Volume piramida segi empat. Angka geometris

piramida

Pertimbangkan bidang sewenang-wenang , cembung sewenang-wenang n-gon A 1 A 2 ... Sebuah , terletak di bidang ini, dan titik S yang tidak terletak di bidang .

Definisi 1. Piramida ( n - piramida batubara) sebut gambar yang dibentuk oleh segmen yang menghubungkan titik S dengan semua titik poligon A 1 A 2 ... Sebuah (Gbr. 1) .

Catatan 1. Ingatlah bahwa poligon A 1 A 2 ... Sebuah terdiri dari garis putus-putus tertutup A 1 A 2 ... Sebuah dan bagian dari pesawat yang dibatasi olehnya.

Definisi 2.

Tetrahedra. Tetrahedra biasa

Definisi 5. Piramida segitiga sembarang disebut tetrahedron.

Penyataan. Untuk setiap piramida segitiga biasa, tepi yang berlawanan adalah tegak lurus berpasangan.

Bukti. Pertimbangkan SABC piramida segitiga biasa dan sepasang tepi yang berlawanan, seperti AC dan BS . Biarkan D menunjukkan titik tengah dari tepi AC . Karena segmen BD dan SD adalah median dalam segitiga sama kaki ABC dan ASC , maka BD dan SD tegak lurus terhadap tepi AC (Gbr. 4).

di mana huruf D menunjukkan titik tengah dari tepi AC (Gbr. 6).

Dengan teorema Pythagoras dari segitiga BSO kita temukan

Menjawab.

Rumus untuk volume, luas permukaan lateral dan total piramida

Kami memperkenalkan notasi berikut:

Maka yang berikut ini benar rumus untuk menghitung volume, luas permukaan lateral dan penuh piramida:

piramida segi empat Sebuah polihedron disebut polihedron yang alasnya berbentuk bujur sangkar, dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang identik.

Polihedron ini memiliki banyak sifat yang berbeda:

• Tulang rusuk lateral dan berdekatan sudut dihedral adalah sama satu sama lain;
• Area wajah samping adalah sama;
• Di dasar piramida segi empat biasa terletak sebuah bujur sangkar;
• Ketinggian yang dijatuhkan dari puncak piramida berpotongan dengan titik perpotongan diagonal alas.

Semua properti ini membuatnya mudah ditemukan. Namun, cukup sering, selain itu, diperlukan untuk menghitung volume polihedron. Untuk melakukan ini, terapkan rumus volume piramida segi empat:

Artinya, volume piramida sama dengan sepertiga dari produk tinggi piramida dan luas alasnya. Karena sama dengan produk dari sisi-sisinya yang sama, kita segera memasukkan rumus luas persegi ke dalam ekspresi volume.
Perhatikan contoh menghitung volume piramida segi empat.

Diberikan sebuah piramida segi empat, yang alasnya terletak sebuah bujur sangkar dengan sisi a = 6 cm. Sisi sisi piramida adalah b = 8 cm. Hitunglah volume piramida tersebut.

Untuk menemukan volume polihedron yang diberikan, kita membutuhkan panjang tingginya. Oleh karena itu, kita akan menemukannya dengan menerapkan teorema Pythagoras. Pertama, mari kita hitung panjang diagonalnya. Dalam segitiga biru, itu akan menjadi sisi miring. Perlu juga diingat bahwa diagonal alun-alun sama satu sama lain dan dibagi dua di titik persimpangan:


Sekarang dari segitiga merah kita menemukan ketinggian yang kita butuhkan h. Ini akan sama dengan:

Ganti nilai yang diperlukan dan temukan ketinggian piramida:

Sekarang, mengetahui tingginya, kita dapat mengganti semua nilai dalam rumus untuk volume piramida dan menghitung nilai yang diperlukan:

Beginilah, dengan mengetahui beberapa rumus sederhana, kami dapat menghitung volume piramida segi empat biasa. Jangan lupa bahwa nilai ini diukur dalam satuan kubik.

Di sini dikumpulkan informasi dasar tentang piramida dan rumus serta konsep terkait. Semuanya dipelajari dengan tutor matematika dalam persiapan untuk ujian.

Pertimbangkan sebuah pesawat, poligon berbaring di dalamnya dan titik S tidak terletak di dalamnya. Hubungkan S ke semua simpul poligon. Polihedron yang dihasilkan disebut piramida. Segmen disebut tepi lateral. Poligon disebut alas, dan titik S disebut puncak piramida. Tergantung pada jumlah n, piramida disebut segitiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. nama alternatif piramida segitiga - segi empat. Tinggi piramida adalah tegak lurus yang ditarik dari puncaknya ke bidang dasar.

Piramida disebut benar jika poligon beraturan, dan alas tinggi piramida (alas tegak lurus) adalah pusatnya.

komentar guru:
Jangan bingung konsep "piramida biasa" dan "tetrahedron biasa". Dalam piramida biasa, tepi samping tidak harus sama dengan tepi alas, tetapi dalam tetrahedron biasa, semua 6 tepinya sama. Ini dia definisinya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa persamaan menyiratkan bahwa pusat P dari poligon dengan alas tinggi, jadi tetrahedron beraturan adalah piramida beraturan.

Apa itu apotema?
Apotema piramida adalah tinggi sisi mukanya. Jika piramida itu teratur, maka semua apotemanya sama. Kebalikannya tidak benar.

Guru matematika tentang terminologinya: bekerja dengan piramida adalah 80% dibangun melalui dua jenis segitiga:
1) Mengandung apotema SK dan tinggi SP
2) Berisi tepi lateral SA dan proyeksinya PA

Untuk menyederhanakan referensi ke segitiga-segitiga ini, lebih mudah bagi tutor matematika untuk menyebutkan yang pertama dari mereka apothemik, dan kedua kosta. Sayangnya, Anda tidak akan menemukan istilah ini di buku teks mana pun, dan guru harus memperkenalkannya secara sepihak.

rumus volume piramida:
1), di mana luas dasar piramida, dan tinggi piramida?
2) , di mana adalah jari-jari bola yang tertulis, dan merupakan luas permukaan total piramida.
3) , di mana MN adalah jarak dari dua sisi yang bersilangan, dan merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh titik tengah dari empat sisi yang tersisa.

Properti Dasar Tinggi Piramida:

Titik P (lihat gambar) bertepatan dengan pusat lingkaran bertulisan di dasar piramida jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
1) Semua apotema sama
2) Semua sisi samping memiliki kemiringan yang sama ke arah alas
3) Semua apotema memiliki kemiringan yang sama terhadap ketinggian piramida
4) Ketinggian piramida sama miring ke semua sisi

komentar guru matematika: perhatikan bahwa semua item disatukan oleh satu milik bersama: dengan satu atau lain cara, wajah samping berpartisipasi di mana-mana (apotema adalah elemennya). Oleh karena itu, tutor dapat menawarkan formulasi yang kurang tepat, tetapi lebih nyaman untuk menghafal: titik P bertepatan dengan pusat lingkaran tertulis, dasar piramida, jika ada informasi yang sama tentang wajah lateralnya. Untuk membuktikannya, cukup ditunjukkan bahwa semua segitiga apotema adalah sama besar.

Titik P bertepatan dengan pusat lingkaran berbatas dekat dasar piramida, jika salah satu dari tiga kondisi ini benar:
1) Semua sisi sisinya sama
2) Semua rusuk samping sama-sama condong ke arah alas
3) Semua rusuk samping memiliki kemiringan yang sama terhadap ketinggian

Ketika seseorang mendengar kata "piramida", dia langsung mengingat bangunan Mesir yang megah. Namun, raksasa batu kuno hanyalah salah satu perwakilan dari kelas piramida. Pada artikel ini, kami mempertimbangkan dari sudut pandang geometris sifat-sifat piramida segi empat biasa.

Apa itu piramida secara umum?

Dalam geometri, itu dipahami sebagai sosok tiga dimensi, yang dapat diperoleh dengan menghubungkan semua simpul dari poligon datar dengan satu titik yang terletak di bidang yang berbeda dari poligon ini. Gambar di bawah ini menunjukkan 4 angka yang memenuhi definisi ini.

Kita melihat bahwa gambar pertama memiliki alas segitiga, yang kedua - segi empat. Dua yang terakhir diwakili oleh basis lima dan heksagonal. Namun permukaan samping Semua piramida dibentuk oleh segitiga. Jumlahnya persis sama dengan jumlah sisi atau simpul poligon di alasnya.

Jenis piramida khusus, yang berbeda dari perwakilan kelas lainnya dalam simetri sempurna, adalah piramida biasa. Agar gambar benar, dua prasyarat berikut harus dipenuhi:

• alasnya harus berupa poligon biasa;
• permukaan lateral gambar harus terdiri dari segitiga sama kaki yang sama.

Perhatikan bahwa kondisi wajib kedua dapat diganti dengan yang lain: tegak lurus yang ditarik ke alas dari atas piramida (titik perpotongan segitiga samping) harus memotong alas ini di pusat geometrisnya.

Sekarang mari kita beralih ke topik artikel dan mempertimbangkan sifat-sifat piramida segi empat biasa yang mencirikannya. Pertama, mari kita tunjukkan pada gambar seperti apa sosok ini.

Basisnya adalah persegi. Sisi-sisinya mewakili 4 segitiga sama kaki yang identik (mereka juga bisa sama sisi dengan rasio tertentu dari panjang sisi bujur sangkar dan tinggi gambar). Ketinggian yang diturunkan dari puncak piramida akan memotong persegi di tengahnya (titik perpotongan diagonal).

Piramida ini memiliki 5 wajah (persegi dan empat segitiga), 5 simpul (empat di antaranya milik alas) dan 8 tepi. dari urutan keempat, melewati ketinggian piramida, menerjemahkannya ke dalam dirinya sendiri dengan memutar 90 o .

Piramida Mesir di Giza berbentuk segi empat biasa.

Empat parameter linier dasar

Mari kita mulai mempertimbangkan sifat-sifat matematis piramida segi empat biasa dengan rumus tinggi, panjang sisi alas, sisi sisi, dan apotema. Katakanlah segera bahwa semua besaran ini terkait satu sama lain, jadi cukup mengetahui hanya dua di antaranya untuk menghitung dua sisanya dengan jelas.

Misalkan tinggi h piramida dan panjang sisi alas persegi diketahui, maka sisi b akan sama dengan:

b = (a 2 / 2 + j 2)

Sekarang kami memberikan rumus untuk panjang a b apotema (tinggi segitiga, diturunkan ke sisi alas):

a b = (a 2 / 4 + j 2)

Jelas, sisi sisi b selalu lebih besar dari apotema a b .

Kedua ekspresi dapat digunakan untuk menentukan keempat karakteristik linier jika dua parameter lainnya diketahui, misalnya a b dan h.

Luas dan volume bangun datar

Ini adalah dua sifat yang lebih penting dari piramida segi empat biasa. Dasar gambar memiliki luas sebagai berikut:

Setiap siswa tahu rumus ini. Luas permukaan lateral, yang dibentuk oleh empat segitiga identik, dapat ditentukan melalui apotema a b piramida sebagai berikut:

Jika a b tidak diketahui, maka dapat ditentukan dengan rumus dari paragraf sebelumnya melalui tinggi h atau tepi b.

Total luas permukaan gambar yang dipertimbangkan adalah jumlah dari luas S o dan S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Area yang dihitung dari semua wajah piramida ditunjukkan pada gambar di bawah ini sebagai sapuannya.

Deskripsi sifat-sifat piramida segi empat biasa tidak akan lengkap jika Anda tidak mempertimbangkan rumus untuk menentukan volumenya. Nilai untuk piramida yang dipertimbangkan ini dihitung sebagai berikut:

Artinya, V sama dengan bagian ketiga dari produk tinggi gambar dan luas alasnya.

Sifat-sifat piramida segi empat terpotong biasa

Anda bisa mendapatkan angka ini dari piramida aslinya. Untuk ini, Anda perlu memotong bagian atas piramida pesawat. Sosok yang tersisa di bawah bidang yang dipotong akan disebut piramida terpotong.

Paling mudah untuk mempelajari karakteristik piramida terpotong jika alasnya sejajar satu sama lain. Dalam hal ini, alas bawah dan atas akan menjadi poligon serupa. Karena dalam segi empat piramida kanan alasnya berbentuk bujur sangkar, maka bagian yang terbentuk selama pemotongan juga akan berbentuk bujur sangkar, tetapi ukurannya lebih kecil.

Permukaan lateral gambar terpotong dibentuk bukan oleh segitiga, tetapi oleh trapesium sama kaki.

Salah satu sifat penting piramida ini adalah volumenya, yang dihitung dengan rumus:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + (S o1 × S o2))

Di sini h adalah jarak antara alas gambar, S o1, S o2 adalah luas alas bawah dan atas.