówności oznacza ustalenie wszystkich rozwiązań lub udowodnienie, że rozwiązania nie istnieją.

Sformułowanie rozwiązania nierówności jest podobne do sformułowania pierwiastka równania. A jednak nie jest zwyczajem określanie „korzenia nierówności”.

Właściwości równości liczbowych pomogły nam rozwiązać równania. Podobnie właściwości nierówności liczbowych pomogą rozwiązać nierówności.

Rozwiązując równanie, zmieniamy je na inne, prostsze równanie, ale równoważne danemu. W podobny sposób znajduje się odpowiedź na nierówności. Zmieniając równanie na równanie mu równoważne, posługują się twierdzeniem o przeniesieniu wyrazów z jednej części równania na przeciwną oraz o mnożeniu obu części równania przez tę samą niezerową liczbę. Podczas rozwiązywania nierówności istnieje znacząca różnica między nią a równaniem, która polega na tym, że każde rozwiązanie równania można po prostu sprawdzić, podstawiając je do oryginalnego równania. W nierównościach nie ma takiej metody, ponieważ nie można podstawić nieskończonej liczby rozwiązań w pierwotną nierówność. Dlatego istnieje ważna koncepcja, te strzałki<=>jest znakiem przekształceń równoważnych lub równoważnych. Transformacja nazywa się równowartość lub równowartość jeśli nie zmienią zestawu decyzji.

Podobne zasady rozwiązywania nierówności.

Jeżeli jakiś wyraz zostanie przesunięty z jednej części nierówności na drugą, zastępując jego znak przeciwnym, to otrzymujemy nierówność równoważną danej.

Jeżeli obie części nierówności pomnożymy (podzielimy) przez tę samą liczbę dodatnią, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Jeżeli obie części nierówności pomnożymy (podzielimy) przez tę samą liczbę ujemną, przy zamianie znaku nierówności na przeciwny, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Korzystanie z tych przepisy prawne obliczamy następujące nierówności.

1) Przeanalizujmy nierówności 2x - 5 > 9.

Ten nierówność liniowa, znajdź jego rozwiązanie i omów podstawowe pojęcia.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 zostało przesunięte na lewą stronę z przeciwnym znakiem), następnie podzieliliśmy wszystko przez 2 i mamy x > 7. Stosujemy zestaw rozwiązań do osi x

Uzyskaliśmy pozytywnie skierowaną wiązkę. Odnotowujemy zbiór rozwiązań albo w postaci nierówności x > 7, lub jako przedział x(7; ∞). A jakie jest szczególne rozwiązanie tej nierówności? Na przykład, x=10 jest szczególnym rozwiązaniem tej nierówności, x=12 jest też szczególnym rozwiązaniem tej nierówności.

Poszczególnych rozwiązań jest wiele, ale naszym zadaniem jest znalezienie wszystkich rozwiązań. A rozwiązania są zwykle nieskończone.

Przeanalizujmy przykład 2:

2) Rozwiąż problem nierówności 4a - 11 > a + 13.

Rozwiążmy to: ale przesuń się na bok 11 przechodzimy na drugą stronę, otrzymujemy 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nierówność ma postać a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Wyświetlimy również zestaw a< 8 , ale już na osi ale.

Odpowiedź jest zapisana jako nierówność a< 8, либо ale(-∞;8), 8 nie włącza się.

Po otrzymaniu wstępnych informacji o nierównościach ze zmiennymi przechodzimy do pytania o ich rozwiązanie. Przeanalizujmy rozwiązanie nierówności liniowych z jedną zmienną i wszystkie metody ich rozwiązywania za pomocą algorytmów i przykładów. Rozważane będą tylko równania liniowe z jedną zmienną.

Czym jest nierówność liniowa?

Najpierw musisz zdefiniować równanie liniowe i dowiedzieć się, jaka jest jego standardowa postać i czym będzie się różniła od innych. Z kursu szkolnego wynika, że ​​nierówności nie mają zasadniczej różnicy, dlatego należy użyć kilku definicji.

Definicja 1

Nierówność liniowa z jedną zmienną x jest nierównością postaci a x + b > 0, gdy używany jest dowolny znak nierówności zamiast >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicja 2

Nierówności a x< c или a · x >c , gdzie x jest zmienną, a a i c niektórymi liczbami, nazywa się nierówności liniowe z jedną zmienną.

Ponieważ nic nie jest powiedziane o tym, czy współczynnik może być równy 0 , to ścisła nierówność postaci 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ich różnice to:

• notacja a · x + b > 0 w pierwszym, a a · x > c – w drugim;
• dopuszczalność zerowego współczynnika a , a ≠ 0 - w pierwszym, a a = 0 - w drugim.

Uważa się, że nierówności a x + b > 0 oraz ax > c są równoważne, ponieważ uzyskuje się je poprzez przeniesienie wyrazu z jednej części na drugą. Rozwiązanie nierówności 0 · x + 5 > 0 doprowadzi do tego, że będzie trzeba ją rozwiązać, a przypadek a = 0 nie zadziała.

Definicja 3

Uważa się, że nierówności liniowe jednej zmiennej x są nierównościami postaci ax + b< 0 , a · x + b >0 , ax + b ≤ 0 I ax + b ≥ 0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Zamiast x może być zwykła liczba.

Na podstawie reguły mamy, że 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 nazywane są liniowymi.

Jak rozwiązać nierówność liniową

Głównym sposobem rozwiązania takich nierówności jest użycie przekształceń równoważnych w celu znalezienia elementarnych nierówności x< p (≤ , >, ≥) , gdzie p jest pewną liczbą, dla a ≠ 0 i postaci a< p (≤ , >, ≥) dla a = 0 .

Aby rozwiązać nierówność za pomocą jednej zmiennej, możesz zastosować metodę interwałową lub przedstawić ją graficznie. Każdy z nich może być używany w izolacji.

Korzystanie z równoważnych przekształceń

Aby rozwiązać nierówność liniową postaci a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , konieczne jest zastosowanie równoważnych przekształceń nierówności. Współczynnik może, ale nie musi, wynosić zero. Rozważmy oba przypadki. Aby wyjaśnić, konieczne jest przestrzeganie schematu składającego się z 3 punktów: istoty procesu, algorytmu, samego rozwiązania.

Definicja 4

Algorytm rozwiązywania nierówności liniowej ax + b< 0 (≤ , >, ≥) dla ≠ 0

• liczba b zostanie przeniesiona na prawą stronę nierówności z przeciwnym znakiem, co pozwoli nam dojść do ekwiwalentu a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• obie części nierówności zostaną podzielone przez liczbę nie równą 0. Co więcej, gdy a jest dodatnie, znak pozostaje, gdy a jest ujemne, zmienia się na przeciwne.

Rozważ zastosowanie tego algorytmu do rozwiązywania przykładów.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność postaci 3 · x + 12 ≤ 0 .

Rozwiązanie

Ta liniowa nierówność ma a = 3 i b = 12 . Stąd współczynnik a od x nie jest równy zeru. Zastosujmy powyższe algorytmy i rozwiążmy.

Konieczne jest przeniesienie wyrazu 12 do innej części nierówności ze zmianą znaku przed nim. Wtedy otrzymujemy nierówność postaci 3 · x ≤ − 12 . Konieczne jest podzielenie obu części przez 3. Znak nie zmieni się, ponieważ 3 jest liczbą dodatnią. Otrzymujemy, że (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , co da wynik x ≤ − 4 .

Nierówność postaci x ≤ − 4 jest równoważna. Oznacza to, że rozwiązaniem dla 3 x + 12 ≤ 0 jest dowolna liczba rzeczywista, która jest mniejsza lub równa 4 . Odpowiedź zapisujemy jako nierówność x ≤ − 4 lub przedział liczbowy postaci (− ∞ , − 4 ] .

Cały opisany powyżej algorytm jest napisany w następujący sposób:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Odpowiedź: x ≤ − 4 lub (− ∞ , − 4 ] .

Przykład 2

Wskaż wszystkie dostępne rozwiązania nierówności − 2 , 7 · z > 0 .

Rozwiązanie

Z warunku widzimy, że współczynnik a przy z jest równy - 2, 7, a b jest wyraźnie nieobecne lub równe zero. Nie możesz użyć pierwszego kroku algorytmu, ale od razu przejdź do drugiego.

Obie części równania dzielimy przez liczbę - 2, 7. Ponieważ liczba jest ujemna, konieczna jest zmiana znaku nierówności na przeciwny. Oznacza to, że otrzymujemy (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Cały algorytm piszemy w krótkiej formie:

- 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Odpowiedź: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Przykład 3

Rozwiąż nierówność - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Rozwiązanie

Zgodnie z tym warunkiem widzimy, że konieczne jest rozwiązanie nierówności współczynnikiem a dla zmiennej x, który jest równy -5, współczynnikiem b, który odpowiada ułamkowi -15 22 . Należy rozwiązać nierówność według algorytmu, czyli: przenieść - 15 22 do innej części o przeciwnym znaku, podzielić obie części przez - 5, zmienić znak nierówności:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Przy ostatnim przejściu po prawej stronie stosowana jest zasada dzielenia liczby różnymi znakami 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, po czym dzielimy zwykły ułamek przez liczbę naturalną - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Odpowiedź: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .

Rozważ przypadek, gdy a = 0. Wyrażenie liniowe postaci a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Wszystko opiera się na definicji rozwiązania nierówności. Dla dowolnej wartości x otrzymujemy nierówność liczbową postaci b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Rozważamy wszystkie osądy w postaci algorytmu rozwiązywania nierówności liniowych 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicja 5

Nierówność liczbowa postaci b< 0 (≤ , >, ≥) jest prawdziwe, to pierwotna nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości, a fałsz, gdy pierwotna nierówność nie ma rozwiązań.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność 0 · x + 7 > 0 .

Rozwiązanie

Ta liniowa nierówność 0 · x + 7 > 0 może przyjąć dowolną wartość x . Wtedy otrzymujemy nierówność postaci 7 > 0 . Ostatnia nierówność jest uważana za prawdziwą, więc jej rozwiązaniem może być dowolna liczba.

Odpowiedź: przedział (− ∞ , + ∞) .

Przykład 5

Znajdź rozwiązanie nierówności 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Rozwiązanie

Podstawiając zmienną x na dowolną liczbę, otrzymujemy, że nierówność przyjmie postać − 12 , 7 ≥ 0 . To jest nieprawidłowe. Oznacza to, że 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: nie ma rozwiązań.

Rozważ rozwiązanie nierówności liniowych, gdzie oba współczynniki są równe zeru.

Przykład 6

Wyznacz nierozwiązywalną nierówność z 0 · x + 0 > 0 i 0 · x + 0 ≥ 0 .

Rozwiązanie

Podstawiając dowolną liczbę zamiast x, otrzymujemy dwie nierówności postaci 0 > 0 i 0 ≥ 0 . Pierwszy jest niepoprawny. Oznacza to, że 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, a 0 x + 0 ≥ 0 ma nieskończoną liczbę rozwiązań, czyli dowolną liczbę.

Odpowiedź: nierówność 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, a 0 x + 0 ≥ 0 ma rozwiązania.

Ta metoda jest uwzględniana w szkolnym kursie matematyki. Metoda interwałowa umożliwia rozwiązywanie różnego rodzaju nierówności, w tym liniowych.

Metodę przedziałową stosuje się do nierówności liniowych, gdy wartość współczynnika x nie jest równa 0 . W przeciwnym razie będziesz musiał obliczyć inną metodą.

Definicja 6

Metoda odstępów to:

• wprowadzenie funkcji y = a x + b ;
• szukaj zer, aby podzielić dziedzinę definicji na przedziały;
• określenie znaków dla pojęcia ich na interwałach.

Zbierzmy algorytm rozwiązywania równań liniowych a x + b< 0 (≤ , >, ≥) dla a ≠ 0 metodą interwałową:

• znalezienie zer funkcji y = a · x + b w celu rozwiązania równania postaci a · x + b = 0 . Jeśli a ≠ 0, to rozwiązaniem będzie jedyny pierwiastek, który przyjmie oznaczenie x 0;
• budowa linii współrzędnej z obrazem punktu o współrzędnej x 0, ze ścisłą nierównością, punkt jest wybity, z nieścisłą nierównością, jest zacieniony;
• określenie znaków funkcji y = a x + b na przedziałach, w tym celu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach na przedziale;
• rozwiązanie nierówności ze znakami > lub ≥ na linii współrzędnych, kreskowanie dodaje się nad dodatnią przerwą,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Rozważ kilka przykładów rozwiązania nierówności liniowej metodą przedziałową.

Przykład 6

Rozwiąż nierówność − 3 · x + 12 > 0 .

Rozwiązanie

Z algorytmu wynika, że ​​najpierw musisz znaleźć pierwiastek równania − 3 · x + 12 = 0 . Otrzymujemy, że − 3 · x = − 12 , x = 4 . Konieczne jest zobrazowanie linii współrzędnych, w której zaznaczamy punkt 4. Zostanie przebity, ponieważ nierówność jest ścisła. Rozważ poniższy rysunek.

Konieczne jest określenie znaków na interwałach. Aby ją wyznaczyć na przedziale (− ∞ , 4) , należy obliczyć funkcję y = − 3 · x + 12 dla x = 3 . Stąd otrzymujemy, że − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Znak na luce jest pozytywny.

Określamy znak z przedziału (4, + ∞), a następnie podstawiamy wartość x \u003d 5. Mamy − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Wykonujemy rozwiązanie nierówności znakiem > , a kreskowanie wykonujemy nad luką dodatnią. Rozważ poniższy rysunek.

Z rysunku widać, że pożądane rozwiązanie ma postać (− ∞ , 4) lub x< 4 .

Odpowiedź: (− ∞ , 4) lub x< 4 .

Aby zrozumieć, jak przedstawiać graficznie, konieczne jest rozważenie 4 nierówności liniowych jako przykładu: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0,5 x - 1 ≥ 0 . Ich rozwiązania będą x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2 . Aby to zrobić, narysuj poniżej wykres funkcji liniowej y = 0 , 5 · x − 1 .

Jest oczywiste, że

Definicja 7

• rozwiązanie nierówności 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rozwiązanie 0 , 5 x − 1 ≤ 0 jest przedziałem, w którym funkcja y = 0 , 5 x − 1 jest mniejsza niż 0 x lub pokrywa się;
• za rozwiązanie 0 , 5 x − 1 > 0 uważa się przedział, w którym funkcja znajduje się powyżej O x;
• rozwiązanie 0 , 5 x − 1 ≥ 0 to przedział, w którym wykres jest wyższy niż O x lub pokrywa się.

Znaczenie graficznego rozwiązania nierówności polega na znalezieniu luk, które należy przedstawić na wykresie. W tym przypadku otrzymujemy, że lewa strona ma y \u003d a x + b, a prawa strona ma y \u003d 0 i pokrywa się z około x.

Wykreśla się funkcję y = a x + b:

• przy rozwiązywaniu nierówności a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• przy rozwiązywaniu nierówności a x + b ≤ 0 wyznaczany jest przedział, w którym wykres jest wyświetlany poniżej osi O x lub pokrywa się;
• przy rozwiązywaniu nierówności a x + b > 0 wyznaczany jest przedział, w którym wykres wyświetlany jest powyżej O x;
• przy rozwiązywaniu nierówności a x + b ≥ 0 wyznacza się przedział, w którym wykres znajduje się powyżej O x lub jest zbieżny.

Przykład 7

Rozwiąż nierówność - 5 · x - 3 > 0 za pomocą wykresu.

Rozwiązanie

Konieczne jest zbudowanie wykresu funkcji liniowej - 5 · x - 3 > 0 . Ta linia maleje, ponieważ współczynnik x jest ujemny. Aby wyznaczyć współrzędne punktu jego przecięcia z O x - 5 · x - 3 > 0, otrzymujemy wartość - 3 5 . Narysujmy to.

Rozwiązanie nierówności ze znakiem >, to trzeba zwrócić uwagę na przedział powyżej O x. Zaznaczamy niezbędną część samolotu na czerwono i otrzymujemy to

Wymagana przerwa to część O x koloru czerwonego. Zatem promień liczby otwartej - ∞ , - 3 5 będzie rozwiązaniem nierówności. Gdyby z warunku mieli nieścisłą nierówność, to wartość punktu - 3 5 również byłaby rozwiązaniem tej nierówności. I zbiegłoby się z Ox.

Odpowiedź: - , - 3 5 lub x< - 3 5 .

Rozwiązanie graficzne jest stosowane, gdy lewa strona będzie odpowiadać funkcji y = 0 x + b , czyli y = b . Wtedy linia będzie równoległa do O x lub zbiegnie się przy b \u003d 0. Przypadki te pokazują, że nierówność może nie mieć rozwiązań, lub że rozwiązaniem może być dowolna liczba.

Przykład 8

Wyznacz z nierówności 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Rozwiązanie

Reprezentacja y = 0 x + 7 to y = 7 , wtedy zostanie podana płaszczyzna współrzędnych z linią prostą równoległą do O x i powyżej O x. Więc 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Wykres funkcji y \u003d 0 x + 0 jest uważany za y \u003d 0, to znaczy linia pokrywa się z O x. Stąd nierówność 0 · x + 0 ≥ 0 ma wiele rozwiązań.

Odpowiedź: druga nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości x .

Nierówności liniowe

Rozwiązanie nierówności można sprowadzić do rozwiązania równania liniowego, które nazywamy nierównościami liniowymi.

Nierówności te zostały uwzględnione w toku szkolnym, ponieważ były szczególnym przypadkiem rozwiązywania nierówności, co prowadziło do otwierania nawiasów i redukcji podobnych terminów. Załóżmy na przykład, że 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Podane powyżej nierówności są zawsze sprowadzane do postaci równania liniowego. Następnie nawiasy są otwierane i podawane są podobne terminy, przeniesione z różnych części, zmieniając znak na przeciwny.

Redukując nierówność 5 − 2 x > 0 na liniową, przedstawiamy ją w taki sposób, że ma postać − 2 x + 5 > 0 , a zmniejszając drugą, otrzymujemy 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Należy otworzyć nawiasy, przywieźć terminy podobne, przesunąć wszystkie terminy na lewą stronę i przywieźć terminy podobne. To wygląda tak:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Daje to rozwiązanie liniowej nierówności.

Nierówności te są uważane za liniowe, ponieważ mają tę samą zasadę rozwiązania, po której można je sprowadzić do nierówności elementarnych.

Aby rozwiązać tego rodzaju nierówność tego rodzaju, konieczne jest sprowadzenie jej do nierówności liniowej. Należy to zrobić tak:

Definicja 9

• otwarte nawiasy;
• zbierz zmienne po lewej, a liczby po prawej;
• przynieść podobne warunki;
• podzielić obie części przez współczynnik x .

Przykład 9

Rozwiąż nierówność 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Rozwiązanie

Rozszerzamy nawiasy i otrzymujemy nierówność postaci 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po skróceniu podobnych wyrazów mamy, że 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Po przesunięciu wyrazów od lewej do prawej otrzymujemy, że 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Ma więc nierówność postaci 32 ≤ 0 z wyniku otrzymanego w obliczeniach 0 · x + 32 ≤ 0 . Widać, że nierówność jest fałszywa, co oznacza, że ​​nierówność podana przez warunek nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań.

Warto zauważyć, że istnieje wiele nierówności innego rodzaju, które można sprowadzić do nierówności liniowych lub nierówności o charakterze przedstawionym powyżej. Na przykład 5 2 x − 1 ≥ 1 jest równaniem wykładniczym, które redukuje się do rozwiązania liniowego 2 · x − 1 ≥ 0 . Przypadki te będą brane pod uwagę przy rozwiązywaniu tego typu nierówności.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Rozwiązywanie nierówności online

Przed rozwiązaniem nierówności należy dobrze zrozumieć, jak rozwiązywane są równania.

Nie ma znaczenia, czy nierówność jest ścisła () czy nieścisła (≤, ≥), pierwszym krokiem jest rozwiązanie równania przez zastąpienie znaku nierówności równością (=).

Wyjaśnij, co to znaczy rozwiązać problem nierówności?

Po przestudiowaniu równań uczeń ma w głowie następujący obraz: trzeba znaleźć takie wartości zmiennej, dla której obie części równania przyjmują te same wartości. Innymi słowy, znajdź wszystkie punkty, w których obowiązuje równość. Wszystko się zgadza!

Mówiąc o nierównościach, mają na myśli znalezienie przedziałów (odcinków), na których nierówność się utrzymuje. Jeśli w nierówności występują dwie zmienne, to rozwiązaniem nie będą już odstępy, ale pewne obszary na płaszczyźnie. Zgadnij, jakie będzie rozwiązanie nierówności w trzech zmiennych?

Jak rozwiązywać nierówności?

Metoda przedziałów (inaczej metoda przedziałów) jest uważana za uniwersalny sposób rozwiązywania nierówności, który polega na określeniu wszystkich przedziałów, w których dana nierówność będzie spełniona.

Nie wchodząc w rodzaj nierówności, w tym przypadku nie jest to istotą, wymagane jest rozwiązanie odpowiedniego równania i określenie jego pierwiastków, a następnie oznaczenie tych rozwiązań na osi liczbowej.

Jaki jest właściwy sposób napisania rozwiązania nierówności?

Po ustaleniu odstępów czasu rozwiązywania nierówności musisz poprawnie napisać samo rozwiązanie. Jest ważny niuans - czy granice interwałów są uwzględnione w rozwiązaniu?

Tutaj wszystko jest proste. Jeżeli rozwiązanie równania spełnia ODZ, a nierówność nie jest ścisła, to granica przedziału jest zawarta w rozwiązaniu nierówności. W przeciwnym razie nie.

Rozpatrując każdy przedział, rozwiązaniem nierówności może być sam przedział, półprzedział (gdy jedna z jego granic spełnia nierówność) lub odcinek - przedział wraz z jego granicami.

Ważny punkt

Nie myśl, że tylko odstępy, półodstępy i odcinki mogą być rozwiązaniem nierówności. Nie, w rozwiązaniu można również uwzględnić poszczególne punkty.

Na przykład nierówność |x|≤0 ma tylko jedno rozwiązanie - punkt 0.

A nierówność |x|

Do czego służy kalkulator nierówności?

Kalkulator nierówności daje poprawną ostateczną odpowiedź. W tym przypadku w większości przypadków podana jest ilustracja osi numerycznej lub płaszczyzny. Możesz zobaczyć, czy granice przedziałów są uwzględnione w rozwiązaniu, czy nie - punkty są wyświetlane wypełnione lub przebite.

Dzięki kalkulatorowi nierówności online możesz sprawdzić, czy poprawnie znalazłeś pierwiastki równania, zaznaczyłeś je na osi liczbowej i sprawdziłeś warunki nierówności na przedziałach (i granicach)?

Jeśli Twoja odpowiedź różni się od odpowiedzi kalkulatora, zdecydowanie musisz dokładnie sprawdzić swoje rozwiązanie i zidentyfikować popełniony błąd.