Persamaan parametrik garis lurus. Persamaan parametrik garis lurus dalam ruang

Pastikan untuk membaca paragraf ini! Persamaan parametrik, tentu saja, bukanlah alfa dan omega dari geometri spasial, tetapi semut yang bekerja dari banyak masalah. Selain itu, jenis persamaan ini sering diterapkan secara tidak terduga, dan menurut saya, secara elegan.

Jika titik milik garis dan vektor pengarah garis ini diketahui, maka persamaan parametrik garis ini diberikan oleh sistem:

Saya berbicara tentang konsep persamaan parametrik dalam pelajaran Persamaan garis lurus pada bidang dan Turunan dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik.

Semuanya lebih sederhana daripada lobak kukus, jadi Anda harus membumbui tugasnya:

Contoh 7

Keputusan: Garis diberikan oleh persamaan kanonik dan pada tahap pertama seseorang harus menemukan beberapa titik milik garis dan vektor arahnya.

a) Hapus titik dan vektor arah dari persamaan: . Anda dapat memilih poin lain (cara melakukan ini dijelaskan di atas), tetapi lebih baik mengambil yang paling jelas. Omong-omong, untuk menghindari kesalahan, selalu substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan.

Mari kita buat persamaan parametrik dari garis lurus ini:

Kenyamanan persamaan parametrik adalah bahwa dengan bantuannya sangat mudah untuk menemukan titik lain dari garis. Misalnya, mari kita cari titik yang koordinatnya, katakanlah, sesuai dengan nilai parameter :

Dengan demikian:

b) Pertimbangkan persamaan kanonik . Pilihan titik di sini sederhana, tetapi berbahaya: (hati-hati jangan sampai salah mencampur koordinat!!!). Bagaimana cara mengeluarkan vektor panduan? Anda dapat berspekulasi dengan apa garis ini sejajar, atau Anda dapat menggunakan trik formal sederhana: proporsinya adalah "y" dan "Z", jadi kami menulis vektor arah , dan menempatkan nol di ruang yang tersisa: .

Kami membuat persamaan parametrik dari garis lurus:

c) Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk , yaitu, "Z" bisa apa saja. Dan jika ada, maka biarkan, misalnya, . Dengan demikian, titik milik garis ini. Untuk menemukan vektor arah, kami menggunakan teknik formal berikut: dalam persamaan awal ada "x" dan "y", dan dalam vektor arah di tempat-tempat ini kami menulis nol: . Di tempat yang tersisa kami menempatkan satuan: . Alih-alih satu, nomor apa pun, kecuali nol, bisa digunakan.

Kami menulis persamaan parametrik garis lurus:

Untuk latihan:

Contoh 8

Tulis persamaan parametrik untuk garis berikut:

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Jawaban Anda mungkin sedikit berbeda dari jawaban saya, faktanya adalah persamaan parametrik dapat ditulis dalam lebih dari satu cara. Adalah penting bahwa vektor arah Anda dan saya adalah collinear, dan titik Anda "cocok" dengan persamaan saya (baik, atau sebaliknya, poin saya dengan persamaan Anda).

Bagaimana lagi Anda bisa mendefinisikan garis lurus di ruang angkasa? Saya ingin membuat sesuatu dengan vektor normal. Namun, jumlahnya tidak akan berfungsi, untuk garis ruang, vektor normal dapat melihat ke arah yang sama sekali berbeda.

Metode lain telah disebutkan dalam pelajaran persamaan bidang dan di awal artikel ini.

Pada artikel ini, kita akan membahas persamaan parametrik garis lurus pada bidang. Mari kita berikan contoh membangun persamaan parametrik garis lurus jika dua titik dari garis lurus ini diketahui atau jika satu titik dan vektor arah garis lurus ini diketahui. Mari kita sajikan metode untuk mengubah persamaan dalam bentuk parametrik menjadi bentuk kanonik dan umum.

Persamaan parametrik garis lurus L di pesawat diwakili oleh rumus berikut:

di mana x 1 , kamu 1 koordinat beberapa titik M 1 pada garis lurus L. vektor q={m, p) adalah vektor arah garis L, t adalah beberapa parameter.

Perhatikan bahwa ketika menulis persamaan garis lurus dalam bentuk parametrik, vektor pengarah garis lurus tidak boleh berupa vektor nol, yaitu setidaknya satu koordinat vektor pengarah q harus berbeda dari nol.

Untuk membuat garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian yang diberikan oleh persamaan parametrik (1), cukup untuk mengatur parameter t dua nilai yang berbeda, hitung x dan kamu dan tarik garis lurus melalui titik-titik ini. Pada t=0 kita ada benarnya M 1 (x 1 , kamu 1) di t= 1, kita mendapatkan poin M 2 (x 1 +m, kamu 1 +p).

Untuk membuat persamaan parametrik garis lurus pada bidang L itu cukup untuk memiliki titik di garis L dan vektor arah garis, atau dua titik yang termasuk dalam garis L. Dalam kasus pertama, untuk membuat persamaan parametrik garis lurus, Anda perlu memasukkan koordinat titik dan vektor arah ke dalam persamaan (1). Dalam kasus kedua, Anda harus terlebih dahulu menemukan vektor arah garis q={m, p), menghitung perbedaan koordinat titik yang sesuai M 1 dan M 2: m=x 2 −x 1 , p=kamu 2 −kamu 1 (Gbr.1). Selanjutnya, mirip dengan kasus pertama, substitusikan koordinat salah satu titik (tidak masalah yang mana) dan vektor arah q garis lurus pada (1).

Contoh 1. Sebuah garis melalui sebuah titik M=(3,−1) dan memiliki vektor arah q=(−3, 5). Buatlah persamaan parametrik dari garis lurus.

Keputusan. Untuk membuat persamaan parametrik garis lurus, kita substitusikan koordinat titik dan vektor arah ke persamaan (1):

Mari kita sederhanakan persamaan yang dihasilkan:

Dari ekspresi (3), kita dapat menulis persamaan kanonik garis lurus pada bidang:

Bawa persamaan garis lurus ini ke bentuk kanonik.

Solusi: Nyatakan parameternya t melalui variabel x dan kamu:

(5)

Dari ekspresi (5), kita dapat menulis.

SUDUT ANTARA BIDANG

Mari kita pertimbangkan dua pesawat 1 dan 2 diberikan masing-masing oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua bidang yang kami maksud adalah salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang ini. Jelas bahwa sudut antara vektor normal dan bidang 1 dan 2 sama dengan salah satu sudut dihedral yang berdekatan atau . Jadi . Karena dan , kemudian

.

Contoh. Tentukan sudut antar bidang x+2kamu-3z+4=0 dan 2 x+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang 1 dan 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya dan sejajar, dan karenanya .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien pada koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelaslah bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Dengan demikian, .

Contoh.

LANGSUNG DI RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.

PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG

Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan salah satu titik tetapnya M 1 dan vektor sejajar dengan garis ini.

Vektor yang sejajar dengan garis lurus disebut membimbing vektor garis ini.

Jadi biarkan lurus aku melewati suatu titik M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) terletak pada garis lurus sejajar dengan vektor .

Pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat dari gambar bahwa .

Vektor dan collinear, jadi ada angka seperti itu t, apa , di mana pengalinya t dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor t disebut parameter. Menunjukkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , Kami memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa setiap nilai parameter t sesuai dengan vektor jari-jari dari beberapa titik M berbaring pada garis lurus.

Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter t perubahan koordinat x, kamu dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Biarlah M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) - titik yang terletak pada garis lurus aku, dan adalah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang pada garis lurus M(x,y,z) dan mempertimbangkan vektor .

Jelas bahwa vektor dan kolinear, sehingga masing-masing koordinat harus proporsional, oleh karena itu

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan kanonik garis dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameter t. Memang, dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus secara parametrik.

Menunjukkan , karena itu x = 2 + 3t, kamu = –1 + 2t, z = 1 –t.

Catatan 2. Biarkan garis tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tegak lurus Sapi, karena itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik dari garis lurus mengambil bentuk

Menghilangkan parameter dari persamaan t, kita peroleh persamaan garis lurus dalam bentuk

Namun, dalam kasus ini juga, kami setuju untuk secara formal menulis persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, maka ini berarti bahwa garis tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang sesuai.

Demikian pula, persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan Oy atau sumbu paralel Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARIS PENCEGAHAN DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa melewati jumlah pesawat yang tak terbatas. Setiap dua dari mereka, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dari dua bidang seperti itu, dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.

Secara umum, setiap dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.

Contoh.

Bangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis, cukup mencari dua titik saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya, titik perpotongan dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula, dengan asumsi kamu= 0, kita mendapatkan titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis lurus, seseorang dapat melanjutkan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan beberapa poin M 1 pada garis dan vektor arah garis.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrer. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal dan . Oleh karena itu, untuk vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk silang dari vektor normal:

.

Contoh. Berikan persamaan umum garis lurus ke bentuk kanonik.

Temukan titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaannya:

Vektor normal dari bidang yang mendefinisikan garis memiliki koordinat Oleh karena itu, vektor arah akan lurus

. Karena itu, aku: .

SUDUT ANTARA KANAN

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh

Salah satu sub-item dari topik "Persamaan garis lurus pada bidang" adalah masalah menyusun persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Artikel di bawah ini membahas prinsip menyusun persamaan tersebut untuk data tertentu yang diketahui. Mari kita tunjukkan bagaimana berpindah dari persamaan parametrik ke persamaan bentuk yang berbeda; Mari kita menganalisis solusi dari masalah yang khas.

Garis tertentu dapat didefinisikan dengan menentukan titik yang termasuk dalam garis itu dan vektor arah untuk garis tersebut.

Misalkan kita diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y . Dan juga diberikan garis lurus a, yang menunjukkan titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, y 1) dan vektor arah dari garis lurus yang diberikan a → = (a x , a y) . Kami memberikan deskripsi dari garis yang diberikan menggunakan persamaan.

Kami menggunakan titik sewenang-wenang M (x, y) dan mendapatkan vektor M 1 M →; hitung koordinatnya dari koordinat titik awal dan titik akhir: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Mari kita gambarkan hasilnya: garis diberikan oleh himpunan titik M (x, y), melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor arah a → = (a x , a y) . Himpunan yang ditentukan mendefinisikan garis lurus hanya jika vektor M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dan a → = (a x , a y) adalah collinear.

Ada syarat perlu dan cukup untuk kolinearitas vektor, yang dalam hal ini untuk vektor M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dan a → = (a x , a y) dapat ditulis sebagai persamaan:

M 1 M → = · a → , di mana adalah suatu bilangan real.

Definisi 1

Persamaan M 1 M → = · a → disebut persamaan vektor-parametrik garis.

Dalam bentuk koordinat, terlihat seperti:

M 1 M → = a → x - x 1 = a x y - y 1 = a y ⇔ x = x 1 + a x y = y 1 + a y

Persamaan sistem yang dihasilkan x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · disebut persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Inti dari namanya adalah sebagai berikut: koordinat semua titik dari garis lurus dapat ditentukan dengan persamaan parametrik pada bidang berbentuk x = x 1 + a x y = y 1 + a y ketika iterasi pada semua nilai nyata dari parameter

Menurut persamaan di atas, persamaan parametrik garis lurus pada bidang x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y menentukan garis lurus yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang, melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor pemandu a → = (a x , a y) . Oleh karena itu, jika koordinat titik tertentu dari garis lurus dan koordinat vektor pengarahnya diberikan, maka persamaan parametrik dari garis lurus tersebut dapat segera ditulis.

Contoh 1

Persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang perlu dibuat, jika titik M 1 (2, 3) miliknya dan vektor arahnya diberikan a → = (3 , 1) .

Keputusan

Berdasarkan data awal, kami mendapatkan: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Persamaan parametrik akan terlihat seperti:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x = 2 + 3 y = 3 + 1 ⇔ x = 2 + 3 y = 3 +

Mari kita ilustrasikan dengan jelas:

Jawaban: x = 2 + 3 y = 3 +

Perlu diperhatikan: jika vektor a → = (a x , a y) berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus a, dan titik-titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) termasuk dalam garis ini, maka dapat ditentukan dengan menetapkan persamaan parametrik dalam bentuk : x = x 1 + a x y = y 1 + a y , serta opsi ini: x = x 2 + a x y = y 2 + a y .

Sebagai contoh, kita diberikan vektor pengarah garis lurus a → \u003d (2, - 1), serta poin M 1 (1, - 2) dan M 2 (3, - 3) milik garis ini. Kemudian garis lurus ditentukan dengan persamaan parametrik: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - atau x = 3 + 2 · y = - 3 - .

Perhatian juga harus diberikan pada fakta berikut: jika a → = (a x , a y) adalah vektor pengarah dari garis lurus a , maka salah satu vektor juga akan menjadi vektor pengarahnya a → = (μ a x , a y) , di mana ϵ R , 0 .

Dengan demikian, garis lurus a pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat didefinisikan dengan persamaan parametrik: x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y untuk setiap nilai bukan nol dari .

Misalkan garis a diberikan oleh persamaan parametrik x = 3 + 2 y = - 2 - 5 . Kemudian a → = (2 , - 5) - vektor arah garis ini. Dan juga salah satu vektor · a → = (μ · 2 , · - 5) = 2 , - 5 , μ R , 0 akan menjadi vektor arah untuk garis lurus tersebut. Untuk kejelasan, pertimbangkan vektor spesifik - 2 · a → = (- 4 , 10) , itu sesuai dengan nilai = - 2 . Dalam hal ini, garis lurus yang diberikan juga dapat ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 - 4 · y = - 2 + 10 · .

Transisi dari persamaan parametrik garis lurus pada bidang ke persamaan lain dari garis lurus tertentu dan sebaliknya

Dalam menyelesaikan beberapa masalah, penggunaan persamaan parametrik bukanlah pilihan yang terbaik, maka menjadi perlu untuk menerjemahkan persamaan parametrik suatu garis lurus menjadi persamaan garis lurus yang berbeda jenisnya. Mari kita lihat bagaimana melakukannya.

Persamaan parametrik garis lurus x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · akan sesuai dengan persamaan kanonik garis lurus pada bidang x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kami memecahkan setiap persamaan parametrik sehubungan dengan parameter , menyamakan bagian kanan dari persamaan yang diperoleh dan memperoleh persamaan kanonik dari garis lurus yang diberikan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Dalam hal ini, seharusnya tidak memalukan jika a x atau a y akan sama dengan nol.

Contoh 2

Transisi dari persamaan parametrik garis lurus x = 3 y = - 2 - 4 · ke persamaan kanonik perlu dilakukan.

Keputusan

Kami menulis persamaan parametrik yang diberikan dalam bentuk berikut: x = 3 + 0 y = - 2 - 4

Kami menyatakan parameter dalam setiap persamaan: x = 3 + 0 y = - 2 - 4 ⇔ = x - 3 0 = y + 2 - 4

Kami menyamakan bagian kanan dari sistem persamaan dan memperoleh persamaan kanonik yang diperlukan dari garis lurus di pesawat:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Menjawab: x - 3 0 = y + 2 - 4

Dalam hal perlu menuliskan persamaan garis lurus berbentuk A x + B y + C = 0 , sedangkan persamaan parametrik garis lurus pada bidang diberikan, pertama-tama perlu dibuat transisi ke persamaan kanonik, dan kemudian ke persamaan umum garis lurus. Mari kita tuliskan seluruh urutan tindakan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) A x + B y + C = 0

Contoh 3

Persamaan umum garis lurus perlu ditulis jika persamaan parametrik yang mendefinisikannya diberikan: x = - 1 + 2 y = - 3

Keputusan

Pertama, mari kita buat transisi ke persamaan kanonik:

x = - 1 + 2 y = - 3 ⇔ = x + 1 2 = y - 3 x + 1 2 = y - 3

Proporsi yang dihasilkan identik dengan persamaan - 3 · (x + 1) = 2 · y. Buka kurung dan dapatkan persamaan umum garis lurus: - 3 x + 1 = 2 y 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Jawaban: 3x + 2y + 3 = 0

Mengikuti logika tindakan di atas, untuk memperoleh persamaan garis lurus dengan kemiringan, persamaan garis lurus dalam segmen atau persamaan normal garis lurus, perlu untuk memperoleh persamaan umum garis lurus , dan dari itu untuk melakukan transisi lebih lanjut.

Sekarang perhatikan tindakan sebaliknya: menulis persamaan parametrik garis lurus untuk bentuk persamaan garis lurus yang diberikan berbeda.

Transisi termudah: dari persamaan kanonik ke persamaan parametrik. Biarkan persamaan kanonik dari bentuk diberikan: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Kami mengambil masing-masing hubungan kesetaraan ini sama dengan parameter :

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ = x - x 1 a x = y - y 1 a y

Mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel x dan y:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y

Contoh 4

Persamaan parametrik garis lurus perlu ditulis jika persamaan kanonik garis lurus pada bidang diketahui: x - 2 5 = y - 2 2

Keputusan

Mari kita samakan bagian-bagian dari persamaan yang diketahui dengan parameter : x - 2 5 = y - 2 2 = . Dari persamaan yang diperoleh diperoleh persamaan parametrik garis lurus: x - 2 5 = y - 2 2 = = x - 2 5 = y - 2 5 x = 2 + 5 y = 2 + 2

Jawaban: x = 2 + 5 y = 2 + 2

Ketika perlu untuk membuat transisi ke persamaan parametrik dari persamaan umum garis lurus yang diberikan, persamaan garis lurus dengan kemiringan atau persamaan garis lurus dalam segmen, perlu untuk membawa persamaan asli ke satu kanonik, dan kemudian membuat transisi ke persamaan parametrik.

Contoh 5

Kita perlu menuliskan persamaan parametrik dari garis lurus dengan persamaan umum yang diketahui dari garis lurus ini: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Keputusan

Kami mengubah persamaan umum yang diberikan menjadi persamaan bentuk kanonik:

4 x - 3 y - 3 = 0 4 x = 3 y + 3 4 x = 3 y + 1 3 x 3 = y + 1 3 4

Kami menyamakan kedua bagian persamaan dengan parameter dan memperoleh persamaan parametrik yang diperlukan dari garis lurus:

x 3 = y + 1 3 4 = ⇔ x 3 = y + 1 3 4 = ⇔ x = 3 y = - 1 3 + 4

Menjawab: x = 3 y = - 1 3 + 4

Contoh dan masalah dengan persamaan parametrik garis lurus pada bidang

Mari kita pertimbangkan jenis masalah yang paling umum menggunakan persamaan parametrik dari garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang.

1. Dalam masalah jenis pertama, koordinat titik diberikan, apakah mereka termasuk dalam garis lurus atau tidak yang dijelaskan oleh persamaan parametrik.

Solusi dari masalah tersebut didasarkan pada fakta berikut: angka (x, y) yang ditentukan dari persamaan parametrik x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y untuk beberapa nilai riil adalah koordinat a titik milik garis lurus, yang dijelaskan persamaan parametrik ini.

Contoh 6

Penting untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada garis lurus yang diberikan oleh persamaan parametrik x = 2 - 1 6 · y = - 1 + 2 · untuk = 3 .

Keputusan

Kami mengganti nilai yang diketahui = 3 ke dalam persamaan parametrik yang diberikan dan menghitung koordinat yang diperlukan: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 x = 1 1 2 y = 5

Menjawab: 1 1 2 , 5

Masalah berikut juga mungkin: biarkan beberapa titik M 0 (x 0, y 0) diberikan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dan perlu untuk menentukan apakah titik ini termasuk dalam garis yang dijelaskan oleh persamaan parametrik x = x 1 + a x y = y 1 + a y .

Untuk memecahkan masalah seperti itu, perlu untuk mengganti koordinat titik tertentu ke dalam persamaan parametrik garis lurus yang diketahui. Jika ditentukan bahwa nilai parameter = 0 seperti itu dimungkinkan, di mana kedua persamaan parametrik benar, maka titik yang diberikan termasuk dalam garis lurus yang diberikan.

Contoh 7

Poin M 0 (4, - 2) dan N 0 (- 2, 1) diberikan. Penting untuk menentukan apakah mereka termasuk dalam garis lurus yang ditentukan oleh persamaan parametrik x = 2 · y = - 1 - 1 2 · .

Keputusan

Kami mengganti koordinat titik M 0 (4, - 2) ke dalam persamaan parametrik yang diberikan:

4 = 2 - 2 = - 1 - 1 2 ⇔ = 2 = 2 = 2

Kami menyimpulkan bahwa titik M 0 milik garis yang diberikan, karena sesuai dengan nilai = 2 .

2 = 2 1 = - 1 - 1 2 = - 1 = - 4

Jelas bahwa tidak ada parameter yang sesuai dengan titik N 0. Dengan kata lain, garis yang diberikan tidak melalui titik N 0 (- 2 , 1) .

Menjawab: titik M 0 milik garis tertentu; titik N 0 tidak termasuk dalam garis yang diberikan.

1. Pada soal tipe kedua, diperlukan untuk menyusun persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Contoh paling sederhana dari masalah seperti itu (dengan koordinat titik garis dan vektor arah yang diketahui) dipertimbangkan di atas. Sekarang mari kita lihat contoh di mana Anda harus terlebih dahulu menemukan koordinat vektor arah, dan kemudian menuliskan persamaan parametriknya.

Poin M 1 1 2 , 2 3 diberikan. Hal ini diperlukan untuk membuat persamaan parametrik dari garis lurus yang melewati titik ini dan garis lurus paralel x 2 \u003d y - 3 - 1.

Keputusan

Menurut kondisi masalah, garis lurus, persamaan yang harus kita lalui, sejajar dengan garis lurus x 2 \u003d y - 3 - 1. Kemudian, sebagai vektor pengarah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu, dimungkinkan untuk menggunakan vektor pengarah garis lurus x 2 = y - 3 - 1, yang kita tulis dalam bentuk: a → = (2, - 1) . Sekarang semua data yang diperlukan diketahui untuk menyusun persamaan parametrik yang diinginkan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ x = 1 2 + 2 y = 2 3 + (- 1) ⇔ x = 1 2 + x y = 2 3 -

Menjawab: x = 1 2 + x y = 2 3 - .

Contoh 9

Poin M 1 (0, - 7) diberikan. Kita perlu menulis persamaan parametrik garis lurus yang melalui titik ini tegak lurus terhadap garis lurus 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Keputusan

Sebagai vektor pengarah garis lurus, yang persamaannya harus disusun, dimungkinkan untuk mengambil vektor normal garis lurus 3 x - 2 y - 5 = 0 . Koordinatnya adalah (3 , - 2) . Kami menulis persamaan parametrik yang diperlukan dari garis lurus:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x = 0 + 3 y = - 7 + (- 2) ⇔ x = 3 y = - 7 - 2

Menjawab: x = 3 y = - 7 - 2

1. Pada soal jenis ketiga, diperlukan transisi dari persamaan parametrik suatu garis lurus ke jenis persamaan lain yang menentukannya. Kami mempertimbangkan solusi dari contoh di atas, kami akan memberikan satu lagi.

Diberikan garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang, ditentukan oleh persamaan parametrik x = 1 - 3 4 · y = - 1 + . Penting untuk menemukan koordinat dari beberapa vektor normal dari garis ini.

Keputusan

Untuk menentukan koordinat vektor normal yang diinginkan, kita akan melakukan transisi dari persamaan parametrik ke persamaan umum:

x = 1 - 3 4 y = - 1 + λ ⇔ = x - 1 - 3 4 = y + 1 1 x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koefisien variabel x dan y memberi kita koordinat yang diperlukan dari vektor normal. Jadi, vektor normal dari garis x = 1 - 3 4 · y = - 1 + memiliki koordinat 1 , 3 4 .

Menjawab: 1 , 3 4 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Biarlah aku- beberapa garis ruang. Seperti dalam planimetri, vektor apa pun

sebuah =/= 0, garis lurus collinear aku, disebut vektor panduan garis lurus ini.

Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan vektor arah dan titik yang termasuk dalam garis lurus.

Biarkan garis aku dengan vektor panduan sebuah melewati titik M 0 , dan M adalah titik sembarang dalam ruang. Jelas, titik M (Gbr. 197) milik garis aku jika dan hanya jika vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) adalah collinear dengan vektor sebuah , yaitu

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t sebuah , t\(\di\) R. (1)

Jika titik M dan M 0 diberikan oleh vektor jari-jarinya r dan r 0 (Gbr. 198) terhadap beberapa titik O dari ruang, maka \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , dan persamaan (1) mengambil bentuk

r = r 0 + t sebuah , t\(\di\) R. (2)

Persamaan (1) dan (2) disebut persamaan vektor-parametrik garis lurus. Variabel t dalam persamaan vektor-parametrik, garis lurus disebut parameter.

Biarkan titik M 0 menjadi garis lurus aku dan vektor arah a diberikan oleh koordinatnya:

M 0 ( X 0 ; pada 0 , z 0), sebuah = (sebuah 1 ; sebuah 2 ; sebuah 3).

Lalu jika ( X; y; z) - koordinat titik sembarang M dari garis aku, kemudian

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; kamu - kamu 0 ; z - z 0)

dan persamaan vektor (1) ekuivalen dengan tiga persamaan berikut:

x - x 0 = ta 1 , kamu - kamu 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Persamaan (3) disebut persamaan parametrik garis lurus di ruang hampa.

Tugas 1. Tuliskan persamaan parametrik garis lurus yang melalui sebuah titik

M 0 (-3; 2; 4) dan memiliki vektor arah sebuah = (2; -5; 3).

Pada kasus ini X 0 = -3, pada 0 = 2, z 0 = 4; sebuah 1 = 2; sebuah 2 = -5; sebuah 3 = 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus (3), kami memperoleh persamaan parametrik dari garis lurus ini

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Kecualikan parameter t dari persamaan (3). Hal ini dapat dilakukan karena sebuah =/= 0, dan karena itu salah satu koordinat vektor sebuah jelas berbeda dari nol.

Pertama, biarkan semua koordinat berbeda dari nol. Kemudian

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

dan karenanya

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Persamaan ini disebut persamaan kanonik garis .

Perhatikan bahwa persamaan (4) membentuk sistem dua persamaan dengan tiga variabel x, y dan z.

Jika dalam persamaan (3) salah satu koordinat vektor sebuah , Sebagai contoh sebuah 1 sama dengan nol, maka, tidak termasuk parameter t, kita kembali memperoleh sistem dua persamaan dengan tiga variabel x, y dan z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Persamaan ini juga disebut persamaan kanonik garis. Untuk keseragaman, mereka juga ditulis secara kondisional dalam bentuk (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

mengingat jika penyebut sama dengan nol, maka pembilang yang sesuai sama dengan nol. Persamaan tersebut merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik M 0 ( X 0 ; pada 0 , z 0) sejajar dengan bidang koordinat yOz, karena bidang ini sejajar dengan vektor arahnya (0; sebuah 2 ; sebuah 3).

Akhirnya, jika dalam persamaan (3) dua koordinat vektor sebuah , Sebagai contoh sebuah 1 dan sebuah 2 sama dengan nol, maka persamaan ini berbentuk

X = X 0 , kamu = pada 0 , z = z 0 + t sebuah 3 , t\(\di\) R.

Berikut adalah persamaan garis lurus yang melalui titik M 0 ( X 0 ; pada 0 ; z 0) sejajar dengan sumbu Ons. Untuk langsung seperti itu X = X 0 , kamu = pada 0, z- nomor berapa pun. Dan dalam hal ini, untuk keseragaman, persamaan garis lurus dapat ditulis (dengan reservasi yang sama) dalam bentuk (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Jadi, untuk sembarang garis dalam ruang, persamaan kanonik (4) dapat dituliskan, dan, sebaliknya, persamaan apa pun dalam bentuk (4) asalkan setidaknya salah satu koefisiennya sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 tidak sama dengan nol, mendefinisikan beberapa garis ruang.

Tugas 2. Tulis persamaan kanonik dari garis lurus yang melalui titik M 0 (- 1; 1, 7) sejajar dengan vektor sebuah = (1; 2; 3).

Persamaan (4) dalam hal ini ditulis sebagai berikut:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Mari kita turunkan persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan M 1 ( X 1 ; pada 1 ; z 1) dan

M2( X 2 ; pada 2 ; z 2). Jelas bahwa vektor arah garis lurus ini dapat diambil sebagai vektor sebuah = (X 2 - X 1 ; pada 2 - pada 1 ; z 2 - z 1), tetapi di luar titik M 0 yang dilalui garis, misalnya, titik M 1. Maka persamaan (4) akan ditulis sebagai berikut:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Berikut adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik M 1 ( X 1 ; pada 1 ; z 1) dan

M2( X 2 ; pada 2 ;z 2).

Tugas 3. Tulis persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 (-4; 1; -3) dan M 2 (-5; 0; 3).

Pada kasus ini X 1 = -4, pada 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, pada 2 = 0, z 2 = 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus (5), kita peroleh

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Tugas 4. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 (3; -2; 1) dan

M2 (5; -2; 1/2).

Setelah mensubstitusikan koordinat titik M 1 dan M 2 ke dalam persamaan (5), diperoleh

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)