Node-rasters. Knoopmethode in opgave B5 Voor een raster van drievoudige platte knopen

Er is een prachtige formule waarmee je kunt tellen veelhoek gebied op het coördinatenraster vrijwel foutloos. Het is niet eens een formule, het is echt stelling. Op het eerste gezicht lijkt het misschien ingewikkeld. Maar het is genoeg om een paar taken op te lossen - en je zult begrijpen hoe cool deze functie is. Dus ga je gang!

Laten we beginnen met een nieuwe definitie:

Een coördinatenstapelknooppunt is elk punt dat op het snijpunt van de verticale en horizontale lijnen van dit raster ligt.

Aanduiding:

Op de eerste foto zijn de knooppunten helemaal niet gemarkeerd. De tweede heeft 4 knooppunten. Ten slotte zijn op de derde foto alle 16 knooppunten gemarkeerd.

Wat heeft dit met probleem B5 te maken? Het feit is dat de hoekpunten van de veelhoek in dergelijke problemen Altijd liggen op de knooppunten van het rooster. Bijgevolg werkt de volgende stelling voor hen:

Stelling. Beschouw een veelhoek op een coördinatenraster waarvan de hoekpunten op de knopen van dit raster liggen. Dan is de oppervlakte van de veelhoek:

waarbij n het aantal knooppunten binnen de gegeven polygoon is, is k het aantal knooppunten dat op de grens ligt (grensknooppunten).

Beschouw als voorbeeld een gewone driehoek op een coördinatenraster en probeer de interne en grensknooppunten te markeren.

De eerste foto toont een gewone driehoek. Op de tweede foto zijn de interne knooppunten gemarkeerd, waarvan het aantal n = 10 is. Op de derde foto zijn de knooppunten die op de grens liggen gemarkeerd, er zijn er in totaal k = 6.

Misschien begrijpen veel lezers niet hoe ze de getallen n en k moeten tellen. Begin met interne knooppunten. Alles is hier duidelijk: we schilderen met een potlood over de driehoek en kijken hoeveel knooppunten gearceerd zijn.

Met grensknooppunten is het iets ingewikkelder. veelhoekgrens - gesloten gebroken lijn, die het coördinatenraster op veel punten snijdt. De gemakkelijkste manier is om een "beginpunt" te markeren en dan de rest te omzeilen.

Grensknooppunten zijn alleen die punten op de polylijn waar ze elkaar tegelijkertijd snijden drie lijnen:

Eigenlijk een onderbroken lijn;
Horizontale rasterlijn;
verticale lijn.

Laten we eens kijken hoe het allemaal werkt in echte problemen.

Taak. Zoek de oppervlakte van een driehoek als de celgrootte 1 x 1 cm is:

Laten we eerst de knooppunten markeren die binnen de driehoek liggen, evenals op de rand:

Het blijkt dat er maar één interne knoop is: n = 1. Er zijn zes grensknooppunten: drie vallen samen met driehoekige hoekpunten, en nog drie liggen aan de zijkanten. Totaal k = 6.

Nu berekenen we de oppervlakte met de formule:

Dat is alles! Probleem opgelost.

Taak. Zoek de oppervlakte van een vierhoek afgebeeld op geruit papier met een celgrootte van 1 cm bij 1 cm Geef je antwoord in vierkante centimeters.

Nogmaals, we markeren de interne en grensknooppunten. Er zijn n = 2 interne knooppunten Grensknooppunten: k = 7, waarvan 4 hoekpunten van de vierhoek, en nog 3 liggen op de zijkanten.

Het blijft over om de getallen n en k in de gebiedsformule te vervangen:

Let op het laatste voorbeeld. Dit probleem werd eigenlijk voorgesteld tijdens het diagnostische werk in 2012. Als je volgens het standaardschema werkt, zul je veel extra constructies moeten doen. En door de methode van knopen wordt alles bijna mondeling opgelost.

Belangrijke opmerking over gebieden

Maar de formule is niet alles. Laten we de formule een beetje herschrijven en de termen aan de rechterkant plaatsen tot een gemeenschappelijke noemer. We krijgen:

De getallen n en k zijn het aantal knopen, het zijn altijd gehele getallen. Dus de hele teller is ook een geheel getal. We delen het door 2, wat een belangrijk feit impliceert:

Het gebied wordt altijd uitgedrukt geheel getal of breuk. Bovendien is er aan het einde van de breuk altijd "vijf tienden": 10,5; 17,5 enz.

De oppervlakte in opgave B5 wordt dus altijd uitgedrukt als een geheel getal of een breuk van de vorm ***.5. Als het antwoord anders is, betekent dit dat er ergens een fout is gemaakt. Houd hier rekening mee als je het echte examen wiskunde gaat maken!

Ze zijn licht, opengewerkt, met een duidelijk patroon van een maasknoop, alleen als ze zijn gemaakt van een gelijkmatige en gladde draad (geen pluisjes): dit is een koordvislijn, linnen draden en sterk gedraaide wol. Door de afstand tussen de knooppunten te verkleinen of te vergroten, worden de netten rond driedimensionale objecten geweven, waarbij ze hun vorm exact herhalen. Maar bovenal wordt de monotone onopvallende textuur van het raster gebruikt als achtergrond voor het hoofdpatroon.

Er zijn bepaalde regels voor het weven van netten:

hoe groter de openingen tussen de draden die aan de basis hangen, hoe delicater het gaas;
het aantal draden dat aan de schering hangt moet een veelvoud zijn van het aantal draden in één knoop;
nodulaire en werkende draden van knopen geweven in een dambordpatroon wisselen na elke rij van plaats, daarom worden ze gelijkmatig verbruikt;
het aantal rijen wordt geteld vanaf de zijrand van het raster (van boven naar beneden) langs de uiterste knooppunten, aangezien de knooppunten van de oneven rijen zich helemaal aan de rand bevinden en de even rijen dieper worden verplaatst;
het aantal hangende draden hangt af van het motief van het patroon (het motief is een bepaald aantal knopen dat zich ritmisch herhaalt in het patroon).

Een raster van eenvoudige knopen (Fig. 164, a).

De uiteinden van de hangende draden voor het weven van het net moeten 2 keer langer zijn dan de hoogte van het eindproduct. Je kunt van rechts naar links en van links naar rechts werken.

Bevestig 4 draden van 1 m lang op de basis op een afstand van 2-3 cm van elkaar, vouw ze dubbel (8 draden zijn uitgedraaid).

1e rij - doe een stap terug van de basis met 1 cm, knoop een linker eenvoudige knoop op elk paar draden (Fig. 164, b) en speld ze met een speld op de helft - het bleken 4 knopen te zijn (Fig. 164, c ).

2e rij - leg de meest linkse draad opzij en maak op de volgende 2 (1 draad van de knopen van de 1e rij) een eenvoudige linkerknoop, waarbij u 2-3 cm naar beneden gaat vanaf de 1e rij. , door ze op hetzelfde niveau te plaatsen als de 1e knoop. De laatste meest rechtse draad bleef vrij. Er zijn 3 knooppunten gevormd, die versprongen zijn ten opzichte van de knooppunten van de 1e rij.

Deze knopen worden ook vastgemaakt aan het kussen.

3e rij - zet 1 extreem vrije draad in het werk en leg 2-3 cm onder de 2e rij een eenvoudige knoop op elk paar draden. Er werden 4 knopen gevormd (zoals in de 1e rij).

4e rij - weven als 2e, proberen gelijke afstanden tussen rijen te behouden.

Afbeelding 164, 165 en 166:

Om te voorkomen dat het gaas op het kussen wegglijdt, vergeet niet om de knopen met spelden vast te zetten - dit helpt om scheve rijen te voorkomen. Zorg ervoor dat de losse draden langs de randen van het gaas in alle rijen even groot zijn.

Het gaas kan in een cirkel worden geweven als je de uiteinden van de schering knoopt. In dit geval zijn er geen vrije draden, omdat alle draden betrokken zijn bij het weven van elke rij.

Een raster van met elkaar verweven eenvoudige knopen (Fig. 165, a).

In dit patroon worden 2 eenvoudige knopen aan elke 2 draden gebonden, waardoor ze met elkaar verweven worden: eerst wordt de rechter eenvoudige knoop (niet strak) aan de linkerdraad gebonden, daarna wordt de rechterdraad in de lus van de losse knoop getrokken (fig. 165, b) en de linker eenvoudige knoop wordt vastgemaakt terwijl de rechter wordt aangetrokken. Beide knopen moeten symmetrisch met elkaar verweven zijn (Fig. 165, c) - zo'n vervlechting wordt een "liefdesknoop" genoemd.

Een raster van knoopknopen (Afb. 166).

Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 2. Hun lengte moet 2 keer de hoogte van het net zijn.

Rasters van Armeense knopen.

De berekening voor een set draden is hetzelfde als in het vorige raster, als de knopen op 2 draden zijn vastgemaakt (Fig. 167, a). Een andere versie van het patroon (Fig. 167, b): knopen in oneven rijen worden gemaakt op 3 draden, in even - op 2. Het aantal uiteinden van de hangende draden in dit patroon moet worden gedeeld door 3. Hun lengte is niet hetzelfde (Fig. 168): korte draden zijn even hoog als het rooster, lange moeten 2 keer zo groot zijn.

Schema 167-168:

Netten van lusknopen.

Ze zijn opengewerkt of dichter, afhankelijk van het aantal knooppunten in elke link: hoe minder knooppunten, hoe dichter de mesh.

Raster van enkele rechtse knooppunten

(dicht - Afb. 169). Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 2, hun lengte moet 2 keer de hoogte van het rooster zijn.

Schema 169-172:

Voor een netwerk van drievoudige eenzijdige knopen

(alle 3 rechts) - afb. 170, het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 4. De lengte van de oneven draden moet gelijk zijn aan de hoogte van het rooster, de even - 2,5 keer langer.

Opengewerkt gaas van een combinatie van rechter- en linkerlusknopen

(Fig. 171) zijn gemaakt van draden die 2,5 keer langer zijn dan de hoogte, hun aantal moet deelbaar zijn door 2.

Opengewerkt raster met vierkante cellen

(Fig. 172) zijn geweven van kettingen van "slangen", die elk uit 4-6 lusknopen bestaan. "Slangen" zijn paarsgewijs verbonden met een dubbele platte knoop. Het aantal uiteinden van de ophangdraden voor het net is een veelvoud van 4, hun lengte moet 3 keer de hoogte van het net zijn.

Rasters van knopen "tatting".

De knopen erin zijn vastgemaakt met een enkele draad (Fig. 173, a) en een dubbele draad (Fig. 173, b). De lengte van de ophangdraden in deze twee netten moet 3 keer de hoogte van het net zijn. Het aantal uiteinden voor de eerste mesh moet deelbaar zijn door 2, voor de tweede - door 4.

Schema 173-176:

Grid-meshka van knopen "tatting" (fig. 174).

Het wordt geweven door de rechter en linker knopen af te wisselen: in oneven rijen worden elke 2 draden vastgebonden met een linkerknoop, in even rijen worden rechterknopen op dezelfde knopen gelegd, met werkdraden van de tegenovergestelde knoop van de vorige rij . In dit geval zijn de knooppunten niet gerangschikt in een dambordpatroon, maar in verticale rijen onder elkaar. Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 2 plus 1 voor symmetrie, de geknoopte draden moeten gelijk zijn aan de lengte van het gaas, de werkdraden moeten 2,5 keer langer zijn.

Rasters van reps-knopen.

Ze zijn geweven met diagonale en verticale rep-knopen.

Bij het weven van een gaas met grote cellen (Fig. 175, a), worden oneven rijen uitgevoerd op elke 2 draden, waarbij ze met diagonale knopen van links naar rechts worden vastgemaakt (de rechterdraad in de linkerhand is geknoopt, de linkerdraad in de rechterhand). hand werkt). In even rijen veranderen de functies van de draden: de knopen van de vorige rij worden werkend. Knopen worden van rechts naar links uitgevoerd.

Als de maasknooppunten dicht bij elkaar worden geplaatst, is het weefoppervlak fijn geboekt (Fig. 175, b). Dit gaas wordt tweed en boucle genoemd. Het aantal uiteinden van de hangende draden moet deelbaar zijn door 2, hun lengte moet 4 keer de hoogte van het net zijn.

Een raster weven met driehoekige cellen van verticale rep-knopen

(Fig. 176) is vergelijkbaar met het weven van een horizontale brida van verticale rep-knopen (zie Fig. 38, c).

De uiteinden van de hangende draden moeten dezelfde lengte hebben als het gaas, hun aantal moet deelbaar zijn door 2. Voor het werk zijn alle draden verdeeld in 2 - nodulaire draden, en in de 1e rij, met een extra draad als werkdraad draad, één verticale herhalingsdraad wordt in elk paar draden gestoken knoop (rechts naar links). In de volgende rij worden de geknoopte draden herverdeeld in een dambordpatroon en wordt elk paar geknoopte draden van links naar rechts gevlochten. De werkdraad voor het weven kan naar behoefte worden afgesneden.

Rasters van platte knopen.

Ze zijn erg populair bij het weven. Sommige lijken op kant, andere zijn erg dicht en hebben een ingewikkeld weefsel van draden.

Er wordt een dicht gaas van enkele platte knopen geweven, waardoor de knopen dicht bij elkaar worden gebonden. Het rooster kan zeldzamer en reliëf worden gemaakt (Fig. 177) als elke schakel uit verschillende knopen is geweven (er zouden er genoeg moeten zijn voor de zanger om op de rand te draaien).

Het aantal uiteinden van de ophangdraden voor beide netten is een veelvoud van 4. De lengte van de uiteinden voor het eerste net moet 3 keer zijn en voor het tweede net 5 keer de hoogte.

Schema 177-180:

Raster van dubbele platte knopen - "dambord" (Fig. 178)

Het heeft een duidelijkere textuur als de dwarsbalken van alle knooppunten zich aan één kant bevinden. Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 4. Hun lengte moet 4 keer de hoogte van het net zijn.

Door de structuur van de dubbele platte knoop kun je een net weven zonder dat er draden aan de schering hangen. In plaats daarvan worden spelden gebruikt: de draden worden dubbelgevouwen, met een lus tot aan het kussen vastgemaakt en om de 4 worden dubbele platte knopen vastgemaakt (afb. 179).

Deze techniek wordt gebruikt bij het weven van kleding, sjaals, d.w.z. wanneer een elastische rand nodig is.

Voor het weven van een netwerk van gepaarde dubbele platte knopen op 6 draden

(Fig. 180) de uiteinden van de hangende draden moeten 3 keer langer zijn dan de hoogte van het rooster en hun aantal moet deelbaar zijn door 6. Eerst wordt een dubbele platte knoop op de middelste 4 draden gelegd (2, 3, 4 en 5e) en de arbeiders nemen draden opzij (2e en 5e), leg vervolgens de 2e knoop op dezelfde geknoopte (3e en 4e) vrije draden (1e en 6e). Begin en eindig de volgende rij, de eerste en laatste 3 draden worden naar de zijkanten gebracht, de middelste draden worden herverdeeld in zessen.

Volgens hetzelfde principe wordt een raster van dubbele platte knopen, verbonden door 3, geweven (Fig. 181). Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 8, hun lengte moet 2-3 keer de hoogte van het net zijn.

Een maaswerk van opengewerkte meters (Fig. 182) wordt uitgevoerd op hetzelfde aantal draden als de vorige, maar de draden worden herverdeeld nadat 2 groepen van 3 knopen op dezelfde nodulaire knopen zijn vastgemaakt met een interval tussen groepen van 0,5 cm.

Schema 181-184:

In een raster van dubbele platte knopen - "polotnyanka"

(Fig. 183) - de knooppunten zijn niet verspringend, maar onder elkaar. Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 4, hun lengte moet 3 keer de hoogte van het net zijn.

Grid-merezjka

(Fig. 184) wordt uitgevoerd door de werkdraden in elke rij te kruisen. De lengte van de werkdraden is 4-6 keer langer dan de nodulaire draden, de lengte van de nodulaire draden is gelijk aan de hoogte van het gaas. Het aantal uiteinden van de draden die aan de basis hangen, moet deelbaar zijn door 4. Zorg ervoor dat het weefsel van de werkende draden overal hetzelfde is: rechts over links.

Voor gaas met grote cellen van dubbele platte knopen

(Fig. 185) het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 6 plus 4 draden voor de symmetrie van het patroon, de lengte van de geknoopte draden (2, 3, 5 en 6e) moet gelijk zijn aan de hoogte van het rooster, de werkende draden (1e en 4e) in 2 keer langer.

Schema 185-188

Voor een net van drievoudige platte knopen

(Fig. 186) het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 4, hun lengte moet 4 keer de hoogte van het rooster zijn.

Voor een raster van platte complexe knopen

(Fig. 187) het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 6, hun lengte moet 4 keer de hoogte van het rooster zijn.

Voor mesh met "vliegen"

(Fig. 188) het aantal uiteinden van de hangende draden moet deelbaar zijn door 4, hun lengte moet 3,5-4 keer de hoogte van het net zijn. De "vlieg" is geweven van 4 draden (1e en 4e - arbeiders, 2e en 3e - geknoopt): eerst wordt de linker enkele platte knoop vastgemaakt, dan wordt de rechter eenvoudige knoop vastgemaakt aan 2 geknoopte (Fig. 189, een ) en daaronder - een dubbele platte knoop met een linker dwarsbalk (Fig. 189, b). Als de "vliegen" op dikke draden worden uitgevoerd, wordt in plaats van een dubbele platte knoop een rechter enkele platte knoop vastgemaakt (Fig. 189, c).

Schema 189-191

Raster van Chinese knopen (Fig. 190).

Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 2, hun lengte moet 3 keer de hoogte van het gaas zijn (zie de knooptechniek in Fig. 139, a, b). Als u de draden ophangt en ze in kleur afwisselt, hebben de oneven rijen van het raster tweekleurige knopen en de even rijen een kleur (Fig. 191).

Raster van "Josephine" knopen (Fig. 192).

Het is beter om het uit te voeren met bundels draden of enkele, maar dikke draden. Het aantal uiteinden van de ophangdraden is een veelvoud van 2, hun lengte moet 4 keer de hoogte van het net zijn.

Schema 192-193:

Raster van vlechten (Fig. 193).

Het is nogal gecompliceerd in uitvoering, omdat het bij het weven moeilijk is om dezelfde afstand tussen de vlechten te behouden. Het aantal uiteinden van de hangende draden is een veelvoud van 2, hun lengte moet 4-5 keer de hoogte van het net zijn.

Geometrische mesh-fragmenten.

Het ritme van de rasterknooppunten kan eenvoudig worden herbouwd tot geometrische vormen: zeshoeken (Fig. 194, a), driehoeken (Fig. 194, b), ruiten (Fig. 194, c).

De techniek om ze te weven is heel eenvoudig. Als er bijvoorbeeld een driehoek is geweven, worden aan het begin en einde van elke nieuwe rij 2 extreme draden niet gebreid, en dan is er 1 knoop minder in de rij dan in de vorige. Weef dus tot er nog maar 1 knoop over is. Voor het weven van een driehoek wordt de verdeling van knopen in rijen aangegeven door cijfers, bijvoorbeeld 3, 2, 1. Als een ruit wordt uitgevoerd, beginnen ze met 1 knoop: 1 dubbele platte knoop wordt op 4 middelste draden gebonden, de draden worden eronder verdeeld door 2 en, voeg er nog 2 vrij van de randen toe, bind onder de 1e knoop 2 dubbele platte in een dambordpatroon. In de volgende rijen hechten ze ook

2 draden links en rechts, waardoor het canvas na elke rij 1 knoop uitzet. Nadat je de bovenste helft van de ruit hebt voltooid, weef je de onderste. Aantal knopen in rijen: 1.2, 3.2, 1.

Een voorbeeld van een andere verdeling van knopen in rijen 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - volgens dit verslag worden ruiten geweven uit het Armeens (Fig. 195, a), diagonale rep (Fig. 195, b) en pionierknopen (Fig. 195, c) en van platte kettingen (Fig. 195, d).

Schema 194 - 195

Rasterknooppunten vormen harmonieus een horizontale lijn

(Fig. 196, a) en verticale (Fig. 196, b) zigzaglijnen. Het is handiger om een horizontaal exemplaar met afzonderlijke hoeken te weven en ze vervolgens met een knoop te verbinden met behulp van de draden van aangrenzende fragmenten. De hoeken zijn als volgt geweven: eerst wordt de bovenste centrale knoop vastgemaakt, vervolgens worden de draden eronder gelijkmatig verdeeld (bijvoorbeeld 2 elk) en 2 naar links, 2 naar rechts gestuurd. Onder de 1e knoop aan de linkerkant wordt een nieuwe knoop gemaakt met 2 linkse draden van de 1e knoop en 2 vrije draden aan de linkerkant. Maak op dezelfde manier een knoop aan de rechterkant. Weef vervolgens nog 1 knoop rechts en links, met 2 vrije draden en 2 draden van de vorige knoop. Dus weef diagonaal naar de gewenste maat van de hoek met de bovenkant naar boven. Door 2 hoeken te verbinden met hoekpunten die in tegengestelde richtingen zijn gericht, wordt een ruit verkregen, waarvan het midden is gevuld met vrije draden (Fig. 197, a). Volgens hetzelfde principe wordt een zeshoek geweven (Fig. 197, b).

Schema 196-199

Een dichtere diagonale lijn van knopen

(Fig. 198) wordt verkregen als voor elk nieuw knooppunt 3 threads van het vorige knooppunt worden gebruikt (1 nodulair, 2 werkers) en 1 gratis.

Ontvangst van het verbinden van het raster met fragmenten van andere patronen.

Een eentonig web van mesh wordt gebruikt om nieuwe patronen te creëren. Op de roosters lijken verschillende geweven fragmenten meer reliëf, convex en expressiever. Hoe worden combinaties van kettingen, knopen en andere elementen in het raster geweven? Maak kennis met deze technieken aan de hand van het voorbeeld van een "dambord" -raster in het midden met een gewone dubbele platte knoop (Fig. 199, a).

Eerst wordt een schets van een nieuw patroon getekend en wordt de grootte en locatie van de knoop bepaald. In de regel wordt het vanuit vrij werkende draden in een ruit ingevoerd (Fig. 199, b). Het raster wordt aan de bovenkant van de ruit geweven, vervolgens worden er geen knopen gelegd waar de ruit is gemarkeerd: eerst 1 knoop (de bovenkant van de ruit), in de volgende rij nog 2 knopen in een dambordpatroon, dan 3 knopen en zo verder totdat de gewenste breedte van de ruit is verkregen. Daarna wordt een gemeenschappelijke knoop gelegd. Hoe meer draden er over zijn voor de knoop, hoe effectiever het is (bij het knopen, niet scheef trekken: het midden van de knoop moet samenvallen met het midden van de ruit). Strek de draden onder de knoop en weef de onderste helft van de ruit, voeg geleidelijk 2 extreme draden van de gewone knoop toe tot het werk.