Lektion „Kugel. Tangentialebene zu einer Kugel

Kugelsymmetrie

Jede diametrale Ebene einer Kugel ist ihre Symmetrieebene. Der Mittelpunkt der Kugel ist ihr Symmetriezentrum.

Beweis: Sei die diametrale Ebene und X ein beliebiger Punkt der Kugel. Konstruieren wir einen Punkt X", der symmetrisch zum Punkt Aus Gleichheit rechtwinklige Dreiecke OAX und OAX“ folgt daraus, dass OX“ = OX.

Da OX?R, gehört OX"?R, also der zum Punkt X symmetrische Punkt, zur Kugel. Die erste Aussage des Satzes ist bewiesen.

Sei nun X"" ein Punkt, der symmetrisch zum Punkt X relativ zum Mittelpunkt der Kugel ist. Dann ist OX"" = OX?R, d.h. Punkt X"" gehört zur Kugel. Der Satz ist vollständig bewiesen.

Tangentialebene zur Kugel

Die Ebene, die durch den Punkt A der Kugeloberfläche senkrecht zum zum Punkt A gezogenen Radius verläuft, wird Tangentenebene genannt. Punkt A wird Tangentenpunkt genannt.

Die Tangentenebene mit der Kugel hat nur eine gemeinsamer Punkt- Ansprechpartner.

Beweis: Sei b die Tangentenebene an die Kugel und A der Tangentialpunkt. Nehmen wir einen beliebigen Punkt X der Ebene b, der sich von A unterscheidet. Da OA eine Senkrechte und OX geneigt ist, gilt OX > OA = R. Folglich gehört Punkt X nicht zur Kugel. Der Satz ist bewiesen.

Eine gerade Linie in der Tangentenebene einer Kugel, die durch den Kontaktpunkt verläuft, wird als Tangente an die Kugel an diesem Punkt bezeichnet. Da die Tangentialebene nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat – den Berührungspunkt.

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TEXTTRANSKRIPT DER LEKTION:

Wir setzen unsere Bekanntschaft mit der Sphäre und ihren Elementen fort.

In der letzten Lektion haben Sie die Fälle der relativen Position einer Ebene und einer Kugel untersucht.

Es ist zu beachten, dass der Schnitt der Kugel durch diese Ebene ein Kreis ist, wenn der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene kleiner als der Radius der Kugel ist.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene größer ist als der Radius der Kugel, dann haben Ebene und Kugel keine gemeinsamen Punkte.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene gleich dem Radius der Kugel ist, dann haben Ebene und Kugel einen einzigen gemeinsamen Punkt.

Betrachten wir im Detail den Fall, dass die Ebene und die Kugel einen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

Eine Tangentialebene ist eine Ebene, die nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat; dieser gemeinsame Punkt wird Tangentialpunkt genannt.

Betrachten Sie die Tangentenebene α an die Kugel mit dem Mittelpunkt im Punkt O.

Beweisen wir, dass der Radius der Kugel senkrecht zur Tangentenebene α steht.

1. Führen wir den Widerspruchsbeweis durch, d. h. wir gehen davon aus, dass der Radius OA nicht senkrecht zur Tangentenebene α steht.

2. Folglich ist OA zur Ebene α geneigt, was bedeutet, dass der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene α kleiner ist als der Radius von OA.

3. Somit haben wir erhalten, dass sich die Kugel und die Ebene α entlang eines Kreises schneiden, was im Widerspruch zu der Bedingung steht, dass die Ebene α und die Kugel einen gemeinsamen Punkt haben.

Daher steht der Radius OA senkrecht zur Ebene α.

Wir haben also einen Satz über die Eigenschaft einer Tangentenebene an eine Kugel bewiesen: Der Radius einer Kugel steht senkrecht zur Tangentialebene, wenn sie zum Kontaktpunkt zwischen der Ebene und der Kugel gezogen wird.

Diese Eigenschaft ähnelt der Eigenschaft einer Tangente an einen Kreis.

Beweisen wir den umgekehrten Satz.

1. Zeichnen wir den Radius der Kugel senkrecht zu der Ebene, die durch ihr Ende verläuft.

2. Daher ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene gleich dem Radius der Kugel, was bedeutet, dass die Ebene und die Kugel nur einen gemeinsamen Punkt haben, diese Ebene also tangential zur Kugel ist.

Damit haben wir bewiesen, dass, wenn der Radius einer Kugel senkrecht zu der durch ihr Ende verlaufenden Ebene steht, diese Ebene die Kugel tangiert.

Lassen Sie uns das erworbene Wissen anwenden, um Probleme zu lösen.

Der Radius der Kugel beträgt 112 cm. Ein Punkt, der auf der Tangente zur Kugel liegt, ist 15 cm vom Kontaktpunkt entfernt. Bestimmen Sie den Abstand von diesem Punkt zum nächstgelegenen Punkt der Kugel.

1) Beweisen wir, dass Punkt A, der zum Segment OP gehört, Punkt P am nächsten liegt.

Wählen wir einen beliebigen Punkt N auf der Kugel.

Zeichnen wir die Segmente NO und NP.

Aus der Dreiecksungleichung ONP folgt:

OA+AP=OP also

ON+NP OA+AP, wobei ON und OA Radien sind.

Daher R+ NP R+AP oder NP AP.

AP ist also NP, und da Punkt N willkürlich gewählt wird, liegt Punkt A, der zum Segment OP gehört, dem Punkt P am nächsten.

2. Ermitteln wir die Länge des erforderlichen Segments AR als Differenz zwischen den Segmenten OP und OA, wobei OA der Radius der Kugel R ist.

Nach dem bekannten Satz steht der Radius einer Kugel senkrecht zur Tangentialebene. Wenn man sie zum Kontaktpunkt zwischen der Ebene und der Kugel zieht, ergibt sich, dass das OCR-Dreieck rechteckig ist.

Das Segment OP ist die Hypotenuse dieses Dreiecks; wir finden es mit dem Satz des Pythagoras:

ODER=√OK2+KR2=√1122+152=√12544+225=√12769=113 cm

Also AR=OP-OA=113-112=1 cm.

Somit beträgt der Abstand von einem Punkt, der auf der Tangentialebene zur Kugel liegt, zum nächstgelegenen Punkt auf der Kugel 1 cm.

„„Kugel und Ball“ 11. Klasse“ – Koordinaten des Zentrums. Kugel. Oberfläche einer Kugel. Historische Informationen zur Kugel und zum Ball. Gleichung einer Kugel. Ball. Minute des Sportunterrichts. Definition von Kugel. Kugel und Ebene. Die relative Position der Kugel und der Ebene. Kreis und Kreis. Wie zeichnet man eine Kugel? Abschnittsradius. Definition von Kugel, Kugel. Fläche einer Kugel.

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„Kugel und Ball“ – Dieser Punkt wird als Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, und dieser Abstand wird als Radius der Kugel bezeichnet. Ein von einer Kugel begrenzter Körper wird Kugel genannt. Schnitt einer Kugel durch eine Ebene. Die Kugel wird seit jeher häufig in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie eingesetzt. Tangentialebene zu einer Kugel. Der durch die Mitte der Kugel verlaufende Abschnitt ist ein großer Kreis. (diametraler Abschnitt).

„Ball“ – Wiederholung theoretische Bestimmungen. In unserer Arbeit: Sie können eine Kugel in jeden Kegel (geraden Kreis) einpassen. Organisation von Forschungsaktivitäten der Studierenden außerhalb der Unterrichtszeit. Kegel. Finden Sie das Volumen des Prismas. Forschungsaktivitäten außerhalb der Schulzeit. Zum Richtigen viereckige Pyramide Der Ball ist beschriftet.

Insgesamt gibt es 12 Vorträge

Lektion 10. Tangentenebene an eine Kugel.

Zweck der Lektion: Theoreme über die Tangentenebene an eine Kugel zu betrachten, zu lehren, wie man Probleme zu diesem Thema löst.

Unterrichtsfortschritt

Grundkenntnisse aktualisieren.

Wiederholung von Informationen aus der Planimetrie.

Definition von Tangente.

Eigenschaft des Radius, der zu einem Tangentenpunkt gezogen wird.

Wenn wir von einem Punkt, der außerhalb des Kreises liegt, zwei Tangenten an ihn ziehen, dann:

a) Die Längen der Segmente von einem bestimmten Punkt bis zu den Kontaktpunkten sind gleich:

b) die Winkel zwischen jeder Tangente und Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen, sind gleich.

Wenn wir von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt eine Tangente und eine Sekante an ihn ziehen, dann ist das Quadrat der Tangente gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil.

Wenn sich zwei Akkorde in einem Punkt schneiden, ist das Produkt der Segmente eines Akkords gleich dem Produkt der Segmente des anderen.

Die relative Position der Kugel und der Ebene.

Erläuterung neues Thema. (Folie 26 – 32)

Eine Kugel und eine Ebene können sich also entlang eines Kreises schneiden, nicht aber schneiden, und einen gemeinsamen Punkt haben.

Betrachten wir den letzten Fall genauer.

Eine Ebene, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einer Kugel hat, wird Tangentenebene an die Kugel genannt, und ihr gemeinsamer Punkt wird Tangentialpunkt genannt.

ZU
Eine Tangentenebene hat eine ähnliche Eigenschaft wie eine Tangente an einen Kreis.

Gegeben: Kugel mit Mittelpunkt UM und Radius R, α - Tangente an die Kugel in einem Punkt A Flugzeug.

Beweisen: O.A. A.

Beweis: Let O.A. nicht senkrecht zur Ebene A, Dann O.A. ist zur Ebene geneigt, also der Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene D R. Diese. Die Kugel muss die Ebene entlang des Kreises schneiden, was jedoch nicht die Bedingungen des Satzes erfüllt. Bedeutet, O.A. A.

Beweisen wir den umgekehrten Satz.

Gegeben: Kugel mit Mittelpunkt UM und Radius O.A., A, O.A. A.

Beweisen: A– Tangentenebene.

Beweis: Weil O.A. A, dann ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene gleich dem Radius. Das bedeutet, dass die Kugel und die Ebene einen gemeinsamen Punkt haben. Per Definition ist eine Ebene tangential zu einer Kugel.

Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten der Studierenden.

Wie weit kann er sehen? Erdenmensch auf der Ebene stehen? (Ohne Berücksichtigung der Lichtbrechung).

Lösung: CN 2 = H(H + 2 R) (siehe Absatz I der Lektion oben)

Lassen Sie die Körpergröße einer Person (bis zu den Augen) 1,6 m, R Land 6400 km.

Wir werden später auf dieses Problem zurückkommen, um herauszufinden, wie groß der Anzeigebereich ist.

Arbeiten Sie gemäß Tabelle 33.

AK OK(Warum?). Nach dem Satz des Pythagoras AK = = 15 . BIN.- nächste Entfernung vom Punkt A zur Sphäre (wenn Sie Zeit haben, können Sie die Schüler über die offensichtliche Frage nachdenken lassen – warum?)

BIN.= AO-OM=9.

Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgaben: Absatz 61, Nr. 591, 592.