Natürlicher Logarithmus, Funktion ln x. Logarithmus

Es werden die grundlegenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, des Graphen, des Definitionsbereichs, der Wertemenge, der Grundformeln, der Ableitung, des Integrals, der Potenzreihenentwicklung und der Darstellung der Funktion ln x durch komplexe Zahlen angegeben.

Definition

Natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = ln x, die Umkehrung des Exponentials, x = e y, und ist der Logarithmus zur Basis der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus wird in der Mathematik häufig verwendet, da seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Bezogen auf Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = ln x.

Diagramm des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = ln x) ergibt sich aus dem Exponentialgraphen Spiegelbild relativ zur Geraden y = x.

Der natürliche Logarithmus wird für positive Werte der Variablen x definiert.

Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton. 0 Bei x →

der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich (-∞).

Da x → + ∞, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus Unendlich (+ ∞). Für große x steigt der Logarithmus recht langsam. Jede Potenzfunktion x a mit einem positiven Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

ln 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann mithilfe der Basensubstitutionsformel als natürlicher Logarithmus ausgedrückt werden:

Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt „Logarithmus“ vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:

Formeln ableiten > > >

Integral
.
Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:

Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen
.
Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z: Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken z über Modul R φ :
.
und Argumentation
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
es wird die gleiche Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verwendete Literatur:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Natürlicher Logarithmus

Diagramm der natürlichen Logarithmusfunktion. Die Funktion nähert sich mit zunehmender Größe langsam der positiven Unendlichkeit X und nähert sich schnell der negativen Unendlichkeit, wenn X tendiert gegen 0 („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu jeder Potenzfunktion von X).

Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis , Wo e- eine irrationale Konstante, die ungefähr 2,718281 828 entspricht. Der natürliche Logarithmus wird normalerweise als ln( geschrieben X), Protokoll e (X) oder manchmal einfach log( X), wenn die Basis e impliziert.

Natürlicher Logarithmus einer Zahl X(geschrieben als ln(x)) ist der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss e zu bekommen X. Zum Beispiel, ln(7.389...) gleich 2, weil e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e (ln(e)) ist gleich 1, weil e 1 = e, und der natürliche Logarithmus ist 1 ( ln(1)) ist gleich 0, weil e 0 = 1.

Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl definiert werden A als Fläche unter der Kurve j = 1/X von 1 bis A. Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die den natürlichen Logarithmus verwenden, führte zu der Bezeichnung „natürlich“. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen erweitert werden, wie unten erläutert.

Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist er die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die zu den Identitäten führt:

Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:

Somit ist die logarithmische Funktion ein Isomorphismus der Gruppe positiver reeller Zahlen bezüglich der Multiplikation mit der Gruppe reeller Zahlen bezüglich der Addition, der als Funktion dargestellt werden kann:

Der Logarithmus kann für jede positive Basis außer 1 definiert werden, nicht nur e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert. Logarithmen eignen sich zum Lösen von Gleichungen, die Unbekannte als Exponenten enthalten. Beispielsweise werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu ermitteln oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu ermitteln. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik und der angewandten Wissenschaften eine wichtige Rolle und werden im Finanzwesen zur Lösung zahlreicher Probleme eingesetzt, unter anderem zur Ermittlung des Zinseszinses.

Geschichte

Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus erfolgte durch Nicholas Mercator in seinem Werk Logarithmotechnik, veröffentlicht im Jahr 1668, obwohl der Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen erstellte. Früher wurde er hyperbolischer Logarithmus genannt, weil er der Fläche unter der Hyperbel entspricht. Er wird manchmal als Napier-Logarithmus bezeichnet, obwohl die ursprüngliche Bedeutung dieses Begriffs etwas anders war.

Bezeichnungskonventionen

Der natürliche Logarithmus wird normalerweise mit „ln( X)“, Logarithmus zur Basis 10 – über „lg( X)“ und andere Gründe werden in der Regel explizit mit dem Symbol „log“ gekennzeichnet.

In vielen Werken zur diskreten Mathematik, Kybernetik und Informatik verwenden Autoren die Notation „log( X)“ für Logarithmen zur Basis 2, aber diese Konvention wird nicht allgemein akzeptiert und bedarf einer Klarstellung entweder in der Liste der verwendeten Notationen oder (in Ermangelung einer solchen Liste) durch eine Fußnote oder einen Kommentar bei der ersten Verwendung.

Klammern um das Argument von Logarithmen werden normalerweise weggelassen (sofern dies nicht zu einer falschen Lesart der Formel führt) und bei der Potenzierung eines Logarithmus wird der Exponent direkt dem Vorzeichen des Logarithmus zugewiesen: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloamerikanisches System

Mathematiker, Statistiker und einige Ingenieure verwenden üblicherweise den Begriff „natürlicher Logarithmus“ oder „log( X)“ oder „ln( X)“, und um den Logarithmus zur Basis 10 zu bezeichnen – „log 10 ( X)».

Manche Ingenieure, Biologen und andere Spezialisten schreiben immer „ln( X)“ (oder gelegentlich „log e ( X)“), wenn sie den natürlichen Logarithmus meinen, und die Notation „log( X)" sie meinen log 10 ( X).

Protokoll e ist ein „natürlicher“ Logarithmus, da er automatisch auftritt und in der Mathematik sehr häufig vorkommt. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem der Ableitung einer logarithmischen Funktion:

Wenn die Basis B gleicht e, dann ist die Ableitung einfach 1/ X, und wann X= 1 ist diese Ableitung gleich 1. Ein weiterer Grund, warum die Basis e Das Natürlichste am Logarithmus ist, dass er ganz einfach als einfaches Integral oder als Taylor-Reihe definiert werden kann, was bei anderen Logarithmen nicht der Fall ist.

Weitere Begründungen für Natürlichkeit beziehen sich nicht auf die Notation. Beispielsweise gibt es mehrere einfache Reihen mit natürlichen Logarithmen. Pietro Mengoli und Nicholas Mercator nannten sie Logarithmus naturalis mehrere Jahrzehnte, bis Newton und Leibniz die Differential- und Integralrechnung entwickelten.

Definition

Formal ln( A) kann als Fläche unter der Kurve des Diagramms 1/ definiert werden X von 1 bis A, also als Integral:

Es handelt sich tatsächlich um einen Logarithmus, da er die Grundeigenschaft des Logarithmus erfüllt:

Dies kann durch folgende Annahme nachgewiesen werden:

Numerischer Wert

Um den numerischen Wert des natürlichen Logarithmus einer Zahl zu berechnen, können Sie die Taylor-Reihenentwicklung in der Form verwenden:

Zu bekommen bessere Geschwindigkeit Konvergenz können wir die folgende Identität verwenden:

Für ln( X), Wo X> 1 als näherer Wert X auf 1, desto schneller ist die Konvergenzrate. Die mit dem Logarithmus verbundenen Identitäten können verwendet werden, um das Ziel zu erreichen:

Diese Methoden wurden bereits vor dem Aufkommen von Taschenrechnern verwendet, für die numerische Tabellen verwendet und ähnliche Manipulationen wie oben beschrieben durchgeführt wurden.

Hohe Genauigkeit

Den natürlichen Logarithmus berechnen mit eine große Anzahl Genauigkeitszahlen ist die Taylor-Reihe nicht effizient, da ihre Konvergenz langsam ist. Eine Alternative besteht darin, die Newton-Methode zur Invertierung in eine Exponentialfunktion zu verwenden, deren Reihe schneller konvergiert.

Eine Alternative für eine sehr hohe Berechnungsgenauigkeit ist die Formel:

Wo M bezeichnet den arithmetisch-geometrischen Mittelwert von 1 und 4/s, und

M so gewählt, dass P Genauigkeit erreicht wird. (In den meisten Fällen ist ein Wert von 8 für m ausreichend.) Wenn diese Methode verwendet wird, kann tatsächlich die Newtonsche Umkehrung des natürlichen Logarithmus angewendet werden, um die Exponentialfunktion effizient zu berechnen. (Die Konstanten ln 2 und pi können mithilfe einer der bekannten schnell konvergenten Reihen mit der gewünschten Genauigkeit vorberechnet werden.)

Rechenkomplexität

Die Rechenkomplexität natürlicher Logarithmen (unter Verwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels) beträgt O( M(N)ln N). Hier N ist die Anzahl der Genauigkeitsstellen, für die der natürliche Logarithmus ausgewertet werden muss, und M(N) ist die rechnerische Komplexität der Multiplikation von zwei N-stellige Zahlen.

Fortsetzungsbrüche

Obwohl es keine einfachen Kettenbrüche zur Darstellung eines Logarithmus gibt, können mehrere verallgemeinerte Kettenbrüche verwendet werden, darunter:

Komplexe Logarithmen

Die Exponentialfunktion kann zu einer Funktion erweitert werden, die eine komplexe Zahl der Form angibt e X für jede beliebige komplexe Zahl X, in diesem Fall eine unendliche Reihe mit komplexem X. Diese Exponentialfunktion kann invertiert werden, um einen komplexen Logarithmus zu bilden, der die meisten Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen aufweist. Es gibt jedoch zwei Schwierigkeiten: Es gibt keine X, wofür e X= 0, und es stellt sich heraus, dass e 2πi = 1 = e 0 . Da die Multiplikativitätseigenschaft dann für eine komplexe Exponentialfunktion gilt e Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken = e Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken+2nπi für alle Komplexen Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken und ganz N.

Der Logarithmus kann nicht über die gesamte komplexe Ebene definiert werden und ist dennoch mehrwertig – jeder komplexe Logarithmus kann durch Addition eines beliebigen ganzzahligen Vielfachen von 2 durch einen „äquivalenten“ Logarithmus ersetzt werden πi. Der komplexe Logarithmus kann nur auf einem Ausschnitt der komplexen Ebene einwertig sein. Zum Beispiel, ln ich = 1/2 πi oder 5/2 πi oder −3/2 πi usw. und obwohl ich 4 = 1,4 log ich kann als 2 definiert werden πi, oder 10 πi oder −6 πi, und so weiter.

Siehe auch

• John Napier – Erfinder der Logarithmen

Notizen

1. Mathematik für physikalische Chemie. - 3. – Academic Press, 2005. – S. 9. – ISBN 0-125-08347-5,Auszug aus Seite 9
2. J J O'Connor und E F Robertson Die Zahl e. Das MacTutor History of Mathematics-Archiv (September 2001). Archiviert
3. Cajori Florian Eine Geschichte der Mathematik, 5. Auflage. – AMS Bookstore, 1991. – S. 152. – ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Schätzen von Integralen mithilfe von Polynomen. Archiviert vom Original am 12. Februar 2012.

Dies kann beispielsweise ein Taschenrechner aus der Grundausstattung der OP-Programme sein Windows-Systeme. Der Link zum Starten ist ganz versteckt im Hauptmenü des Betriebssystems – öffnen Sie es, indem Sie auf die Schaltfläche „Start“ klicken, öffnen Sie dann den Abschnitt „Programme“, gehen Sie zum Unterabschnitt „Standard“ und dann zu „Dienstprogramme“. Abschnitt und klicken Sie abschließend auf den Punkt „Rechner“ Anstatt die Maus zu verwenden und durch Menüs zu navigieren, können Sie die Tastatur und den Programmstartdialog verwenden – drücken Sie die Tastenkombination WIN + R, geben Sie calc ein (das ist der Name der ausführbaren Datei des Rechners) und drücken Sie die Eingabetaste.

Schalten Sie die Rechneroberfläche in den erweiterten Modus, sodass Sie Folgendes tun können: Standardmäßig wird es in der „normalen“ Ansicht geöffnet, Sie benötigen jedoch „Engineering“ oder „ “ (abhängig von der Version des Betriebssystems, das Sie verwenden). Erweitern Sie den Abschnitt „Ansicht“ im Menü und wählen Sie die entsprechende Zeile aus.

Geben Sie das Argument ein, dessen natürlicher Wert Sie bewerten möchten. Dies kann entweder über die Tastatur oder durch Klicken auf die entsprechenden Schaltflächen in der Rechneroberfläche auf dem Bildschirm erfolgen.

Klicken Sie auf die Schaltfläche „ln“ – das Programm berechnet den Logarithmus zur Basis e und zeigt das Ergebnis an.

Verwenden Sie einen der -Rechner als Alternative zur Berechnung des Werts des natürlichen Logarithmus. Zum Beispiel die, die sich unter befindet http://calc.org.ua. Die Benutzeroberfläche ist äußerst einfach – es gibt ein einziges Eingabefeld, in das Sie den Wert der Zahl eingeben müssen, deren Logarithmus Sie berechnen möchten. Suchen Sie unter den Schaltflächen die Schaltfläche mit der Aufschrift „ln“ und klicken Sie darauf. Das Skript dieses Rechners erfordert nicht das Senden von Daten an den Server und eine Antwort, sodass Sie das Berechnungsergebnis fast sofort erhalten. Die einzige Besonderheit, die berücksichtigt werden sollte, ist, dass das Trennzeichen zwischen dem gebrochenen und dem ganzzahligen Teil der eingegebenen Zahl ein Punkt und nicht sein muss.

Der Begriff „ Logarithmus„ kommt von zwei griechischen Wörtern, von denen eines „Zahl“ und das andere „Verhältnis“ bedeutet. Es bezeichnet die mathematische Operation zur Berechnung einer variablen Größe (Exponent), auf die ein konstanter Wert (Basis) erhöht werden muss, um die unter dem Vorzeichen angegebene Zahl zu erhalten Logarithmus A. Wenn die Basis einer mathematischen Konstante entspricht, die als Zahl „e“ bezeichnet wird, dann Logarithmus„natürlich“ genannt.

Sie werden brauchen

• Internetzugang, Microsoft Office Excel oder Taschenrechner.

Anweisungen

Nutzen Sie die vielen im Internet verfügbaren Rechner – dies ist möglicherweise eine einfache Möglichkeit, die natürliche a zu berechnen. Sie müssen nicht nach dem entsprechenden Dienst suchen, da viele Suchmaschinen und selbst haben eingebaute Taschenrechner, die sich gut zum Arbeiten eignen Logarithmus ami. Besuchen Sie beispielsweise die Hauptseite der größten Online-Suchmaschine – Google. Hier sind keine Schaltflächen zur Eingabe von Werten oder zur Auswahl von Funktionen erforderlich, sondern geben Sie einfach die gewünschte in das Anforderungseingabefeld ein mathematische Operation. Sagen wir, um zu berechnen Logarithmus und die Zahl 457 in der Basis „e“, geben Sie ln 457 ein – dies reicht aus, damit Google mit einer Genauigkeit von acht Dezimalstellen (6.12468339) anzeigt, auch ohne die Schaltfläche zum Senden einer Anfrage an den Server zu drücken.

Verwenden Sie die entsprechende integrierte Funktion, wenn Sie den Wert eines natürlichen Werts berechnen müssen Logarithmus und tritt auf, wenn mit Daten im beliebten Tabellenkalkulationseditor Microsoft Office Excel gearbeitet wird. Diese Funktion wird hier in der üblichen Notation aufgerufen Logarithmus und in Großbuchstaben - LN. Wählen Sie die Zelle aus, in der das Berechnungsergebnis angezeigt werden soll, und geben Sie ein Gleichheitszeichen ein. So sollen in diesem Tabellenkalkulationseditor Datensätze in den Zellen beginnen, die sich im Unterabschnitt „Standard“ des Abschnitts „Alle Programme“ des Hauptmenüs befinden. Schalten Sie den Rechner in einen funktionaleren Modus, indem Sie die Tastenkombination Alt + 2 drücken. Geben Sie dann den Wert ein, natürlich Logarithmus die Sie berechnen möchten, und klicken Sie in der Programmoberfläche auf die mit den Symbolen ln gekennzeichnete Schaltfläche. Die Anwendung führt die Berechnung durch und zeigt das Ergebnis an.

Video zum Thema

Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl undefiniert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, die ungleich 1 ist. Wenn wir beispielsweise -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich ist bis 2.

Grundlegende logarithmische Identität

Es ist wichtig, dass der Definitionsbereich der rechten und linken Seite dieser Formel unterschiedlich ist. Linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen „Identität“ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung der OD führen.

Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus

Tatsächlich erhalten wir dieselbe Zahl, wenn wir die Zahl a auf die erste Potenz erhöhen, und wenn wir sie auf die Nullpotenz erhöhen, erhalten wir eins.

Logarithmus des Produkts und Logarithmus des Quotienten

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ich möchte Schulkinder davor warnen, diese Formeln unbedacht beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen zu verwenden. Wenn man sie „von links nach rechts“ verwendet, verengt sich die ODZ, und wenn man von der Summe oder Differenz der Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten übergeht, erweitert sich die ODZ.

Tatsächlich wird der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f(x) und g(x) beide kleiner als Null sind.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des akzeptablen Wertebereichs, was grundsätzlich inakzeptabel ist, da es zum Lösungsverlust führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).

Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden

Und noch einmal möchte ich zur Genauigkeit aufrufen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Indem wir den Grad aus dem Logarithmus herausnehmen, grenzen wir die ODZ erneut ein. Das umgekehrte Vorgehen führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. Alle diese Bemerkungen gelten nicht nur für Potenz 2, sondern auch für jede gerade Potenz.

Formel für den Umzug in eine neue Stiftung

Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Transformation nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis völlig sicher.

Wenn wir die Zahl b als neue Basis c wählen, erhalten wir eine wichtige Sonderfall Formeln (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1. Berechnen Sie: log2 + log50.
Lösung. log2 + log50 = log100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des Dezimallogarithmus verwendet.

Beispiel 2. Berechnen Sie: lg125/lg5.
Lösung. log125/log5 = log 5 125 = 3. Wir haben die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis (8) verwendet.

Formeltabelle für Logarithmen

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen durch einfache Addition zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf die es notwendig ist, die Basis „a“ anzuheben, um letztendlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
2. Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
3. Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert genau zu bestimmen unbekannter Grad Sie müssen lernen, mit der Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht so aus:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von Komplexen haben mathematische Themen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Es ergibt sich folgender Ausdruck: log 2 (x-1) > 3 – es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem logarithmischen Vorzeichen steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (Beispiel – Logarithmus 2 x = √9) eine oder mehrere spezifische Antworten implizieren Zahlenwerte, während bei der Lösung der Ungleichung sowohl der Bereich zulässiger Werte als auch die Haltepunkte dieser Funktion bestimmt werden. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

1. Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die obligatorische Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmeprüfungen in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, er kann jedoch auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden bestimmte Regeln. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder vereinfacht werden kann allgemeines Erscheinungsbild. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist großer Wert Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig vor in Aufnahmeprüfungen, insbesondere viele logarithmische Probleme im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung) enthalten, sondern auch in Teil C (die komplexesten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen Optionen für das einheitliche Staatsexamen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

• Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
• Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.