Erhöhen einer Zahl zu einem Potenz-Online-Bruchrechner. Einen algebraischen Bruch potenzieren: Regel, Beispiele

Ein Bruch ist das Verhältnis des Zählers zum Nenner, und der Nenner darf nicht gleich Null sein, und der Zähler kann alles sein.

Wenn wir einen Bruch beliebig potenzieren, müssen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs separat potenzieren, danach müssen wir diese Potenzen zählen und so den potenzierten Bruch erhalten.

Zum Beispiel:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Negativer Abschluss

Wenn wir es mit einem negativen Grad zu tun haben, müssen wir zuerst „den Bruch umkehren“ und ihn erst dann gemäß der oben beschriebenen Regel auf einen Grad erhöhen.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Briefabschluss

Bei der Arbeit mit Literalwerten wie „x“ und „y“ folgt die Potenzierung der gleichen Regel wie zuvor.

Wir können uns auch selbst testen, indem wir den Bruch ½ auf die 3. Potenz erhöhen, wodurch wir ½ * ½ * ½ = 1/8 erhalten, was im Wesentlichen dasselbe ist wie

Literale Potenzierung x^y

Brüche mit Potenzen multiplizieren und dividieren

Wenn wir Potenzen mit denselben Basen multiplizieren, bleibt die Basis selbst gleich und wir addieren die Exponenten. Wenn wir Grade mit denselben Basen dividieren, bleibt auch die Basis des Grades gleich und die Exponenten der Grade werden subtrahiert.

Das lässt sich ganz einfach an einem Beispiel zeigen:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Wir könnten das Gleiche erreichen, wenn wir einfach den Nenner und den Zähler getrennt jeweils mit 3 und 4 potenzieren würden.

Einen Bruch mit einer Potenz zu einer anderen Potenz erhöhen

Wenn wir einen Bruch, der bereits eine Potenz darstellt, erneut potenzieren, müssen wir zuerst die interne Potenzierung durchführen und dann mit dem äußeren Teil der Potenzierung fortfahren. Mit anderen Worten: Wir können diese Potenzen einfach multiplizieren und den Bruch auf die resultierende Potenz erhöhen.

Zum Beispiel:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Auf eins erhöht, Quadratwurzel

Wir dürfen auch nicht vergessen, dass die Potenzierung eines absolut beliebigen Bruchs 1 ergibt, genau wie jede andere Zahl, wenn sie potenziert wird gleich Null wir bekommen 1.

Die gewöhnliche Quadratwurzel kann auch als Potenz eines Bruchs ausgedrückt werden

Quadratwurzel 3 = 3^(1/2)

Wenn wir uns damit befassen Quadratwurzel unter dem sich der Bruch befindet, dann können wir uns diesen Bruch vorstellen, in dessen Zähler eine Quadratwurzel 2. Grades steht (da es sich um eine Quadratwurzel handelt)

Und der Nenner wird auch die Quadratwurzel enthalten, d.h. Mit anderen Worten, wir werden die Beziehung zwischen zwei Wurzeln sehen. Dies kann zur Lösung einiger Probleme und Beispiele nützlich sein.

Wenn wir den Bruch, der unter der Quadratwurzel liegt, in die zweite Potenz erhöhen, erhalten wir denselben Bruch.

Das Produkt zweier Brüche unter derselben Potenz ist gleich dem Produkt dieser beiden Brüche, von denen jeder einzeln unter seiner eigenen Potenz steht.

Denken Sie daran: Sie können nicht durch Null dividieren!

Vergessen Sie auch nicht das Gleiche wichtiger Hinweis für einen Bruch wie den Nenner sollte nicht Null sein. In Zukunft werden wir in vielen Gleichungen diese Einschränkung namens ODZ – den Bereich zulässiger Werte – verwenden

Beim Vergleich zweier Brüche mit derselben Basis, aber verschiedene Grade, desto größer ist der Bruch, dessen Grad größer ist, und desto kleiner ist derjenige, dessen Grad kleiner ist. Wenn nicht nur die Basen, sondern auch die Grade gleich sind, wird der Bruch als gleich angesehen.

Wir haben herausgefunden, was eine Potenz einer Zahl eigentlich ist. Jetzt müssen wir verstehen, wie man es richtig berechnet, d.h. Erhöhen Sie Zahlen zu Potenzen. In diesem Material analysieren wir die Grundregeln für die Gradberechnung bei ganzzahligen, natürlichen, gebrochenen, rationalen und irrationalen Exponenten. Alle Definitionen werden anhand von Beispielen veranschaulicht.

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Das Konzept der Potenzierung

Beginnen wir mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Definition 1

Potenzierung- Dies ist die Berechnung des Wertes der Potenz einer bestimmten Zahl.

Das heißt, die Wörter „den Wert einer Macht berechnen“ und „zu einer Macht erhöhen“ bedeuten dasselbe. Wenn die Aufgabe also lautet: „Erhöhe die Zahl 0, 5 auf die fünfte Potenz“, sollte dies als „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0, 5) 5“ verstanden werden.

Nun stellen wir die Grundregeln vor, die bei solchen Berechnungen beachtet werden müssen.

Erinnern wir uns daran, was eine Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten ist. Für eine Potenz mit Basis a und Exponent n ist dies das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Das kann man so schreiben:

Um den Wert eines Grades zu berechnen, müssen Sie eine Multiplikationsaktion durchführen, d. h. die Basen des Grades mit der angegebenen Anzahl multiplizieren. Das eigentliche Konzept eines Grades mit natürlichem Exponenten basiert auf der Fähigkeit zur schnellen Multiplikation. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Beispiel 1

Bedingung: Erhöhen Sie - 2 hoch 4.

Lösung

Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Als nächstes müssen wir nur noch diese Schritte befolgen und 16 erhalten.

Nehmen wir ein komplizierteres Beispiel.

Beispiel 2

Berechnen Sie den Wert 3 2 7 2

Lösung

Dieser Eintrag kann als 3 2 7 · 3 2 7 umgeschrieben werden. Zuvor haben wir uns angeschaut, wie man die in der Bedingung genannten gemischten Zahlen richtig multipliziert.

Führen wir diese Schritte aus und erhalten wir die Antwort: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Wenn das Problem die Notwendigkeit anzeigt, irrationale Zahlen auf eine natürliche Potenz zu erhöhen, müssen wir zunächst ihre Basen auf die Ziffer runden, die es uns ermöglicht, eine Antwort mit der erforderlichen Genauigkeit zu erhalten. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 3

Berechnen Sie die Quadratur von π.

Lösung

Runden wir es zunächst auf Hundertstel. Dann ist π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Wenn π ≈ 3. 14159, dann erhalten wir ein genaueres Ergebnis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Beachten Sie, dass die Notwendigkeit, Potenzen irrationaler Zahlen zu berechnen, in der Praxis relativ selten auftritt. Wir können die Antwort dann als Potenz (ln 6) 3 selbst schreiben oder, wenn möglich, umrechnen: 5 7 = 125 5 .

Separat sollte angegeben werden, was die erste Potenz einer Zahl ist. Hier können Sie sich einfach daran erinnern, dass jede Zahl, die in die erste Potenz erhöht wird, sie selbst bleibt:

Dies geht aus der Aufnahme hervor .

Dabei kommt es nicht auf die Grundlage des Abschlusses an.

Beispiel 4

Also ist (− 9) 1 = − 9 und 7 3 hochgesetzt bleibt gleich 7 3.

Der Einfachheit halber werden wir drei Fälle separat untersuchen: ob der Exponent eine positive ganze Zahl ist, ob er Null ist und ob er eine negative ganze Zahl ist.

Im ersten Fall ist dies dasselbe wie das Erhöhen auf eine natürliche Potenz: Schließlich gehören positive ganze Zahlen zur Menge der natürlichen Zahlen. Wir haben oben bereits darüber gesprochen, wie man mit solchen Abschlüssen arbeitet.

Sehen wir uns nun an, wie man richtig auf die Potenz Null anhebt. Für eine andere Basis als Null ergibt diese Berechnung immer 1. Wir haben bereits zuvor erklärt, dass die 0. Potenz von a für jedes beliebige definiert werden kann reelle Zahl, ungleich 0 und a 0 = 1.

Beispiel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nicht definiert.

Uns bleibt nur der Fall eines Grades mit einem ganzzahligen negativen Exponenten. Wir haben bereits besprochen, dass solche Grade als Bruch 1 a z geschrieben werden können, wobei a eine beliebige Zahl und z eine negative ganze Zahl ist. Wir sehen, dass der Nenner dieses Bruchs nichts anderes als eine gewöhnliche Potenz mit einem positiven ganzzahligen Exponenten ist, und wir haben bereits gelernt, wie man ihn berechnet. Lassen Sie uns Beispiele für Aufgaben geben.

Beispiel 6

Erhöhen Sie 3 hoch - 2.

Lösung

Mit der obigen Definition schreiben wir: 2 - 3 = 1 2 3

Berechnen wir den Nenner dieses Bruchs und erhalten 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Dann lautet die Antwort: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Beispiel 7

Erhöhen Sie 1,43 hoch -2.

Lösung

Formulieren wir um: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Wir berechnen das Quadrat im Nenner: 1,43·1,43. Dezimalzahlen können auf diese Weise multipliziert werden:

Als Ergebnis erhalten wir (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Wir müssen dieses Ergebnis nur noch in das Formular schreiben gemeinsamer Bruch, wofür Sie es mit 10.000 multiplizieren müssen (siehe Material zur Umrechnung von Brüchen).

Antwort: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ein Sonderfall ist die Potenzierung einer Zahl ins Minus. Der Wert dieses Grades ist gleich dem Kehrwert des ursprünglichen Wertes der Basis: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Beispiel 8

Beispiel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

So erhöhen Sie eine Zahl in eine gebrochene Potenz

Um diesen Vorgang durchzuführen, müssen wir uns erinnern Grunddefinition Potenzen mit gebrochenem Exponenten: a m n = a m n für jedes positive a, jede ganze Zahl m und jedes natürliche n.

Definition 2

Daher muss die Berechnung einer gebrochenen Potenz in zwei Schritten durchgeführt werden: Erhöhen auf eine ganzzahlige Potenz und Finden der Wurzel der n-ten Potenz.

Wir haben die Gleichheit a m n = a m n , die unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Wurzeln üblicherweise zur Lösung von Problemen in der Form a m n = a n m verwendet wird. Das heißt, wenn wir eine Zahl a auf eine gebrochene Potenz m/n erhöhen, dann ziehen wir zuerst die n-te Wurzel von a und dann potenzieren wir das Ergebnis mit einem ganzzahligen Exponenten m.

Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 9

Berechnen Sie 8 - 2 3 .

Lösung

Methode 1: Gemäß der Grunddefinition können wir dies wie folgt darstellen: 8 – 2 3 = 8 – 2 3

Berechnen wir nun den Grad unter der Wurzel und ziehen wir die dritte Wurzel aus dem Ergebnis: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Methode 2. Transformieren Sie die Grundgleichung: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Danach ziehen wir die Wurzel 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 und quadrieren das Ergebnis: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Wir sehen, dass die Lösungen identisch sind. Sie können es beliebig verwenden.

Es gibt Fälle, in denen der Grad einen Indikator hat, der als gemischte Zahl oder als Dezimalbruch ausgedrückt wird. Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es besser, ihn durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und wie oben angegeben zu berechnen.

Beispiel 10

Erhöhen Sie 44, 89 hoch 2, 5.

Lösung

Lassen Sie uns den Wert des Indikators in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln – 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Nun führen wir der Reihe nach alle oben angegebenen Aktionen aus: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Antwort: 13 501, 25107.

Wenn Zähler und Nenner eines gebrochenen Exponenten enthalten große Zahlen, dann ist die Berechnung solcher Potenzen mit rationalen Exponenten eine ziemlich schwierige Aufgabe. Dafür ist in der Regel Computertechnik erforderlich.

Lassen Sie uns getrennt auf Potenzen mit Nullbasis und gebrochenem Exponenten eingehen. Einem Ausdruck der Form 0 m n kann die folgende Bedeutung gegeben werden: wenn m n > 0, dann 0 m n = 0 m n = 0; wenn m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Wie man eine Zahl irrational potenziert

Die Notwendigkeit, den Wert der Potenz zu berechnen, deren Exponent ist irrationale Zahl, kommt nicht sehr oft vor. In der Praxis beschränkt sich die Aufgabe meist auf die Berechnung eines Näherungswertes (bis zu einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen). Aufgrund der Komplexität solcher Berechnungen erfolgt die Berechnung in der Regel am Computer, daher gehen wir nicht näher darauf ein, sondern geben nur die wichtigsten Bestimmungen an.

Wenn wir den Wert einer Potenz a mit einem irrationalen Exponenten a berechnen müssen, nehmen wir die dezimale Näherung des Exponenten und zählen daraus. Das Ergebnis wird eine ungefähre Antwort sein. Je genauer die dezimale Näherung ist, desto genauer ist die Antwort. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen:

Beispiel 11

Berechnen Sie den ungefähren Wert von 21, 174367 ....

Lösung

Beschränken wir uns auf die dezimale Näherung a n = 1, 17. Führen wir Berechnungen mit dieser Zahl durch: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Nehmen wir zum Beispiel die Näherung a n = 1, 1743, dann wird die Antwort etwas genauer sein: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

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Wenn wir das Gespräch über die Potenz einer Zahl fortsetzen, ist es logisch, herauszufinden, wie man den Wert der Potenz ermittelt. Dieser Vorgang wird aufgerufen Potenzierung. In diesem Artikel untersuchen wir, wie die Potenzierung durchgeführt wird, und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein – natürlich, ganzzahlig, rational und irrational. Und der Tradition entsprechend werden wir Lösungen für Beispiele für die Potenzierung von Zahlen im Detail betrachten.

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Was bedeutet „Potenzierung“?

Beginnen wir mit der Erklärung der sogenannten Potenzierung. Hier ist die entsprechende Definition.

Definition.

Potenzierung- Hier geht es darum, den Wert der Potenz einer Zahl zu ermitteln.

Daher ist es dasselbe, den Wert der Potenz einer Zahl a mit dem Exponenten r zu ermitteln und die Zahl a mit der Potenz r zu potenzieren. Wenn die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“ lautet, kann sie wie folgt umformuliert werden: „Erhöhen Sie die Zahl 0,5 auf die Potenz 5.“

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.

Eine Zahl zu einer natürlichen Potenz erhöhen

In der Praxis wird Gleichheit aufgrund von meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn eine Zahl a auf eine gebrochene Potenz m/n erhöht wird, wird zunächst die n-te Wurzel der Zahl a gezogen und anschließend das resultierende Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhöht.

Schauen wir uns Lösungen für Beispiele für die Erhöhung auf eine Bruchpotenz an.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.

Lösung.

Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Per Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Wert des Grades unter dem Wurzelzeichen und extrahieren dann die Kubikwurzel: .

Zweiter Weg. Durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten und basierend auf den Eigenschaften der Wurzeln gelten die folgenden Gleichungen: . Jetzt extrahieren wir die Wurzel , schließlich erhöhen wir es auf eine ganzzahlige Potenz .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse der Erhöhung auf eine gebrochene Potenz überein.

Antwort:

Beachten Sie, dass der gebrochene Exponent geschrieben werden kann als dezimal oder gemischte Zahl In diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt und dann potenziert werden.

Beispiel.

Berechnen Sie (44,89) 2,5.

Lösung.

Schreiben wir den Exponenten in Form eines gewöhnlichen Bruchs (siehe ggf. den Artikel): . Nun führen wir die Potenzierung auf eine gebrochene Potenz durch:

Antwort:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass die Potenzierung von Zahlen ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess ist (insbesondere wenn Zähler und Nenner des Bruchexponenten ausreichend große Zahlen enthalten), der normalerweise mit durchgeführt wird Computertechnologie.

Um diesen Punkt abzuschließen, wollen wir uns näher mit der Potenzierung der Zahl Null befassen. Wir haben der gebrochenen Potenz von Null der Form folgende Bedeutung gegeben: wenn wir haben , und bei Null ist die m/n-Potenz nicht definiert. Also Null im Bruch positiver Abschluss gleich Null, zum Beispiel, . Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel ergeben die Ausdrücke 0 -4,3 keinen Sinn.

Aufstieg zu einer irrationalen Macht

Manchmal ist es notwendig, den Wert der Potenz einer Zahl mit einem irrationalen Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es aus praktischen Gründen meist aus, den Gradwert auf ein bestimmtes Vorzeichen genau zu ermitteln. Wir stellen sofort fest, dass dieser Wert in der Praxis mithilfe elektronischer Computer berechnet wird, da die Erhöhung auf eine irrationale Potenz manuell erforderlich ist große Menge umständliche Berechnungen. Aber wir werden es trotzdem beschreiben allgemeiner Überblick die Essenz der Aktion.

Um einen Näherungswert für die Potenz einer Zahl a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Näherung des Exponenten vorgenommen und der Wert der Potenz berechnet. Dieser Wert ist ein Näherungswert der Potenz der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung einer Zahl zunächst vorgenommen wird, desto mehr genauer Wert Am Ende wird der Abschluss erworben.

Berechnen wir als Beispiel den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung des irrationalen Exponenten: . Erhöhen wir nun 2 auf die rationale Potenz 1,17 (wir haben die Essenz dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), erhalten wir 2 1,17 ≈2,250116. Daher, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir beispielsweise eine genauere dezimale Näherung des irrationalen Exponenten vornehmen, erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referenzen.

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Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Das Thema läuft darauf hinaus, dass wir gleiche Brüche multiplizieren müssen. In diesem Artikel erfahren Sie, welche Regel Sie anwenden müssen, um algebraische Brüche korrekt in eine natürliche Potenz zu bringen.

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Die Regel zum Potenzieren eines algebraischen Bruchs, sein Beweis

Bevor Sie mit der Potenzierung beginnen, müssen Sie Ihr Wissen mit Hilfe eines Artikels über eine Potenz mit natürlichem Exponenten vertiefen, bei der es sich um ein Produkt identischer Faktoren handelt, die der Potenz zugrunde liegen, und deren Anzahl bestimmt wird durch den Exponenten. Zum Beispiel die Zahl 2 3 = 2 2 2 = 8.

Beim Erhöhen auf eine Potenz verwenden wir am häufigsten die Regel. Erhöhen Sie dazu den Zähler und den Nenner getrennt voneinander. Schauen wir uns das Beispiel 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 an. Die Regel gilt für die Erhöhung eines Bruchs zu einer natürlichen Potenz.

Bei Erhöhen eines algebraischen Bruchs in eine natürliche Potenz wir erhalten einen neuen, bei dem der Zähler die Potenz des ursprünglichen Bruchs und der Nenner die Potenz des Nenners hat. Das sieht alles wie a b n = a n b n aus, wobei a und b beliebige Polynome sind, b ungleich Null ist und n eine natürliche Zahl ist.

Der Beweis dieser Regel wird in Form eines Bruchs geschrieben, der basierend auf der Definition selbst mit einem natürlichen Exponenten potenziert werden muss. Dann erhalten wir die Multiplikation von Brüchen der Form a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Beispiele, Lösungen

Die Regel zur Potenzierung eines algebraischen Bruchs wird nacheinander ausgeführt: zuerst der Zähler, dann der Nenner. Wenn im Zähler und Nenner ein Polynom vorhanden ist, besteht die Aufgabe selbst darin, das gegebene Polynom zu potenzieren. Danach wird ein neuer Bruch angezeigt, der dem ursprünglichen entspricht.

Beispiel 1

Quadriere den Bruch x 2 3 · y · z 3.

Lösung

Es ist notwendig, den Grad x 2 3 · y · z 3 2 festzulegen. Unter Verwendung der Regel zum Potenzieren eines algebraischen Bruchs erhalten wir eine Gleichheit der Form x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Nun gilt es, den resultierenden Bruch durch Potenzierung in eine algebraische Form umzuwandeln. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Alle Potenzierungsfälle implizieren nicht ausführliche Erklärung, daher hat die Lösung selbst eine kurze Notation. Das heißt, wir verstehen das

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Antwort: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Wenn Zähler und Nenner Polynome haben, ist es notwendig, den gesamten Bruch zu potenzieren und dann abgekürzte Multiplikationsformeln zu verwenden, um ihn zu vereinfachen.

Beispiel 2

Quadrieren Sie den Bruch 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Lösung

Aus der Regel haben wir das

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Um den Ausdruck umzuwandeln, müssen Sie die Formel für das Quadrat der Summe der drei Terme im Nenner und im Zähler verwenden – das Quadrat der Differenz, was den Ausdruck vereinfacht. Wir bekommen:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 Jahre - 6 x 2 Jahre

Antwort: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · Jahr 2

Beachten Sie, dass wir auch einen irreduziblen Bruch erhalten, wenn wir einen Bruch erhöhen, den wir nicht auf eine natürliche Potenz reduzieren können. Dies erleichtert die spätere Lösung nicht. Wenn ein gegebener Bruch reduziert werden kann, stellen wir bei der Potenzierung fest, dass es notwendig ist, eine Reduktion des algebraischen Bruchs durchzuführen, um zu vermeiden, dass nach der Potenzierung eine Reduktion durchgeführt wird.

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Es ist Zeit, sich kennenzulernen Einen algebraischen Bruch potenzieren. Diese Operation mit algebraischen Brüchen im Gradsinne reduziert sich auf die Multiplikation identischer Brüche. In diesem Artikel geben wir die entsprechende Regel an und schauen uns Beispiele für die Potenz algebraischer Brüche an.

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Die Regel zum Potenzieren eines algebraischen Bruchs, sein Beweis

Bevor wir über die Potenzierung eines algebraischen Bruchs sprechen, kann es nicht schaden, sich daran zu erinnern, wie das Produkt identischer Faktoren an der Basis der Potenz aussieht und wie viele dieser Faktoren durch den Exponenten bestimmt werden. Zum Beispiel 2 3 =2·2·2=8.

Erinnern wir uns nun an die Regel für die Potenzierung eines gewöhnlichen Bruchs: Dazu müssen Sie den Zähler und den Nenner separat auf die angegebene Potenz erhöhen. Zum Beispiel, . Diese Regel gilt für die Potenzierung eines algebraischen Bruchs in eine natürliche Potenz.

Erhöhen eines algebraischen Bruchs in eine natürliche Potenz ergibt einen neuen Bruch, dessen Zähler den angegebenen Grad des Zählers des ursprünglichen Bruchs und dessen Nenner den Grad des Nenners enthält. IN in Briefform Diese Regel entspricht der Gleichheit, wobei a und b beliebige Polynome (insbesondere Monome oder Zahlen) sind und b ein Polynom ungleich Null ist und n ist.

Der Beweis der angegebenen Regel zur Potenzierung eines algebraischen Bruchs basiert auf der Definition einer Potenz mit einem natürlichen Exponenten und darauf, wie wir die Multiplikation algebraischer Brüche definiert haben: .

Beispiele, Lösungen

Die im vorherigen Absatz erhaltene Regel reduziert die Potenzierung eines algebraischen Bruchs auf die Potenzierung von Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs. Und da Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs Polynome (in einem bestimmten Fall Monome oder Zahlen) sind, dann ursprüngliche Aufgabe reduziert sich auf die Potenzierung von Polynomen. Nach Durchführung dieser Aktion wird ein neuer algebraischer Bruch erhalten, der identisch dem angegebenen Grad des ursprünglichen algebraischen Bruchs entspricht.

Schauen wir uns Lösungen für mehrere Beispiele an.

Beispiel.

Quadrieren Sie einen algebraischen Bruch.

Lösung.

Schreiben wir den Abschluss auf. Nun wenden wir uns der Regel zur Potenzierung eines algebraischen Bruchs zu, sie liefert uns die Gleichheit . Es bleibt noch, den resultierenden Bruch durch Potenzierung der Monome in die Form eines algebraischen Bruchs umzuwandeln. Also .

Normalerweise wird bei der Potenzierung eines algebraischen Bruchs die Lösung nicht erklärt, sondern die Lösung kurz aufgeschrieben. Unser Beispiel entspricht dem Eintrag .

Antwort:

Wenn der Zähler und/oder Nenner eines algebraischen Bruchs Polynome, insbesondere Binome, enthält, empfiehlt es sich, bei der Potenzierung die entsprechenden abgekürzten Multiplikationsformeln zu verwenden.

Beispiel.

Konstruieren Sie einen algebraischen Bruch bis zum zweiten Grad.

Lösung.

Gemäß der Regel zur Potenzierung eines Bruchs gilt: .

Um den resultierenden Ausdruck in den Zähler umzuwandeln, verwenden wir Quadratische Differenzformel, und im Nenner - die Formel für das Quadrat der Summe dreier Terme:

Antwort:

Zusammenfassend stellen wir fest, dass das Ergebnis auch ein irreduzibler Bruch ist, wenn wir einen irreduziblen algebraischen Bruch auf eine natürliche Potenz erhöhen. Wenn der ursprüngliche Bruch reduzierbar ist, empfiehlt es sich, vor der Potenzierung eine Reduktion des algebraischen Bruchs durchzuführen, um die Reduktion nicht nach der Potenzierung durchzuführen.

Referenzen.

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