Pengertian garis persilangan. Garis bersilangan

Kuliah: Garis berpotongan, sejajar dan miring; tegak lurus garis

garis berpotongan

Jika ada beberapa garis lurus pada bidang, maka cepat atau lambat mereka akan berpotongan secara acak, atau tegak lurus, atau sejajar. Mari kita lihat setiap kasus.

Garis berpotongan adalah garis yang memiliki setidaknya satu titik perpotongan.

Anda mungkin bertanya mengapa setidaknya satu garis tidak dapat memotong garis lain dua atau tiga kali. Kamu benar! Tetapi garis-garis itu dapat sepenuhnya bertepatan satu sama lain. Dalam hal ini, akan ada jumlah titik umum yang tak terbatas.

Paralelisme

Paralel seseorang dapat menyebutkan garis-garis yang tidak akan pernah berpotongan, bahkan hingga tak terhingga.

Dengan kata lain, paralel adalah mereka yang tidak memiliki satu titik yang sama. Harap dicatat bahwa definisi ini hanya berlaku jika garis berada pada bidang yang sama, tetapi jika mereka tidak memiliki titik yang sama, berada di bidang yang berbeda, maka mereka dianggap berpotongan.

Contoh garis paralel dalam kehidupan: dua sisi berlawanan dari layar monitor, garis di notebook, serta banyak bagian lain dari benda yang memiliki bentuk persegi, persegi panjang, dan lainnya.

Ketika mereka ingin menunjukkan secara tertulis bahwa satu garis sejajar dengan yang kedua, maka sebutan berikut digunakan a||b. Notasi ini menyatakan bahwa garis a sejajar dengan garis b.

Saat mempelajari topik ini, penting untuk memahami satu pernyataan lagi: melalui beberapa titik pada bidang yang tidak termasuk dalam garis tertentu, seseorang dapat menggambar satu garis paralel. Tapi perhatikan, sekali lagi koreksinya ada di pesawat. Jika kita mempertimbangkan ruang tiga dimensi, maka dimungkinkan untuk menggambar garis dalam jumlah tak terbatas yang tidak akan berpotongan, tetapi akan berpotongan.

Pernyataan di atas disebut aksioma garis sejajar.

Sifat tegak lurus

Saluran langsung hanya dapat dipanggil jika tegak lurus jika keduanya berpotongan membentuk sudut 90 derajat.

Di ruang angkasa, melalui suatu titik tertentu pada suatu garis, garis tegak lurus dalam jumlah tak terhingga dapat ditarik. Namun, jika kita berbicara tentang sebuah bidang, maka melalui satu titik pada sebuah garis, seseorang dapat menggambar satu garis tegak lurus.

Garis bersilangan. Garis potong

Jika beberapa garis berpotongan di suatu titik pada sudut yang berubah-ubah, mereka dapat disebut kawin silang.

Setiap garis berpotongan memiliki sudut vertikal dan yang berdekatan.

Jika sudut yang dibentuk oleh dua garis berpotongan memiliki satu sisi yang sama, maka mereka disebut berdekatan:

Sudut yang berdekatan bertambah hingga 180 derajat.

TEKS PENJELASAN PELAJARAN:

Anda sudah mengetahui dua kasus pengaturan garis bersama dalam ruang:

1. garis berpotongan;

2. garis sejajar.

Mari kita lihat definisi mereka.

Definisi. Garis-garis dalam ruang disebut berpotongan jika terletak pada bidang yang sama dan memiliki satu titik yang sama

Definisi. Garis-garis dalam ruang disebut paralel jika terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

Persamaan definisi ini adalah bahwa garis-garis terletak pada bidang yang sama.

Ini tidak selalu terjadi di luar angkasa. Kita dapat menangani beberapa bidang, dan tidak setiap dua garis akan terletak pada bidang yang sama.

Misalnya, rusuk kubus ABCDA1B1C1D1

AB dan A1D1 terletak pada bidang yang berbeda.

Definisi. Dua garis disebut berpotongan jika tidak ada bidang yang melewati garis-garis tersebut. Dari definisi tersebut terlihat jelas bahwa garis-garis tersebut tidak berpotongan dan tidak sejajar.

Mari kita buktikan teorema yang menyatakan tanda garis miring.

Teorema (tanda garis miring).

Jika salah satu garis terletak pada bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang ini pada titik yang tidak termasuk dalam garis ini, maka garis-garis ini miring.

Garis AB terletak pada bidang . Garis CD memotong bidang di titik C tidak pada garis AB.

Buktikan bahwa garis AB dan DC berpotongan.

Bukti

Pembuktian akan dilakukan dengan kontradiksi.

Misalkan AB dan CD terletak pada bidang yang sama, dilambangkan dengan .

Kemudian bidang melalui garis AB dan titik C.

Menurut akibat wajar aksioma, seseorang dapat menggambar sebuah bidang melalui garis AB dan sebuah titik C tidak terletak di atasnya, dan terlebih lagi, hanya satu.

Tapi kita sudah memiliki pesawat seperti itu - pesawat .

Oleh karena itu, bidang dan bertepatan.

Tapi ini tidak mungkin, karena garis CD memotong , tetapi tidak terletak di dalamnya.

Kita telah sampai pada suatu kontradiksi, maka asumsi kita salah. AB dan CD terletak di

bidang yang berbeda dan berpotongan.

Teorema telah terbukti.

Jadi, ada tiga kemungkinan cara untuk saling mengatur garis dalam ruang:

A) Garis berpotongan, yaitu, mereka hanya memiliki satu titik yang sama.

B) Garis sejajar, mis. terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama.

C) Garis berpotongan, mis. tidak terletak pada bidang yang sama.

Pertimbangkan teorema lain tentang garis miring

Dalil. Melalui masing-masing dari dua garis yang berpotongan melewati sebuah bidang yang sejajar dengan garis lainnya, dan terlebih lagi, hanya satu.

AB dan CD - garis berpotongan

Buktikan bahwa terdapat sebuah bidang sehingga garis AB terletak pada bidang dan garis CD sejajar dengan bidang .

Bukti

Mari kita buktikan keberadaan pesawat semacam itu.

1) Tarik garis AE melalui titik A sejajar dengan CD.

2) Karena garis AE dan AB berpotongan, sebuah bidang dapat dibuat melaluinya. Dilambangkan dengan .

3) Karena garis CD sejajar dengan AE, dan AE terletak pada bidang , maka garis CD bidang (dengan teorema tegak lurus garis dan bidang).

Bidang adalah bidang yang diinginkan.

Mari kita buktikan bahwa bidang adalah satu-satunya yang memenuhi syarat.

Setiap bidang lain yang melalui garis AB akan memotong AE, dan karenanya garis CD sejajar dengannya. Artinya, setiap bidang lain yang melalui AB memotong garis CD, oleh karena itu tidak sejajar dengannya.

Oleh karena itu, bidang adalah unik. Teorema telah terbukti.

Dalil. Jika satu garis terletak pada bidang tertentu, dan garis lain memotong bidang ini pada titik yang bukan milik garis pertama, maka kedua garis ini berpotongan. Tanda garis berpotongan Bukti. Biarkan garis a terletak pada bidang, dan garis b memotong bidang di titik B yang bukan milik garis a. Jika garis a dan b terletak pada bidang yang sama, maka titik B juga terletak pada bidang ini.Karena hanya ada satu bidang yang melalui garis dan sebuah titik di luar garis ini, bidang ini pastilah sebuah bidang. Tetapi kemudian garis b akan terletak pada sebuah bidang, yang bertentangan dengan kondisi tersebut. Oleh karena itu, garis a dan b tidak terletak pada bidang yang sama, yaitu membastar.

Ada berapa pasang garis miring yang memuat rusuk-rusuk prisma segitiga beraturan? Solusi: Untuk setiap tepi dasar, ada tiga tepi yang berpotongan dengannya. Untuk setiap sisi sisi, ada dua sisi yang berpotongan dengannya. Oleh karena itu, jumlah pasangan garis miring yang diinginkan adalah Latihan 5

Ada berapa pasang garis miring yang memiliki rusuk-rusuk prisma segi enam beraturan? Solusi: Setiap tepi dasar berpartisipasi dalam 8 pasang garis berpotongan. Setiap tepi sisi berpartisipasi dalam 8 pasang garis berpotongan. Oleh karena itu, jumlah pasangan garis miring yang diinginkan adalah Latihan 6

AG.40. Jarak antara dua garis yang berpotongan

Dalam koordinat

FMP.3. PENINGKATAN PENUH

fungsi dari beberapa variabel - kenaikan yang diperoleh oleh fungsi ketika semua argumen menerima (umumnya, bukan nol) kenaikan. Lebih tepatnya, biarkan fungsi f didefinisikan di lingkungan titik

ruang n-dimensi variabel x 1,. . ., x hal. Kenaikan

fungsi f di titik x (0), di mana

ditelepon kenaikan penuh jika dianggap sebagai fungsi dari n kemungkinan kenaikan D x 1, . . ., D x n argumen x1 , . .., xp, hanya tunduk pada kondisi bahwa titik x (0) + Dx termasuk dalam domain fungsi f. Seiring dengan peningkatan linier fungsi, kami mempertimbangkan peningkatan parsial D x k f fungsi f pada titik x (0) dalam variabel xk, yaitu, kenaikan seperti Df, yang Dx yj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., n, k - tetap (k=1, 2, . . , n).

FMP.4. A: Kenaikan parsial fungsi z \u003d (x, y) terhadap x adalah perbedaan dengan kenaikan parsial terhadap

A: Turunan parsial terhadap x dari fungsi z \u003d (x, y) adalah batas rasio kenaikan parsial dengan kenaikan Ax ketika yang terakhir cenderung nol:

Sebutan lain: Demikian pula untuk variabel

noah kamu

Memperhatikan bahwa ditentukan pada konstanta y, dan - pada konstanta x, kita dapat merumuskan aturan: turunan parsial terhadap x dari fungsi z \u003d (x, y) adalah turunan biasa terhadap x, dihitung di bawah asumsi bahwa y \u003d const. Demikian pula, untuk menghitung turunan parsial terhadap y, kita harus mempertimbangkan x = const. Dengan demikian, aturan untuk menghitung turunan parsial adalah sama seperti dalam kasus fungsi satu variabel.

FMP.5. Kontinuitas fungsi. Menentukan kontinuitas suatu fungsi

Fungsi , disebut kontinu di titik , jika salah satu kondisi ekivalen terpenuhi:

2) untuk urutan arbitrer ( x n) nilai , konvergen di n→ ke suatu titik x 0, urutan yang sesuai ( f(x n)) nilai fungsi konvergen untuk n→ ke f(x 0);

3) atau f(x) - f(x 0) → 0 sebagai x - x 0 → 0;

4) sehingga atau, yang sama,

f: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f(x 0) - ε , f(x 0) + ε [.

Dari definisi kontinuitas suatu fungsi f pada intinya x 0 berikut ini

Jika fungsi f kontinu pada setiap titik interval ] sebuah, b[, maka fungsi f ditelepon kontinu pada interval ini.

FMP.6. Dalam analisis matematika, turunan parsial- salah satu generalisasi dari konsep turunan untuk kasus fungsi beberapa variabel.

Secara eksplisit, turunan parsial dari fungsi f didefinisikan sebagai berikut:

Grafik Fungsi z = x² + xy + kamu². Turunan parsial pada titik (1, 1, 3) pada konstan kamu sesuai dengan sudut kemiringan garis singgung yang sejajar dengan bidang xz.

Bagian dari grafik yang ditunjukkan di atas oleh sebuah pesawat kamu= 1

Perhatikan bahwa notasi harus dipahami sebagai utuh simbol, berbeda dengan turunan biasa dari fungsi satu variabel, yang dapat direpresentasikan sebagai rasio diferensial fungsi dan argumen. Namun, turunan parsial juga dapat direpresentasikan sebagai rasio diferensial, tetapi dalam hal ini perlu untuk menunjukkan dengan variabel mana fungsi tersebut bertambah: , di mana d x f adalah diferensial parsial dari fungsi f terhadap variabel x. Seringkali kesalahpahaman tentang fakta integritas simbol adalah penyebab kesalahan dan kesalahpahaman, seperti, misalnya, singkatan dalam ekspresi. (untuk detailnya, lihat Fikhtengolts, "Kursus kalkulus diferensial dan integral").

Secara geometris, turunan parsial adalah turunan sepanjang arah salah satu sumbu koordinat. Turunan parsial dari suatu fungsi f pada suatu titik sepanjang koordinat x k sama dengan turunan sehubungan dengan arah, di mana unit berdiri di k-tempat.

LA 76) Sistem. ur-tion disebut Cramer jika jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui.

LA 77-78) Sistem. disebut bersama jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak kompatibel sebaliknya.

LA 79-80) Sistem sambungan. disebut pasti jika hanya memiliki satu solusi, dan tidak terbatas sebaliknya.

LA 81) ... penentu sistem Cramer berbeda dari nol

LA 169) Agar sistem menjadi konsisten, perlu dan cukup bahwa pangkat matriks sama dengan pangkat matriks yang diperluas = .

LA 170) Jika determinan sistem Cramer berbeda dengan nol, maka sistem terdefinisi, dan solusinya dapat ditemukan dengan rumus

LA 171) 1. Temukan solusi sistem persamaan Cramer dengan metode matriks; 2.. Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks ; 3. Hitung determinan sistem dengan menggunakan sifat-sifatnya: 4. Kemudian tuliskan matriks invers A-1; 5. Oleh karena itu

LA 172) Sistem persamaan linear homogen AX = 0. Sistem homogen selalu konsisten karena memiliki paling sedikit satu solusi

LA 173) Jika setidaknya salah satu determinan , , tidak sama dengan nol, maka semua solusi sistem (1) akan ditentukan oleh rumus , , , di mana t adalah bilangan arbitrer. Setiap solusi individu diperoleh pada beberapa nilai t tertentu.

LA 174) Himpunan solusi homogen. sistem disebut sistem solusi fundamental jika: 1) bebas linier; 2) setiap solusi dari sistem adalah kombinasi linear dari solusi .

AG118. Persamaan umum bidang tersebut adalah…

Persamaan bidang pandang disebut persamaan umum bidang.

AG119.Jika bidang a digambarkan dengan persamaan Ax+D=0, maka...

PR 10.Apa yang dimaksud dengan kuantitas sangat kecil dan apa sifat-sifat utamanya?

OL 11. Apa yang disebut besar tak terhingga? Apa hubungannya?

dengan sangat kecil?

PR12.K Hubungan pembatas apa yang disebut batas luar biasa pertama? Batas luar biasa pertama adalah hubungan batas

OL 13 Hubungan pembatas apa yang disebut batas luar biasa kedua?

OL 14 Apa pasangan fungsi setara yang Anda ketahui?

CR64 Apa itu deret harmonik? Dalam kondisi apa itu menyatu?

Barisan suatu spesies disebut harmonis.

CR 65.Berapa jumlah dari progresi penurunan tak terhingga?

CR66. Pernyataan apa yang dimaksud dengan teorema perbandingan pertama?

Biarkan ada dua baris positif

Jika, setidaknya dari titik tertentu (katakanlah, untuk ), pertidaksamaan berikut berlaku: , maka konvergensi deret menyiratkan konvergensi deret atau, yang sama, divergensi deret mengikuti dari divergensi deret seri.

CR67. Pernyataan apa yang dimaksud dengan teorema perbandingan kedua?

Mari kita berpura-pura itu. Jika ada batas

maka kedua deret tersebut konvergen atau divergen secara bersamaan.

CR 45 Rumuskan kriteria yang diperlukan untuk kekonvergenan deret tersebut.

Jika deret tersebut memiliki jumlah berhingga, maka deret tersebut disebut konvergen.

CR 29 Deret harmonik adalah deret yang bentuknya …. Konvergen ketika

Barisan suatu spesies disebut harmonis. Jadi, deret harmonik konvergen di dan divergen di .

AG 6. Sistem terurut dari vektor-vektor bebas linier yang terletak pada suatu garis tertentu (dalam suatu bidang tertentu, dalam ruang) disebut basis pada garis ini (pada bidang ini, dalam ruang), jika ada vektor yang terletak pada suatu garis tertentu (dalam bidang tertentu, ruang) ) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dari sistem yang bebas linier ini.

Sepasang vektor non-kolinier yang terletak pada bidang tertentu membentuk basis pada bidang itu.

AG 7. Sistem terurut dari vektor-vektor bebas linier yang terletak pada suatu garis tertentu (dalam suatu bidang tertentu, dalam ruang) disebut basis pada garis ini (pada bidang ini, dalam ruang), jika ada vektor yang terletak pada suatu garis tertentu (dalam bidang tertentu, ruang) ) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dari sistem yang bebas linier ini.

Setiap rangkap tiga vektor non-coplanar membentuk basis dalam ruang.

AG 8, Koefisien-koefisien dalam pemuaian suatu vektor dalam suatu basis disebut koordinat vektor ini dalam basis yang diberikan. Untuk menemukan koordinat vektor dengan awal dan akhir yang diberikan, perlu untuk mengurangi koordinat awalnya dari koordinat akhir vektor: jika , , maka .

AG 9.a) Mari kita membangun sebuah vektor (vektor, dengan awal pada titik dan akhir pada titik , disebut vektor radius titik ).

AG 10. Tidak, karena ukuran radian sudut antara dua vektor selalu tertutup antara dan

AG 11. Skalar adalah sembarang bilangan real. Produk titik dua vektor dan disebut angka yang sama dengan produk modul mereka dan kosinus sudut di antara mereka.

AG 12. kita bisa menghitung jarak antar titik, vektor basis, sudut antar vektor.

AG 13. Perkalian silang suatu vektor dengan vektor adalah vektor ketiga yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

panjangnya adalah

Vektor tegak lurus terhadap bidang yang memuat vektor dan