Discriminerend bij een negatieve waarde. Hogere orde discriminant

In de moderne samenleving kan het vermogen om te werken met vergelijkingen die een gekwadrateerde variabele bevatten, nuttig zijn op veel werkterreinen en wordt het in de praktijk veel gebruikt bij wetenschappelijke en technische ontwikkelingen. Dit blijkt onder meer uit het ontwerp van zee- en rivierschepen, vliegtuigen en raketten. Met behulp van dergelijke berekeningen worden de trajecten van de beweging van verschillende lichamen, inclusief ruimtevoorwerpen, bepaald. Oplossingsvoorbeelden kwadratische vergelijkingen worden niet alleen gebruikt bij economische prognoses, bij het ontwerp en de constructie van gebouwen, maar ook in de meest gewone alledaagse omstandigheden. Ze kunnen nodig zijn op kampeertochten, bij sportevenementen, in winkels tijdens het winkelen en in andere veel voorkomende situaties.

Laten we de uitdrukking opsplitsen in componentfactoren

De graad van een vergelijking wordt bepaald door de maximale waarde van de graad van de variabele die de gegeven uitdrukking bevat. Als het gelijk is aan 2, dan wordt zo'n vergelijking een kwadratische vergelijking genoemd.

Als we spreken in de taal van formules, dan kunnen deze uitdrukkingen, hoe ze er ook uitzien, altijd in de vorm worden gebracht als de linkerkant van de uitdrukking uit drie termen bestaat. Onder hen: ax 2 (dat wil zeggen een variabele in het kwadraat met zijn coëfficiënt), bx (een onbekende zonder kwadraat met zijn coëfficiënt) en c (vrije component, dat wil zeggen een gewoon getal). Dit alles aan de rechterkant is gelijk aan 0. In het geval dat zo'n polynoom geen van zijn samenstellende termen heeft, met uitzondering van ax 2, wordt het een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd. Voorbeelden met de oplossing van dergelijke problemen, waarbij de waarde van de variabelen niet moeilijk te vinden is, moeten eerst worden overwogen.

Als de uitdrukking eruitziet alsof er twee termen aan de rechterkant van de uitdrukking staan, meer bepaald ax 2 en bx, is het het gemakkelijkst om x te vinden door de variabele tussen haakjes te plaatsen. Nu ziet onze vergelijking er als volgt uit: x(ax+b). Verder wordt het duidelijk dat ofwel x=0, ofwel het probleem wordt gereduceerd tot het vinden van een variabele uit de volgende uitdrukking: ax+b=0. Dit wordt bepaald door een van de eigenschappen van vermenigvuldiging. De regel zegt dat het product van twee factoren alleen in 0 resulteert als een van hen nul.

Voorbeeld

x=0 of 8x - 3 = 0

Als resultaat krijgen we twee wortels van de vergelijking: 0 en 0,375.

Dergelijke vergelijkingen kunnen de beweging beschrijven van lichamen onder invloed van de zwaartekracht, die vanaf een bepaald punt begonnen te bewegen, als oorsprong genomen. Hier duurt de wiskundige notatie volgende vorm: y = v 0 t + gt 2 /2. Door de benodigde waarden te vervangen, de rechterkant gelijk te stellen aan 0 en mogelijke onbekenden te vinden, kunt u de tijd achterhalen die is verstreken vanaf het moment dat het lichaam opkomt tot het moment dat het valt, evenals vele andere grootheden. Maar we zullen hier later over praten.

Factoring van een uitdrukking

De hierboven beschreven regel maakt het mogelijk om deze problemen op te lossen en meer moeilijke gevallen. Overweeg voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen van dit type.

X2 - 33x + 200 = 0

Deze vierkante trinominaal is compleet. Eerst transformeren we de uitdrukking en ontleden deze in factoren. Er zijn er twee: (x-8) en (x-25) = 0. Als resultaat hebben we twee wortels 8 en 25.

Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen in rang 9 stellen deze methode in staat om een ​​variabele te vinden in uitdrukkingen, niet alleen van de tweede, maar zelfs van de derde en vierde orde.

Bijvoorbeeld: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Als je de rechterkant ontbindt in factoren met een variabele, zijn er drie, namelijk (x + 1), (x-3) en (x + 3).

Als resultaat wordt het duidelijk dat deze vergelijking drie wortels heeft: -3; -een; 3.

De vierkantswortel extraheren

een ander geval onvolledige vergelijking de tweede orde is een uitdrukking die in de taal der letters zo is uitgedrukt dat de rechterkant is opgebouwd uit de componenten ax 2 en c. Hier, om de waarde van de variabele te krijgen, wordt de vrije term overgebracht naar rechter zijde, en daarna, uit beide delen van de gelijkheid, Vierkantswortel. Opgemerkt moet worden dat er in dit geval meestal twee wortels van de vergelijking zijn. De enige uitzonderingen zijn gelijkheden die de term c helemaal niet bevatten, waarbij de variabele gelijk is aan nul, evenals varianten van uitdrukkingen wanneer de rechterkant negatief blijkt te zijn. In het laatste geval zijn er helemaal geen oplossingen, omdat bovenstaande acties niet met wortels kunnen worden uitgevoerd. Voorbeelden van oplossingen voor kwadratische vergelijkingen van dit type moeten worden overwogen.

In dit geval zijn de wortels van de vergelijking de getallen -4 en 4.

Berekening van de oppervlakte van het land

De behoefte aan dit soort berekeningen ontstond in de oudheid, omdat de ontwikkeling van de wiskunde in die verre tijden grotendeels te danken was aan de noodzaak om de oppervlakten en omtrekken van percelen met de grootste nauwkeurigheid te bepalen.

We moeten ook voorbeelden bekijken met de oplossing van kwadratische vergelijkingen die zijn samengesteld op basis van dit soort problemen.

Dus laten we zeggen dat er een rechthoekig stuk land is, waarvan de lengte 16 meter meer is dan de breedte. U moet de lengte, breedte en omtrek van de site vinden als bekend is dat de oppervlakte 612 m 2 is.

Om aan de slag te gaan, zullen we eerst de nodige vergelijking maken. Laten we de breedte van de sectie als x aangeven, dan is de lengte (x + 16). Uit wat is geschreven volgt dat het gebied wordt bepaald door de uitdrukking x (x + 16), die, volgens de conditie van ons probleem, 612 is. Dit betekent dat x (x + 16) \u003d 612.

De oplossing van complete kwadratische vergelijkingen, en deze uitdrukking is precies dat, kan niet op dezelfde manier worden gedaan. Waarom? Hoewel de linkerkant ervan nog steeds twee factoren bevat, is het product ervan helemaal niet gelijk aan 0, dus worden hier andere methoden gebruikt.

discriminerend

Allereerst maken we de nodige transformaties, dan uiterlijk deze uitdrukking ziet er als volgt uit: x 2 + 16x - 612 = 0. Dit betekent dat we een uitdrukking hebben ontvangen in de vorm die overeenkomt met de eerder gespecificeerde standaard, waarbij a=1, b=16, c=-612.

Dit kan een voorbeeld zijn van het oplossen van kwadratische vergelijkingen via de discriminant. Hier worden de nodige berekeningen gemaakt volgens het schema: D = b 2 - 4ac. Deze hulpwaarde maakt het niet alleen mogelijk om de gewenste waarden in de tweede-orde vergelijking te vinden, het bepaalt het aantal opties. In geval D>0 zijn er twee; voor D=0 is er één wortel. In het geval D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Over wortels en hun formule

In ons geval is de discriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Dit geeft aan dat ons probleem een ​​antwoord heeft. Als je dat weet, moet de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden voortgezet met behulp van de onderstaande formule. Hiermee kunt u de wortels berekenen.

Dit betekent dat in het gepresenteerde geval: x 1 =18, x 2 =-34. De tweede optie in dit dilemma kan geen oplossing zijn, omdat de grootte van het perceel niet in negatieve waarden kan worden gemeten, wat betekent dat x (dat wil zeggen de breedte van het perceel) 18 m is. Vanaf hier berekenen we de lengte: 18+16=34, en de omtrek 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Voorbeelden en taken

We gaan verder met de studie van kwadratische vergelijkingen. Voorbeelden en een gedetailleerde oplossing van een aantal daarvan zullen hieronder worden gegeven.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Laten we alles verplaatsen naar linkerkant gelijkheid, we zullen een transformatie maken, dat wil zeggen, we zullen de vorm van de vergelijking verkrijgen, die meestal de standaard wordt genoemd, en deze gelijkstellen aan nul.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nadat we soortgelijke hebben toegevoegd, bepalen we de discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Onze vergelijking heeft dus twee wortels. We berekenen ze volgens de bovenstaande formule, wat betekent dat de eerste gelijk is aan 4/3 en de tweede 1.

2) Nu zullen we raadsels van een ander soort onthullen.

Laten we eens kijken of er hier wortels x 2 - 4x + 5 = 1 zijn? Om een ​​uitputtend antwoord te krijgen, brengen we de polynoom naar de overeenkomstige bekende vorm en berekenen we de discriminant. In dit voorbeeld is het niet nodig om de kwadratische vergelijking op te lossen, omdat de essentie van het probleem hier helemaal niet in zit. In dit geval D \u003d 16 - 20 \u003d -4, wat betekent dat er echt geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

Het is handig om kwadratische vergelijkingen op te lossen met behulp van de bovenstaande formules en de discriminant, wanneer de vierkantswortel wordt geëxtraheerd uit de waarde van de laatste. Maar dit gebeurt niet altijd. Er zijn echter veel manieren om in dit geval de waarden van variabelen te krijgen. Voorbeeld: kwadratische vergelijkingen oplossen met de stelling van Vieta. Het is vernoemd naar een man die in het 16e-eeuwse Frankrijk woonde en een schitterende carrière had dankzij zijn wiskundig talent en connecties aan het hof. Zijn portret is te zien in het artikel.

Het patroon dat de beroemde Fransman opmerkte was als volgt. Hij bewees dat de som van de wortels van de vergelijking gelijk is aan -p=b/a, en dat hun product overeenkomt met q=c/a.

Laten we nu eens kijken naar specifieke taken.

3x2 + 21x - 54 = 0

Laten we voor de eenvoud de uitdrukking transformeren:

x 2 + 7x - 18 = 0

Als we de Vieta-stelling gebruiken, krijgen we het volgende: de som van de wortels is -7 en hun product is -18. Hieruit krijgen we dat de wortels van de vergelijking de getallen -9 en 2 zijn. Na een controle te hebben uitgevoerd, zullen we ervoor zorgen dat deze waarden van de variabelen echt in de uitdrukking passen.

Grafiek en vergelijking van een parabool

De concepten van een kwadratische functie en kwadratische vergelijkingen zijn nauw verwant. Voorbeelden hiervan zijn al eerder gegeven. Laten we nu wat meer in detail kijken naar enkele wiskundige puzzels. Elke vergelijking van het beschreven type kan visueel worden weergegeven. Zo'n afhankelijkheid, getekend in de vorm van een grafiek, wordt een parabool genoemd. De verschillende typen zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Elke parabool heeft een hoekpunt, dat wil zeggen een punt van waaruit de takken naar buiten komen. Als a>0, gaan ze hoog naar oneindig, en wanneer a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuele representaties van functies helpen bij het oplossen van alle vergelijkingen, inclusief kwadratische. Deze methode wordt grafisch genoemd. En de waarde van de variabele x is de abscis-coördinaat op de punten waar de grafieklijn 0x snijdt. De coördinaten van het hoekpunt kunnen worden gevonden met de zojuist gegeven formule x 0 = -b / 2a. En als je de resulterende waarde in de oorspronkelijke vergelijking van de functie vervangt, kun je y 0 vinden, dat wil zeggen, de tweede coördinaat van de parabooltop die bij de y-as hoort.

Het snijpunt van de takken van de parabool met de as van de abscis

Er zijn veel voorbeelden met het oplossen van kwadratische vergelijkingen, maar er zijn ook algemene patronen. Laten we ze eens bekijken. Het is duidelijk dat het snijpunt van de grafiek met de 0x-as voor a>0 alleen mogelijk is als y 0 negatieve waarden heeft. en voor een<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Anders D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Uit de grafiek van een parabool kun je ook de wortels bepalen. Het omgekeerde is ook waar. Dat wil zeggen, als het niet gemakkelijk is om een ​​visuele weergave van een kwadratische functie te krijgen, kun je de rechterkant van de uitdrukking gelijkstellen aan 0 en de resulterende vergelijking oplossen. En als u de snijpunten met de 0x-as kent, is het gemakkelijker om te plotten.

Uit de geschiedenis

Met behulp van vergelijkingen die een kwadratische variabele bevatten, werden vroeger niet alleen wiskundige berekeningen uitgevoerd en het gebied van geometrische vormen bepaald. De Ouden hadden zulke berekeningen nodig voor grootse ontdekkingen op het gebied van natuurkunde en astronomie, maar ook voor het maken van astrologische voorspellingen.

Zoals moderne wetenschappers suggereren, behoorden de inwoners van Babylon tot de eersten die kwadratische vergelijkingen oplosten. Het gebeurde vier eeuwen voor de komst van onze jaartelling. Natuurlijk waren hun berekeningen fundamenteel anders dan die welke momenteel worden geaccepteerd en bleken ze veel primitiever te zijn. Mesopotamische wiskundigen hadden bijvoorbeeld geen idee van het bestaan ​​van negatieve getallen. Ze waren ook niet bekend met andere subtiliteiten die bekend waren bij elke student van onze tijd.

Misschien zelfs eerder dan de wetenschappers van Babylon, nam de wijze uit India, Baudhayama, de oplossing van kwadratische vergelijkingen ter hand. Dit gebeurde ongeveer acht eeuwen voor de komst van het tijdperk van Christus. Toegegeven, de vergelijkingen van de tweede orde, de methoden voor het oplossen die hij gaf, waren de eenvoudigste. Naast hem waren vroeger ook Chinese wiskundigen geïnteresseerd in soortgelijke vragen. In Europa begonnen kwadratische vergelijkingen pas aan het begin van de 13e eeuw op te lossen, maar later werden ze in hun werk gebruikt door grote wetenschappers als Newton, Descartes en vele anderen.

De discriminant, evenals kwadratische vergelijkingen, beginnen te worden bestudeerd in de algebracursus in groep 8. Je kunt een kwadratische vergelijking oplossen via de discriminant en met behulp van de stelling van Vieta. De methodologie voor het bestuderen van kwadratische vergelijkingen, evenals de discriminantformule, wordt nogal tevergeefs bij schoolkinderen ingeprent, zoals veel in het echte onderwijs. Daarom gaan de schooljaren voorbij, vervangt het onderwijs in de klassen 9-11 "hoger onderwijs" en is iedereen weer op zoek naar - "Hoe een kwadratische vergelijking op te lossen?", "Hoe de wortels van een vergelijking te vinden?", "Hoe de discriminant te vinden?" en...

Discriminerende formule

De discriminant D van de kwadratische vergelijking a*x^2+bx+c=0 is D=b^2–4*a*c.
De wortels (oplossingen) van de kwadratische vergelijking zijn afhankelijk van het teken van de discriminant (D):
D>0 - de vergelijking heeft 2 verschillende reële wortels;
D=0 - de vergelijking heeft 1 wortel (2 samenvallende wortels):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
De formule voor het berekenen van de discriminant is vrij eenvoudig, dus veel sites bieden een online discriminantcalculator aan. We hebben dit soort scripts nog niet bedacht, dus wie weet hoe dit te implementeren, schrijf alsjeblieft naar de mail Dit e-mailadres wordt beveiligd tegen spambots. U moet JavaScript hebben ingeschakeld om te kunnen bekijken. .

Algemene formule voor het vinden van de wortels van een kwadratische vergelijking:

De wortels van de vergelijking worden gevonden door de formule
Als de coëfficiënt van de variabele in het kwadraat gepaard is, is het raadzaam om niet de discriminant te berekenen, maar het vierde deel ervan
In dergelijke gevallen worden de wortels van de vergelijking gevonden door de formule

De tweede manier om wortels te vinden is de stelling van Vieta.

De stelling is niet alleen geformuleerd voor kwadratische vergelijkingen, maar ook voor veeltermen. U kunt dit lezen op Wikipedia of andere elektronische bronnen. Om het echter te vereenvoudigen, beschouw dat deel ervan dat betrekking heeft op de gereduceerde kwadratische vergelijkingen, dat wil zeggen vergelijkingen van de vorm (a=1)
De essentie van de Vieta-formules is dat de som van de wortels van de vergelijking gelijk is aan de coëfficiënt van de variabele, genomen met het tegenovergestelde teken. Het product van de wortels van de vergelijking is gelijk aan de vrije term. De formules van de stelling van Vieta hebben een notatie.
De afleiding van de Vieta-formule is vrij eenvoudig. Laten we de kwadratische vergelijking schrijven in termen van priemfactoren
Zoals u kunt zien, is alles ingenieus tegelijkertijd eenvoudig. Het is effectief om de Vieta-formule te gebruiken wanneer het verschil in de modulus van de wortels of het verschil in de modulus van de wortels 1, 2 is. De volgende vergelijkingen hebben bijvoorbeeld volgens de stelling van Vieta wortels




De analyse van maximaal 4 vergelijkingen zou er zo uit moeten zien. Het product van de wortels van de vergelijking is 6, dus de wortels kunnen de waarden (1, 6) en (2, 3) zijn of paren met het tegenovergestelde teken. De som van de wortels is 7 (de coëfficiënt van de variabele met het tegengestelde teken). Hieruit concluderen we dat de oplossingen van de kwadratische vergelijking gelijk zijn aan x=2; x=3.
Het is gemakkelijker om de wortels van de vergelijking te selecteren tussen de delers van de vrije term, en hun teken te corrigeren om aan de Vieta-formules te voldoen. In het begin lijkt dit moeilijk, maar met oefenen op een aantal kwadratische vergelijkingen zal deze techniek efficiënter zijn dan het berekenen van de discriminant en het vinden van de wortels van de kwadratische vergelijking op de klassieke manier.
Zoals je kunt zien, heeft de schooltheorie van het bestuderen van de discriminant en manieren om oplossingen voor de vergelijking te vinden geen praktische betekenis - "Waarom hebben schoolkinderen een kwadratische vergelijking nodig?", "Wat is de fysieke betekenis van de discriminant?".

Laten we proberen het uit te zoeken wat beschrijft de discriminant?

In de loop van de algebra bestuderen ze functies, schema's voor het bestuderen van functies en het plotten van functies. Van alle functies wordt een belangrijke plaats ingenomen door een parabool, waarvan de vergelijking kan worden geschreven in de vorm
Dus de fysieke betekenis van de kwadratische vergelijking zijn de nullen van de parabool, dat wil zeggen de snijpunten van de grafiek van de functie met de abscis-as Ox
Ik vraag je om de eigenschappen van parabolen te onthouden die hieronder worden beschreven. De tijd komt om examens, tests of toelatingsexamens af te leggen en je zult dankbaar zijn voor het referentiemateriaal. Het teken van de variabele in het vierkant komt overeen met of de takken van de parabool in de grafiek omhoog gaan (a>0),

of een parabool met takken naar beneden (a<0) .

Het hoekpunt van de parabool ligt halverwege tussen de wortels

De fysieke betekenis van de discriminant:

Als de discriminant groter is dan nul (D>0), heeft de parabool twee snijpunten met de Ox-as.
Als de discriminant gelijk is aan nul (D=0), dan raakt de parabool bovenaan de x-as.
En het laatste geval wanneer de discriminant minder dan nul(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Ik hoop dat je na het bestuderen van dit artikel zult leren hoe je de wortels van een volledige kwadratische vergelijking kunt vinden.

Met behulp van de discriminant worden alleen volledige kwadratische vergelijkingen opgelost; om onvolledige kwadratische vergelijkingen op te lossen, worden andere methoden gebruikt, die u kunt vinden in het artikel "Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen".

Welke kwadratische vergelijkingen worden compleet genoemd? het vergelijkingen van de vorm ax 2 + b x + c = 0, waarbij de coëfficiënten a, b en c niet gelijk zijn aan nul. Dus om de volledige kwadratische vergelijking op te lossen, moet je de discriminant D berekenen.

D \u003d b 2 - 4ac.

Afhankelijk van welke waarde de discriminant heeft, schrijven we het antwoord op.

Als de discriminant een negatief getal is (D< 0),то корней нет.

Als de discriminant nul is, dan x \u003d (-b) / 2a. Als de discriminant een positief getal is (D > 0),

dan x 1 = (-b - √D)/2a, en x 2 = (-b + √D)/2a.

Bijvoorbeeld. los De vergelijking op x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Antwoord: 2.

Los vergelijking 2 . op x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Antwoord: geen wortels.

Los vergelijking 2 . op x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Antwoord: - 3,5; een.

Laten we ons dus de oplossing van volledige kwadratische vergelijkingen voorstellen volgens het schema in figuur 1.

Deze formules kunnen worden gebruikt om elke volledige kwadratische vergelijking op te lossen. Je moet gewoon voorzichtig zijn om de vergelijking is geschreven als een polynoom standaardweergave

a x 2 + bx + c, anders kunt u een fout maken. Als u bijvoorbeeld de vergelijking x + 3 + 2x 2 = 0 schrijft, kunt u ten onrechte besluiten dat

a = 1, b = 3 en c = 2. Dan

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 en dan heeft de vergelijking twee wortels. En dit is niet waar. (Zie voorbeeld 2 oplossing hierboven).

Daarom, als de vergelijking niet wordt geschreven als een polynoom van de standaardvorm, moet eerst de volledige kwadratische vergelijking worden geschreven als een polynoom van de standaardvorm (in de eerste plaats moet er een monomiaal zijn met de grootste exponent, dat wil zeggen a x 2 , dan met minder – bx, en dan de vrije termijn Met.

Bij het oplossen van de bovenstaande kwadratische vergelijking en de kwadratische vergelijking met een even coëfficiënt voor de tweede term, kunnen ook andere formules worden gebruikt. Laten we kennis maken met deze formules. Als in de volledige kwadratische vergelijking met de tweede term de coëfficiënt even is (b = 2k), dan kan de vergelijking worden opgelost met behulp van de formules in het diagram van figuur 2.

Een volledige kwadratische vergelijking wordt gereduceerd genoemd als de coëfficiënt at x 2 is gelijk aan eenheid en de vergelijking heeft de vorm x 2 + px + q = 0. Een dergelijke vergelijking kan worden gegeven om op te lossen, of wordt verkregen door alle coëfficiënten van de vergelijking te delen door de coëfficiënt a staan ​​bij x 2 .

Figuur 3 toont een diagram van de oplossing van het gereduceerde kwadraat
vergelijkingen. Overweeg het voorbeeld van de toepassing van de formules die in dit artikel worden besproken.

Voorbeeld. los De vergelijking op

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Laten we deze vergelijking oplossen met behulp van de formules in figuur 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Antwoord: -1 - √3; –1 + √3

Je kunt zien dat de coëfficiënt bij x in deze vergelijking een even getal is, dat wil zeggen b \u003d 6 of b \u003d 2k, vanwaar k \u003d 3. Laten we dan proberen de vergelijking op te lossen met behulp van de formules in het figuurdiagram D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Antwoord: -1 - √3; –1 + √3. Als we zien dat alle coëfficiënten in deze kwadratische vergelijking deelbaar zijn door 3 en delen, krijgen we de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 + 2x - 2 = 0 We lossen deze vergelijking op met behulp van de formules voor de gereduceerde kwadratische vergelijking
vergelijkingen figuur 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Antwoord: -1 - √3; –1 + √3.

Zoals je kunt zien, kregen we hetzelfde antwoord bij het oplossen van deze vergelijking met behulp van verschillende formules. Daarom, als u de formules in het diagram van figuur 1 goed onder de knie heeft, kunt u altijd elke volledige kwadratische vergelijking oplossen.

site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.

Van de hele cursus van het schoolcurriculum van algebra, is een van de meest omvangrijke onderwerpen het onderwerp van kwadratische vergelijkingen. In dit geval wordt een kwadratische vergelijking begrepen als een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c \u003d 0, waarbij a ≠ 0 (deze luidt: a vermenigvuldigen met x kwadraat plus be x plus ce is gelijk aan nul, waarbij a is niet gelijk aan nul). In dit geval wordt de belangrijkste plaats ingenomen door de formules voor het vinden van de discriminant van een kwadratische vergelijking van het gespecificeerde type, wat wordt opgevat als een uitdrukking waarmee u de aanwezigheid of afwezigheid van wortels in een kwadratische vergelijking kunt bepalen, evenals hun nummer (indien aanwezig).

Formule (vergelijking) van de discriminant van een kwadratische vergelijking

De algemeen aanvaarde formule voor de discriminant van een kwadratische vergelijking is als volgt: D \u003d b 2 - 4ac. Door de discriminant te berekenen met behulp van de aangegeven formule, kan men niet alleen de aanwezigheid en het aantal wortels van een kwadratische vergelijking bepalen, maar ook een methode kiezen om deze wortels te vinden, waarvan er verschillende zijn, afhankelijk van het type kwadratische vergelijking.

Wat betekent het als de discriminant nul is \ Formule van de wortels van een kwadratische vergelijking als de discriminant nul is

De discriminant, zoals volgt uit de formule, wordt aangeduid als Latijnse letter D. In het geval dat de discriminant gelijk is aan nul, moet worden geconcludeerd dat de kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0, slechts één wortel heeft, die wordt berekend met behulp van een vereenvoudigde formule . Deze formule is alleen van toepassing als de discriminant nul is en er als volgt uitziet: x = –b/2a, waarbij x de wortel van de kwadratische vergelijking is, b en a de overeenkomstige variabelen van de kwadratische vergelijking. Om de wortel van een kwadratische vergelijking te vinden, is het nodig om de negatieve waarde van de variabele b te delen door tweemaal de waarde van de variabele a. De resulterende uitdrukking is de oplossing van een kwadratische vergelijking.

Een kwadratische vergelijking oplossen via de discriminant

Als bij het berekenen van de discriminant met behulp van de bovenstaande formule een positieve waarde wordt verkregen (D is groter dan nul), dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels, die worden berekend met de volgende formules: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Meestal wordt de discriminant niet afzonderlijk berekend, maar wordt de worteluitdrukking in de vorm van een discriminantformule eenvoudigweg vervangen door de D-waarde, waaruit de wortel wordt geëxtraheerd. Als de variabele b een even waarde heeft, kun je voor het berekenen van de wortels van een kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a 0, ook de volgende formules gebruiken: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, waarbij k = b/2.

In sommige gevallen kunt u voor de praktische oplossing van kwadratische vergelijkingen de Vieta-stelling gebruiken, die zegt dat voor de som van de wortels van een kwadratische vergelijking van de vorm x 2 + px + q \u003d 0, de waarde x 1 + x 2 \u003d -p is geldig, en voor het product van de wortels van de gespecificeerde vergelijking - uitdrukking x 1 x x 2 = q.

Kan de discriminant kleiner zijn dan nul?

Bij het berekenen van de waarde van de discriminant kan men een situatie tegenkomen die niet onder een van de beschreven gevallen valt - wanneer de discriminant een negatieve waarde heeft (dat wil zeggen kleiner dan nul). In dit geval wordt aangenomen dat de kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0, geen echte wortels heeft, daarom zal de oplossing ervan beperkt zijn tot het berekenen van de discriminant, en de bovenstaande formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking zijn in dit geval niet van toepassing. Tegelijkertijd staat in het antwoord op de kwadratische vergelijking dat "de vergelijking geen echte wortels heeft".

Uitlegvideo:

Met dit wiskundeprogramma kun je kwadratische vergelijking oplossen.

Het programma geeft niet alleen het antwoord op het probleem, maar geeft ook het oplossingsproces op twee manieren weer:
- gebruik van de discriminant
- gebruik maken van de stelling van Vieta (indien mogelijk).

Bovendien wordt het antwoord exact weergegeven, niet bij benadering.
Voor de vergelijking \(81x^2-16x-1=0\) wordt het antwoord bijvoorbeeld in deze vorm weergegeven:

Dit programma kan nuttig zijn voor middelbare scholieren ter voorbereiding op: controle werk en examens, bij het testen van kennis voor het examen, ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon zo snel mogelijk je huiswerk voor wiskunde of algebra af hebben? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Op deze manier kunt u uw eigen training en/of de training van uw jongere broers of zussen geven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van op te lossen taken wordt verhoogd.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van een vierkante polynoom, raden we u aan er vertrouwd mee te raken.

Regels voor het invoeren van een vierkante veelterm

Elke Latijnse letter kan als variabele fungeren.
Bijvoorbeeld: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) enz.

Getallen kunnen worden ingevoerd als gehele getallen of breuken.
Bovendien kunnen breuken niet alleen in de vorm van een decimaal worden ingevoerd, maar ook in de vorm van een gewone breuk.

Regels voor het invoeren van decimale breuken.
In decimale breuken kan het breukdeel van het gehele getal worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimalen dus: 2,5x - 3,5x^2

Regels voor het invoeren van gewone breuken.
Alleen een geheel getal kan fungeren als teller, noemer en geheel getal van een breuk.

De noemer kan niet negatief zijn.

Bij het invoeren van een numerieke breuk wordt de teller gescheiden van de noemer door een deelteken: /
Het gehele deel wordt van de breuk gescheiden door een ampersand: &
Invoer: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultaat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bij het invoeren van een uitdrukking je kunt haakjes gebruiken. In dit geval wordt bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de geïntroduceerde uitdrukking vereenvoudigd.
Bijvoorbeeld: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om deze taak op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Mogelijk hebt u AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft zie...

als jij een fout opgemerkt in de oplossing, dan kunt u hierover schrijven in het Feedbackformulier .
Niet vergeten aangeven welke taak jij bepaalt wat vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Kwadratische vergelijking en zijn wortels. Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Elk van de vergelijkingen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
heeft de vorm
\(ax^2+bx+c=0, \)
waarbij x een variabele is, a, b en c getallen zijn.
In de eerste vergelijking a = -1, b = 6 en c = 1,4, in de tweede a = 8, b = -7 en c = 0, in de derde a = 1, b = 0 en c = 4/9. Dergelijke vergelijkingen worden genoemd kwadratische vergelijkingen.

Definitie.
kwadratische vergelijking een vergelijking van de vorm ax 2 +bx+c=0 wordt aangeroepen, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen, en \(a \neq 0 \).

De getallen a, b en c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. Het getal a wordt de eerste coëfficiënt genoemd, het getal b is de tweede coëfficiënt en het getal c is het snijpunt.

In elk van de vergelijkingen van de vorm ax 2 +bx+c=0, waarbij \(a \neq 0 \), is de grootste macht van de variabele x een vierkant. Vandaar de naam: kwadratische vergelijking.

Merk op dat een kwadratische vergelijking ook een vergelijking van de tweede graad wordt genoemd, omdat de linkerkant ervan een polynoom van de tweede graad is.

Een kwadratische vergelijking waarin de coëfficiënt bij x 2 gelijk is aan 1 heet gereduceerde kwadratische vergelijking. De gegeven kwadratische vergelijkingen zijn bijvoorbeeld de vergelijkingen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Als in de kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 tenminste één van de coëfficiënten b of c gelijk is aan nul, dan heet zo'n vergelijking onvolledige kwadratische vergelijking. Dus de vergelijkingen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen. In de eerste b=0, in de tweede c=0, in de derde b=0 en c=0.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn van drie soorten:
1) ax 2 +c=0, waarbij \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, waarbij \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Overweeg de oplossing van vergelijkingen van elk van deze typen.

Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +c=0 voor \(c \neq 0 \) op te lossen, wordt de vrije term verplaatst naar de rechterkant en worden beide delen van de vergelijking gedeeld door a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rechts x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Aangezien \(c \neq 0 \), dan is \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Als \(-\frac(c)(a)>0 \), dan heeft de vergelijking twee wortels.

Als \(-\frac(c)(a) Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +bx=0 op te lossen voor \(b \neq 0 \) ontbind je de linkerkant ervan en verkrijg je de vergelijking
\(x(ax+b)=0 \Rechterpijl \links\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \rechts. \Rechtspijl \links\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 +bx=0 voor \(b \neq 0 \) heeft dus altijd twee wortels.

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 \u003d 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 \u003d 0 en heeft daarom een ​​enkele wortel 0.

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu bekijken hoe kwadratische vergelijkingen worden opgelost waarin zowel de coëfficiënten van de onbekenden als de vrije term niet nul zijn.

We lossen de kwadratische vergelijking op in algemene vorm en als resultaat krijgen we de formule van de wortels. Dan kan deze formule worden toegepast om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Los de kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 . op

Door beide delen te delen door a, verkrijgen we de equivalente gereduceerde kwadratische vergelijking
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

We transformeren deze vergelijking door het kwadraat van de binomiaal te markeren:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Pijl naar rechts \)

De worteluitdrukking heet discriminant van een kwadratische vergelijking ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” in het Latijn - onderscheiding). Het wordt aangegeven met de letter D, d.w.z.
\(D = b^2-4ac\)

Nu, met behulp van de notatie van de discriminant, herschrijven we de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), waarbij \(D= b^2-4ac \)

Het is duidelijk dat:
1) Als D>0, dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels.
2) Als D=0, dan heeft de kwadratische vergelijking één wortel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Als D Dus, afhankelijk van de waarde van de discriminant, kan de kwadratische vergelijking twee wortels hebben (voor D > 0), één wortel (voor D = 0) of geen wortels (voor D Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met behulp van deze formule , is het raadzaam om het als volgt te doen:
1) bereken de discriminant en vergelijk deze met nul;
2) als de discriminant positief of gelijk aan nul is, gebruik dan de wortelformule, als de discriminant negatief is, noteer dan dat er geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

De gegeven kwadratische vergelijking ax 2 -7x+10=0 heeft wortels 2 en 5. De som van de wortels is 7 en het product is 10. We zien dat de som van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt, genomen met de tegengesteld teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term. Elke gereduceerde kwadratische vergelijking met wortels heeft deze eigenschap.

De som van de wortels van de gegeven kwadratische vergelijking is gelijk aan de tweede coëfficiënt, genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term.

Die. De stelling van Vieta stelt dat de wortels x 1 en x 2 van de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 +px+q=0 de eigenschap hebben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)