Contoh mencari titik ekstrem suatu fungsi. Apa yang dimaksud dengan ekstrem suatu fungsi: titik kritis maksimum dan minimum

Dengan menggunakan dari layanan ini Bisa mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi satu variabel f(x) dengan solusi yang diformat dalam Word. Jika fungsi f(x,y) diberikan, maka perlu dicari titik ekstrem dari fungsi dua variabel. Anda juga dapat menemukan interval fungsi naik dan turun.

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi dari satu variabel

Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi satu variabel

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Maka titik x* adalah titik minimum lokal (global) dari fungsi tersebut.

Jika pada titik x* syarat terpenuhi:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Maka titik x* adalah maksimum lokal (global).

Contoh No.1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: pada segmen.
Larutan.

Titik kritisnya adalah satu x 1 = 2 (f’(x)=0). Titik ini termasuk dalam segmen tersebut. (Intinya x=0 tidak kritis, karena 0∉).
Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik kritis.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Jawaban: f menit = 5/2 pada x=2; f maks =9 pada x=1

Contoh No.2. Dengan menggunakan turunan orde tinggi, carilah titik ekstrem dari fungsi y=x-2sin(x) .
Larutan.
Tentukan turunan dari fungsi tersebut: y’=1-2cos(x) . Mari kita cari titik kritisnya: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Kita mencari y’’=2sin(x), hitung , yang berarti x= π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik minimum dari fungsi tersebut; , yang berarti x=- π / 3 +2πk, k∈Z adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Contoh No.3. Selidiki fungsi ekstrem di sekitar titik x=0.
Larutan. Di sini perlu untuk menemukan ekstrem dari fungsinya. Jika ekstrem x=0, cari tahu jenisnya (minimum atau maksimum). Jika di antara titik-titik yang ditemukan tidak ada x = 0, maka hitunglah nilai fungsi f(x=0).
Perlu dicatat bahwa ketika turunan pada setiap sisi suatu titik tertentu tidak mengubah tandanya, situasi yang mungkin terjadi tidak habis bahkan untuk fungsi-fungsi yang terdiferensiasi: dapat terjadi bahwa untuk lingkungan kecil sembarang di satu sisi titik x 0 atau di kedua sisi turunannya berubah tanda. Pada titik ini, perlu menggunakan metode lain untuk mempelajari fungsi secara ekstrem.

Definisi:

Ekstrim disebut maksimum atau nilai minimal fungsi pada himpunan tertentu.

Titik ekstrem adalah titik di mana nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut tercapai.

Poin maksimal adalah titik di mana nilai maksimum fungsi tersebut tercapai.

Poin minimal adalah titik di mana nilai minimum fungsi tersebut tercapai.

Penjelasan.

Pada gambar, di sekitar titik x = 3, fungsi mencapai nilai maksimumnya (yaitu, di sekitar titik tersebut tidak ada titik yang lebih tinggi). Di lingkungan x = 8, ia kembali mempunyai nilai maksimum (mari kita perjelas lagi: di lingkungan inilah tidak ada titik yang lebih tinggi). Pada titik-titik ini, kenaikan memberi jalan pada penurunan. Itu adalah poin maksimalnya:

x maks = 3, x maks = 8.

Di sekitar titik x = 5, nilai minimum fungsi tercapai (yaitu, di sekitar x = 5 tidak ada titik di bawahnya). Pada titik ini penurunan memberi jalan pada peningkatan. Ini adalah poin minimum:

Poin maksimum dan minimum adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah miliknya ekstrem.

Titik kritis dan stasioner dari fungsi:

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem:

Kondisi yang cukup untuk ekstrem:

Pada suatu segmen fungsinya kamu = F(X) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung segmen.

Algoritma untuk mempelajari fungsi kontinukamu = F(X) untuk monotonisitas dan ekstrem:

Menaikkan, menurunkan, dan ekstrem suatu fungsi

Mencari interval kenaikan, penurunan, dan ekstrem suatu fungsi adalah sebagai berikut: sebuah tugas mandiri, Jadi bagian terpenting tugas-tugas lain, khususnya studi fungsi penuh. Informasi awal tentang kenaikan, penurunan, dan ekstrem fungsi diberikan dalam bab teori tentang turunan, yang sangat saya rekomendasikan untuk studi pendahuluan (atau pengulangan)– juga karena alasan bahwa materi berikut ini didasarkan pada hal tersebut pada dasarnya turunan, menjadi kelanjutan yang harmonis dari artikel ini. Meskipun demikian, jika waktunya singkat, maka praktik formal murni dari contoh-contoh dari pelajaran hari ini juga dimungkinkan.

Dan hari ini ada semangat kebulatan suara yang langka di udara, dan saya dapat langsung merasakan bahwa setiap orang yang hadir membara dengan hasrat. belajar mengeksplorasi suatu fungsi menggunakan turunannya. Oleh karena itu, terminologi yang masuk akal, baik, dan abadi segera muncul di layar monitor Anda.

Untuk apa? Salah satu alasannya adalah yang paling praktis: sehingga jelas apa yang umumnya dituntut dari Anda dalam suatu tugas tertentu!

Monotonisitas fungsi. Titik ekstrem dan ekstrem suatu fungsi

Mari kita pertimbangkan beberapa fungsinya. Sederhananya, kita berasumsi bahwa dia kontinu pada seluruh garis bilangan:

Untuk berjaga-jaga, yuk segera hilangkan ilusi-ilusi yang mungkin terjadi, terutama bagi para pembaca yang baru mengenalnya interval tanda konstan fungsi. Sekarang kita TIDAK TERTARIK, bagaimana letak grafik fungsi terhadap sumbu (di atas, di bawah, tempat perpotongan sumbu). Untuk meyakinkan, hapus sumbu secara mental dan sisakan satu grafik. Karena di situlah letak ketertarikannya.

Fungsi meningkat pada suatu interval jika untuk dua titik pada interval ini yang dihubungkan oleh relasi , pertidaksamaan tersebut benar. Artinya, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar, dan grafiknya bergerak “dari bawah ke atas”. Fungsi demonstrasi bertambah seiring interval.

Begitu pula fungsinya berkurang pada suatu interval jika untuk dua titik mana pun pada interval tertentu sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan tersebut benar. Artinya, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil, dan grafiknya bergerak “dari atas ke bawah”. Fungsi kami menurun secara berkala .

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang dalam suatu interval, maka disebut sangat monoton pada interval ini. Apa itu monoton? Pahami dalam secara harfiah– monoton.

Anda juga dapat mendefinisikan tidak menurun fungsi (kondisi santai pada definisi pertama) dan tidak meningkat fungsi (kondisi melunak dalam definisi ke-2). Fungsi yang tidak bertambah atau tidak bertambah pada suatu interval disebut fungsi monotonik pada interval tertentu (monoton yang ketat - kasus spesial“hanya” monoton).

Teori ini juga mempertimbangkan pendekatan lain untuk menentukan kenaikan/penurunan suatu fungsi, termasuk setengah interval, segmen, tetapi agar tidak menuangkan minyak-minyak-minyak ke kepala Anda, kami setuju untuk beroperasi dengan interval terbuka dengan definisi kategoris - ini lebih jelas, dan untuk memecahkan banyak masalah praktis sudah cukup.

Dengan demikian, dalam artikel saya, kata-kata "monotonisitas suatu fungsi" hampir selalu disembunyikan interval monoton yang ketat(fungsi yang meningkat secara ketat atau menurun secara ketat).

Lingkungan suatu titik. Kata-kata yang kemudian membuat siswa lari kemanapun mereka bisa dan bersembunyi ketakutan di sudut. ...Meskipun setelah posting Batas Cauchy Mereka mungkin tidak lagi bersembunyi, tetapi hanya sedikit bergidik =) Jangan khawatir, sekarang tidak akan ada bukti teorema analisis matematis - Saya membutuhkan lingkungan untuk merumuskan definisi dengan lebih ketat titik ekstrem. Mari kita ingat:

Lingkungan suatu titik disebut interval yang berisi titik ini, sedangkan untuk kemudahan intervalnya sering dianggap simetris. Misalnya, suatu titik dan lingkungan standarnya:

Sebenarnya definisinya:

Intinya disebut titik maksimum yang ketat, Jika ada lingkungannya, untuk semua yang nilainya, kecuali titik itu sendiri, adalah pertidaksamaan . Dalam contoh spesifik kami, ini adalah sebuah titik.

Intinya disebut titik minimum yang ketat, Jika ada lingkungannya, untuk semua yang nilainya, kecuali titik itu sendiri, adalah pertidaksamaan . Pada gambar tersebut terdapat titik “a”.

Catatan : persyaratan kesimetrian lingkungan sama sekali tidak diperlukan. Selain itu, ini penting fakta keberadaan lingkungan (baik kecil atau mikroskopis) yang memenuhi kondisi yang ditentukan

Poinnya disebut titik ekstrem yang ketat atau sederhananya titik ekstrem fungsi. Artinya, ini adalah istilah umum untuk poin maksimum dan poin minimum.

Bagaimana kita memahami kata “ekstrim”? Ya, sama langsungnya dengan monoton. Titik ekstrim roller coaster.

Seperti dalam kasus monotonisitas, ada postulat longgar dan bahkan lebih umum dalam teori (yang, tentu saja, termasuk dalam kasus-kasus ketat!):

Intinya disebut titik maksimum, Jika ada lingkungannya sedemikian rupa untuk semua
Intinya disebut poin minimum, Jika ada lingkungannya sedemikian rupa untuk semua nilai-nilai lingkungan ini, kesenjangan tetap ada.

Perhatikan bahwa menurut dua definisi terakhir, setiap titik dari suatu fungsi konstan (atau “bagian datar” dari suatu fungsi) dianggap sebagai titik maksimum dan minimum! Omong-omong, fungsinya tidak bertambah dan tidak berkurang, yaitu monotonik. Namun, kami akan menyerahkan pertimbangan ini kepada para ahli teori, karena dalam praktiknya kami hampir selalu merenungkan “bukit” dan “lubang” tradisional (lihat gambar) dengan “raja bukit” atau “putri rawa” yang unik. Sebagai variasi, hal itu terjadi tip, diarahkan ke atas atau ke bawah, misalnya fungsi minimum pada suatu titik.

Ya, omong-omong, oh royalti:
– artinya disebut maksimum fungsi;
– artinya disebut minimum fungsi.

Nama yang umum – ekstrem fungsi.

Harap berhati-hati dengan kata-kata Anda!

Poin ekstrem– ini adalah nilai “X”.
Ekstrem– arti “permainan”.

! Catatan : terkadang istilah yang tercantum merujuk pada titik “X-Y” yang terletak tepat pada GRAFIK fungsi SENDIRI.

Berapa banyak ekstrem yang dapat dimiliki suatu fungsi?

Tidak ada, 1, 2, 3, ... dst. hingga tak terbatas. Misalnya, sinus mempunyai nilai minimum dan maksimum yang tak terhingga banyaknya.

PENTING! Istilah "fungsi maksimum" tidak identik istilah “nilai maksimum suatu fungsi”. Sangat mudah untuk melihat bahwa nilainya maksimal hanya di lingkungan lokal, dan di kiri atas ada “kawan yang lebih keren”. Demikian pula, “nilai minimum suatu fungsi” tidak sama dengan “nilai minimum suatu fungsi”, dan pada gambar kita melihat bahwa nilainya minimum hanya di daerah tertentu. Dalam hal ini, titik ekstrem juga disebut titik ekstrem lokal, dan ekstrem – ekstrem lokal. Mereka berjalan dan berkeliaran di dekatnya dan global saudara laki-laki. Jadi, setiap parabola mempunyai titik puncaknya minimum global atau maksimum global. Selanjutnya, saya tidak akan membedakan jenis-jenis ekstrem, dan penjelasannya lebih disuarakan untuk tujuan pendidikan umum - kata sifat tambahan “lokal”/“global” seharusnya tidak mengejutkan Anda.

Mari kita rangkum perjalanan singkat kita ke dalam teori dengan sebuah percobaan: apa yang dimaksud dengan tugas “menemukan interval monotonisitas dan titik ekstrem suatu fungsi”?

Kata-katanya mendorong Anda untuk menemukan:

– interval fungsi naik/turun (tidak menurun, tidak meningkat lebih jarang muncul);

– poin maksimum dan/atau minimum (jika ada). Nah, untuk menghindari kegagalan, lebih baik cari sendiri nilai minimum/maksimumnya ;-)

Bagaimana cara menentukan semua ini? Menggunakan fungsi turunan!

Cara mencari interval kenaikan, penurunan,
titik ekstrem dan ekstrem fungsi?

Faktanya, banyak aturan yang sudah diketahui dan dipahami pelajaran tentang arti turunan.

Turunan tangen membawa kabar gembira bahwa fungsinya semakin meningkat domain definisi.

Dengan kotangen dan turunannya situasinya justru sebaliknya.

Arcsinus bertambah sepanjang interval - turunannya di sini positif: .
Ketika suatu fungsi terdefinisi tetapi tidak terdiferensiasi. Namun, pada titik kritis terdapat turunan bertangan kanan dan garis singgung bertangan kanan, dan pada sisi lainnya terdapat turunan bertangan kiri.

Saya rasa tidak akan terlalu sulit bagi Anda untuk melakukan penalaran serupa untuk arc cosinus dan turunannya.

Semua kasus di atas, banyak diantaranya turunan tabel, saya ingatkan, ikuti langsung dari definisi turunan.

Mengapa mengeksplorasi suatu fungsi menggunakan turunannya?

Untuk lebih memahami seperti apa grafik fungsi ini: dimana arahnya “bottom up”, dimana “top down”, dimana mencapai minimum dan maksimum (jika mencapai sama sekali). Tidak semua fungsi sesederhana itu - dalam banyak kasus, kita tidak tahu sama sekali tentang grafik fungsi tertentu.

Saatnya beralih ke contoh yang lebih bermakna dan mempertimbangkannya algoritma untuk mencari interval monotonisitas dan ekstrem suatu fungsi:

Contoh 1

Temukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem dari fungsi tersebut

Larutan:

1) Langkah pertama adalah menemukan domain suatu fungsi, dan catat juga breakpoint (jika ada). Dalam hal ini, fungsinya kontinu pada seluruh garis bilangan, dan tindakan ini sampai batas tertentu bersifat formal. Namun dalam beberapa kasus, gairah yang serius berkobar di sini, jadi mari kita perlakukan paragraf tersebut tanpa meremehkan.

2) Poin kedua dari algoritma ini disebabkan oleh

kondisi yang diperlukan untuk ekstrem:

Jika terdapat titik ekstrem pada suatu titik, maka nilainya tidak ada.

Bingung dengan endingnya? Ekstrem dari fungsi “modulus x”. .

Syaratnya perlu, tapi tidak cukup, dan kebalikannya tidak selalu benar. Jadi, persamaan tersebut belum berarti bahwa fungsi tersebut mencapai maksimum atau minimum di titik . Contoh klasik telah disorot di atas - ini adalah parabola kubik dan titik kritisnya.

Namun bagaimanapun juga, kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem menentukan perlunya menemukan titik-titik yang mencurigakan. Untuk melakukannya, cari turunannya dan selesaikan persamaannya:

Di awal artikel pertama tentang grafik fungsi Saya sudah memberi tahu Anda cara cepat membuat parabola menggunakan sebuah contoh : “...kita ambil turunan pertama dan menyamakannya dengan nol: ...Jadi, penyelesaian persamaan kita: - pada titik inilah titik puncak parabola berada...”. Sekarang, saya rasa, semua orang mengerti mengapa titik puncak parabola terletak tepat di titik ini =) Secara umum, kita harus mulai dengan contoh serupa di sini, tetapi ini terlalu sederhana (bahkan untuk teko teh). Selain itu, ada analoginya di akhir pelajaran tentang turunan suatu fungsi. Oleh karena itu, mari kita tingkatkan derajatnya:

Contoh 2

Temukan interval monotonisitas dan ekstrem dari fungsi tersebut

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Solusi lengkap dan perkiraan contoh tugas akhir di akhir pelajaran.

Saat yang ditunggu-tunggu untuk bertemu dengan fungsi rasional pecahan telah tiba:

Contoh 3

Jelajahi suatu fungsi menggunakan turunan pertama

Harap perhatikan betapa beragamnya tugas yang sama dapat dirumuskan ulang.

Larutan:

1) Fungsi tersebut mengalami diskontinuitas tak hingga di titik-titiknya.

2) Kami mendeteksi titik-titik kritis. Mari kita cari turunan pertama dan samakan dengan nol:

Mari kita selesaikan persamaannya. Pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol:

Jadi, kita mendapatkan tiga poin penting:

3) Kami memplot SEMUA titik yang terdeteksi pada garis bilangan dan metode interval kami mendefinisikan tanda-tanda DERIVATIF:

Saya ingatkan Anda bahwa Anda perlu mengambil suatu titik dalam interval tersebut dan menghitung nilai turunannya dan tentukan tandanya. Lebih menguntungkan bahkan tidak menghitung, tetapi “memperkirakan” secara lisan. Mari kita ambil, misalnya, sebuah titik yang termasuk dalam interval dan melakukan substitusi: .

Dua “plus” dan satu “minus” menghasilkan “minus”, yang berarti turunannya negatif pada seluruh interval.

Tindakan tersebut, seperti yang Anda pahami, perlu dilakukan untuk masing-masing dari enam interval. Omong-omong, perhatikan bahwa faktor pembilang dan penyebutnya benar-benar positif untuk setiap titik di interval mana pun, yang sangat menyederhanakan tugas.

Jadi, turunannya memberi tahu kita bahwa FUNGSI SENDIRI bertambah sebesar dan berkurang sebesar . Lebih mudah untuk menggabungkan interval dengan tipe yang sama dengan ikon gabung.

Pada saat fungsi mencapai maksimum:
Pada titik tersebut fungsi mencapai minimum:

Pikirkan mengapa Anda tidak perlu menghitung ulang nilai kedua ;-)

Ketika melewati suatu titik, turunannya tidak berubah tanda, sehingga fungsinya TIDAK ADA EKSTREMUMnya - turun dan tetap menurun.

! Mari kita ulangi poin penting : poin tidak dianggap kritis - poin tersebut mengandung fungsi tidak ditentukan. Oleh karena itu, di sini Pada prinsipnya tidak ada yang ekstrem(walaupun turunannya berubah tanda).

Menjawab: fungsi meningkat sebesar dan berkurang sebesar Pada titik maksimum fungsi tercapai: , dan pada intinya – minimum: .

Pengetahuan tentang interval monotonisitas dan ekstrem, ditambah dengan mapan asimtot sudah memberikan ide yang sangat bagus penampilan grafik fungsi. Seseorang dengan tingkat pelatihan rata-rata mampu menentukan secara verbal bahwa grafik suatu fungsi mempunyai dua asimtot vertikal dan satu asimtot miring. Inilah pahlawan kita:

Coba korelasikan kembali hasil penelitian dengan grafik fungsi ini.
Tidak ada titik ekstrim pada titik kritis, tapi ada titik belok(yang biasanya terjadi dalam kasus serupa).

Contoh 4

Temukan ekstrem dari fungsinya

Contoh 5

Temukan interval monotonisitas, maksimum dan minimum dari fungsi tersebut

…ini hampir seperti liburan “X in a cube” hari ini....
Soooo, siapa di galeri yang menawarkan minuman untuk ini? =)

Setiap tugas memiliki nuansa substantif dan rincian teknis, yang dikomentari di akhir pelajaran.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam daerah definisi fungsi di mana nilai fungsi tersebut bernilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 domain fungsi F(X) disebut titik maksimum dari fungsi tersebut , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 domain fungsi F(X) disebut titik minimum dari fungsi tersebut, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan berlaku F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi tersebut berada pada titik X2 minimum.

Katakanlah titik X1 - titik maksimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, jadi turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval setelahnya X1 fungsinya menurun, oleh karena itu, turunan suatu fungsi kurang dari nol (F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga hal itu X2 - titik minimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun, dan turunan fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsinya meningkat, dan turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (tanda penting keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika intinya X0 - titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) , maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1. Mari kita pertimbangkan fungsinya.

Pada intinya X= 0 turunan fungsinya adalah nol, maka intinya X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti dapat dilihat pada grafik fungsinya, fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi, begitu pula intinya X= 0 bukan titik ekstrem dari fungsi ini.

Jadi, kondisi bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol atau tidak ada merupakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang memenuhi kondisi ini, tetapi fungsinya tidak memiliki titik ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus ada bukti yang cukup, memungkinkan seseorang untuk menilai apakah ada titik ekstrem pada titik kritis tertentu dan jenis ekstremnya - maksimum atau minimum.

Teorema (tanda cukup pertama dari keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 F(X) jika melalui titik ini turunan fungsi tersebut berubah tanda, dan jika tandanya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka itu adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka itu adalah poin minimum.

Jika dekat dengan titik tersebut X0 , di kiri dan kanannya, turunannya tetap bertanda, artinya fungsi tersebut hanya berkurang atau hanya bertambah di beberapa lingkungan titik tersebut. X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada yang ekstrim.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik-titik kritis pada garis bilangan dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval yang dihasilkan. Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2. Temukan ekstrem dari fungsinya .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita samakan turunannya dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk setiap nilai “x” penyebutnya tidak sama dengan nol, kita samakan pembilangnya dengan nol:

Ada satu poin penting X= 3 . Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam rentang dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya berkurang,

pada selang waktu 3 sampai plus tak terhingga terdapat tanda tambah, yaitu fungsinya bertambah.

Artinya, titik X= 3 adalah poin minimum.

Mari kita cari nilai fungsi pada titik minimum:

Jadi, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0), dan itu adalah titik minimum.

Teorema (tanda cukup kedua dari keberadaan fungsi ekstrem). Titik kritis X0 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), dan jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimumnya, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada intinya X0 Jika turunan pertama dan kedua hilang, maka pada titik ini tidak mungkin menilai keberadaan ekstrem berdasarkan kriteria cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk ekstrem suatu fungsi.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi tidak berlaku meskipun turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, Anda juga perlu menggunakan tanda cukup pertama dari suatu fungsi ekstrem.

Sifat lokal dari fungsi ekstrem

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai di dekatnya.

Katakanlah Anda melihat penghasilan Anda selama periode satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah maksimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Namun pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan bulan Oktober adalah minimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa nilai maksimum pada bulan April-Mei-Juni kurang dari nilai minimum pada bulan September-Oktober-November.

Secara umum, pada suatu interval suatu fungsi dapat memiliki beberapa ekstrem, dan mungkin saja suatu fungsi minimum lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, orang tidak boleh berpikir bahwa maksimum dan minimum suatu fungsi masing-masing adalah nilai terbesar dan terkecilnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum fungsi tersebut memiliki nilai tertinggi hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum - nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan poin minimum.

Oleh karena itu, kita dapat memperjelas konsep titik ekstrem suatu fungsi di atas dan menyebut titik minimum sebagai titik minimum lokal, dan titik maksimum sebagai titik maksimum lokal.

Kami mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 3.

Penyelesaian: Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis bilangan. Turunannya juga ada pada seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, titik kritisnya hanyalah titik di mana, yaitu. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain definisi fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Mari kita pilih satu titik kontrol di masing-masing titik tersebut dan temukan tanda turunannya di titik ini.

Untuk interval, titik kendalinya dapat berupa: temukan. Mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan, dan mengambil satu titik dalam interval, kita mendapatkan. Jadi, di interval dan , dan di interval . Menurut kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada suatu titik (karena turunannya tetap memiliki tanda dalam interval), dan pada titik tersebut fungsinya memiliki minimum (karena turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati melalui titik ini). Mari kita cari nilai fungsi yang sesuai: , a . Pada interval fungsi tersebut berkurang, karena pada interval ini , dan pada interval tersebut meningkat, karena pada interval ini .

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kita mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar-akarnya adalah dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi telah ditemukan. Dengan menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat contoh di awal).

Contoh 4. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Daerah asal definisi suatu fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat pembelajaran, Anda dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbunya Oi dan penelitian hanya dapat dilakukan untuk selang waktu.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi tersebut:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi tersebut mengalami diskontinuitas pada titik ini, sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem.

Dengan demikian, fungsi yang diberikan memiliki dua poin penting: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya akan memeriksa titik menggunakan kriteria cukup kedua untuk suatu ekstrem. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan keduanya dan tentukan tandanya di: kita peroleh . Karena dan , ini adalah titik minimum dari fungsi tersebut, dan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik suatu fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas domain definisinya:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol dari kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol dari kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik suatu fungsi tidak mempunyai titik potong dengan sumbunya. Gambarnya ada di awal contoh.

Kami terus mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 8. Temukan ekstrem dari fungsinya.

Larutan. Mari kita cari domain definisi fungsinya. Karena pertidaksamaan tersebut harus dipenuhi, kita peroleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut:

Mari kita cari titik kritis dari fungsi tersebut.

(turunan kiri dan kanan berbeda), namun bertambah untuk semua nilai x termasuk pada titik = 0.

Catatan 2. Berdasarkan kondisi yang lebih lunak, kita dapat merumuskan teorema langsung: jika turunan suatu fungsi kontinu pada suatu interval adalah non-negatif, maka fungsi pada interval tersebut tidak berkurang. Maka teorema langsung dan teorema kebalikannya dalam bahasa formal berbunyi seperti ini:

fungsi f (x) jika terdapat lingkungan titik x0 sedemikian rupa sehingga untuk semua x dari lingkungan tersebut f(x) ≤ f(x0).

Definisi. Suatu titik x0 disebut titik minimum lokal dari fungsi f(x) jika terdapat lingkungan dari titik x0 sedemikian rupa sehingga untuk semua x dari lingkungan tersebut f(x) ≥ f(x0).

Nilai fungsi pada titik maksimum disebut maksimum lokal, nilai fungsi pada titik minimum disebut minimum lokal dari fungsi tersebut. Maksimum dan minimum suatu fungsi disebut ekstrem lokalnya

(ekstrim – ekstrim).

Definisi. Suatu titik x0 disebut titik maksimum (minimum) lokal dari fungsi y= f(x) jika untuk semua x di sekitar titik x0 benar ketimpangan yang ketat f(x)< f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Komentar. Dalam definisi ekstrem lokal di atas, kita tidak mengasumsikan kontinuitas fungsi di titik x 0.

titik maksimum, karena terdapat lingkungan titik x = 0, di mana f (x)< f (x 0 ).

Nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi pada suatu interval disebut ekstrim global. Ekstrem global dapat dicapai pada titik ekstrem lokal atau pada ujung segmen.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem

Teorema 2. (tentang kondisi yang diperlukan ekstrem).

Jika fungsi y = f(x) mempunyai titik ekstrem di titik x0, maka turunan f′ (x0) di titik ini adalah nol atau tidak ada.

◄Jika di titik x 0 fungsi tersebut mempunyai ekstrem dan terdiferensiasi, maka di

di beberapa lingkungan titik ini, kondisi teorema Fermat terpenuhi, oleh karena itu, turunan fungsi pada titik ini sama dengan nol.

Namun fungsi y = f (x) mungkin mempunyai titik ekstrem dan tidak terdiferensiasi pada saat ini. Memberi contoh saja sudah cukup. Contohnya adalah

Catatan 3. Tidak setiap titik kritis suatu fungsi harus mempunyai nilai maksimum dan minimum.

Contoh 4. Perhatikan fungsinya y = x 3 . Penting untuk fungsi ini

adalah titik x = 0, yang diperoleh dari persamaan f ′ (x ) = 3x 2 = 0. Namun, fungsi ini meningkat untuk semua x dan tidak memiliki ekstrem.

Jika pada saat berpindah dari interval kiri ke interval kanan fungsi tersebut terus menurun, maka pada titik x 0 nilai minimum fungsi tersebut tidak akan tercapai.

(tidak ekstrem).

Keberadaan maksimum dibuktikan dengan cara serupa.

Pada Gambar. 2 a-h menyajikan kemungkinan kasus ada atau tidaknya suatu ekstrem dari suatu fungsi kontinu, yang turunannya pada titik kritis sama dengan nol atau menuju tak terhingga.

titik x = 0 berganti tanda berkali-kali tak terhingga. Oleh karena itu fungsi f(x) tidak

menurun atau bertambah secara monoton ke kiri atau ke kanan titik x = 0.

Skema untuk mempelajari fungsi ekstrem:

1) temukan turunannya f′(x);

2) menemukan titik kritis, mis. nilai-nilai seperti itu x, di mana f ′ (x )= 0 atau

f′(x) = ∞;

3) periksa tanda turunan di kiri dan kanan setiap kritis

berubah, maka pada titik x 0 fungsi f(x) tidak mempunyai maksimum dan minimum; 4) temukan nilai fungsi pada titik ekstrim.

Teorema 4. (kondisi cukup ke-2 untuk ekstrem). Biarkan fungsi y = f (x) memenuhi kondisi berikut:

1. y = f (x) kontinu di sekitar titik x 0,

2. f′ (x )= 0 di titik x 0

3. f ′′ (x )≠ 0 di titik x 0 .

oleh karena itu ada yang ekstrem. Tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus yang artinya minimum. Kasus f ′′ (x 0 ) dibuktikan dengan cara serupa< 0 .

Contoh 8. Periksa fungsi y = x 2 + 2x + 3 untuk mencari ekstrem.

1) Kami menemukan titik kritis, yang turunannya kami samakan dengan nol: y′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.

2) Kita mempelajari tanda turunan di kiri dan kanan titik ini (Gbr. 6).

Karena tanda turunannya berubah dari minus ke plus, titik minimum tercapai di titik x = − 1.

3) Temukan nilai minimum: ymin (− 1)= 2.

3) Kita periksa tanda y" di kiri dan kanan titik x = 0. Jelasnya, f′ (x)< 0 ,

minimum fungsi ini.

4) ymin (0)= 1.

Contoh 10.

Periksa fungsi y = e -x 2 untuk mengetahui ekstremnya.

1) Kami menemukan turunan pertama: kamu ′= - 2xe -x 2 .

2) Menyamakan turunannya dengan nol, kita menemukan satu-satunya titik kritis x = 0.

3) Selanjutnya kita cari turunan keduanya: y ′′= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Artinya

pada titik x = 0 sama dengan -2.

4) Kami menyimpulkan bahwa ada fungsi maksimum dan menghitung: y maks (0)= 1.

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu interval

Jika fungsi f(x) terdefinisi dan kontinu pada interval [a;b], maka

menurut teorema ke-2 Weierstrass, ia mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada segmen ini.

Jika fungsi f(x) mengambil nilai terbesarnya sebagai titik dalam x 0 dari ruas [a;b], maka M = f (x 0) adalah maksimum lokal dari fungsi f (x), karena dalam hal ini terdapat lingkungan dari titik x 0 sedemikian rupa sehingga nilainya ​​f (x) untuk semua titik dari lingkungan ini tidak akan

lebih besar dari f (x 0 ) .

Namun nilai terbesarnya adalah fungsi M f (x) juga dapat mengambil di ujung segmen[a;b]. Oleh karena itu, untuk mencari nilai M terbesar dari fungsi kontinu f(x) pada ruas [a;b], kita perlu mencari semua maksima fungsi tersebut pada interval (a;b) dan nilai-nilainya. dari f (x) di ujung segmen [a;b] dan pilih

diantaranya adalah jumlah terbesar. Daripada membatasi diri kita untuk menemukan nilai-nilai Nilai terendah m terus menerus

Teliti fungsi semaksimal mungkin pada titik-titik kritis. pada segmen [a;b] dari fungsi f(x) akan ada

bilangan terkecil di antara semua minimum fungsi f(x) pada interval (a;b) dan nilai f(a) dan f(b).