Zoek voor een bepaalde functie de extreme waarde ervan. Extremum van de functie

Laten we kijken naar de grafiek van de functie y = x 3 – 3x 2. Laten we de omgeving van het punt x = 0 beschouwen, d.w.z. een interval dat dit punt bevat. Het is logisch dat er een buurt is van het punt x = 0 zodat hoogste waarde de functie y = x 3 – 3x 2 in deze buurt neemt het punt x = 0 aan. Op het interval (-1; 1) neemt de functie bijvoorbeeld de grootste waarde gelijk aan 0 aan op het punt x = 0. De punt x = 0 wordt het maximumpunt van deze functies genoemd.

Op dezelfde manier wordt het punt x = 2 het minimumpunt van de functie x 3 - 3x 2 genoemd, omdat op dit punt de waarde van de functie niet groter is dan de waarde op een ander punt in de buurt van het punt x = 2, want bijvoorbeeld de buurt (1,5; 2,5).

Het maximale punt van de functie f(x) wordt dus het punt x 0 genoemd als er een buurt van het punt x 0 is zodat de ongelijkheid f(x) ≤ f(x 0) geldt voor alle x uit deze buurt.

Punt x 0 = 0 is bijvoorbeeld het maximale punt van de functie f(x) = 1 – x 2, aangezien f(0) = 1 en de ongelijkheid f(x) ≤ 1 geldt voor alle waarden van x .

Het minimumpunt van de functie f(x) is een punt x 0 als er een zodanige buurt van het punt x 0 bestaat dat voor alle x uit deze buurt voldaan wordt aan de ongelijkheid f(x) ≥ f(x 0).

Punt x 0 = 2 is bijvoorbeeld het minimumpunt van de functie f(x) = 3 + (x – 2) 2, aangezien f(2) = 3 en f(x) ≥ 3 voor alle x.

Extreme punten worden minimum- en maximumpunten genoemd.

Laten we ons wenden tot de functie f(x), die gedefinieerd is in een bepaalde buurt van het punt x 0 en op dit punt een afgeleide heeft.

Als x 0 het uiterste punt is van de differentieerbare functie f(x), dan is f "(x 0) = 0. Deze bewering wordt de stelling van Fermat genoemd.

De stelling van Fermat heeft een duidelijke geometrische betekenis: op het uiterste punt is de raaklijn evenwijdig aan de abscis-as en dus de helling ervan
f "(x 0) is gelijk aan nul.

De functie f(x) = 1 – 3x2 heeft bijvoorbeeld een maximum op punt x0 = 0, de afgeleide f "(x) = -2x, f "(0) = 0.

De functie f(x) = (x – 2) 2 + 3 heeft een minimum op punt x 0 = 2, f "(x) = 2(x – 2), f "(2) = 0.

Merk op dat als f "(x 0) = 0, dit niet voldoende is om te stellen dat x 0 noodzakelijkerwijs het uiterste punt is van de functie f (x).

Als f(x) = x 3, dan is f "(0) = 0. Het punt x = 0 is echter geen uiterste punt, aangezien de functie x 3 langs de gehele numerieke as toeneemt.

De uiterste punten van de differentieerbare functie moeten dus alleen tussen de wortels van de vergelijking worden gezocht
f "(x) = 0, maar de wortel van deze vergelijking is niet altijd een extreem punt.

Stationaire punten zijn punten waarop de afgeleide van een functie nul is.

Om ervoor te zorgen dat het punt x 0 een extreem punt is, is het dus noodzakelijk dat het een stationair punt is.

Laten we voldoende voorwaarden beschouwen om het stationaire punt een extreem punt te laten zijn, d.w.z. omstandigheden waaronder een stationair punt een punt van minimum of maximum van een functie is.

Als de afgeleide links van het stationaire punt positief is, en naar rechts negatief, d.w.z. de afgeleide verandert het “+” teken in het “–” teken wanneer hij door dit punt gaat, dan is dit stationaire punt het maximumpunt.

In dit geval neemt de functie links van het stationaire punt inderdaad toe en naar rechts af, d.w.z. gegeven punt– dit is het maximale punt.

Als de afgeleide het teken “–” verandert in het teken “+” wanneer hij door een stationair punt gaat, dan is dit stationaire punt een minimumpunt.

Als de afgeleide niet van teken verandert wanneer hij door een stationair punt gaat, d.w.z. links en rechts van het stationaire punt is de afgeleide positief of negatief, dan is dit punt geen extremumpunt.

Laten we eens kijken naar een van de problemen. Zoek de uiterste punten van de functie f(x) = x 4 – 4x 3.

Oplossing.

1) Zoek de afgeleide: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).

2) Vind stationaire punten: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.

3) Met behulp van de intervalmethode stellen we vast dat de afgeleide f "(x) = 4x 2 (x – 3) positief is voor x > 3, negatief voor x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Omdat bij het passeren van het punt x 1 = 0 het teken van de afgeleide niet verandert, is dit punt geen uiterste punt.

5) De afgeleide verandert het “–” teken in het “+” teken wanneer hij door het punt x 2 = 3 gaat. Daarom is x 2 = 3 het minimumpunt.

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Erg belangrijke informatie over het gedrag van de functie geven intervallen van toenemend en afnemend. Het vinden ervan maakt deel uit van het proces van het onderzoeken van de functie en het plotten van de grafiek. Bovendien worden de uiterste punten gegeven waarop er een verandering plaatsvindt van stijgend naar dalend of van dalend naar stijgend. speciale aandacht bij het vinden van de grootste en kleinste waarden van een functie op een bepaald interval.

In dit artikel zullen we geven noodzakelijke definities, formuleren we een voldoende teken van toenemende en afnemende functie op een interval en voldoende voorwaarden voor het bestaan van een extremum, en passen we deze hele theorie toe op het oplossen van voorbeelden en problemen.

Paginanavigatie.

Toenemende en afnemende functie met een interval.

Definitie van een toenemende functie.

De functie y=f(x) neemt toe op het interval X als er en is ongelijkheid houdt. Met andere woorden: een grotere argumentwaarde komt overeen met een grotere functiewaarde.

Definitie van een afnemende functie.

De functie y=f(x) neemt af op het interval X als er en is ongelijkheid houdt . Met andere woorden: een grotere waarde van het argument komt overeen met een kleinere waarde van de functie.

OPMERKING: als de functie is gedefinieerd en continu is aan de uiteinden van het toenemende of afnemende interval (a;b), dat wil zeggen op x=a en x=b, dan worden deze punten opgenomen in het toenemende of afnemende interval. Dit is niet in tegenspraak met de definities van een toenemende en afnemende functie op het interval X.

Bijvoorbeeld uit de eigenschappen van de main elementaire functies we weten dat y=sinx gedefinieerd en continu is voor alle reële waarden van het argument. Daarom kunnen we, op basis van de toename van de sinusfunctie op het interval, beweren dat deze op het interval toeneemt.

Extremumpunten, extrema van een functie.

Het punt wordt genoemd maximale punt functie y=f(x) als de ongelijkheid geldt voor alle x in zijn omgeving. De waarde van de functie op het maximale punt wordt aangeroepen maximaal van de functie en aanduiden.

Het punt wordt genoemd minimum punt functie y=f(x) als de ongelijkheid geldt voor alle x in zijn omgeving. De waarde van de functie op het minimumpunt wordt aangeroepen minimale functie en aanduiden.

De buurt van een punt wordt opgevat als het interval , waarbij een voldoende klein positief getal is.

De minimum- en maximumpunten worden genoemd extreme punten, en de waarden van de functie die overeenkomen met de extreme punten worden aangeroepen uiterste van de functie.

Verwar de extrema van een functie niet met de grootste en kleinste waarden van de functie.

In de eerste figuur wordt de grootste waarde van de functie op het segment bereikt op het maximale punt en is gelijk aan het maximum van de functie, en in de tweede figuur wordt de grootste waarde van de functie bereikt op het punt x=b , wat niet het maximale punt is.

Voldoende voorwaarden voor toenemende en afnemende functies.

Op basis van voldoende voorwaarden (tekens) voor de toename en afname van een functie worden intervallen van toename en afname van de functie gevonden.

Hier zijn de formuleringen van de tekenen van toenemende en afnemende functies met een interval:

als de afgeleide van de functie y=f(x) positief is voor elke x uit het interval X, dan neemt de functie toe met X;
als de afgeleide van de functie y=f(x) negatief is voor elke x uit het interval X, dan neemt de functie af op X.

Om de intervallen van toename en afname van een functie te bepalen, is het dus noodzakelijk:

Laten we een voorbeeld bekijken van het vinden van de intervallen van toenemende en afnemende functies om het algoritme uit te leggen.

Voorbeeld.

Zoek de intervallen van toenemende en afnemende functie.

Oplossing.

De eerste stap is het vinden van het definitiedomein van de functie. In ons voorbeeld mag de uitdrukking in de noemer daarom niet naar nul gaan.

Laten we verder gaan met het vinden van de afgeleide van de functie:

Om de intervallen van toename en afname van een functie te bepalen op basis van een voldoende criterium, lossen we ongelijkheden op het domein van definitie op. Laten we een generalisatie van de intervalmethode gebruiken. De enige echte wortel de teller is x = 2 en de noemer gaat naar nul bij x=0. Deze punten verdelen het definitiedomein in intervallen waarin de afgeleide van de functie zijn teken behoudt. Laten we deze punten op de getallenlijn markeren. Conventioneel geven we met plussen en minnen de intervallen aan waarop de afgeleide positief of negatief is. De onderstaande pijlen geven schematisch de toename of afname van de functie op het overeenkomstige interval weer.

Dus, En .

Op het punt De x=2-functie is gedefinieerd en continu, dus deze moet worden opgeteld bij zowel de toenemende als de afnemende intervallen. Op het punt x=0 is de functie niet gedefinieerd, dus nemen we dit punt niet op in de vereiste intervallen.

We presenteren een grafiek van de functie om de verkregen resultaten ermee te vergelijken.

Antwoord:

De functie neemt toe met , neemt af met het interval (0;2] .

Voldoende voorwaarden voor het extremum van een functie.

Om de maxima en minima van een functie te vinden, kun je uiteraard elk van de drie tekens van extremum gebruiken, als de functie aan hun voorwaarden voldoet. De meest voorkomende en handigste is de eerste.

De eerste voldoende voorwaarde voor een extremum.

Laat de functie y=f(x) differentieerbaar zijn in de buurt van het punt en continu op het punt zelf.

Met andere woorden:

Algoritme voor het vinden van extremumpunten op basis van het eerste teken van het extremum van een functie.

We vinden het domein van de definitie van de functie.
We vinden de afgeleide van de functie op het domein van definitie.
We bepalen de nulpunten van de teller, de nulpunten van de noemer van de afgeleide en de punten van het definitiedomein waarin de afgeleide niet bestaat (alle genoemde punten worden genoemd mogelijke extremumpunten Als de afgeleide door deze punten gaat, kan hij gewoon van teken veranderen).
Deze punten verdelen het domein van de definitie van de functie in intervallen waarin de afgeleide zijn teken behoudt. We bepalen de tekens van de afgeleide op elk van de intervallen (bijvoorbeeld door de waarde van de afgeleide van een functie op elk punt in een bepaald interval te berekenen).
We selecteren punten waarop de functie continu is en waar doorheen de afgeleide van teken verandert - dit zijn de uiterste punten.

Er zijn te veel woorden. Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden van het vinden van extremumpunten en extrema van een functie met behulp van de eerste voldoende voorwaarde voor het extremum van een functie.

Voorbeeld.

Zoek de extrema van de functie.

Oplossing.

Het domein van een functie is de gehele verzameling echte cijfers, behalve x=2 .

De afgeleide vinden:

De nulpunten van de teller zijn de punten x=-1 en x=5, de noemer gaat naar nul bij x=2. Markeer deze punten op de getallenas

We bepalen de tekens van de afgeleide bij elk interval; om dit te doen berekenen we de waarde van de afgeleide op elk van de punten van elk interval, bijvoorbeeld op de punten x=-2, x=0, x=3 en x=6.

Daarom is de afgeleide op het interval positief (in de figuur plaatsen we een plusteken over dit interval). Insgelijks

Daarom plaatsen we een min boven het tweede interval, een min boven het derde en een plus boven het vierde.

Het blijft nu om punten te selecteren waarop de functie continu is en de afgeleide van teken verandert. Dit zijn de uiterste punten.

Op het punt x=-1 de functie is continu en de afgeleide verandert van teken van plus naar min, dus volgens het eerste teken van extremum is x=-1 het maximumpunt, het maximum van de functie komt ermee overeen .

Op het punt x=5 de functie is continu en de afgeleide verandert van teken van min naar plus, daarom is x=-1 het minimumpunt, het minimum van de functie komt ermee overeen .

Grafische illustratie.

Antwoord:

LET OP: het eerste voldoende criterium voor een extremum vereist geen differentiatie van de functie op het punt zelf.

Voorbeeld.

Vind extremumpunten en extrema van de functie .

Oplossing.

Het domein van een functie is de gehele verzameling reële getallen. De functie zelf kan worden geschreven als:

Laten we de afgeleide van de functie vinden:

Op het punt x=0 de afgeleide bestaat niet, aangezien de waarden van de eenzijdige limieten niet samenvallen wanneer het argument naar nul neigt:

Tegelijkertijd is de oorspronkelijke functie continu op het punt x = 0 (zie het gedeelte over het bestuderen van de functie op continuïteit):

Laten we de waarde vinden van het argument waarbij de afgeleide naar nul gaat:

Laten we alle verkregen punten op de getallenlijn markeren en het teken van de afgeleide op elk van de intervallen bepalen. Om dit te doen, berekenen we de waarden van de afgeleide op willekeurige punten van elk interval, bijvoorbeeld op x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Dat wil zeggen,

Volgens het eerste teken van een extremum zijn dit dus de minimumpunten , de maximale punten zijn .

We berekenen de overeenkomstige minima van de functie

We berekenen de overeenkomstige maxima van de functie

Grafische illustratie.

Antwoord:

Het tweede teken van een extremum van een functie.

Zoals je kunt zien vereist dit teken van een extremum van een functie het bestaan van een afgeleide van ten minste de tweede orde op het punt.

Om de aard van een functie te bepalen en over het gedrag ervan te praten, is het noodzakelijk om intervallen van toename en afname te vinden. Dit proces wordt functieonderzoek en grafieken genoemd. Het uiterste punt wordt gebruikt bij het vinden van de grootste en laagste waarde functies, omdat daarin de functie toeneemt of afneemt vanaf het interval.

Dit artikel onthult de definities, formuleert een voldoende teken van toename en afname op het interval en een voorwaarde voor het bestaan van een extremum. Dit geldt voor het oplossen van voorbeelden en problemen. Het gedeelte over het differentiëren van functies moet worden herhaald, omdat de oplossing gebruik zal moeten maken van het vinden van de afgeleide.

Definitie 1

De functie y = f (x) zal toenemen op het interval x wanneer, voor elke x 1 ∈ X en x 2 ∈ X, x 2 > x 1, aan de ongelijkheid f (x 2) > f (x 1) is voldaan. Met andere woorden: een grotere waarde van het argument komt overeen met een grotere waarde van de functie.

Definitie 2

De functie y = f (x) wordt geacht afnemend te zijn op het interval x wanneer, voor elke x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, de gelijkheid f (x 2) > f (x 1) wordt als waar beschouwd. Met andere woorden: een grotere functiewaarde komt overeen met een kleinere argumentwaarde. Beschouw de onderstaande figuur.

Opmerking: Wanneer de functie definitief en continu is aan de uiteinden van het interval van toenemend en afnemend, dat wil zeggen (a; b), waarbij x = a, x = b, worden de punten opgenomen in het interval van toenemend en afnemend. Dit is niet in tegenspraak met de definitie; het betekent dat het plaatsvindt op het interval x.

De belangrijkste eigenschappen van elementaire functies van het type y = sin x zijn zekerheid en continuïteit echte waarden argumenten. Vanaf hier krijgen we dat de sinus toeneemt over het interval - π 2; π 2, dan heeft de toename op het segment de vorm - π 2; π 2.

Definitie 3

Het punt x 0 wordt genoemd maximale punt voor de functie y = f (x), wanneer voor alle waarden van x de ongelijkheid f (x 0) ≥ f (x) geldig is. Maximale functie is de waarde van de functie in een punt, en wordt aangegeven met y m a x .

Het punt x 0 wordt het minimumpunt genoemd voor de functie y = f (x), wanneer voor alle waarden van x de ongelijkheid f (x 0) ≤ f (x) geldig is. Minimale functies is de waarde van de functie in een punt, en heeft de aanduiding ymin.

Er wordt rekening gehouden met de buurten van het punt x 0 extreme punten, en de waarde van de functie die overeenkomt met de uiterste punten. Beschouw de onderstaande figuur.

Extrema van een functie met de grootste en kleinste waarde van de functie. Beschouw de onderstaande figuur.

Het eerste cijfer zegt dat het nodig is om de grootste waarde van de functie uit het segment [a; B ] . Het wordt gevonden met behulp van maximale punten en is gelijk aan de maximale waarde van de functie, en het tweede cijfer lijkt meer op het vinden van het maximale punt op x = b.

Voldoende voorwaarden om een functie te laten toenemen en afnemen

Om de maxima en minima van een functie te vinden, is het noodzakelijk om tekenen van extremum toe te passen in het geval dat de functie aan deze voorwaarden voldoet. Het eerste teken wordt als het meest gebruikte beschouwd.

De eerste voldoende voorwaarde voor een extremum

Definitie 4

Laat een functie y = f (x) gegeven worden, die differentieerbaar is in een ε-omgeving van het punt x 0, en continuïteit heeft op het gegeven punt x 0. Vanaf hier krijgen we dat

wanneer f " (x) > 0 met x ∈ (x 0 - ε ; x 0) en f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
wanneer f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 voor x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), dan is x 0 het minimumpunt.

Met andere woorden, we verkrijgen hun voorwaarden voor het plaatsen van het bord:

als de functie continu is op het punt x 0, dan heeft deze een afgeleide met een veranderend teken, dat wil zeggen van + naar -, wat betekent dat het punt een maximum wordt genoemd;
als de functie continu is op het punt x 0, dan heeft deze een afgeleide met een veranderend teken van - naar +, wat betekent dat het punt een minimum wordt genoemd.

Om de maximale en minimale punten van een functie correct te bepalen, moet je het algoritme volgen om ze te vinden:

vind het domein van definitie;
vind de afgeleide van de functie op dit gebied;
identificeer nullen en punten waar de functie niet bestaat;
het bepalen van het teken van de afgeleide op intervallen;
selecteer punten waar de functie van teken verandert.

Laten we het algoritme bekijken door verschillende voorbeelden op te lossen van het vinden van extrema van een functie.

Voorbeeld 1

Vind de maximale en minimale punten van de gegeven functie y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Oplossing

Het definitiedomein van deze functie bestaat uit alle reële getallen behalve x = 2. Laten we eerst de afgeleide van de functie vinden en verkrijgen:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Vanaf hier zien we dat de nullen van de functie x = - 1, x = 5, x = 2 zijn, dat wil zeggen dat elk haakje gelijk moet worden gesteld aan nul. Laten we het op de getallenas markeren en krijgen:

Nu bepalen we de tekens van de afgeleide van elk interval. Het is noodzakelijk om een punt in het interval te selecteren en dit in de uitdrukking te vervangen. Bijvoorbeeld punten x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Dat snappen wij

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, wat betekent dat het interval - ∞ - 1 een positieve afgeleide heeft.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Sinds de tweede interval bleek minder dan nul, wat betekent dat het derivaat op het segment negatief zal zijn. De derde met een min, de vierde met een plus. Om de continuïteit te bepalen, moet je letten op het teken van de afgeleide; dit is dan een extreem punt.

We vinden dat op het punt x = - 1 de functie continu zal zijn, wat betekent dat de afgeleide van teken zal veranderen van + naar -. Volgens het eerste teken hebben we dat x = - 1 een maximumpunt is, wat betekent dat we krijgen

y m een x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Het punt x = 5 geeft aan dat de functie continu is en dat de afgeleide van teken zal veranderen van – naar +. Dit betekent dat x = -1 het minimumpunt is, en de bepaling ervan heeft de vorm

y m ik n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafische weergave

Antwoord: y m een x = y (- 1) = 0, y m ik n = y (5) = 24.

Het is de moeite waard om aandacht te besteden aan het feit dat het gebruik van het eerste voldoende criterium voor een extremum niet vereist dat de functie differentieerbaar is op het punt x 0, wat de berekening vereenvoudigt.

Voorbeeld 2

Vind de maximale en minimale punten van de functie y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Oplossing.

Het domein van een functie bestaat uit alle reële getallen. Dit kan worden geschreven als een stelsel van vergelijkingen in de vorm:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Dan moet je de afgeleide vinden:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Het punt x = 0 heeft geen afgeleide, omdat de waarden van de eenzijdige grenzen verschillend zijn. Wij krijgen dat:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Hieruit volgt dat de functie continu is op het punt x = 0, waarna we berekenen

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Het is noodzakelijk om berekeningen te maken om de waarde van het argument te vinden wanneer de afgeleide wordt gelijk aan nul:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Alle verkregen punten moeten op een rechte lijn worden gemarkeerd om het teken van elk interval te bepalen. Daarom is het noodzakelijk om voor elk interval de afgeleide op willekeurige punten te berekenen. We kunnen bijvoorbeeld punten nemen met waarden x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Dat snappen wij

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Het beeld op de rechte lijn ziet er zo uit

Dit betekent dat we tot de conclusie komen dat het noodzakelijk is om toevlucht te nemen tot de eerste tekenen van een extremum. Laten we dat berekenen en vinden

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , dan hebben vanaf hier de maximale punten de waarden x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Laten we verder gaan met het berekenen van de minima:

y m ik n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ik n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m ik n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Laten we de maxima van de functie berekenen. Dat snappen wij

y m een x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m een x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafische weergave

Antwoord:

y m ik n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ik n = y (0) = - 8 y m ik n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = j 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Als een functie f "(x 0) = 0 wordt gegeven, dan verkrijgen we, als f "" (x 0) > 0, dat x 0 een minimumpunt is als f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Voorbeeld 3

Zoek de maxima en minima van de functie y = 8 x x + 1.

Oplossing

Ten eerste vinden we het domein van de definitie. Dat snappen wij

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Het is noodzakelijk om de functie te differentiëren, waarna we krijgen

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Bij x = 1 wordt de afgeleide nul, wat betekent dat het punt een mogelijk extremum is. Ter verduidelijking: het is noodzakelijk om de tweede afgeleide te vinden en de waarde bij x = 1 te berekenen. Wij krijgen:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Dit betekent dat we, als we de 2 voldoende voorwaarde voor een extremum gebruiken, verkrijgen dat x = 1 een maximumpunt is. Anders ziet de invoer er als volgt uit: y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafische weergave

Antwoord: y m een X = y (1) = 4 ..

Definitie 5

De functie y = f (x) heeft zijn afgeleide tot aan de n-de orde in de ε-omgeving van een gegeven punt x 0 en zijn afgeleide tot aan de n + 1e orde in het punt x 0 . Dan f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = fn (x 0) = 0 .

Hieruit volgt dat als n een even getal is, x 0 als een buigpunt wordt beschouwd, als n een oneven getal is, dan is x 0 een extreem punt, en f (n + 1) (x 0) > 0, dan x 0 is een minimumpunt, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Voorbeeld 4

Vind de maximale en minimale punten van de functie y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Oplossing

De oorspronkelijke functie is een rationele gehele functie, wat betekent dat het definitiedomein uitsluitend uit reële getallen bestaat. Het is noodzakelijk om de functie te differentiëren. Dat snappen wij

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Deze afgeleide gaat naar nul bij x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Dat wil zeggen dat de punten mogelijke uiterste punten kunnen zijn. Het is noodzakelijk om de derde voldoende voorwaarde voor het extremum toe te passen. Door de tweede afgeleide te vinden, kunt u nauwkeurig de aanwezigheid van een maximum en een minimum van een functie bepalen. De tweede afgeleide wordt berekend op de punten van zijn mogelijke extremum. Dat snappen wij

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Dit betekent dat x 2 = 5 7 het maximale punt is. Door het derde voldoende criterium toe te passen, verkrijgen we dat voor n = 1 en f (n + 1) 5 7< 0 .

Het is noodzakelijk om de aard van de punten x 1 = - 1, x 3 = 3 te bepalen. Om dit te doen, moet je de derde afgeleide vinden en de waarden op deze punten berekenen. Dat snappen wij

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Dit betekent dat x 1 = - 1 het buigpunt van de functie is, aangezien voor n = 2 en f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Het is noodzakelijk om het punt x 3 = 3 te onderzoeken. Om dit te doen, vinden we de 4e afgeleide en voeren we op dit punt berekeningen uit:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Uit wat hierboven is besloten, concluderen we dat x 3 = 3 het minimumpunt van de functie is.

Grafische weergave

Antwoord: x 2 = 5 7 is het maximumpunt, x 3 = 3 is het minimumpunt van de gegeven functie.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

2) vind de eerste afgeleide;

3) kritische punten vinden;

2) Zoek de afgeleide

5) Bereken de waarde van de functie

2) Zoek de afgeleide

5) Bereken het extremum van de functie

2) Bereken de afgeleide

Bekijk materialen:

Er wordt een definitie gegeven van het extremum van een functie, en er wordt een voorbeeld gegeven van hoe je het extremum van een functie kunt vinden met behulp van een online rekenmachine.

Voorbeeld

Er is een functie (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Laten we het in de rekenmachine invoeren door online functieonderzoek:

We krijgen het volgende resultaat:

Om de extremen te vinden, moet je de vergelijking $$\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = 0$$ (de afgeleide is nul) oplossen, en de wortels van deze vergelijking wordt het uiterste van deze functie: $ $\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = $$ Eerste afgeleide $$- \frac(2 x)(\left(x^(2 ) + 1\right)^(2 )) \left(x + x^(3) — e^(x)\right) + \frac(3 x^(2) — e^(x) + 1)( x^(2) + 1) = 0$$ Los deze vergelijking op
De wortels van deze vergelijking $$x_(1) = 0$$ $$x_(2) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Waarde. uiterste op punten:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Intervallen van toenemende en afnemende functie:
Laten we de intervallen vinden waarin de functie toeneemt en afneemt, evenals de minima en maxima van de functie. Om dit te doen, kijken we naar hoe de functie zich gedraagt bij de extrema bij de kleinste afwijking van het extremum:
Minima van de functie op punten: $$x_(3) = 0$$ Maximaal van de functie op punten: $$x_(3) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Neemt af met intervallen
(-oo, -0,373548376565] U U

Het vinden van lokale maxima en minima kan niet zonder differentiatie en is noodzakelijk bij het bestuderen van een functie en het construeren van de grafiek ervan.

Een punt wordt een lokaal maximum (of minimum) punt van een functie genoemd als er een buurt van dit punt is die behoort tot het domein van de definitie van de functie, en voor de hele buurt geldt de ongelijkheid (of).

De maximale en minimale punten worden de extreme punten van de functie genoemd, en de waarden van de functie op de extreme punten zijn de extreme waarden.

NOODZAKELIJKE VOORWAARDE VOOR EEN LOKALE EXTREMUM:

Als een functie op een bepaald punt een lokaal extremum heeft, dan is de afgeleide nul of bestaat deze niet.

Punten die aan bovenstaande eisen voldoen, worden kritische punten genoemd.

Op elk kritisch punt heeft de functie echter een extremum.

Het concept van het extremum van een functie

Het antwoord op de vraag: zal een kritisch punt een extreem punt zijn, wordt gegeven door de volgende stelling.

EEN VOLDOENDE VOORWAARDE VOOR HET BESTAAN VAN EEN EXTREEM VAN EEN FUNCTIE

Stelling I. Laat de functie continu zijn in een bepaald interval dat het kritieke punt bevat en gedifferentieerd zijn op alle punten van dit interval (met de mogelijke uitzondering van het punt zelf).

Voor een punt heeft de functie dan een maximum als de argumenten voldoen aan de voorwaarde dat de afgeleide groter is dan nul, en voor de voorwaarde is de afgeleide kleiner dan nul.

Als de afgeleide for kleiner is dan nul en for groter dan nul, heeft de functie een minimum voor het punt.

Stelling II. Stel dat de functie tweemaal differentieerbaar is in de buurt van een punt en dat de afgeleide gelijk is aan nul. Dan heeft de functie op een gegeven moment een lokaal maximum als de tweede afgeleide kleiner is dan nul en een lokaal minimum als omgekeerd.

Als de tweede afgeleide gelijk is aan nul, is het punt mogelijk geen extreem punt.

Bij het bestuderen van functies voor extrema worden beide stellingen gebruikt. De eerste is in de praktijk eenvoudiger, omdat er geen tweede afgeleide voor hoeft te worden gevonden.

REGELS VOOR HET VINDEN VAN EXTREMUM (MAXIMUM EN MINIMA) MET BEHULP VAN DE EERSTE AFLEIDING

1) vind het domein van definitie;

2) vind de eerste afgeleide;

3) kritische punten vinden;

4) onderzoek het teken van de afgeleide van de intervallen die werden verkregen door de verdeling van het definitiedomein door kritische punten.

In dit geval is het kritische punt een minimumpunt als de afgeleide bij het passeren van links naar rechts van teken verandert van negatief naar positief, anders is het een maximumpunt.

In plaats van deze regel kun je de tweede afgeleide bepalen en deze bestuderen volgens de tweede stelling.

5) bereken de waarden van de functie op de uiterste punten.

Laten we nu de studie van functies voor extrema bekijken met behulp van specifieke voorbeelden.

Collectie door V.Yu. Klepko, V.L. Golets "Hogere wiskunde in voorbeelden en problemen"

1) Het definitiedomein zal de verzameling reële getallen zijn

2) Zoek de afgeleide

3) Bereken kritische punten

Ze verdelen het definitiedomein in de volgende intervallen

4) We onderzoeken het teken van de afgeleide op de gevonden intervallen met behulp van de methode van het vervangen van waarden

Het eerste punt is dus het minimumpunt en het tweede het maximumpunt.

5) Bereken de waarde van de functie

1) Het definitiedomein zal de verzameling reële getallen zijn, dus de wortel is altijd groter dan één

en de boogtangensfunctie wordt gedefinieerd op de gehele reële as.

2) Zoek de afgeleide

3) Uit de voorwaarde dat de afgeleide gelijk is aan nul, vinden we het kritieke punt

Het verdeelt het definitiedomein in twee intervallen

4) Bepaal het teken van de afgeleide in elk van de regio's

We ontdekken dus dat de functie op het kritieke punt inneemt minimale waarde.

5) Bereken het extremum van de functie

1) De functie is gedefinieerd als de noemer niet naar nul verandert

Hieruit volgt dat het definitiedomein uit drie intervallen bestaat

2) Bereken de afgeleide

3) We stellen de afgeleide gelijk aan nul en vinden de kritische punten.

4) Stel het teken van de afgeleide in elk van de gebieden in door de overeenkomstige waarden te vervangen.

Het punt is dus een punt van lokaal maximum en lokaal minimum. We hebben een keerpunt in de functie, maar er zal meer materiaal over zijn in de volgende artikelen.

5) Vind de waarde op kritieke punten

Ondanks het feit dat de waarde van de functie is, is het eerste punt het punt van het lokale maximum en de boog het punt van het minimum. Wees niet bang als u vergelijkbare resultaten krijgt bij het bepalen van lokale extremen; dergelijke situaties zijn acceptabel.

Bekijk materialen:

Literatuur

1. Bogomolov N.V. Praktische lessen in wiskunde. – M.: Hoger. school, 2009

2. PTApanasov, M.I.Orlov. Verzameling van problemen in de wiskunde. – M.: Hoger. school, 2009

Richtlijnen

Functies bestuderen met behulp van afgeleiden. Het vinden van intervallen van monotoniciteit

Stelling 1. Als de functie f(x) gedefinieerd is en continu is op het interval (a;b) en f '(x) overal positief is (f '(x)>0), dan neemt de functie toe op het interval (a;b ).

Stelling 2. Als de functie f(x) gedefinieerd is en continu is op het interval (a;b) en f ‘(x) overal negatief is (f ‘(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

Voorbeeld 1. Onderzoek naar monotoniciteit y= .

Oplossing: y’=2x-1

De getallenas is verdeeld in twee intervallen

Dit betekent dat de functie afneemt in het interval (-;5) en de functie toeneemt in het interval (5;).

Het vinden van de extrema van een functie

De functie f(x) heeft een maximum (minimum) op het punt x0 als dit punt een omgeving heeft waarin f(x) f(x0)) voor xx0.

Het maximum en minimum worden gecombineerd onder de naam extremum.

Stelling 1. (noodzakelijke voorwaarde voor extremum). Als punt x0 het uiterste punt is van de functie y=f(x) en er op dit punt een afgeleide f '(x0) is, dan is deze gelijk aan nul: f '(x)=0.

Punten waar f '(x)=0 of niet bestaat, worden kritisch genoemd.

Stelling 2. (voldoende voorwaarde). Laat de functie f(x) continu zijn in het punt x0 en in zijn omgeving een afgeleide hebben, behalve misschien het punt x0 zelf. Dan

a) als de afgeleide f ‘(x) van teken verandert van plus naar min wanneer hij door punt x0 gaat, dan is punt x0 het maximumpunt van de functie f(x);

b) als de afgeleide f ‘(x) bij het passeren van het punt x0 van teken verandert van min naar plus, dan is het punt x0 het minimumpunt van de functie f(x);

c) als er een buurt (x0-; x0+) is van het punt x0 waarin de afgeleide f ‘(x) zijn teken behoudt, dan heeft deze functie f(x) op het punt x0 geen extremum.

Voorbeeld 2. Onderzoek het extremum van de functie y = 3 -5x - .

Oplossing: y’= -5-2x

Bij het passeren van het punt x = -2,5 verandert de afgeleide y’ van teken van “+” naar “-” ==> x = -2,5 maximumpunt.

Voldoende voorwaarden voor het extremum van een functie.

xmax= - 2,5; уmax = 9,25.

Niet gevonden wat u zocht? Gebruik de zoekopdracht:

Extrema van een functie: tekenen van bestaan, voorbeelden van oplossingen

Dan heeft de functie op een gegeven moment een lokaal maximum als de tweede afgeleide kleiner is dan nul en een lokaal minimum als omgekeerd.

Als de tweede afgeleide gelijk is aan nul, is het punt mogelijk geen extreem punt.

Bij het bestuderen van functies voor extrema worden beide stellingen gebruikt. De eerste is in de praktijk eenvoudiger, omdat er geen tweede afgeleide voor hoeft te worden gevonden.

REGELS VOOR HET VINDEN VAN EXTREMUM (MAXIMUM EN MINIMA) MET BEHULP VAN DE EERSTE AFLEIDING

1) vind het domein van definitie;

2) vind de eerste afgeleide;

3) kritische punten vinden;

4) onderzoek het teken van de afgeleide van de intervallen die werden verkregen door de verdeling van het definitiedomein door kritische punten.

In dit geval is het kritische punt een minimumpunt als de afgeleide bij het passeren van links naar rechts van teken verandert van negatief naar positief, anders is het een maximumpunt.

In plaats van deze regel kun je de tweede afgeleide bepalen en deze bestuderen volgens de tweede stelling.

5) bereken de waarden van de functie op de uiterste punten.

Laten we nu de studie van functies voor extrema bekijken met behulp van specifieke voorbeelden.

Collectie door V.Yu. Klepko, V.L. Golets "Hogere wiskunde in voorbeelden en problemen"

1) Het definitiedomein zal de verzameling reële getallen zijn

2) Zoek de afgeleide

3) Bereken kritische punten

Ze verdelen het definitiedomein in de volgende intervallen

4) We onderzoeken het teken van de afgeleide op de gevonden intervallen met behulp van de methode van het vervangen van waarden

Het eerste punt is dus het minimumpunt en het tweede het maximumpunt.

5) Bereken de waarde van de functie

1) Het definitiedomein zal de verzameling reële getallen zijn, dus de wortel is altijd groter dan één

en de boogtangensfunctie wordt gedefinieerd op de gehele reële as.

2) Zoek de afgeleide

3) Uit de voorwaarde dat de afgeleide gelijk is aan nul, vinden we het kritieke punt

Het verdeelt het definitiedomein in twee intervallen

4) Bepaal het teken van de afgeleide in elk van de regio's

We ontdekken dus dat de functie op het kritieke punt een minimumwaarde aanneemt.

5) Bereken het extremum van de functie

1) De functie is gedefinieerd als de noemer niet naar nul verandert

Hieruit volgt dat het definitiedomein uit drie intervallen bestaat

2) Bereken de afgeleide

3) We stellen de afgeleide gelijk aan nul en vinden de kritische punten.

4) Stel het teken van de afgeleide in elk van de gebieden in door de overeenkomstige waarden te vervangen.

Het punt is dus een punt van lokaal maximum en lokaal minimum. We hebben een keerpunt in de functie, maar er zal meer materiaal over zijn in de volgende artikelen.

5) Vind de waarde op kritieke punten

Bekijk materialen:

Hogere wiskunde » Functies van meerdere variabelen » Extremum van een functie van twee variabelen

Extremum van een functie van twee variabelen. Voorbeelden van het bestuderen van functies voor extremum.

Laat de functie $z=f(x,y)$ gedefinieerd worden in een bepaalde buurt van het punt $(x_0,y_0)$. Ze zeggen dat $(x_0,y_0)$ een (lokaal) maximumpunt is als voor alle punten $(x,y)$ in een bepaalde buurt van het punt $(x_0,y_0)$ de ongelijkheid $f(x,y) is is tevreden< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, dan wordt het punt $(x_0,y_0)$ het (lokale) minimumpunt genoemd.

De maximale en minimale punten worden vaak de algemene term genoemd: extreme punten.

Als $(x_0,y_0)$ een maximumpunt is, dan wordt de waarde van de functie $f(x_0,y_0)$ op dit punt het maximum van de functie $z=f(x,y)$ genoemd. Dienovereenkomstig wordt de waarde van de functie op het minimumpunt het minimum van de functie $z=f(x,y)$ genoemd. De minima en maxima van een functie worden verenigd door een gemeenschappelijke term: extrema van een functie.

Algoritme voor het bestuderen van de functie $z=f(x,y)$ voor extremum

Zoek de partiële afgeleiden $\frac(\partial z)(\partial x)$ en $\frac(\partial z)(\partial y)$. Stel het stelsel vergelijkingen samen en los het op $ \left \( \begin(uitgelijnd) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$. Punten waarvan de coördinaten voldoen aan het opgegeven systeem worden stationair genoemd.
Vind $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ en bereken de waarde van $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ op elk stationair punt. Gebruik hierna het volgende schema:

Als $\Delta > 0$ en $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (of $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), dan is het onderzochte punt het minimumpunt.
Als $\Delta > 0$ en $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
Als $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
Als $\Delta = 0$, kan er niets definitiefs worden gezegd over de aanwezigheid van een extremum; aanvullend onderzoek is nodig.

Opmerking (wenselijk voor een vollediger begrip van de tekst): show\hide

Als $\Delta > 0$, dan $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ gedeeltelijk^2z)(\gedeeltelijk x\gedeeltelijk y) \right)^2 > 0$. En hieruit volgt dat $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \gedeeltelijk x\gedeeltelijk y)\right)^2 ≥ 0$. Die. $\frac(\gedeeltelijk^2z)(\gedeeltelijk x^2)\cdot \frac(\gedeeltelijk^2z)(\gedeeltelijk y^2) > 0$. Als het product van bepaalde grootheden groter is dan nul, dan hebben deze grootheden hetzelfde teken. Dat wil zeggen, bijvoorbeeld: als $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, dan $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Kortom, als $\Delta > 0$ dan zijn de tekens van $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ en $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ hetzelfde.

Voorbeeld nr. 1

Onderzoek de functie $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ op zijn extremum.

$$ \frac(\gedeeltelijke z)(\gedeeltelijke x)=8x-6y-34; \frac(\gedeeltelijke z)(\gedeeltelijke y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(uitgelijnd) \right. $$

Laten we elke vergelijking van dit systeem met $2$ verminderen en de getallen naar de rechterkant van de vergelijkingen verplaatsen:

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(uitgelijnd) \right. $$

We hebben een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen verkregen. In deze situatie lijkt het mij het handigst om de Cramer-methode te gebruiken om het resulterende systeem op te lossen.

$$ \begin(uitgelijnd) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\links| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\links| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(uitgelijnd) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

De waarden $x=2$, $y=-3$ zijn de coördinaten van het stationaire punt $(2;-3)$.

$$ \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk x^2)=8; \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk y^2)=10; \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk x \gedeeltelijk y)=-6. $$

Laten we de waarde van $\Delta$ berekenen:

$$ \Delta=\frac(\gedeeltelijk^2z)(\gedeeltelijk x^2)\cdot \frac(\gedeeltelijk^2z)(\gedeeltelijk y^2)-\left(\frac(\gedeeltelijk^2z)( \gedeeltelijk x\gedeeltelijk y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Omdat $\Delta > 0$ en $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, is volgens het algoritme het punt $(2;-3)$ het minimumpunt van de functie $z$. We vinden het minimum van de functie $z$ door de coördinaten van het punt $(2;-3)$ te vervangen door de gegeven functie:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Antwoord: $(2;-3)$ - minimumpunt; $z_(min)=-90$.

Voorbeeld nr. 2

Onderzoek de functie $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ op zijn extremum.

We zullen het bovenstaande algoritme volgen. Laten we eerst de partiële afgeleiden van de eerste orde vinden:

$$ \frac(\gedeeltelijke z)(\gedeeltelijke x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\gedeeltelijke z)(\gedeeltelijke y)=6xy-12. $$

Laten we een systeem van vergelijkingen maken $ \left \( \begin(uitgelijnd) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( uitgelijnd) \right.$:

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(uitgelijnd) \right. $$

Laten we de eerste vergelijking met 3 verminderen, en de tweede met 6.

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(uitgelijnd) \right. $$

Als $x=0$, dan zal de tweede vergelijking ons naar een tegenstrijdigheid leiden: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Vandaar de conclusie: $x\neq 0$. Dan krijgen we uit de tweede vergelijking: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Als we $y=\frac(2)(x)$ in de eerste vergelijking vervangen, krijgen we:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

We hebben een bikwadratische vergelijking. We maken de vervanging $t=x^2$ (wat betekent dat $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(uitgelijnd) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(uitgelijnd) $$

Als $t=1$, dan is $x^2=1$. Daarom hebben we twee waarden van $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Als $t=4$, dan is $x^2=4$, d.w.z. $x_3=2$, $x_4=-2$. Als we onthouden dat $y=\frac(2)(x)$, krijgen we:

\begin(uitgelijnd) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(uitgelijnd)

We hebben dus vier stationaire punten: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Hiermee is de eerste stap van het algoritme voltooid.

Laten we nu verder gaan met de tweede stap van het algoritme. Laten we de partiële afgeleiden van de tweede orde vinden:

$$ \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk x^2)=6x; \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk y^2)=6x; \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk x \gedeeltelijk y)=6y. $$

Laten we $\Delta$ zoeken:

Nu gaan we de waarde van $\Delta$ berekenen op elk van de eerder gevonden stationaire punten. Laten we beginnen vanaf het punt $M_1(1;2)$. Op dit punt hebben we: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Sinds $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Laten we het punt $M_2(-1;-2)$ onderzoeken. Op dit punt hebben we: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Sinds $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Laten we het punt $M_3(2;1)$ onderzoeken. Op dit punt krijgen we:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Omdat $\Delta(M_3) > 0$ en $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, dan volgens het algoritme $M_3( 2 ;1)$ is het minimumpunt van de functie $z$. We vinden het minimum van de functie $z$ door de coördinaten van het punt $M_3$ te vervangen door de gegeven functie:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Rest ons nog het punt $M_4(-2;-1)$ te onderzoeken. Op dit punt krijgen we:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Sinds $\Delta(M_4) > 0$ en $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Het extremumonderzoek is afgerond. Het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven.

$(2;1)$ - minimumpunt, $z_(min)=-27$;
$(-2;-1)$ - maximum punt, $z_(max)=29$.

Opmerking

In het algemene geval is het niet nodig om de waarde van $\Delta$ te berekenen, omdat we alleen geïnteresseerd zijn in het teken en niet in de specifieke waarde van deze parameter. Bijvoorbeeld nr. 2, hierboven besproken, op punt $M_3(2;1)$ hebben we $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Hier is het duidelijk dat $\Delta > 0$ (aangezien beide factoren $36$ en $(2^2-1^2)$ positief zijn) en het is mogelijk om geen specifieke waarde van $\Delta$ te vinden. Toegegeven, voor standaardberekeningen is deze opmerking nutteloos - ze vereisen dat je de berekeningen op een getal brengt :)

Voorbeeld nr. 3

Onderzoek de functie $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ op zijn extremum.

We zullen het algoritme volgen. Laten we eerst de partiële afgeleiden van de eerste orde vinden:

$$ \frac(\gedeeltelijke z)(\gedeeltelijke x)=4x^3-4x+4y; \frac(\gedeeltelijke z)(\gedeeltelijke y)=4y^3+4x-4y. $$

Laten we een systeem van vergelijkingen maken $ \left \( \begin(uitgelijnd) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( uitgelijnd) \right.$:

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(uitgelijnd) \right. $$

Laten we beide vergelijkingen verminderen met $4$:

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(uitgelijnd) \right. $$

Laten we de eerste vergelijking bij de tweede optellen en $y$ uitdrukken in termen van $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Als we $y=-x$ in de eerste vergelijking van het systeem vervangen, krijgen we:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Uit de resulterende vergelijking krijgen we: $x=0$ of $x^2-2=0$. Uit de vergelijking $x^2-2=0$ volgt dat $x=-\sqrt(2)$ of $x=\sqrt(2)$. Er worden dus drie waarden van $x$ gevonden, namelijk: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Aangezien $y=-x$, dan $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

De eerste stap van de oplossing is voltooid.

Hoe u het extremum (minimum- en maximumpunten) van een functie kunt vinden

We hebben drie stationaire punten: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Laten we nu verder gaan met de tweede stap van het algoritme. Laten we de partiële afgeleiden van de tweede orde vinden:

$$ \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk x^2)=12x^2-4; \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk y^2)=12y^2-4; \frac(\gedeeltelijk^2 z)(\gedeeltelijk x \gedeeltelijk y)=4. $$

Laten we $\Delta$ zoeken:

Nu gaan we de waarde van $\Delta$ berekenen op elk van de eerder gevonden stationaire punten. Laten we beginnen vanaf het punt $M_1(0;0)$. Op dit punt hebben we: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Omdat $\Delta(M_1) = 0$ is er volgens het algoritme aanvullend onderzoek nodig, omdat er niets definitiefs kan worden gezegd over de aanwezigheid van een extremum op het beschouwde punt. Laten we dit punt voorlopig met rust laten en verder gaan met andere punten.

Laten we het punt $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ onderzoeken. Op dit punt krijgen we:

\begin(uitgelijnd) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(uitgelijnd)

Omdat $\Delta(M_2) > 0$ en $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, dan volgens het algoritme $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ is het minimumpunt van de functie $z$. We vinden het minimum van de functie $z$ door de coördinaten van het punt $M_2$ te vervangen door de gegeven functie:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Op soortgelijke wijze als het vorige punt onderzoeken we het punt $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Op dit punt krijgen we:

\begin(uitgelijnd) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(uitgelijnd)

Omdat $\Delta(M_3) > 0$ en $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, dan volgens het algoritme $M_3( \ sqrt(2),-\sqrt(2))$ is het minimumpunt van de functie $z$. We vinden het minimum van de functie $z$ door de coördinaten van het punt $M_3$ te vervangen door de gegeven functie:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Het is tijd om terug te keren naar het punt $M_1(0;0)$, waarop $\Delta(M_1) = 0$. Volgens het algoritme is aanvullend onderzoek nodig. Deze ontwijkende zin betekent "doe wat je wilt" :). Algemene methode Er bestaat geen oplossing voor dergelijke situaties, en dat is begrijpelijk. Als een dergelijke methode bestond, zou deze al lang geleden in alle leerboeken zijn opgenomen. In de tussentijd moeten we op zoek gaan naar een speciale benadering voor elk punt waarop $\Delta = 0$. Laten we eens kijken naar het gedrag van de functie in de buurt van het punt $M_1(0;0)$. Laten we meteen opmerken dat $z(M_1)=z(0;0)=3$. Laten we aannemen dat $M_1(0;0)$ het minimumpunt is. Dan verkrijgen we voor elk punt $M$ uit een omgeving van het punt $M_1(0;0)$ $z(M) > z(M_1)$, d.w.z. $z(M) > 3$. Wat als een buurt punten bevat waarop $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Laten we eens kijken naar punten waarvoor $y=0$, d.w.z. punten van de vorm $(x,0)$. Op deze punten zal de functie $z$ de volgende waarden aannemen:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

In alle voldoende kleine buurten $M_1(0;0)$ hebben we $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Maar misschien is het punt $M_1(0;0)$ het maximale punt? Als dit zo is, dan verkrijgen we voor elk punt $M$ uit een omgeving van het punt $M_1(0;0)$ $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Dan zal er zeker geen maximum zijn op punt $M_1$.

Laten we eens kijken naar punten waarvoor $y=x$, d.w.z. punten van de vorm $(x,x)$. Op deze punten zal de functie $z$ de volgende waarden aannemen:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Omdat we in elke buurt van het punt $M_1(0;0)$ $2x^4 > 0$ hebben, en dan $2x^4+3 > 3$. Conclusie: elke buurt van het punt $M_1(0;0)$ bevat punten waarbij $z > 3$, daarom kan het punt $M_1(0;0)$ geen maximumpunt zijn.

Punt $M_1(0;0)$ is noch een maximum, noch een minimum punt. Conclusie: $M_1$ is helemaal geen extreem punt.

Antwoord: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ zijn de minimumpunten van de functie $z$. Op beide punten $z_(min)=-5$.

Online lessen in hogere wiskunde

Uit dit artikel leert de lezer wat een extremum van functionele waarde is, evenals over de kenmerken van het gebruik ervan in praktische activiteiten. Het leren van een dergelijk concept is essentieel voor het begrijpen van de grondbeginselen van hogere wiskunde. Dit onderwerp is van fundamenteel belang voor een diepere studie van de cursus.

Wat is een extremum?

In de schoolcursus worden veel definities van het concept ‘extreem’ gegeven. Dit artikel is bedoeld om het diepste en duidelijkste begrip van de term te geven aan degenen die niet op de hoogte zijn van de kwestie. De term wordt dus begrepen in hoeverre het functionele interval een minimale of maximale waarde verkrijgt op een bepaalde set.

Een extremum is tegelijkertijd de minimumwaarde van een functie en het maximum. Er is een minimumpunt en een maximumpunt, dat wil zeggen de extreme waarden van het argument in de grafiek. De belangrijkste wetenschappen die dit concept gebruiken zijn:

statistieken;
machinebesturing;
econometrie.

Extreme punten spelen belangrijke rol bij het bepalen van de volgorde van een bepaalde functie. Het coördinatensysteem op de grafiek in op zijn best toont de verandering in extreme positie afhankelijk van de verandering in functionaliteit.

Extrema van de afgeleide functie

Er bestaat ook zoiets als 'afgeleid'. Het is noodzakelijk om het uiterste punt te bepalen. Het is belangrijk om minimum- of maximumpunten niet te verwarren met de hoogste en laagste waarden. Dit zijn verschillende concepten, ook al lijken ze misschien wel op elkaar.

De waarde van de functie is de belangrijkste factor bij het bepalen hoe het maximale punt kan worden gevonden. De afgeleide wordt niet gevormd uit waarden, maar uitsluitend uit zijn extreme positie in een of andere volgorde.

De afgeleide zelf wordt bepaald op basis van deze extreme punten, en niet op basis van de grootste of kleinste waarde. Op Russische scholen wordt de grens tussen deze twee concepten niet duidelijk getrokken, wat het begrip van dit onderwerp in het algemeen beïnvloedt.

Laten we een dergelijk concept nu beschouwen als ‘acuut extremum’. Tegenwoordig is er een acute minimumwaarde en een acute maximumwaarde. De definitie wordt gegeven in overeenstemming met Russische classificatie kritische punten van de functie. Het concept van een extreem punt is de basis voor het vinden van kritische punten in een grafiek.

Om een dergelijk concept te definiëren, gebruiken ze de stelling van Fermat. Het is het belangrijkste bij de studie van extreme punten en geeft een duidelijk beeld van hun bestaan in een of andere vorm. Om extremen te garanderen, is het belangrijk om bepaalde voorwaarden te creëren voor een afname of toename in de grafiek.

Om de vraag “hoe u het maximale punt kunt vinden” nauwkeurig te beantwoorden, moet u deze richtlijnen volgen:

Het exacte definitiedomein in de grafiek vinden.
Zoek naar de afgeleide van een functie en het uiterste punt.
Los standaardongelijkheden op voor het domein waar het argument wordt gevonden.
Kunnen bewijzen in welke functies een punt in een grafiek gedefinieerd en continu is.

Aandacht! Zoekopdracht kritisch punt functie is alleen mogelijk in het geval van het bestaan van een afgeleide van ten minste tweede orde, wat wordt verzekerd door een hoog aandeel van de aanwezigheid van een extreem punt.

Noodzakelijke voorwaarde voor het extremum van een functie

Om een extremum te laten bestaan, is het belangrijk dat er zowel minimum- als maximumpunten zijn. Als deze regel slechts gedeeltelijk wordt nageleefd, wordt de voorwaarde voor het bestaan van een extremum geschonden.

Elke functie in welke positie dan ook moet worden gedifferentieerd om de nieuwe betekenissen ervan te identificeren. Het is belangrijk om te begrijpen dat het geval van een punt dat naar nul gaat niet het belangrijkste principe is voor het vinden van een differentieerbaar punt.

Het scherpe uiterste, evenals het minimum van de functie, is een uiterst belangrijk aspect van de oplossing wiskundig probleem extreme waarden gebruiken. Om dit onderdeel beter te begrijpen, is het belangrijk om de tabelwaarden te raadplegen voor het specificeren van de functionaliteit.

Volledig betekenisonderzoek

Een waardegrafiek plotten

1. Bepaling van punten van stijgende en dalende waarden.

2. Het vinden van discontinuïteitpunten, extremum en snijpunten met coördinaatassen.

3. Het proces van het bepalen van positieveranderingen in een grafiek.

4. Bepaling van de indicator en richting van convexiteit en convexiteit, rekening houdend met de aanwezigheid van asymptoten.

5. Creatie van een onderzoekssamenvattingstabel vanuit het oogpunt van het bepalen van de coördinaten ervan.

6. Het vinden van de intervallen van toenemende en afnemende extreme en scherpe punten.

7. Bepaling van de convexiteit en concaafheid van een curve.

8. Door een grafiek te tekenen, rekening houdend met het onderzoek, kunt u het minimum of maximum vinden.

Het belangrijkste element wanneer het nodig is om met extreme punten te werken, is de nauwkeurige constructie van de grafiek.

Schoolleraren besteden vaak niet de maximale aandacht aan zo'n belangrijk aspect, wat een grove schending van het onderwijsproces is.

De constructie van een grafiek vindt alleen plaats op basis van de resultaten van het bestuderen van functionele gegevens, het identificeren van acute extrema en punten op de grafiek.

Scherpe extrema van de afgeleide functie worden in de grafiek weergegeven exacte waarden, met behulp van de standaardprocedure voor het bepalen van asymptoten.

De maximale en minimale punten van de functie gaan gepaard met complexere grafiekconstructies. Dit komt voort uit een diepere noodzaak om het probleem van het acute extremum aan te pakken.

Het is ook noodzakelijk om de afgeleide van een complexe en eenvoudige functie te vinden, aangezien dit een van de belangrijkste concepten is in het probleem van extremum.

Het uiterste van het functionele

Om de bovenstaande waarde te vinden, moet u zich aan de volgende regels houden:

bepaal de noodzakelijke voorwaarde voor een extreme relatie;
houd rekening met de voldoende toestand van de extreme punten in de grafiek;
voer de berekening uit van het acute extremum.

Begrippen als zwak minimum en sterk minimum worden ook gebruikt. Hiermee moet rekening worden gehouden bij het bepalen van het extremum en de nauwkeurige berekening ervan. Tegelijkertijd is de acute functionaliteit het zoeken en creëren van alles noodzakelijke voorwaarden voor het werken met de grafiek van een functie.

Zoek voor een bepaalde functie de extreme waarde ervan. Extremum van de functie

Toenemende en afnemende functie met een interval.

Extremumpunten, extrema van een functie.

Voldoende voorwaarden voor toenemende en afnemende functies.

Voldoende voorwaarden voor het extremum van een functie.

De eerste voldoende voorwaarde voor een extremum.

Het tweede teken van een extremum van een functie.

Voldoende voorwaarden om een ​​functie te laten toenemen en afnemen

De eerste voldoende voorwaarde voor een extremum

Voorbeeld

Het concept van het extremum van een functie

Voldoende voorwaarden voor het extremum van een functie.

Extrema van een functie: tekenen van bestaan, voorbeelden van oplossingen

Extremum van een functie van twee variabelen. Voorbeelden van het bestuderen van functies voor extremum.

Algoritme voor het bestuderen van de functie $z=f(x,y)$ voor extremum

Hoe u het extremum (minimum- en maximumpunten) van een functie kunt vinden

Wat is een extremum?

Extrema van de afgeleide functie

Noodzakelijke voorwaarde voor het extremum van een functie

Het uiterste van het functionele

Voldoende voorwaarden om een functie te laten toenemen en afnemen