Welke eigenschappen van een parallellogram zijn opgenomen in de definitie ervan? Onderzoeksproject "parallelogram en zijn eigenschappen"

Om te bepalen of een gegeven figuur een parallellogram is, zijn er een aantal tekens. Laten we eens kijken naar de drie belangrijkste kenmerken van een parallellogram.

1 parallellogramteken

Als twee zijden van een vierhoek gelijk en evenwijdig zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram.

Bewijs:

Beschouw de vierhoek ABCD. Laat de zijden AB en CD evenwijdig zijn. En laat AB=CD. Laten we de diagonale BD erin tekenen. Het zal deze vierhoek in twee gelijke driehoeken verdelen: ABD en CBD.

Deze driehoeken zijn aan twee zijden gelijk aan elkaar en de hoek daartussen (BD is de gemeenschappelijke zijde, AB = CD volgens voorwaarde, hoek1 = hoek2 als kruislingse hoeken met de transversale BD van evenwijdige lijnen AB en CD.), en dus hoek3 = hoek4.

En deze hoeken zullen kruislings liggen wanneer de lijnen BC en AD de secans BD snijden. Hieruit volgt dat BC en AD evenwijdig aan elkaar zijn. We zien dat in de vierhoek ABCD de tegenoverliggende zijden paarsgewijs evenwijdig zijn, en daarom is de vierhoek ABCD een parallellogram.

Parallellogramteken 2

Als in een vierhoek de overstaande zijden paarsgewijs gelijk zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram.

Bewijs:

Beschouw de vierhoek ABCD. Laten we de diagonale BD erin tekenen. Het zal deze vierhoek in twee gelijke driehoeken verdelen: ABD en CBD.

Deze twee driehoeken zijn aan drie zijden gelijk aan elkaar (BD is de gemeenschappelijke zijde, AB = CD en BC = AD volgens voorwaarde). Hieruit kunnen we concluderen dat hoek1 = hoek2. Hieruit volgt dat AB evenwijdig is aan CD. En aangezien AB = CD en AB evenwijdig is aan CD, zal volgens het eerste criterium van een parallellogram de vierhoek ABCD een parallellogram zijn.

3 parallellogramteken

Als de diagonalen van een vierhoek elkaar snijden en worden doorsneden door het snijpunt, dan is deze vierhoek een parallellogram.

Beschouw de vierhoek ABCD. Laten we er twee diagonalen AC en BD in tekenen, die elkaar zullen snijden in punt O en door dit punt in tweeën worden gedeeld.

Driehoeken AOB en COD zullen gelijk zijn aan elkaar, volgens het eerste teken van gelijkheid van driehoeken. (AO = OC, BO = OD volgens voorwaarde, hoek AOB = hoek COD as verticale hoeken.) Daarom AB = CD en hoek 1 = hoek 2. Uit de gelijkheid van hoeken 1 en 2 blijkt dat AB evenwijdig is aan CD. Dan hebben we dat in de vierhoek ABCD de zijden AB gelijk zijn aan CD en evenwijdig, en volgens het eerste criterium van een parallellogram zal de vierhoek ABCD een parallellogram zijn.

Samenvatting van de les.

Algebra 8e leerjaar

Docent Sysoy A.K.

Schooljaar 1828

Lesonderwerp: “Parallelogram en zijn eigenschappen”

Lestype: gecombineerd

Lesdoelstellingen:

1) Zorg voor de assimilatie van een nieuw concept: een parallellogram en zijn eigenschappen

2) Ga door met het ontwikkelen van de vaardigheden en capaciteiten om geometrische problemen op te lossen;

3) Ontwikkeling van een cultuur van wiskundige spraak

Lesplan:

1. Organisatorisch moment

(Dia 1)

De dia toont een verklaring van Lewis Carroll. De leerlingen worden geïnformeerd over het doel van de les. Er wordt gecontroleerd of de leerlingen klaar zijn voor de les.

2. Kennis actualiseren

(Dia 2)

Op het bord staan ​​taken voor mondeling werk. De leraar nodigt de leerlingen uit om over deze problemen na te denken en hun hand op te steken naar degenen die begrijpen hoe ze het probleem kunnen oplossen. Na het oplossen van twee problemen wordt een leerling naar het bord geroepen om de stelling over de som van de hoeken te bewijzen, die zelfstandig aanvullende constructies op de tekening maakt en de stelling mondeling bewijst.

Leerlingen gebruiken de formule voor de som van de hoeken van een veelhoek:

3. Hoofdgedeelte

(Dia 3)

Definitie van een parallellogram op het bord. De leraar vertelt over nieuw figuur en formuleert een definitie, waarbij de nodige toelichtingen worden gegeven met behulp van een tekening. Vervolgens laat hij op het geblokte deel van de presentatie, met behulp van een marker en een liniaal, zien hoe je een parallellogram tekent (er zijn verschillende gevallen mogelijk)

(Dia 4)

De docent formuleert de eerste eigenschap van een parallellogram. Nodigt leerlingen uit om aan de hand van de tekening te vertellen wat er gegeven is en wat bewezen moet worden. Hierna verschijnt de opgegeven taak op het bord. De leerlingen raden (misschien met de hulp van de leraar) dat de vereiste gelijkheden moeten worden bewezen door middel van de gelijkheden van driehoeken, die kunnen worden verkregen door een diagonaal te tekenen (er verschijnt een diagonaal op het bord). Vervolgens raden de leerlingen waarom de driehoeken gelijk zijn en benoemen ze het teken dat driehoeken gelijk zijn (de bijbehorende vorm verschijnt). Ze communiceren mondeling de feiten die nodig zijn om de driehoeken gelijk te maken (zoals ze ze noemen, verschijnt er een overeenkomstige visualisatie). Vervolgens formuleren de leerlingen de eigenschap van congruente driehoeken, dit verschijnt als punt 3 van het bewijs, en voltooien vervolgens zelfstandig het bewijs van de stelling mondeling.

(Dia 5)

De docent formuleert de tweede eigenschap van een parallellogram. Op het bord verschijnt een tekening van een parallellogram. De leerkracht stelt voor om de afbeelding te gebruiken om aan te geven wat er gegeven wordt en wat bewezen moet worden. Nadat leerlingen correct hebben gerapporteerd wat er is gegeven en wat moet worden bewezen, verschijnt de voorwaarde van de stelling. De leerlingen raden dat de gelijkheid van de delen van de diagonalen bewezen kan worden door de gelijkheid van driehoekenAOB En KABELJAUW.. Door gebruik te maken van de vorige eigenschap van een parallellogram, vermoedt men dat de zijden gelijk zijnAB En CD. Dan begrijpen ze dat ze gelijke hoeken moeten vinden en, met behulp van de eigenschappen van parallelle lijnen, de gelijkheid moeten bewijzen van hoeken grenzend aan gelijke zijden. Deze fasen worden op de dia gevisualiseerd. De waarheid van de stelling volgt uit de gelijkheid van de driehoeken - de leerlingen zeggen het en een bijbehorende visualisatie verschijnt op de dia.

(Dia 6)

De leerkracht formuleert de derde eigenschap van een parallellogram. Afhankelijk van de resterende tijd tot het einde van de les kan de leraar de leerlingen de kans geven om deze eigenschap zelfstandig te bewijzen, of zich beperken tot de formulering ervan, en het bewijs zelf aan de leerlingen overlaten. huiswerk. Het bewijs kan gebaseerd zijn op de som van de hoeken van een ingeschreven veelhoek, die aan het begin van de les werd herhaald, of op de som van de interne eenzijdige hoeken van twee parallelle lijnenADVERTENTIE En BCen een secans bijvoorbeeldAB.

4. Het bevestigen van het materiaal

In deze fase gebruiken leerlingen eerder geleerde stellingen om problemen op te lossen. De leerlingen selecteren zelfstandig ideeën om het probleem op te lossen. Omdat mogelijke opties Er is veel ontwerp en ze zijn allemaal afhankelijk van hoe de leerlingen naar een oplossing voor het probleem zullen zoeken. Er is geen visualisatie van de oplossing voor de problemen, en de leerlingen tekenen elke fase van de oplossing zelfstandig op een apart bord met het vastleggen van de oplossing in een notitieboekje.

(Dia 7)

De taakvoorwaarde verschijnt. De leerkracht stelt voor om ‘Gegeven’ te formuleren in overeenstemming met de voorwaarde. Nadat de leerlingen een korte verklaring van de voorwaarde correct hebben opgesteld, verschijnt 'Gegeven' op het bord. Het proces voor het oplossen van het probleem kan er als volgt uitzien:

Laten we de hoogte BH tekenen (gevisualiseerd)

Driehoek AHB is een rechthoekige driehoek. Hoek A gelijk aan hoek C en is gelijk aan 30 0 (volgens de eigenschap van tegenovergestelde hoeken in een parallellogram). 2BH =AB (door de eigenschap van het been dat tegenover de hoek van 30° ligt in een rechthoekige driehoek). Dus AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (volgens de eigenschap van overstaande zijden in een parallellogram) Dus AB = CD = 13 cm. Omdat de omtrek van het parallellogram 50 cm is, geldt BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Antwoord: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Dia 8)

De taakvoorwaarde verschijnt. De leerkracht stelt voor om ‘Gegeven’ te formuleren in overeenstemming met de voorwaarde. Vervolgens verschijnt “Gegeven” op het scherm. Met rode lijnen wordt een vierhoek gemarkeerd, waarover je moet bewijzen dat het een parallellogram is. Het proces voor het oplossen van het probleem kan er als volgt uitzien:

Omdat BK en MD staan ​​loodrecht op één lijn, daarna zijn de lijnen BK en MD evenwijdig.

Door aangrenzende hoeken er kan worden aangetoond dat de som van de interne eenzijdige hoeken op rechte lijnen BM en KD en de secans MD gelijk is aan 180 0. Daarom zijn deze lijnen evenwijdig.

Omdat de vierhoek BMDK tegenoverliggende zijden in paren evenwijdig heeft, is deze vierhoek een parallellogram.

5. Einde van de les. Gedrag van de resultaten.

(Dia 8)

Er verschijnen vragen op de dia nieuw onderwerp, waarop studenten reageren.

Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden paarsgewijs evenwijdig zijn. De volgende afbeelding toont parallellogram ABCD. Het heeft zijde AB evenwijdig aan zijde CD en zijde BC evenwijdig aan zijde AD.

Zoals je misschien al geraden hebt, is een parallellogram een ​​convexe vierhoek. Laten we eens kijken naar de basiseigenschappen van een parallellogram.

Eigenschappen van een parallellogram

1. In een parallellogram zijn overstaande hoeken en overstaande zijden gelijk. Laten we deze eigenschap bewijzen - bekijk het parallellogram in de volgende afbeelding.

Diagonaal BD verdeelt het in twee gelijke driehoeken: ABD en CBD. Ze zijn gelijk langs de zijde BD en de twee aangrenzende hoeken, aangezien de hoeken kruislings liggen op de snijlijn BD van respectievelijk evenwijdige lijnen BC en AD en AB en CD. Daarom AB = CD en
BC = AD. En uit de gelijkheid van de hoeken 1, 2, 3 en 4 volgt dat hoek A = hoek1 + hoek3 = hoek2 + hoek4 = hoek C.

2. De diagonalen van een parallellogram worden door het snijpunt in tweeën gedeeld. Laat punt O het snijpunt zijn van de diagonalen AC en BD van het parallellogram ABCD.

Dan zijn driehoek AOB en driehoek COD gelijk aan elkaar, langs de zijkant en twee aangrenzende hoeken. (AB = CD aangezien dit tegenoverliggende zijden van het parallellogram zijn. En hoek1 = hoek2 en hoek3 = hoek4 zijn als kruislingse hoeken wanneer de lijnen AB en CD respectievelijk de secans AC en BD snijden.) Hieruit volgt dat AO = OC en OB = OD, wat bewezen moest worden.

Alle belangrijke eigenschappen worden geïllustreerd in de volgende drie figuren.

Net zoals in de Euclidische meetkunde het punt en de rechte lijn de belangrijkste elementen zijn van de vlakkentheorie, is het parallellogram een ​​van de sleutelfiguren van convexe vierhoeken. Daaruit vloeien, net als draden van een bal, de concepten 'rechthoek', 'vierkant', 'ruit' en andere geometrische grootheden voort.

Definitie van parallellogram

convexe vierhoek, bestaande uit lijnsegmenten, waarvan elk paar evenwijdig is, staat in de geometrie bekend als een parallellogram.

Hoe een klassiek parallellogram eruit ziet, wordt weergegeven door een vierhoek ABCD. De zijden worden basissen genoemd (AB, BC, CD en AD), de loodlijn getrokken vanuit een willekeurig hoekpunt naar de zijde tegenover dit hoekpunt wordt hoogte genoemd (BE en BF), de lijnen AC en BD worden diagonalen genoemd.

Aandacht! Vierkant, ruit en rechthoek zijn speciale gevallen van parallellogram.

Zijkanten en hoeken: kenmerken van de relatie

Belangrijkste eigenschappen, over het algemeen, vooraf bepaald door de aanduiding zelf, worden ze bewezen door de stelling. Deze kenmerken zijn als volgt:

1. De tegenoverliggende zijden zijn in paren identiek.
2. Hoeken tegenover elkaar zijn in paren gelijk.

Bewijs: Beschouw ∆ABC en ∆ADC, die worden verkregen door de vierhoek ABCD te delen door de rechte AC. ∠BCA=∠CAD en ∠BAC=∠ACD, omdat AC voor hen gebruikelijk is (verticale hoeken voor respectievelijk BC||AD en AB||CD). Hieruit volgt: ∆ABC = ∆ADC (het tweede teken van gelijkheid van driehoeken).

De segmenten AB en BC in ∆ABC corresponderen paarsgewijs met de lijnen CD en AD in ∆ADC, wat betekent dat ze identiek zijn: AB = CD, BC = AD. ∠B komt dus overeen met ∠D en ze zijn gelijk. Omdat ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, die ook paarsgewijs identiek zijn, is ∠A = ∠C. De eigenschap is bewezen.

Kenmerken van de diagonalen van een figuur

Belangrijkste kenmerk van deze lijnen van een parallellogram: het snijpunt verdeelt ze in tweeën.

Bewijs: Laat d.w.z. het snijpunt zijn van de diagonalen AC en BD van figuur ABCD. Ze vormen twee evenredige driehoeken: ∆ABE en ∆CDE.

AB=CD omdat ze tegenpolen zijn. Volgens de lijnen en de secans is ∠ABE = ∠CDE en ∠BAE = ∠DCE.

Volgens het tweede gelijkheidscriterium geldt ∆ABE = ∆CDE. Dit betekent dat de elementen ∆ABE en ∆CDE: AE = CE, BE = DE en tegelijkertijd proportionele delen zijn van AC en BD. De eigenschap is bewezen.

Kenmerken van aangrenzende hoeken

Aangrenzende zijden hebben een som van de hoeken gelijk aan 180°, omdat ze aan dezelfde kant van evenwijdige lijnen en een transversale lijn liggen. Voor vierhoek ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Eigenschappen van de bissectrice:

1. , naar één kant neergelaten, staan ​​loodrecht;
2. tegenoverliggende hoekpunten hebben parallelle middelloodlijnen;
3. de driehoek verkregen door het tekenen van een bissectrice zal gelijkbenig zijn.

Bepaling van de karakteristieke kenmerken van een parallellogram met behulp van de stelling

De kenmerken van deze figuur volgen uit de hoofdstelling, die het volgende luidt: een vierhoek wordt beschouwd als een parallellogram in het geval dat de diagonalen elkaar kruisen, en dit punt ze in gelijke segmenten verdeelt.

Bewijs: laat de lijnen AC en BD van de vierhoek ABCD elkaar snijden in d.w.z. Omdat ∠AED = ∠BEC, en AE+CE=AC BE+DE=BD, dan is ∆AED = ∆BEC (volgens het eerste criterium voor de gelijkheid van driehoeken). Dat wil zeggen: ∠EAD = ∠ECB. Het zijn tevens de interne dwarshoeken van de secans AC voor de lijnen AD en BC. Dus per definitie van parallellisme - AD || BC Een soortgelijke eigenschap van de lijnen BC en CD wordt ook afgeleid. De stelling is bewezen.

Het berekenen van de oppervlakte van een figuur

Gebied van deze figuur op verschillende manieren gevonden een van de eenvoudigste: het vermenigvuldigen van de hoogte en de basis waarnaar het wordt getrokken.

Bewijs: teken de loodlijnen BE en CF uit de hoekpunten B en C. ∆ABE en ∆DCF zijn gelijk, aangezien AB = CD en BE = CF. ABCD is qua grootte gelijk aan de rechthoekige EBCF, omdat ze uit evenredige figuren bestaan: S ABE en S EBCD, evenals S DCF en S EBCD. Hieruit volgt dat het gebied hiervan geometrische figuur bevindt zich op dezelfde manier als een rechthoek:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Om de algemene formule voor de oppervlakte van een parallellogram te bepalen, geven we de hoogte aan als hb, en de zijkant - B. Respectievelijk:

Andere manieren om gebied te vinden

Oppervlakteberekeningen door de zijkanten van het parallellogram en de hoek, die ze vormen, is de tweede bekende methode.

,

Spr-ma - gebied;

a en b zijn de zijden

α is de hoek tussen segmenten a en b.

Deze methode is praktisch gebaseerd op de eerste, maar in het geval dat deze onbekend is. snijdt altijd af rechthoekige driehoek, waarvan de parameters zijn trigonometrische identiteiten, dat wil zeggen. Als we de relatie transformeren, krijgen we . In de vergelijking van de eerste methode vervangen we de hoogte door dit product en verkrijgen we een bewijs van de geldigheid van deze formule.

Door de diagonalen van een parallellogram en de hoek, die ze creëren wanneer ze elkaar kruisen, kun je het gebied ook vinden.

Bewijs: AC en BD snijden elkaar en vormen vier driehoeken: ABE, BEC, CDE en AED. Hun som is gelijk aan de oppervlakte van deze vierhoek.

De oppervlakte van elk van deze ∆ kan worden gevonden met de uitdrukking , waarbij a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Sinds gebruiken de berekeningen een enkele sinuswaarde. Dat is. Omdat AE+CE=AC= d 1 en BE+DE=BD= d 2, wordt de oppervlakteformule gereduceerd tot:

.

Toepassing in vectoralgebra

De kenmerken van de samenstellende delen van deze vierhoek hebben toepassing gevonden in de vectoralgebra, namelijk de optelling van twee vectoren. De parallellogramregel stelt dat als er vectoren zijn gegevenEnNietcollineair zijn, dan zal hun som gelijk zijn aan de diagonaal van deze figuur, waarvan de bases overeenkomen met deze vectoren.

Bewijs: vanuit een willekeurig gekozen begin - d.w.z. - construeer vectoren en . Vervolgens construeren we een parallellogram OASV, waarbij de segmenten OA en OB zijden zijn. Het besturingssysteem ligt dus op de vector of som.

Formules voor het berekenen van de parameters van een parallellogram

De identiteiten worden gegeven onder de volgende voorwaarden:

1. a en b, α - zijden en de hoek daartussen;
2. d 1 en d 2, γ - diagonalen en op het punt van hun snijpunt;
3. h a en h b - hoogte verlaagd naar zijkanten a en b;

Parameter	Formule
Het vinden van de zijkanten
langs de diagonalen en de cosinus van de hoek daartussen
langs diagonalen en zijkanten
door de hoogte en het tegenovergestelde hoekpunt
Het vinden van de lengte van diagonalen
aan de zijkanten en de grootte van de top ertussen

Dit is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden paren parallel zijn.

Eigendom 1. Elke diagonaal van een parallellogram verdeelt het in twee gelijke driehoeken.

Bewijs . Volgens het II-kenmerk (dwarshoeken en gemeenschappelijke zijde).

De stelling is bewezen.

Eigenschap 2. In een parallellogram zijn overstaande zijden gelijk en overstaande hoeken gelijk.

Bewijs .
Insgelijks,

De stelling is bewezen.

Eigenschap 3. In een parallellogram worden de diagonalen doorsneden door het snijpunt.

Bewijs .

De stelling is bewezen.

Eigendom 4. Hoekmiddellijn van een parallellogram dat elkaar snijdt de andere kant, verdeelt het in een gelijkbenige driehoek en een trapezium. (Hoofdstukwoorden - hoekpunt - twee gelijkbenige? -ka).

Bewijs .

De stelling is bewezen.

Eigendom 5. In een parallellogram wordt een lijnsegment met uiteinden aan weerszijden die door het snijpunt van de diagonalen gaan, door dit punt doorsneden.

Bewijs .

De stelling is bewezen.

Eigendom 6. De hoek tussen de hoogten die vanaf het hoekpunt van een stompe hoek van een parallellogram vallen, is gelijk aan een scherpe hoek van een parallellogram.

Bewijs .

De stelling is bewezen.

Eigendom 7. De som van de hoeken van een parallellogram dat aan één zijde grenst, is 180°.

Bewijs .

De stelling is bewezen.

De bissectrice van een hoek construeren. Eigenschappen van de bissectrice van een driehoek.

1) Construeer een willekeurige straal DE.

2) Construeer op een gegeven straal een willekeurige cirkel met een middelpunt op het hoekpunt en hetzelfde
met het midden aan het begin van de geconstrueerde straal.

3) F en G - snijpunten van de cirkel met de zijden van een gegeven hoek, H - snijpunt van de cirkel met de geconstrueerde straal

Construeer een cirkel met middelpunt in punt H en straal gelijk aan FG.

5) I is het snijpunt van de cirkels van de geconstrueerde balk.

6) Trek een rechte lijn door het hoekpunt en I.

IDH is de vereiste hoek.
)

Eigendom 1. De bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de tegenoverliggende zijde in verhouding tot de aangrenzende zijden.

Bewijs . Laat x, y segmenten zijn van zijde c. Laten we de straal BC voortzetten. Op straal BC tekenen we van C een segment CK gelijk aan AC.