dan distribusi seragam dalam proses. Hukum distribusi seragam dan eksponensial dari variabel acak kontinu

Ingat definisi kepadatan probabilitas.

Kami sekarang memperkenalkan konsep distribusi probabilitas seragam:

Definisi 2

Suatu distribusi disebut seragam jika, pada suatu interval yang memuat semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak, kerapatan distribusinya konstan, yaitu:

Gambar 1.

Cari nilai dari konstanta $\ C$ menggunakan sifat densitas distribusi berikut: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Dengan demikian, fungsi kerapatan distribusi seragam memiliki bentuk:

Gambar 2.

Grafik memiliki bentuk berikut (Gbr. 1):

Gambar 3. Kepadatan distribusi probabilitas seragam

Fungsi Distribusi Probabilitas Seragam

Mari kita cari fungsi distribusi untuk distribusi seragam.

Untuk melakukannya, kita akan menggunakan rumus berikut: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Untuk $x a$, menurut rumus, kita mendapatkan:

1. Untuk $a

1. Untuk $x> 2$, menurut rumus, kita mendapatkan:

Dengan demikian, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Gambar 4

Grafik memiliki bentuk berikut (Gbr. 2):

Gambar 5. Fungsi distribusi probabilitas seragam.

Probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ di bawah distribusi probabilitas seragam

Untuk mencari peluang variabel acak yang masuk ke dalam interval $(\alpha ,\beta)$ dengan distribusi peluang seragam, kita akan menggunakan rumus berikut:

Nilai yang diharapkan:

Standar deviasi:

Contoh pemecahan masalah untuk distribusi peluang yang seragam

Contoh 1

Interval antar bus troli adalah 9 menit.

Kompilasi fungsi distribusi dan densitas distribusi dari variabel acak $X$ menunggu penumpang bus troli.

Tentukan peluang bahwa penumpang akan menunggu bus listrik dalam waktu kurang dari tiga menit.

Tentukan peluang bahwa penumpang akan menunggu bus troli dalam waktu minimal 4 menit.

Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi

1. Karena variabel acak kontinu $X$ menunggu bus listrik terdistribusi merata, maka $a=0,\ b=9$.

Jadi, densitas distribusi, menurut rumus fungsi densitas dari distribusi probabilitas seragam, memiliki bentuk:

Gambar 6

Menurut rumus fungsi distribusi probabilitas seragam, dalam kasus kami, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Gambar 7

1. Pertanyaan ini dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: temukan probabilitas bahwa variabel acak dari distribusi seragam jatuh ke dalam interval $\left(6,9\right).$

Kita mendapatkan:

\ \ \

Dengan demikian, fungsi kerapatan distribusi seragam memiliki bentuk:

Gambar 2.

Grafik memiliki bentuk berikut (Gbr. 1):

Gambar 3. Kepadatan distribusi probabilitas seragam

Fungsi Distribusi Probabilitas Seragam

Mari kita cari fungsi distribusi untuk distribusi seragam.

Untuk melakukannya, kita akan menggunakan rumus berikut: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Untuk $x a$, menurut rumus, kita mendapatkan:

1. Untuk $a

1. Untuk $x> 2$, menurut rumus, kita mendapatkan:

Dengan demikian, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Gambar 4

Grafik memiliki bentuk berikut (Gbr. 2):

Gambar 5. Fungsi distribusi probabilitas seragam.

Probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ di bawah distribusi probabilitas seragam

Untuk mencari peluang variabel acak yang masuk ke dalam interval $(\alpha ,\beta)$ dengan distribusi peluang seragam, kita akan menggunakan rumus berikut:

Nilai yang diharapkan:

Standar deviasi:

Contoh pemecahan masalah untuk distribusi peluang yang seragam

Contoh 1

Interval antar bus troli adalah 9 menit.

Kompilasi fungsi distribusi dan densitas distribusi dari variabel acak $X$ menunggu penumpang bus troli.

Tentukan peluang bahwa penumpang akan menunggu bus listrik dalam waktu kurang dari tiga menit.

Tentukan peluang bahwa penumpang akan menunggu bus troli dalam waktu minimal 4 menit.

Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi

1. Karena variabel acak kontinu $X$ menunggu bus listrik terdistribusi merata, maka $a=0,\ b=9$.

Jadi, densitas distribusi, menurut rumus fungsi densitas dari distribusi probabilitas seragam, memiliki bentuk:

Gambar 6

Menurut rumus fungsi distribusi probabilitas seragam, dalam kasus kami, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Gambar 7

1. Pertanyaan ini dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: temukan probabilitas bahwa variabel acak dari distribusi seragam jatuh ke dalam interval $\left(6,9\right).$

Kita mendapatkan:

\, jika pada segmen ini densitas distribusi probabilitas variabel acak adalah konstan, yaitu jika fungsi distribusi diferensial f(x) memiliki bentuk sebagai berikut:

Distribusi ini kadang-kadang disebut hukum kerapatan seragam. Tentang besaran yang memiliki distribusi seragam pada segmen tertentu, kita akan mengatakan bahwa itu didistribusikan secara merata pada segmen ini.

Tentukan nilai konstanta c. Karena luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu Oh, sama dengan 1, maka

di mana dengan=1/(b-sebuah).

Sekarang fungsinya f(x)dapat direpresentasikan sebagai

Mari kita membangun fungsi distribusi F(x ), yang kita temukan ekspresinya F (x ) pada interval [ a , b]:

Grafik fungsi f (x) dan F (x) terlihat seperti:

Mari kita cari karakteristik numerik.

Menggunakan rumus untuk menghitung ekspektasi matematis dari NSW, kita mendapatkan:

Jadi, ekspektasi matematis dari variabel acak terdistribusi merata pada interval [a , b] bertepatan dengan bagian tengah segmen ini.

Temukan varians dari variabel acak terdistribusi seragam:

dari mana segera berikut bahwa standar deviasi:

Mari kita cari peluang bahwa nilai variabel acak dengan distribusi seragam jatuh ke dalam interval(a , b ), sepenuhnya milik segmen [sebuah,b ]:

Layanan daring: