Jaringan simpul. Metode simpul pada soal B5 Untuk kisi-kisi simpul datar rangkap tiga

Ada formula luar biasa yang memungkinkan Anda menghitung bidang poligon pada grid koordinat hampir tanpa kesalahan. Itu bahkan bukan formula, itu nyata dalil. Sekilas, ini mungkin terlihat rumit. Tapi itu cukup untuk menyelesaikan beberapa tugas - dan Anda akan mengerti betapa kerennya fitur ini. Jadi silakan!

Mari kita mulai dengan definisi baru:

Node stack koordinat adalah setiap titik yang terletak di persimpangan garis vertikal dan horizontal dari grid ini.

Penamaan:

Pada gambar pertama, node tidak ditandai sama sekali. Yang kedua memiliki 4 node. Terakhir, pada gambar ketiga, semua 16 node ditandai.

Apa hubungannya ini dengan masalah B5? Faktanya adalah simpul poligon dalam masalah seperti itu Selalu terletak di node dari grid. Akibatnya, teorema berikut berlaku untuk mereka:

Dalil. Pertimbangkan poligon pada kisi koordinat yang simpulnya terletak di simpul kisi ini. Maka luas poligon tersebut adalah :

di mana n adalah jumlah simpul di dalam poligon yang diberikan, k adalah jumlah simpul yang terletak pada batasnya (simpul batas).

Sebagai contoh, pertimbangkan segitiga biasa pada kisi koordinat dan coba tandai simpul internal dan batas.

Gambar pertama menunjukkan segitiga biasa. Pada gambar kedua, node internalnya ditandai, yang jumlahnya n = 10. Pada gambar ketiga, node yang terletak di perbatasan ditandai, totalnya ada k = 6.

Mungkin banyak pembaca yang belum paham cara menghitung angka n dan k. Mulailah dengan node internal. Semuanya jelas di sini: kami mengecat segitiga dengan pensil dan melihat berapa banyak simpul yang diarsir.

Dengan simpul batas, ini sedikit lebih rumit. batas poligon - garis putus-putus tertutup, yang memotong kisi koordinat di banyak titik. Cara termudah adalah dengan menandai beberapa titik "awal", dan kemudian mengitari sisanya.

Node batas hanya akan berupa titik-titik pada polyline tempat mereka berpotongan secara bersamaan tiga baris:

Sebenarnya, garis putus-putus;
Garis grid horizontal;
garis vertikal.

Mari kita lihat bagaimana semuanya bekerja dalam masalah nyata.

Tugas. Temukan luas segitiga jika sel berukuran 1 x 1 cm:

Pertama, mari tandai simpul yang terletak di dalam segitiga, serta di tepinya:

Ternyata hanya ada satu simpul internal: n = 1. Ada enam simpul batas: tiga bertepatan dengan simpul segitiga, dan tiga lagi terletak di samping. Jumlah k = 6.

Sekarang kita menghitung luas menggunakan rumus:

Itu saja! Masalah terpecahkan.

Tugas. Temukan luas segiempat yang digambarkan pada kertas kotak-kotak dengan sel berukuran 1 cm kali 1 cm Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Sekali lagi, kami menandai node internal dan batas. Ada n = 2 node internal Node batas: k = 7, dimana 4 adalah simpul dari segi empat, dan 3 lagi terletak di samping.

Tetap mengganti angka n dan k dalam rumus luas:

Perhatikan contoh terakhir. Masalah ini sebenarnya diusulkan pada pekerjaan diagnostik pada tahun 2012. Jika Anda bekerja sesuai dengan skema standar, Anda harus melakukan banyak konstruksi tambahan. Dan dengan metode simpul, semuanya diselesaikan hampir secara lisan.

Catatan penting di daerah

Tapi formula bukanlah segalanya. Mari kita tulis ulang rumusnya sedikit, bawa suku-sukunya ke sisi kanan ke penyebut yang sama. Kita mendapatkan:

Angka n dan k adalah jumlah simpul, selalu bilangan bulat. Jadi seluruh pembilang juga merupakan bilangan bulat. Kami membaginya dengan 2, yang menyiratkan fakta penting:

Area selalu diekspresikan bilangan bulat atau pecahan. Apalagi di akhir pecahan selalu ada “lima per sepuluh”: 10,5; 17,5 dst.

Jadi, luas dalam soal B5 selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat atau pecahan dari bentuk ***.5. Jika jawabannya berbeda, berarti telah terjadi kesalahan di suatu tempat. Ingatlah hal ini saat Anda mengikuti ujian nyata dalam matematika!

Mereka ringan, kerawang, dengan pola simpul jaring yang jelas hanya jika terbuat dari benang yang rata dan halus (tanpa serat): ini adalah tali pancing, benang linen, dan wol yang sangat bengkok. Dengan mengurangi atau menambah jarak antar node, jaring dijalin di sekitar objek tiga dimensi, persis mengulangi bentuknya. Tapi yang terpenting, tekstur grid yang monoton dan tidak mengganggu digunakan sebagai latar belakang untuk pola utama.

Ada aturan tertentu untuk menenun jaring:

semakin besar celah di antara benang yang digantung di alas, semakin halus jaringnya;
jumlah benang yang digantung pada lungsin harus kelipatan dari jumlah benang dalam satu simpul;
benang nodular dan simpul kerja yang ditenun dalam pola kotak-kotak berpindah tempat setelah setiap baris, oleh karena itu dikonsumsi secara merata;
jumlah baris dihitung dari tepi sisi kisi (dari atas ke bawah) di sepanjang simpul ekstrem, mengingat simpul dari baris ganjil terletak di paling tepi, dan baris genap dipindahkan lebih dalam;
jumlah benang gantung tergantung pada motif polanya (motifnya adalah sejumlah simpul tertentu yang berulang secara ritmis dalam polanya).

Kotak simpul sederhana (Gbr. 164, a).

Ujung benang gantung untuk menenun jaring harus 2 kali lebih panjang dari tinggi produk jadi. Anda dapat bekerja dari kanan ke kiri dan dari kiri ke kanan.

Kencangkan 4 utas sepanjang 1 m pada alas dengan jarak 2-3 cm dari satu sama lain, lipat menjadi dua (ternyata 8 utas).

Baris ke-1 - mundur dari alas sejauh 1 cm, ikat satu simpul sederhana kiri pada setiap pasang benang (Gbr. 164, b) dan sematkan dengan pin menjadi setengah - ternyata 4 simpul (Gbr. 164, c ).

Baris ke-2 - sisihkan utas paling kiri dan pada 2 berikutnya (1 utas dari simpul baris ke-1) ikat simpul sederhana kiri, mundur dari baris 1 sejauh 2-3 cm, kemudian pada setiap 2 utas berikutnya ikat simpul , menempatkannya pada level yang sama dengan simpul pertama. Utas paling kanan terakhir tetap bebas. 3 node terbentuk, yang terhuyung-huyung dalam kaitannya dengan node baris pertama.

Simpul ini juga disematkan ke bantal.

Baris ke-3 - kerjakan 1 benang bebas ekstrim dan 2-3 cm di bawah baris ke-2, ikat simpul sederhana pada setiap pasang benang. 4 simpul terbentuk (seperti pada baris pertama).

Baris ke-4 - menenun sebagai baris ke-2, berusaha menjaga jarak yang sama antar baris.

Gambar 164, 165 dan 166:

Untuk mencegah jala tergelincir di atas bantal, jangan lupa menyematkan simpul dengan pin - ini akan membantu menghindari barisan yang miring. Pastikan benang lepas di sepanjang tepi jaring memiliki ukuran yang sama di semua baris.

Jaring dapat dianyam dalam lingkaran jika Anda mengikat ujung lungsin. Dalam hal ini, tidak ada utas bebas, karena semua utas terlibat dalam menenun setiap baris.

Kisi simpul sederhana yang terjalin (Gbr. 165, a).

Dalam pola ini, 2 simpul sederhana diikat pada setiap 2 utas, menjalinnya menjadi satu: pertama, simpul sederhana kanan diikat (tidak kencang) pada utas kiri, kemudian utas kanan ditarik ke dalam lingkaran simpul lepas (Gbr. .165, b) dan simpul sederhana kiri diikat sambil mengencangkan simpul kanan. Kedua simpul harus terjalin secara simetris (Gbr. 165, c) - jalinan seperti itu disebut "simpul cinta".

Kotak simpul dasi (Gbr. 166).

Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2. Panjangnya harus 2 kali tinggi jaring.

Kisi-kisi dari simpul Armenia.

Perhitungan untuk satu set utas sama dengan kisi sebelumnya, jika simpul diikat pada 2 utas (Gbr. 167, a). Versi lain dari pola (Gbr. 167, b): simpul pada baris ganjil dibuat pada 3 utas, pada utas genap - pada 2. Jumlah ujung benang gantung pada pola ini harus dibagi 3. Panjangnya adalah tidak sama (Gbr. 168): utas pendek tingginya sama dengan jaring, utas panjang harus 2 kali lebih besar.

Skema 167-168:

Jaring simpul lingkaran.

Mereka kerawang atau lebih padat tergantung pada jumlah simpul di setiap tautan: semakin sedikit simpul, semakin padat jaringnya.

Kisi Node Kanan Tunggal

(padat - Gbr. 169). Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 2 kali tinggi jaring.

Skema 169-172:

Untuk jala tiga simpul satu sisi

(semuanya 3 kanan) - gbr. 170, jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4. Panjang benang ganjil harus sama dengan tinggi jaring, benang genap - 2,5 kali lebih panjang.

Jaring kerawang dari kombinasi simpul lingkaran kanan dan kiri

(Gbr. 171) terbuat dari benang yang 2,5 kali lebih panjang dari tingginya, jumlahnya harus habis dibagi 2.

Kisi kerawang dengan sel persegi

(Gbr. 172) ditenun dari rantai "ular", yang masing-masing terdiri dari 4-6 simpul simpul. "Ular" dihubungkan berpasangan dengan simpul datar ganda. Jumlah ujung benang gantung jaring adalah kelipatan 4, panjangnya harus 3 kali tinggi jaring.

Kisi-kisi dari simpul "tatting".

Simpul di dalamnya diikat dengan seutas benang (Gbr. 173, a) dan benang ganda (Gbr. 173, b). Panjang benang gantung pada kedua jaring ini harus 3 kali tinggi jaring. Jumlah ujung untuk jaring pertama harus habis dibagi 2, untuk yang kedua - dengan 4.

Skema 173-176:

Grid-meshka dari simpul "tatting" (gbr. 174).

Ditenun dengan bergantian simpul tatting kanan dan kiri: pada baris ganjil, setiap 2 utas diikat dengan simpul kiri, pada baris genap, simpul kanan diikat pada simpul yang sama, menggunakan benang kerja dari simpul berlawanan dari baris sebelumnya . Dalam hal ini, node tidak disusun dalam pola kotak-kotak, tetapi dalam baris vertikal satu di bawah yang lain. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2 tambah 1 untuk simetri, benang yang diikat harus sama dengan panjang jaring, benang kerja harus 2,5 kali lebih panjang.

Kisi dari simpul repetisi.

Mereka ditenun menggunakan simpul rep diagonal dan vertikal.

Saat menenun jaring dengan sel besar (Gbr. 175, a), baris ganjil dilakukan pada setiap 2 utas, mengikatnya dengan simpul diagonal dari kiri ke kanan (utas kanan di tangan kiri diikat, utas kiri di kanan tangan bekerja). Di baris genap, fungsi utas berubah: simpul dari baris sebelumnya berfungsi. Simpul dilakukan dari kanan ke kiri.

Jika simpul jaring ditempatkan berdekatan satu sama lain, maka permukaan tenun dibukukan dengan halus (Gbr. 175, b). Jala ini disebut tweed dan boucle. Jumlah ujung benang gantung harus habis dibagi 2, panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Menenun kisi-kisi dengan sel segitiga dari simpul rep vertikal

(Gbr. 176) mirip dengan menenun brida horizontal dari simpul rep vertikal (lihat Gbr. 38, c).

Ujung benang gantung harus sama panjang dengan jala, jumlahnya harus habis dibagi 2. Sebelum bekerja, semua benang dibagi menjadi 2 - nodular, dan di baris pertama, dengan benang tambahan sebagai kerja utas, satu utas repetisi vertikal dimasukkan ke dalam setiap pasang simpul utas (kanan ke kiri). Di baris berikutnya, benang yang diikat didistribusikan kembali dalam pola kotak-kotak dan setiap pasang benang yang diikat dijalin dari kiri ke kanan. Benang yang berfungsi untuk menenun dapat dipotong sesuai kebutuhan.

Kisi-kisi simpul datar.

Mereka sangat populer dalam menenun. Beberapa di antaranya menyerupai renda, yang lain, sangat padat, hadir dengan jalinan benang yang rumit.

Jaring padat dari simpul datar tunggal ditenun, mengikat simpul-simpul itu berdekatan satu sama lain. Kisi-kisi dapat dibuat lebih langka dan timbul (Gbr. 177) jika setiap mata rantai dianyam dari beberapa simpul (jumlahnya harus cukup agar burung pengicau dapat berputar di tepinya).

Jumlah ujung benang gantung kedua jaring adalah kelipatan 4. Panjang ujung jaring pertama harus 3 kali, dan untuk jaring kedua 5 kali tingginya.

Skema 177-180:

Kotak simpul datar ganda - "papan catur" (Gbr. 178)

Teksturnya lebih jelas jika palang semua simpul terletak di satu sisi. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4. Panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Struktur simpul datar ganda memungkinkan Anda menenun jaring tanpa menggantung benang pada lungsin. Sebagai gantinya, pin digunakan: benang dilipat menjadi dua, disematkan dengan simpul ke atas bantal, dan simpul datar ganda diikat pada masing-masing 4 benang (Gbr. 179).

Teknik ini digunakan saat menenun pakaian, syal, mis. ketika tepi elastis diperlukan.

Untuk menenun jaring dari simpul datar ganda berpasangan pada 6 utas

(Gbr. 180) ujung benang gantung harus 3 kali lebih panjang dari tinggi jaring, dan jumlahnya harus habis dibagi 6. Pertama, simpul datar ganda diikat pada 4 benang tengah (2, 3, 4 dan 5) dan pekerja menyisihkan benang (2 dan 5), kemudian ikat simpul ke-2 pada benang bebas yang sama (ke-3 dan ke-4) (ke-1 dan ke-6). Memulai dan mengakhiri baris berikutnya, 3 utas pertama dan terakhir diambil ke samping, utas tengah didistribusikan kembali menjadi enam.

Dengan prinsip yang sama, kisi-kisi simpul datar ganda yang dihubungkan dengan 3 ditenun (Gbr. 181). Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 8, panjangnya harus 2-3 kali tinggi jaring.

Jaring pengukur kerawang (Gbr. 182) dilakukan pada jumlah utas yang sama dengan yang sebelumnya, tetapi utas didistribusikan kembali setelah 2 kelompok 3 simpul diikat pada nodular yang sama dengan interval antar kelompok 0,5 cm.

Skema 181-184:

Dalam kisi simpul datar ganda - "polotnyanka"

(Gbr. 183) - node tidak terhuyung-huyung, tetapi satu di bawah yang lain. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4, panjangnya harus 3 kali tinggi jaring.

Grid-merezhka

(Gbr. 184) dilakukan dengan menyilangkan benang kerja di setiap baris. Panjang benang kerja 4-6 kali lebih panjang dari benang nodular, panjang benang nodular sama dengan tinggi jaring. Jumlah ujung benang yang digantung di alas harus habis dibagi 4. Pastikan jalinan benang yang bekerja sama di mana-mana: kanan ke kiri.

Untuk jala dengan sel besar simpul datar ganda

(Gbr. 185) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 6 ditambah 4 benang untuk simetri pola, panjang benang yang diikat (2, 3, 5 dan 6) harus sama dengan tinggi grid, thread kerja (1 dan 4) dalam 2 kali lebih lama.

Skema 185-188

Untuk jala tiga simpul datar

(Gbr. 186) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4, panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Untuk kisi simpul kompleks datar

(Gbr. 187) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 6, panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Untuk jaring dengan "lalat"

(Gbr. 188) jumlah ujung benang gantung harus habis dibagi 4, panjangnya harus 3,5-4 kali tinggi jaring. "Lalat" ditenun dari 4 utas (pekerja ke-1 dan ke-4, ke-2 dan ke-3 - diikat): pertama, simpul datar tunggal kiri diikat, kemudian simpul sederhana kanan diikat ke 2 simpul yang diikat (Gbr. 189, a ) dan di bawahnya - simpul datar ganda dengan palang kiri (Gbr. 189, b). Jika "lalat" dilakukan pada benang tebal, maka alih-alih simpul datar ganda, simpul datar tunggal yang tepat diikat (Gbr. 189, c).

Skema 189-191

Kotak simpul Cina (Gbr. 190).

Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 3 kali tinggi jaring (lihat teknik mengikat simpul pada Gambar 139, a, b). Jika Anda menggantung utas, berganti warna, maka baris ganjil dari kisi akan menjadi simpul dua warna, dan baris genap akan menjadi satu warna (Gbr. 191).

Kisi simpul "Josephine" (Gbr. 192).

Lebih baik melakukannya dari kumpulan utas atau utas tunggal, tetapi utas tebal. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Skema 192-193:

Kotak kepang (Gbr. 193).

Ini agak rumit dalam pelaksanaannya, karena saat menenun sulit untuk menjaga jarak yang sama antar kepangan. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 4-5 kali tinggi jaring.

Fragmen jala geometris.

Irama simpul kisi dengan mudah dibangun kembali menjadi bentuk geometris: segi enam (Gbr. 194, a), segitiga (Gbr. 194, b), belah ketupat (Gbr. 194, c).

Teknik menenunnya sangat sederhana. Misalnya, jika sebuah segitiga ditenun, maka pada awal dan akhir setiap baris baru, 2 utas ekstrem tidak dirajut, dan kemudian akan ada 1 simpul lebih sedikit pada baris tersebut daripada yang sebelumnya. Jadi menenun sampai hanya tersisa 1 simpul. Untuk menenun segitiga, pembagian simpul dalam baris ditunjukkan dengan angka, misalnya 3, 2, 1. Jika belah ketupat dilakukan, maka dimulai dengan 1 simpul: 1 simpul datar ganda diikat pada 4 benang tengah, simpul benang didistribusikan di bawahnya sebanyak 2 dan, menambahkan 2 lagi bebas dari tepi, ikat di bawah simpul pertama 2 simpul datar ganda dalam pola kotak-kotak. Di baris berikutnya, mereka juga melampirkan

2 utas kiri dan kanan, dan akibatnya, kanvas mengembang setelah setiap baris sebanyak 1 simpul. Setelah menyelesaikan bagian atas belah ketupat, ikat bagian bawahnya. Jumlah simpul dalam baris: 1.2, 3.2, 1.

Contoh distribusi simpul lainnya dalam baris 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - menurut akun ini, belah ketupat ditenun dari bahasa Armenia (Gbr. 195, a), pengulangan diagonal (Gbr. 195, b) dan simpul perintis (Gbr. 195, c) dan dari rantai datar (Gbr. 195, d).

Skema 194 - 195

Node grid berbaris secara harmonis secara horizontal

(Gbr. 196, a) dan vertikal (Gbr. 196, b) garis zigzag. Lebih mudah menenun yang horizontal dengan sudut terpisah, lalu menghubungkannya dengan simpul menggunakan benang dari fragmen yang berdekatan. Sudut-sudutnya dianyam seperti ini: pertama, simpul tengah atas diikat, kemudian benang di bawahnya dibagi rata (misalnya masing-masing 2) dan dikirim 2 ke kiri, 2 ke kanan. Di bawah simpul pertama di sebelah kiri, simpul baru diikat menggunakan 2 benang kiri dari simpul pertama dan 2 benang bebas di sebelah kiri. Ikat simpul di sebelah kanan dengan cara yang sama. Selanjutnya, ikat lagi 1 simpul di kanan dan kiri, menggunakan 2 utas bebas dan 2 utas dari simpul sebelumnya. Jadi menenun secara diagonal ke ukuran sudut yang diinginkan dengan bagian atas di atas. Dengan menghubungkan 2 sudut dengan simpul yang diarahkan berlawanan arah, diperoleh belah ketupat, yang bagian tengahnya diisi dengan benang bebas (Gbr. 197, a). Menurut prinsip yang sama, segi enam ditenun (Gbr. 197, b).

Skema 196-199

Garis simpul diagonal yang lebih padat

(Gbr. 198) diperoleh jika untuk setiap node baru menggunakan 3 utas dari node sebelumnya (1 nodular, 2 pekerja) dan 1 gratis.

Penerimaan menghubungkan grid dengan fragmen pola lainnya.

Jaring jaring yang monoton digunakan untuk membuat pola baru. Pada kisi-kisi, berbagai fragmen anyaman tampak lebih timbul, cembung, dan ekspresif. Bagaimana kombinasi rantai, simpul, dan elemen lain dijalin ke dalam kisi? Kenali teknik-teknik ini menggunakan contoh kisi "papan catur" di tengah dengan simpul datar ganda yang umum (Gbr. 199, a).

Pertama, sketsa pola baru digambar dan ukuran serta lokasi simpul ditentukan. Biasanya, itu dimasukkan ke dalam belah ketupat dari utas yang berfungsi bebas (Gbr. 199, b). Kisi-kisi ditenun ke bagian atas belah ketupat, kemudian simpul tidak diikat di mana belah ketupat ditandai: pertama 1 simpul (bagian atas belah ketupat), di baris berikutnya, 2 simpul lagi dalam pola kotak-kotak, kemudian 3 simpul dan seterusnya sampai diperoleh lebar belah ketupat yang diinginkan. Setelah itu, simpul umum diikat. Semakin banyak benang yang tersisa untuk simpul, semakin efektif (saat mengikat, jangan memiringkannya: bagian tengah simpul harus bertepatan dengan bagian tengah belah ketupat). Luruskan benang di bawah simpul dan ikat bagian bawah belah ketupat, secara bertahap masukkan 2 benang ekstrem dari simpul biasa ke dalam pekerjaan.