և գործընթացում միատեսակ բաշխում: Շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման միատեսակ և էքսպոնենցիալ օրենքներ

Հիշեք հավանականության խտության սահմանումը:

Այժմ մենք ներկայացնում ենք հավանականության միասնական բաշխման հայեցակարգը.

Սահմանում 2

Բաշխումը կոչվում է միատեսակ, եթե պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները պարունակող միջակայքում բաշխման խտությունը հաստատուն է, այսինքն.

Նկար 1.

Գտեք $\ C$ հաստատունի արժեքը՝ օգտագործելով բաշխման խտության հետևյալ հատկությունը՝ $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty)_(-\infty)(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty)(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty)_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Այսպիսով, միասնական բաշխման խտության ֆունկցիան ունի ձև.

Նկար 2.

Գրաֆիկը ունի հետևյալ ձևը (նկ. 1).

Նկար 3. Հավանականության միասնական բաշխման խտություն

Հավանականության միասնական բաշխման ֆունկցիա

Եկեք հիմա գտնենք բաշխման ֆունկցիան միատեսակ բաշխման համար:

Դա անելու համար մենք կօգտագործենք հետևյալ բանաձևը՝ $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. $x ≤ a$-ի համար, ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք.

1. $ a

1. $x> 2$-ի համար, ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, բաշխման ֆունկցիան ունի ձև.

Նկար 4

Գրաֆիկը ունի հետևյալ ձևը (նկ. 2).

Նկար 5. Հավանականության բաշխման միատեսակ ֆունկցիա:

Պատահական փոփոխականի հավանականությունը $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ միջակայքում ընկնելու հավանականության միասնական բաշխման ներքո

Պատահական փոփոխականի՝ հավանականության միատեսակ բաշխմամբ $(\alpha,\beta)$ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը գտնելու համար մենք կօգտագործենք հետևյալ բանաձևը.

Ակնկալվող արժեքը:

Ստանդարտ շեղում.

Հավանականությունների միասնական բաշխման համար խնդրի լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Տրոլեյբուսների միջև ընդմիջումը 9 րոպե է։

Կազմեք բաշխման ֆունկցիան և տրոլեյբուսի ուղևորներին սպասելու $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը:

Գտե՛ք հավանականությունը, որ ուղեւորը երեք րոպեից էլ քիչ ժամանակում կսպասի տրոլեյբուսին։

Գտեք հավանականությունը, որ ուղեւորը կսպասի տրոլեյբուսին առնվազն 4 րոպեում։

Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը

1. Քանի որ տրոլեյբուսին սպասելու $X$ շարունակական պատահական փոփոխականը բաշխված է միատեսակ, ապա $a=0,\ b=9$:

Այսպիսով, բաշխման խտությունը, ըստ հավանականության միատեսակ բաշխման խտության ֆունկցիայի բանաձևի, ունի ձև.

Նկար 6

Համաձայն հավանականության միասնական բաշխման ֆունկցիայի բանաձևի՝ մեր դեպքում բաշխման ֆունկցիան ունի ձև.

Նկար 7

1. Այս հարցը կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. գտե՛ք հավանականությունը, որ միատեսակ բաշխման պատահական փոփոխականն ընկնում է $\left(6,9\right) $ ինտերվալի մեջ։

Մենք ստանում ենք.

\ \ \

Այսպիսով, միասնական բաշխման խտության ֆունկցիան ունի ձև.

Նկար 2.

Գրաֆիկը ունի հետևյալ ձևը (նկ. 1).

Նկար 3. Հավանականության միասնական բաշխման խտություն

Հավանականության միասնական բաշխման ֆունկցիա

Եկեք հիմա գտնենք բաշխման ֆունկցիան միատեսակ բաշխման համար:

Դա անելու համար մենք կօգտագործենք հետևյալ բանաձևը՝ $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. $x ≤ a$-ի համար, ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք.

1. $ a

1. $x> 2$-ի համար, ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, բաշխման ֆունկցիան ունի ձև.

Նկար 4

Գրաֆիկը ունի հետևյալ ձևը (նկ. 2).

Նկար 5. Հավանականության բաշխման միատեսակ ֆունկցիա:

Պատահական փոփոխականի հավանականությունը $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ միջակայքում ընկնելու հավանականության միասնական բաշխման ներքո

Պատահական փոփոխականի՝ հավանականության միատեսակ բաշխմամբ $(\alpha,\beta)$ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը գտնելու համար մենք կօգտագործենք հետևյալ բանաձևը.

Ակնկալվող արժեքը:

Ստանդարտ շեղում.

Հավանականությունների միասնական բաշխման համար խնդրի լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Տրոլեյբուսների միջև ընդմիջումը 9 րոպե է։

Կազմեք բաշխման ֆունկցիան և տրոլեյբուսի ուղևորներին սպասելու $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման խտությունը:

Գտե՛ք հավանականությունը, որ ուղեւորը երեք րոպեից էլ քիչ ժամանակում կսպասի տրոլեյբուսին։

Գտեք հավանականությունը, որ ուղեւորը կսպասի տրոլեյբուսին առնվազն 4 րոպեում։

Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը

1. Քանի որ տրոլեյբուսին սպասելու $X$ շարունակական պատահական փոփոխականը բաշխված է միատեսակ, ապա $a=0,\ b=9$:

Այսպիսով, բաշխման խտությունը, ըստ հավանականության միատեսակ բաշխման խտության ֆունկցիայի բանաձևի, ունի ձև.

Նկար 6

Համաձայն հավանականության միասնական բաշխման ֆունկցիայի բանաձևի՝ մեր դեպքում բաշխման ֆունկցիան ունի ձև.

Նկար 7

1. Այս հարցը կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. գտե՛ք հավանականությունը, որ միատեսակ բաշխման պատահական փոփոխականն ընկնում է $\left(6,9\right) $ ինտերվալի մեջ։

Մենք ստանում ենք.

\, եթե այս հատվածում պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման խտությունը հաստատուն է, այսինքն՝ եթե դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան f(x) ունի հետևյալ ձևը.

Այս բաշխումը երբեմն կոչվում է միասնական խտության օրենքը. Որոշակի հատվածի վրա միատեսակ բաշխում ունեցող մեծության մասին կասենք, որ այն բաշխված է միատեսակ այս հատվածի վրա։

Գտե՛ք c հաստատունի արժեքը. Քանի որ տարածքը սահմանափակված է բաշխման կորով և առանցքով Օ,հավասար է 1, ապա

որտեղ հետ=1/(բ-ա).

Այժմ գործառույթը f(x)կարող է ներկայացվել որպես

Կառուցենք բաշխման ֆունկցիան F(x ), որի համար գտնում ենք արտահայտությունը F (x) միջակայքում [ ա , բ]:

F (x) և F (x) ֆունկցիաների գրաֆիկները նման են.

Գտնենք թվային բնութագրերը։

Օգտագործելով NSW-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը հաշվարկելու բանաձևը, մենք ունենք.

Այսպիսով, պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասարաչափ բաշխված է միջակայքում [ա , բ] համընկնում է այս հատվածի կեսին:

Գտեք միատեսակ բաշխված պատահական փոփոխականի շեղումը.

որից անմիջապես հետևում է, որ ստանդարտ շեղումը.

Եկեք հիմա գտնենք հավանականությունը, որ միատեսակ բաշխմամբ պատահական փոփոխականի արժեքը ընկնում է միջակայքի վրա.(ա, բ), ամբողջությամբ պատկանող հատվածին [ա,բ ]:

Առցանց ծառայություն.