De middellijn van het trapezium is gelijk aan de helft van de grotere basis. Trapezium, middellijn van trapezium, driehoek

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

Wanneer u een verzoek indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Het concept van de middellijn van het trapezium

Laten we eerst onthouden wat voor soort figuur een trapezium wordt genoemd.

Definitie 1

Een trapezium is een vierhoek waarvan twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet evenwijdig.

In dit geval worden parallelle zijden de basis van het trapezium genoemd, en niet-parallelle zijden de laterale zijden van het trapezium.

Definitie 2

De middellijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt.

Trapeziummiddellijnstelling

Nu introduceren we de stelling over de middellijn van een trapezium en bewijzen deze met behulp van de vectormethode.

Stelling 1

De middellijn van het trapezium is evenwijdig aan de bases en gelijk aan hun halve som.

Bewijs.

Laten we een trapezium $ABCD$ geven met basen $AD\ en\ BC$. En laat $MN$ -- middellijn deze trapezium (Fig. 1).

Figuur 1. Middellijn van trapezium

Laten we bewijzen dat $MN||AD\ en\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Beschouw de vector $\overrightarrow(MN)$. Vervolgens gebruiken we de polygoonregel om vectoren toe te voegen. Aan de ene kant snappen we dat

Aan de andere kant

Laten we de laatste twee gelijkheden optellen en krijgen

Omdat $M$ en $N$ de middelpunten zijn van de zijkanten van het trapezium, zullen we dit doen

Wij krijgen:

Vandaar

Uit dezelfde gelijkheid (aangezien $\overrightarrow(BC)$ en $\overrightarrow(AD)$ codirectioneel zijn en dus collineair) verkrijgen we $MN||AD$.

De stelling is bewezen.

Voorbeelden van problemen met het concept van de middellijn van een trapezium

Voorbeeld 1

De zijkanten van het trapezium zijn respectievelijk $15\ cm$ en $17\ cm$. De omtrek van het trapezium is $52\cm$. Zoek de lengte van de middellijn van het trapezium.

Oplossing.

Laten we de middellijn van het trapezium aangeven met $n$.

De som van de zijden is gelijk aan

Omdat de omtrek $52\ cm$ is, is de som van de bases daarom gelijk aan

Dus volgens Stelling 1 krijgen we

Antwoord:$10\cm$.

Voorbeeld 2

De uiteinden van de diameter van de cirkel zijn respectievelijk $9$ cm en $5$ cm verwijderd van de raaklijn. Bepaal de diameter van deze cirkel.

Oplossing.

Laten we een cirkel geven met middelpunt in punt $O$ en diameter $AB$. Laten we een raaklijn $l$ tekenen en de afstanden $AD=9\ cm$ en $BC=5\ cm$ construeren. Laten we de straal $OH$ tekenen (Fig. 2).

Figuur 2.

Omdat $AD$ en $BC$ de afstanden tot de raaklijn zijn, dan $AD\bot l$ en $BC\bot l$ en aangezien $OH$ de straal is, dan $OH\bot l$, dus $OH |\links|AD\rechts||BC$. Uit dit alles blijkt dat $ABCD$ een trapezium is, en $OH$ de middellijn ervan. Volgens Stelling 1 krijgen we

\[(\Groot(\text(Gratis trapezium)))\]

Definities

Een trapezium is een convexe vierhoek waarin twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee zijden niet evenwijdig.

De evenwijdige zijden van een trapezium worden de basis genoemd, en de andere twee zijden worden de zijden genoemd.

De hoogte van een trapezium is de loodlijn van elk punt van de ene basis naar de andere basis.

Sstellingen: eigenschappen van een trapezium

1) De som van de hoeken aan de zijkant is $180^\circ$ .

2) De diagonalen verdelen het trapezium in vier driehoeken, waarvan er twee gelijkvormig zijn en de andere twee even groot zijn.

Bewijs

1) Omdat $AD\parallel BC$, dan zijn de hoeken $\hoek BAD$ en $\hoek ABC$ voor deze lijnen eenzijdig en de transversale $AB$, daarom, $\hoek SLECHT +\hoek ABC=180^\circ$.

2) Omdat $AD\parallel BC$ en $BD$ zijn een secans, dan liggen $\hoek DBC=\hoek BDA$ kruislings.
Ook $\hoek BOC=\hoek AOD$ als verticaal.
Daarom onder twee hoeken $\driehoek BOC \sim \driehoek AOD$.

Laten we dat bewijzen $S_(\driehoek AOB)=S_(\driehoek COD)$. Laat $h$ de hoogte van het trapezium zijn. Dan $S_(\driehoek ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\driehoek ACD)$. Dan: \

Definitie

De middellijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt.

Stelling

De middellijn van het trapezium is evenwijdig aan de bases en gelijk aan hun halve som.

Bewijs*

1) Laten we het parallellisme bewijzen.

Laten we door het punt $M$ de rechte lijn $MN"\parallel AD$ ($N"\in CD$ ) trekken. Dan, volgens de stelling van Thales (sinds $MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB$) punt $N"$ is het midden van het segment $CD$. Dit betekent dat de punten $N$ en $N"$ samenvallen.

2) Laten we de formule bewijzen.

Laten we $BB"\perp AD, CC"\perp AD$ doen. Laten $BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"$.

Volgens de stelling van Thales zijn $M"$ en $N"$ respectievelijk de middelpunten van de segmenten $BB"$ en $CC"$. Dit betekent dat $MM"$ de middelste lijn is van $\triangle ABB"$ , $NN"$ de middelste lijn is van $\triangle DCC"$ . Dat is waarom: \

Omdat $MN\parallel AD\parallel BC$ en $BB", CC"\perp AD$ , dan zijn $B"M"N"C"$ en $BM"N"C$ rechthoeken. Volgens de stelling van Thales volgt uit $MN\parallel AD$ en $AM=MB$ dat $B"M"=M"B$ . Dus $B"M"N"C "$ en $BM"N"C$ zijn gelijke rechthoeken, daarom $M"N"=B"C"=BC$ .

Dus:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Stelling: eigenschap van een willekeurig trapezium

De middelpunten van de bases, het snijpunt van de diagonalen van het trapezium en het snijpunt van de verlengingen van de zijkanten liggen op dezelfde rechte lijn.

Bewijs*
Het wordt aanbevolen dat u vertrouwd raakt met het bewijs nadat u het onderwerp 'Overeenkomst van driehoeken' heeft bestudeerd.

1) Laten we bewijzen dat de punten $P$, $N$ en $M$ op dezelfde lijn liggen.

Laten we een rechte lijn $PN$ tekenen ($P$ is het snijpunt van de verlengingen van de zijkanten, $N$ is het midden van $BC$). Laat het de zijde $AD$ snijden in het punt $M$ . Laten we bewijzen dat $M$ het middelpunt is van $AD$ .

Denk aan $\triangle BPN$ en $\triangle APM$ . Ze zijn vergelijkbaar bij twee hoeken ($\hoek APM$ – algemeen, $\hoek PAM=\hoek PBN$ zoals corresponderend bij $AD\parallel BC$ en $AB$ secans). Middelen: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Denk aan $\triangle CPN$ en $\triangle DPM$ . Ze zijn vergelijkbaar bij twee hoeken ($\hoek DPM$ – algemeen, $\hoek PDM=\hoek PCN$ zoals corresponderend bij $AD\parallel BC$ en $CD$ secans). Middelen: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Vanaf hier $\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)$. Maar $BN=NC$ dus $AM=DM$ .

2) Laten we bewijzen dat de punten $N, O, M$ op dezelfde lijn liggen.

Stel dat $N$ het middelpunt is van $BC$ en $O$ het snijpunt van de diagonalen. Laten we een rechte lijn $NO$ tekenen, deze zal de zijde $AD$ snijden in het punt $M$ . Laten we bewijzen dat $M$ het middelpunt is van $AD$ .

$\driehoek BNO\sim \driehoek DMO$ langs twee hoeken ($\hoek OBN=\hoek ODM$ kruislings liggend op $BC\parallel AD$ en $BD$ secans; $\hoek BON=\hoek DOM$ als verticaal). Middelen: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Insgelijks $\driehoek CON\sim \driehoek AOM$. Middelen: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Vanaf hier $\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)$. Maar $BN=CN$ dus $AM=MD$ .

\[(\Groot(\text(Gelijkbenig trapezium)))\]

Definities

Een trapezium wordt rechthoekig genoemd als een van de hoeken recht is.

Een trapezium wordt gelijkbenig genoemd als de zijden gelijk zijn.

Sstellingen: eigenschappen van een gelijkbenig trapezium

1) Een gelijkbenig trapezium heeft gelijke basishoeken.

2) De diagonalen van een gelijkbenig trapezium zijn gelijk.

3) Twee driehoeken gevormd door diagonalen en een basis zijn gelijkbenig.

Bewijs

1) Beschouw de gelijkbenige trapezium $ABCD$ .

Van de hoekpunten $B$ en $C$ laten we respectievelijk de loodlijnen $BM$ en $CN$ naar de zijde $AD$ vallen. Sinds $BM\perp AD$ en $CN\perp AD$ , dan $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , dan is $MBCN$ een parallellogram, dus $BM = CN$ .

Laten we eens overwegen rechthoekige driehoeken$ABM$ en $CDN$ . Omdat hun hypotenusa gelijk is en het been $BM$ gelijk is aan het been $CN$, zijn deze driehoeken gelijk, dus $\hoek DAB = \hoek CDA$ .

Omdat $AB=CD, \hoek A=\hoek D, AD$- algemeen, dan volgens het eerste teken. Daarom $AC=BD$ .

3) Omdat $\driehoek ABD=\driehoek ACD$ en vervolgens $\hoek BDA=\hoek CAD$ . Daarom is de driehoek $\driehoek AOD$ gelijkbenig. Op dezelfde manier wordt bewezen dat $\driehoek BOC$ gelijkbenig is.

Sstellingen: tekenen van een gelijkbenig trapezium

1) Als een trapezium gelijke basishoeken heeft, dan is het gelijkbenig.

2) Als een trapezium gelijke diagonalen heeft, dan is het gelijkbenig.

Bewijs

Beschouw het trapezium $ABCD$ zo dat $\hoek A = \hoek D$ .

Laten we het trapezium voltooien tot aan de driehoek $AED$ zoals weergegeven in de afbeelding. Omdat $\angle 1 = \angle 2$ , is de driehoek $AED$ gelijkbenig en $AE = ED$ . Hoeken $1$ en $3$ zijn gelijk als corresponderende hoeken voor evenwijdige lijnen $AD$ en $BC$ en transversale $AB$. Op dezelfde manier zijn hoeken $2$ en $4$ gelijk, maar $\hoek 1 = \hoek 2$, dan $\hoek 3 = \hoek 1 = \hoek 2 = \hoek 4$ Daarom is de driehoek $BEC$ ook gelijkbenig en $BE = EC$ .

Op het einde $AB = AE - BE = DE - CE = CD$, dat wil zeggen $AB = CD$, wat bewezen moest worden.

2) Stel $AC=BD$ . Omdat $\driehoek AOD\sim \driehoek BOC$, dan geven we hun gelijkeniscoëfficiënt aan als $k$ . Als dan $BO=x$ , dan $OD=kx$ . Vergelijkbaar met $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Omdat $AC=BD$ en vervolgens $x+kx=y+ky \Rechtspijl x=y$ . Dit betekent dat $\driehoek AOD$ gelijkbenig is en $\hoek OAD=\hoek ODA$ .

Dus volgens het eerste teken $\driehoek ABD=\driehoek ACD$ ($AC=BD, \hoek OAD=\hoek ODA, AD$- algemeen). Dus, $AB=CD$ , waarom.

In dit artikel zullen we proberen de eigenschappen van een trapezium zo volledig mogelijk weer te geven. In het bijzonder zullen we erover praten algemene tekenen en eigenschappen van een trapezium, evenals over de eigenschappen van een ingeschreven trapezium en over een cirkel ingeschreven in een trapezium. We zullen ook ingaan op de eigenschappen van een gelijkbenige en rechthoekige trapezium.

Een voorbeeld van het oplossen van een probleem met behulp van de besproken eigenschappen zal u helpen het op plaatsen in uw hoofd te ordenen en de stof beter te onthouden.

Trapeze en alles-alles-alles

Laten we om te beginnen kort herinneren wat een trapezium is en welke andere concepten ermee geassocieerd zijn.

Een trapezium is dus een vierzijdige figuur, waarvan twee zijden evenwijdig aan elkaar zijn (dit zijn de bases). En de twee zijn niet evenwijdig - dit zijn de zijkanten.

In een trapezium kan de hoogte worden verlaagd - loodrecht op de basis. De middellijn en diagonalen worden getekend. Het is ook mogelijk om vanuit elke hoek van het trapezium een bissectrice te tekenen.

Over diverse eigendommen, geassocieerd met al deze elementen en hun combinaties, zullen we nu praten.

Eigenschappen van trapeziumdiagonalen

Om het duidelijker te maken, schetst u tijdens het lezen de trapezium ACME op een vel papier en tekent u er diagonalen in.

Als je de middelpunten van elk van de diagonalen vindt (laten we deze punten X en T noemen) en ze verbindt, krijg je een segment. Eén van de eigenschappen van de diagonalen van een trapezium is dat het segment HT op de middellijn ligt. En de lengte ervan kan worden verkregen door het verschil tussen de bases door twee te delen: ХТ = (a – b)/2.
Voor ons ligt dezelfde trapezium ACME. De diagonalen snijden elkaar in punt O. Laten we eens kijken naar de driehoeken AOE en MOK, gevormd door segmenten van de diagonalen samen met de basis van het trapezium. Deze driehoeken zijn gelijkvormig. De gelijkeniscoëfficiënt k van driehoeken wordt uitgedrukt door de verhouding van de bases van het trapezium: k = AE/KM.
De verhouding van de oppervlakten van driehoeken AOE en MOK wordt beschreven door de coëfficiënt k 2 .
Hetzelfde trapezium, dezelfde diagonalen die elkaar kruisen in punt O. Alleen deze keer zullen we de driehoeken beschouwen die de segmenten van de diagonalen samen met de zijkanten van het trapezium vormden. De gebieden van de driehoeken AKO en EMO zijn even groot - hun gebieden zijn hetzelfde.
Een andere eigenschap van een trapezium betreft de constructie van diagonalen. Dus als je de zijden van AK en ME voortzet in de richting van de kleinere basis, dan zullen ze elkaar vroeg of laat op een bepaald punt kruisen. Teken vervolgens een rechte lijn door het midden van de basis van het trapezium. Het snijdt de bases op de punten X en T.
Als we nu de lijn XT verlengen, dan zal deze het snijpunt van de diagonalen van de trapezium O met elkaar verbinden, het punt waarop de verlengingen van de zijkanten en het midden van de basissen X en T elkaar snijden.
Door het snijpunt van de diagonalen zullen we een segment tekenen dat de basissen van de trapezium zal verbinden (T ligt op de kleinere basis KM, X op de grotere AE). Het snijpunt van de diagonalen verdeelt dit segment in de volgende verhouding: TO/OX = KM/AE.
Nu tekenen we door het snijpunt van de diagonalen een segment evenwijdig aan de basis van het trapezium (a en b). Het snijpunt verdeelt het in twee gelijke delen. U kunt de lengte van het segment vinden met behulp van de formule 2ab/(a + b).

Eigenschappen van de middellijn van een trapezium

Trek de middellijn in het trapezium evenwijdig aan de basis.

De lengte van de middellijn van een trapezium kan worden berekend door de lengtes van de basissen bij elkaar op te tellen en deze in tweeën te delen: m = (een + b)/2.
Als u een segment (bijvoorbeeld hoogte) door beide basissen van de trapezium tekent, zal de middelste lijn het in twee gelijke delen verdelen.

Trapeziumvormige bissectrice-eigenschap

Selecteer een willekeurige hoek van het trapezium en teken een bissectrice. Laten we bijvoorbeeld de hoek KAE van onze trapezium ACME nemen. Nadat u de constructie zelf hebt voltooid, kunt u eenvoudig verifiëren dat de bissectrice van de basis (of de voortzetting ervan op een rechte lijn buiten de figuur zelf) een segment afsnijdt van dezelfde lengte als de zijkant.

Eigenschappen van trapeziumhoeken

Welke van de twee paren hoeken ook grenzen aan de zijde die je kiest, de som van de hoeken in het paar is altijd 180 0: α + β = 180 0 en γ + δ = 180 0.
Laten we de middelpunten van de bases van de trapezium verbinden met een segment TX. Laten we nu eens kijken naar de hoeken aan de basis van het trapezium. Als de som van de hoeken voor een van deze 90 0 is, kan de lengte van het segment TX eenvoudig worden berekend op basis van het verschil in de lengtes van de bases, in tweeën gedeeld: TX = (AE – KM)/2.
Als er parallelle lijnen door de zijden van een trapeziumhoek worden getrokken, verdelen ze de zijden van de hoek in proportionele segmenten.

Eigenschappen van een gelijkbenig (gelijkzijdig) trapezium

In een gelijkbenig trapezium zijn de hoeken op elke basis gelijk.
Bouw nu opnieuw een trapezium, zodat je je gemakkelijker kunt voorstellen waar we het over hebben. Kijk goed naar de basis AE - de top van de tegenoverliggende basis M wordt geprojecteerd naar een bepaald punt op de lijn die AE bevat. De afstand van hoekpunt A tot het projectiepunt van hoekpunt M en de middellijn van een gelijkbenig trapezium zijn gelijk.
Een paar woorden over de eigenschap van de diagonalen van een gelijkbenige trapezium - hun lengtes zijn gelijk. En ook de hellingshoeken van deze diagonalen ten opzichte van de basis van het trapezium zijn hetzelfde.
Alleen rond een gelijkbenig trapezium kan een cirkel worden beschreven, aangezien de som van de overstaande hoeken van een vierhoek 180 0 - is voorwaarde hiervoor.
De eigenschap van een gelijkbenig trapezium volgt uit de vorige paragraaf: als een cirkel dichtbij het trapezium kan worden beschreven, is het gelijkbenig.
Uit de kenmerken van een gelijkbenig trapezium volgt de eigenschap van de hoogte van een trapezium: als de diagonalen elkaar loodrecht snijden, dan is de lengte van de hoogte gelijk aan de helft van de som van de bases: h = (een + b)/2.
Teken opnieuw het segment TX door de middelpunten van de bases van de trapezium - in een gelijkbenige trapezium staat het loodrecht op de bases. En tegelijkertijd is TX de symmetrieas van een gelijkbenig trapezium.
Verlaag deze keer de hoogte van het tegenovergestelde hoekpunt van de trapezium naar de grotere basis (laten we het a noemen). Je krijgt twee segmenten. De lengte van één kan worden gevonden als de lengtes van de basissen worden opgeteld en in tweeën worden gedeeld: (a+b)/2. We krijgen de tweede als we de kleinere aftrekken van de grotere basis en het resulterende verschil door twee delen: (a – b)/2.

Eigenschappen van een trapezium ingeschreven in een cirkel

Omdat we het al hebben over een trapezium ingeschreven in een cirkel, laten we hier dieper op ingaan. In het bijzonder waar het middelpunt van de cirkel zich bevindt ten opzichte van het trapezium. Ook hier is het aan te raden om niet lui te zijn, een potlood in je handen te nemen en te tekenen waar je het over hebt. we zullen praten onderstaand. Zo begrijp je het sneller en onthoud je het beter.

De locatie van het middelpunt van de cirkel wordt bepaald door de hellingshoek van de diagonaal van de trapezium op zijn zijkant. Een diagonaal kan zich bijvoorbeeld loodrecht op de zijkant uitstrekken vanaf de bovenkant van een trapezium. In dit geval snijdt de grotere basis het midden van de omgeschreven cirkel precies in het midden (R = ½AE).
De diagonaal en de zijkant kunnen elkaar ook onder raken scherpe hoek– dan ligt het middelpunt van de cirkel binnen het trapezium.
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel mag zich buiten het trapezium bevinden, voorbij de grotere basis, als er een stompe hoek is tussen de diagonaal van het trapezium en de zijkant.
De hoek gevormd door de diagonaal en de grote basis van de trapezium ACME (ingeschreven hoek) is de helft van de centrale hoek die ermee overeenkomt: MAE = ½MOE.
In het kort over twee manieren om de straal van een omgeschreven cirkel te vinden. Methode één: kijk goed naar je tekening – wat zie je? Je kunt gemakkelijk zien dat de diagonaal het trapezium in twee driehoeken splitst. De straal kan worden gevonden door de verhouding van de zijde van de driehoek tot de sinus van de tegenovergestelde hoek, vermenigvuldigd met twee. Bijvoorbeeld, R = AE/2*sinAME. De formule kan op dezelfde manier worden geschreven voor elk van de zijden van beide driehoeken.
Methode twee: vind de straal van de omgeschreven cirkel door het gebied van de driehoek gevormd door de diagonaal, zijkant en basis van het trapezium: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Eigenschappen van een trapezium omcirkeld rond een cirkel

Je kunt een cirkel in een trapezium passen als aan één voorwaarde is voldaan. Lees er hieronder meer over. En samen heeft deze combinatie van figuren een aantal interessante eigenschappen.

Als een cirkel in een trapezium is ingeschreven, kan de lengte van de middellijn gemakkelijk worden gevonden door de lengtes van de zijden bij elkaar op te tellen en de resulterende som doormidden te delen: m = (c + d)/2.
Voor de trapezium ACME, beschreven rond een cirkel, is de som van de lengtes van de bases gelijk aan de som van de lengtes van de zijden: AK + ME = KM + AE.
Uit deze eigenschap van de bases van een trapezium volgt de omgekeerde verklaring: een cirkel kan worden ingeschreven in een trapezium waarvan de som van de bases gelijk is aan de som van zijn zijden.
Het raakpunt van een cirkel met straal r, ingeschreven in een trapezium, verdeelt de zijde in twee segmenten, laten we ze a en b noemen. De straal van een cirkel kan worden berekend met de formule: r = √ab.
En nog een pand. Om verwarring te voorkomen, teken dit voorbeeld ook zelf. We hebben de goede oude trapezium ACME, beschreven rond een cirkel. Het bevat diagonalen die elkaar snijden in punt O. De driehoeken AOK en EOM gevormd door de segmenten van de diagonalen en de zijkanten zijn rechthoekig.
De hoogten van deze driehoeken, verlaagd tot aan de hypotenusa (dat wil zeggen de zijkanten van het trapezium), vallen samen met de stralen van de ingeschreven cirkel. En de hoogte van het trapezium valt samen met de diameter van de ingeschreven cirkel.

Eigenschappen van een rechthoekig trapezium

Een trapezium wordt rechthoekig genoemd als een van de hoeken recht is. En de eigenschappen ervan komen voort uit deze omstandigheid.

Een rechthoekig trapezium heeft een van de zijden loodrecht op de basis.
Hoogte en zijkant van het trapezium grenzend aan rechte hoek, zijn gelijk. Hiermee kunt u de oppervlakte van een rechthoekig trapezium berekenen (algemene formule S = (a + b) * h/2) niet alleen door de hoogte, maar ook door de zijde grenzend aan de rechte hoek.
Voor een rechthoekig trapezium zijn de algemene eigenschappen van de diagonalen van een trapezium die hierboven al zijn beschreven relevant.

Bewijs van enkele eigenschappen van het trapezium

Gelijkheid van hoeken aan de basis van een gelijkbenig trapezium:

Je raadde waarschijnlijk al dat we hier de AKME-trapezium opnieuw nodig hebben - teken een gelijkbenige trapezium. Trek een rechte lijn MT vanaf hoekpunt M, evenwijdig aan de zijkant van AK (MT || AK).

De resulterende vierhoek AKMT is een parallellogram (AK || MT, KM || AT). Omdat ME = KA = MT, is ∆ MTE gelijkbenig en MET = MTE.

AK || MT, dus MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Waar komt AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

QED

Nu bewijzen we dat, gebaseerd op de eigenschap van een gelijkbenig trapezium (gelijkheid van diagonalen). trapezium ACME is gelijkbenig:

Laten we eerst een rechte lijn MX – MX || tekenen KE. We verkrijgen een parallellogram KMHE (basis – MX || KE en KM || EX).

∆AMX is gelijkbenig, aangezien AM = KE = MX, en MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, dus MAE = MXE.

Het blijkt dat de driehoeken AKE en EMA gelijk zijn aan elkaar, omdat AM = KE en AE de gemeenschappelijke zijde van de twee driehoeken zijn. En ook MAE = MXE. We kunnen concluderen dat AK = ME, en hieruit volgt dat de trapezium AKME gelijkbenig is.

Taak beoordelen

De basissen van de trapezium ACME zijn 9 cm en 21 cm, de zijkant KA, gelijk aan 8 cm, vormt een hoek van 150 0 met de kleinere basis. Je moet het gebied van de trapezium vinden.

Oplossing: Vanaf hoekpunt K verlagen we de hoogte naar de grotere basis van het trapezium. En laten we beginnen te kijken naar de hoeken van het trapezium.

Hoeken AEM en KAN zijn eenzijdig. Dit betekent dat ze in totaal 180€ geven. Daarom KAN = 30 0 (gebaseerd op de eigenschap van trapeziumhoeken).

Laten we nu eens kijken naar de rechthoekige ∆ANC (ik geloof dat dit punt voor de lezers duidelijk is zonder aanvullend bewijs). Hieruit zullen we de hoogte van de trapezium KH vinden - in een driehoek is het een been dat tegenover de hoek van 30 0 ligt. Daarom KH = ½AB = 4 cm.

We vinden de oppervlakte van het trapezium met behulp van de formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Nawoord

Als je dit artikel zorgvuldig en bedachtzaam hebt bestudeerd, niet te lui bent om met een potlood in je handen trapeziums te tekenen voor alle gegeven eigenschappen en ze in de praktijk te analyseren, dan had je het materiaal goed onder de knie moeten hebben.

Natuurlijk is hier veel informatie, gevarieerd en soms zelfs verwarrend: het is niet zo moeilijk om de eigenschappen van het beschreven trapezium te verwarren met de eigenschappen van het ingeschreven trapezium. Maar je hebt zelf gezien dat het verschil enorm is.

Nu heb je een gedetailleerd overzicht van alles algemene eigenschappen trapeziums. Evenals specifieke eigenschappen en kenmerken van gelijkbenige en rechthoekige trapeziums. Het is erg handig om te gebruiken om je voor te bereiden op toetsen en examens. Probeer het zelf en deel de link met je vrienden!

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.