Node rutenett. Knutemetode i oppgave B5 For et rutenett av trippel flate knuter

Det er en fantastisk formel som lar deg telle polygonområde på koordinatnettet nesten uten feil. Det er ikke engang en formel, det er ekte teorem. Ved første øyekast kan det virke komplisert. Men det er nok til å løse et par oppgaver - og du vil forstå hvor kul denne funksjonen er. Så fortsett!

La oss starte med en ny definisjon:

En koordinatstabelnode er et hvilket som helst punkt som ligger i skjæringspunktet mellom de vertikale og horisontale linjene i dette rutenettet.

Betegnelse:

På det første bildet er ikke nodene merket i det hele tatt. Den andre har 4 noder. Til slutt, i det tredje bildet, er alle 16 noder merket.

Hva har dette med oppgave B5 å gjøre? Faktum er at toppunktene til polygonen i slike problemer Alltid ligge ved nodene til rutenettet. Som en konsekvens fungerer følgende teorem for dem:

Teorem. Tenk på en polygon på et koordinatrutenett hvis toppunkter ligger ved nodene til dette rutenettet. Da er arealet av polygonet:

hvor n er antall noder inne i det gitte polygonet, k er antall noder som ligger på grensen (grensenoder).

Som et eksempel, tenk på en vanlig trekant på et koordinatrutenett og prøv å markere de interne og grensenodene.

Det første bildet viser en vanlig trekant. På det andre bildet er dets interne noder merket, hvorav antallet er n = 10. På det tredje bildet er nodene som ligger på grensen merket, det er k = 6 av dem totalt.

Mange lesere forstår kanskje ikke hvordan de skal telle tallene n og k. Start med interne noder. Alt er åpenbart her: vi maler over trekanten med en blyant og ser hvor mange noder som er skyggelagt.

Med grenseknuter er det litt mer komplisert. polygon kant - lukket brutt linje, som skjærer koordinatnettet på mange punkter. Den enkleste måten er å markere et "startpunkt", og så gå rundt resten.

Grenseknuter vil bare være de punktene på polylinjen der de samtidig krysser hverandre tre linjer:

Egentlig en brutt linje;
Horisontal rutenett linje;
vertikal linje.

La oss se hvordan det hele fungerer i reelle problemer.

Oppgave. Finn arealet av en trekant hvis cellestørrelsen er 1 x 1 cm:

Først, la oss merke nodene som ligger inne i trekanten, så vel som på grensen:

Det viser seg at det bare er én intern node: n = 1. Det er seks grensenoder: tre faller sammen med trekantpunkt, og tre til ligger på sidene. Totalt k = 6.

Nå beregner vi arealet ved hjelp av formelen:

Det er alt! Problem løst.

Oppgave. Finn arealet til en firkant avbildet på rutete papir med en cellestørrelse på 1 cm x 1 cm. Gi svaret ditt i kvadratcentimeter.

Igjen markerer vi de interne og grensenodene. Det er n = 2 interne noder Grenseknuter: k = 7, hvorav 4 er hjørnene av firkanten, og 3 til ligger på sidene.

Det gjenstår å erstatte tallene n og k i områdeformelen:

Vær oppmerksom på det siste eksemplet. Dette problemet ble faktisk foreslått ved diagnosearbeidet i 2012. Hvis du jobber etter standardordningen, må du gjøre en del tilleggskonstruksjoner. Og ved metoden med knuter løses alt nesten muntlig.

Viktig merknad om områder

Men formelen er ikke alt. La oss omskrive formelen litt, og bringe begrepene på høyre side til en fellesnevner. Vi får:

Tallene n og k er antall noder, de er alltid heltall. Så hele telleren er også et heltall. Vi deler det med 2, noe som innebærer et viktig faktum:

Området er alltid uttrykt helt tall eller brøk. Dessuten, på slutten av brøken er det alltid "fem tideler": 10,5; 17,5 osv.

Dermed er arealet i oppgave B5 alltid uttrykt som et heltall eller en brøkdel av formen ***.5. Hvis svaret er annerledes, betyr det at det er gjort en feil et sted. Ha dette i bakhodet når du tar realeksamen i matematikk!

De er lette, gjennombrutte, med et tydelig mønster av en mesh-knute bare når de er laget av en jevn og glatt tråd (ingen lo): dette er en snorfiskelinje, lintråder og sterkt vridd ull. Ved å redusere eller øke avstanden mellom nodene, veves nettene rundt tredimensjonale objekter, og gjentar nøyaktig formen deres. Men mest av alt brukes den monotone, diskrete teksturen til rutenettet som bakgrunn for hovedmønsteret.

Det er visse regler for veving av nett:

jo større mellomrom mellom trådene som er hengt på basen, jo mer delikat er nettet;
antall tråder som henges på renningen må være et multiplum av antall tråder i en knute;
nodulær og arbeidstråder av knuter vevd i et sjakkbrettmønster bytter plass etter hver rad, derfor forbrukes de jevnt;
antall rader telles fra sidekanten av rutenettet (fra topp til bunn) langs de ekstreme nodene, gitt at nodene til de odde radene er plassert helt i kanten, og de partall flyttes dypere;
antall hengende tråder avhenger av motivet til mønsteret (motivet er et visst antall knuter som rytmisk gjentar seg i mønsteret).

Et rutenett av enkle knuter (fig. 164, a).

Endene av de hengende trådene for veving av nettet skal være 2 ganger lengre enn høyden på det ferdige produktet. Du kan jobbe fra høyre til venstre og fra venstre til høyre.

Fest 4 tråder 1 m lange på basen i en avstand på 2-3 cm fra hverandre, brett dem i to (8 tråder slått ut).

1. rad - gå tilbake fra basen med 1 cm, knyt en venstre enkel knute på hvert par tråder (fig. 164, b) og fest dem med en nål til halvdelen - det ble 4 knop (fig. 164, c) ).

2. rad - sett til side tråden lengst til venstre og på de neste 2 (1 tråd fra knutene på 1. rad) knyt en enkel knute til venstre, gå 2-3 cm ned fra 1. rad. Deretter veves knuter på hver neste 2 tråd , plasser dem på samme nivå med den første knuten. Den siste tråden lengst til høyre forble ledig. Det ble dannet 3 noder, som er forskjøvet i forhold til nodene i 1. rad.

Disse knutene er også festet til puten.

3. rad - sett i arbeid 1 ekstrem fri tråd og 2-3 cm under 2. rad, knyt en enkel knute på hvert par tråder. Det ble dannet 4 knop (som i 1. rad).

4. rad - vev som 2., prøv å opprettholde like avstander mellom radene.

Figur 164, 165 og 166:

For å forhindre at nettet glir på puten, ikke glem å feste knutene med pinner - dette vil bidra til å unngå skjeve rader. Pass på at de løse trådene langs kantene på nettet har samme størrelse i alle rader.

Nettingen kan veves i en sirkel hvis du knytter endene av renningen. I dette tilfellet er det ingen ledige tråder, siden alle trådene er involvert i vevingen av hver rad.

Et rutenett av sammenflettede enkle knuter (fig. 165, a).

I dette mønsteret knyttes 2 enkle knuter på hver 2 tråd, og fletter dem sammen: først knyttes den høyre enkle knuten (ikke tett) på venstre tråd, deretter trekkes den høyre tråden inn i løkken til den løse knuten (fig. 165, b) og den venstre enkle knuten knyttes mens den høyre strammes. Begge knutene må flettes symmetrisk sammen (fig. 165, c) - en slik sammenfletting kalles en "kjærlighetsknute".

Et rutenett av bindeknuter (fig. 166).

Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 2. Lengden deres skal være 2 ganger høyden på nettet.

Gitter fra armenske knuter.

Beregningen for et sett med tråder er den samme som i forrige rutenett, hvis knutene er bundet på 2 tråder (fig. 167, a). En annen versjon av mønsteret (fig. 167, b): knuter i odde rader er laget på 3 tråder, i partall - på 2. Antall ender av de hengende trådene i dette mønsteret skal deles med 3. Lengden deres er ikke det samme (fig. 168): korte tråder er like høye på rutenettet, lange skal være 2 ganger større.

Opplegg 167-168:

Nett av løkknuter.

De er åpne eller tettere, avhengig av antall noder i hver lenke: jo færre noder, jo tettere maske.

Rutenett med enkelt høyre noder

(tett - Fig. 169). Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 2, lengden deres skal være 2 ganger høyden på rutenettet.

Opplegg 169-172:

For et nett av trippel ensidige knuter

(alle 3 høyre) - fig. 170, antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 4. Lengden på de odde trådene skal være lik høyden på rutenettet, de partalls - 2,5 ganger lengre.

Openwork mesh fra en kombinasjon av høyre og venstre løkkeknuter

(Fig. 171) er laget av tråder som er 2,5 ganger lengre enn høyden, og antallet skal være delelig med 2.

Gjennombrudt rutenett med firkantede celler

(Fig. 172) er vevd av kjeder av "slanger", som hver består av 4-6 løkkeknuter. "Slanger" er koblet i par med en dobbel flat knute. Antall ender av hengende tråder for nettet er et multiplum av 4, lengden deres må være 3 ganger høyden på nettet.

Grids fra knuter "tatting".

Knutene i dem er bundet med en enkelt tråd (fig. 173, a) og en dobbel tråd (fig. 173, b). Lengden på hengende tråder i disse to nettene skal være 3 ganger høyden på nettet. Antall ender for det første nettet må være delelig med 2, for det andre - med 4.

Opplegg 173-176:

Grid-meshka fra knuter "tatting" (fig. 174).

Den er vevd ved å veksle mellom høyre og venstre tateknuter: i ulike rader knyttes hver 2 tråd med en venstre knute, i jevne rader knyttes høyre knuter på de samme knutene, ved å bruke arbeidstråder fra motsatt knute på forrige rad . I dette tilfellet er ikke nodene arrangert i et sjakkbrettmønster, men i vertikale rader under hverandre. Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 2 pluss 1 for symmetri, de knutede trådene må være lik lengden på nettet, arbeidstrådene må være 2,5 ganger lengre.

Rutenett fra reps knuter.

De er vevd ved hjelp av diagonale og vertikale repknuter.

Når du vever et nett med store celler (fig. 175, a), utføres odde rader på hver 2 tråd, og binder dem med diagonale knuter fra venstre til høyre (høyre tråd i venstre hånd er knyttet, venstre tråd til høyre hånden jobber). I jevne rader endres funksjonene til trådene: knutene i forrige rad blir i arbeid. Knuter utføres fra høyre til venstre.

Hvis mesh-nodene er plassert nær hverandre, er vevflaten fint booket (fig. 175, b). Dette nettet kalles tweed og boucle. Antall ender av hengende tråder må være delelig med 2, lengden må være 4 ganger høyden på nettet.

Veving av et rutenett med trekantede celler fra vertikale repknuter

(Fig. 176) ligner på å veve en horisontal brida fra vertikale rep-knuter (se Fig. 38, c).

Endene av de hengende trådene skal ha samme lengde som nettet, antallet skal være delelig med 2. Før arbeidet er alle trådene delt inn i 2 - nodulære, og i 1. rad, med en ekstra tråd som arbeidstråd tråd, en vertikal rep-tråd settes inn i hvert par tråder.node (høyre mot venstre). I neste rad omfordeles de knutede trådene i et rutemønster og hvert par knutede tråder flettes fra venstre mot høyre. Arbeidstråden for veving kan kuttes etter behov.

Gitter av flate knuter.

De er veldig populære innen veving. Noen av dem ligner blonder, andre, veldig tette, kommer med en intrikat vev av tråder.

Et tett nett av enkle flate knuter er vevd, som knytter knutene tett inntil hverandre. Gitteret kan gjøres mer sjeldent og preges (fig. 177) hvis hvert ledd er vevd av flere knuter (det skal være nok av dem til at sangeren kan snu seg på kanten).

Antall ender av hengende tråder for begge nettene er et multiplum av 4. Lengden på endene for det første nettet skal være 3 ganger, og for det andre nettet 5 ganger høyden.

Opplegg 177-180:

Rutenett av doble flate knuter - "sjakkbrett" (fig. 178)

Den har en klarere tekstur hvis tverrstengene til alle noder er plassert på den ene siden. Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 4. Lengden deres skal være 4 ganger høyden på nettet.

Strukturen til den doble flate knuten lar deg veve et nett uten å henge tråder på renningen. I stedet brukes pinner: trådene brettes i to, festes med en løkke opp til puten, og doble flate knuter knyttes på hver 4. av dem (fig. 179).

Denne teknikken brukes ved veving av klær, sjal, d.v.s. når en elastisk kant er nødvendig.

For veving av et nett av parrede doble flate knuter på 6 tråder

(Fig. 180) endene på de hengende trådene skal være 3 ganger lengre enn høyden på rutenettet, og antallet skal være delelig med 6. Først knyttes en dobbel flat knute på de midterste 4 trådene (2, 3, 4 og 5.) og arbeiderne tas til side tråder (2. og 5.), og bind deretter den andre knuten på de samme knutede (3. og 4.) frie trådene (1. og 6.). Starter og avslutter neste rad, de første og siste 3 trådene tas til sidene, de midterste trådene omfordeles til seksere.

Etter samme prinsipp veves et rutenett av doble flate knuter forbundet med 3 (fig. 181). Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 8, lengden deres skal være 2-3 ganger høyden på nettet.

Et nett av åpne målere (fig. 182) utføres på samme antall tråder som den forrige, men trådene omfordeles etter at 2 grupper på 3 knuter er bundet på de samme nodulære med et intervall mellom grupper på 0,5 cm.

Opplegg 181-184:

I et rutenett av doble flate knuter - "polotnyanka"

(Fig. 183) - nodene er ikke forskjøvet, men under hverandre. Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 4, lengden deres skal være 3 ganger høyden på nettet.

Grid-merezhka

(Fig. 184) utføres ved å krysse arbeidstrådene i hver rad. Lengden på arbeidstrådene er 4-6 ganger lengre enn de nodulære trådene, lengden på de nodulære trådene er lik høyden på nettet. Antall ender av trådene som henges på basen skal være delelig med 4. Pass på at vevingen til arbeidstrådene er den samme overalt: høyre over venstre.

For mesh med store celler av doble flate knuter

(Fig. 185) antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 6 pluss 4 tråder for symmetrien til mønsteret, lengden på de knutede trådene (2, 3, 5 og 6.) skal være lik høyden på gitteret, arbeidstrådene (1. og 4.) i 2 ganger lengre.

Opplegg 185-188

For et mesh av trippel flate knuter

(Fig. 186) antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 4, lengden deres skal være 4 ganger høyden på rutenettet.

For et rutenett av flate komplekse knuter

(Fig. 187) antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 6, lengden deres skal være 4 ganger høyden på rutenettet.

For mesh med "fluer"

(Fig. 188) antall ender av hengende tråder skal være delelig med 4, lengden deres skal være 3,5-4 ganger høyden på nettet. "Fluen" er vevd av 4 tråder (1. og 4. - arbeidere, 2. og 3. - knyttet): først knyttes den venstre enkle, flate knuten, deretter knyttes den høyre enkle knuten til 2 knutede (fig. 189, en ) og under dem - en dobbel flat knute med en venstre tverrstang (fig. 189, b). Hvis "fluene" utføres på tykke tråder, så i stedet for en dobbel flat knute, knyttes en rett enkel flat knute (fig. 189, c).

Opplegg 189-191

Rutenett av kinesiske knuter (Fig. 190).

Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 2, lengden deres skal være 3 ganger høyden på nettet (se knutebindingsteknikken i fig. 139, a, b). Hvis du henger trådene, alternerer dem i farger, vil de odde radene i rutenettet være av tofargede knuter, og de jevne radene vil ha en farge (fig. 191).

Rutenett av "Josephine"-knuter (fig. 192).

Det er bedre å utføre det fra bunter med tråder eller enkle, men tykke tråder. Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 2, lengden må være 4 ganger høyden på nettet.

Opplegg 192-193:

Rutenett av fletter (Fig. 193).

Det er ganske komplisert i utførelse, siden det ved veving er vanskelig å opprettholde samme avstand mellom flettene. Antall ender av de hengende trådene er et multiplum av 2, lengden deres skal være 4-5 ganger høyden på nettet.

Geometriske nettingfragmenter.

Rytmen til rutenettnodene bygges enkelt om til geometriske former: sekskanter (fig. 194, a), trekanter (fig. 194, b), romber (fig. 194, c).

Teknikken for å veve dem er veldig enkel. For eksempel, hvis en trekant er vevd, så strikkes det ikke 2 ekstreme tråder i begynnelsen og slutten av hver ny rad, og da vil det være 1 knute mindre i raden enn i den forrige. Så vev til kun 1 knute gjenstår. For veving av en trekant er fordelingen av knuter i rader indikert med tall, for eksempel 3, 2, 1. Hvis en rombe utføres, starter de med 1 knute: 1 dobbel flat knute er bundet på 4 midtre tråder, trådene er fordelt under den med 2, og ved å legge til 2 til fri fra kantene, bind under den første knuten 2 doble flate i et sjakkbrettmønster. I de følgende radene fester de seg også

2 tråder til venstre og høyre, og som et resultat utvides lerretet etter hver rad med 1 knop. Etter å ha fullført den øvre halvdelen av romben, vev den nedre. Antall knuter i rader: 1,2, 3,2, 1.

Et eksempel på en annen fordeling av knuter i rad 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - ifølge denne beretningen er romber vevd fra armensk (fig. 195, a), diagonal rep (fig. 195, b) og pionerknuter (fig. 195, c) og fra flate kjeder (fig. 195, d).

Opplegg 194 - 195

Rutenettnoder står harmonisk på linje i en horisontal

(Fig. 196, a) og vertikale (Fig. 196, b) sikksakklinjer. Det er mer praktisk å veve en horisontal med separate hjørner, og deretter koble dem med en knute ved hjelp av trådene til tilstøtende fragmenter. Hjørnene er vevd slik: først knyttes den øvre sentrale knuten, deretter deles trådene under den likt (for eksempel 2 hver) og sendes 2 til venstre, 2 til høyre. Under den 1. knuten til venstre knyttes en ny knute ved hjelp av 2 venstre tråder fra 1. knute og 2 frie til venstre. Knyt en knute til høyre på samme måte. Deretter vever du ytterligere 1 knute på høyre og venstre side ved å bruke 2 frie tråder og 2 tråder fra forrige knute. Så vev diagonalt til ønsket størrelse på hjørnet med toppen øverst. Ved å koble 2 hjørner med hjørner rettet i motsatte retninger, oppnås en rombe, hvor midten er fylt med frie tråder (fig. 197, a). Etter samme prinsipp veves en sekskant (fig. 197, b).

Opplegg 196-199

En tettere diagonal linje med knuter

(Fig. 198) oppnås hvis det for hver ny node brukes 3 tråder fra forrige node (1 nodulær, 2 arbeidere) og 1 fri.

Mottak av å koble rutenettet med fragmenter av andre mønstre.

En monoton nettvev brukes til å lage nye mønstre. På rutenettene fremstår ulike vevde fragmenter mer preget, konvekse og uttrykksfulle. Hvordan veves kombinasjoner av kjeder, knuter og andre elementer inn i rutenettet? Bli kjent med disse teknikkene ved å bruke eksemplet med et "sjakkbrett" rutenett i midten med en vanlig dobbel flat knute (fig. 199, a).

Først tegnes en skisse av et nytt mønster og størrelsen og plasseringen av knuten bestemmes. Som regel legges den inn i en rombe fra frie arbeidstråder (fig. 199, b). Gitteret veves til toppen av romben, så knyttes det ikke knuter der romben er markert: først 1 knute (toppen av romben), i neste rad, 2 knuter til i rutemønster, deretter 3 knuter og så videre til ønsket bredde på romben er oppnådd. Etter det knyttes en felles knute. Jo flere tråder som er igjen for knuten, desto mer effektiv er den (når du binder, ikke skjev den: midten av knuten skal falle sammen med midten av romben). Rett ut trådene under knuten og vev den nedre halvdelen av romben, inkludert gradvis 2 ekstreme tråder fra den vanlige knuten inn i arbeidet.