Definition des linearen Diederwinkels. Diederwinkel und Formel zu ihrer Berechnung

Diederwinkel. Linearer Diederwinkel. Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die nicht zur selben Ebene gehören und eine gemeinsame Grenze haben – die Gerade a. Die einen Diederwinkel bildenden Halbebenen werden als Flächen bezeichnet, und die gemeinsame Grenze dieser Halbebenen wird als Kante des Diederwinkels bezeichnet. Der lineare Winkel eines Diederwinkels ist ein Winkel, dessen Seiten die Strahlen sind, entlang derer die Flächen des Diederwinkels von einer Ebene senkrecht zur Kante des Diederwinkels geschnitten werden. Jeder Diederwinkel hat eine beliebige Anzahl linearer Winkel: Durch jeden Punkt einer Kante kann man eine Ebene senkrecht zu dieser Kante zeichnen; Die Strahlen, entlang derer diese Ebene die Flächen eines Diederwinkels schneidet, bilden lineare Winkel.

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich. Beweisen wir, dass, wenn die Diederwinkel, die von der Basisebene der Pyramide KABC und den Ebenen ihrer Seitenflächen gebildet werden, gleich sind, die Basis der vom Scheitelpunkt K gezogenen Senkrechten der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises im Dreieck ABC ist.

Nachweisen. Konstruieren wir zunächst lineare Winkel mit gleichen Diederwinkeln. Per Definition muss die Ebene eines linearen Winkels senkrecht zur Kante des Diederwinkels stehen. Daher muss die Kante eines Diederwinkels senkrecht zu den Seiten des linearen Winkels stehen. Wenn KO senkrecht zur Basisebene steht, können wir OR senkrecht AC, OR senkrecht SV, OQ senkrecht AB zeichnen und dann die Punkte P, Q, R MIT Punkt K verbinden. Somit erstellen wir eine Projektion der geneigten RK, QK , RK, sodass die Kanten AC, NE, AB senkrecht zu diesen Projektionen stehen. Folglich stehen diese Kanten senkrecht zu den geneigten Kanten selbst. Und daher stehen die Ebenen der Dreiecke ROK, QOK, ROK senkrecht zu den entsprechenden Kanten des Diederwinkels und bilden die gleichen linearen Winkel, die in der Bedingung erwähnt werden. Rechtwinklige Dreiecke ROK, QOK, ROK sind kongruent (da sie einen gemeinsamen Schenkel OK haben und die diesem Schenkel gegenüberliegenden Winkel gleich sind). Daher gilt OR = OR = OQ. Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OP zeichnen, dann stehen die Seiten des Dreiecks ABC senkrecht zu den Radien OP, OR und OQ und sind daher tangential zu diesem Kreis.

Rechtwinkligkeit von Ebenen. Die Alpha- und Beta-Ebenen heißen senkrecht, wenn der lineare Winkel eines der an ihrem Schnittpunkt gebildeten Diederwinkel gleich 90 ist. Zeichen der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen Wenn eine der beiden Ebenen durch eine Linie verläuft, die senkrecht zur anderen Ebene steht, dann stehen diese Ebenen senkrecht.

Die Abbildung zeigt ein rechteckiges Parallelepiped. Seine Grundflächen sind die Rechtecke ABCD und A1B1C1D1. Und die Seitenrippen AA1 BB1, CC1, DD1 stehen senkrecht zu den Basen. Daraus folgt, dass AA1 senkrecht zu AB steht, d. h. die Seitenfläche ist ein Rechteck. Somit können wir die Eigenschaften eines rechteckigen Parallelepipeds begründen: In einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke. Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel.

Satz Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds gleich der Summe Quadrate seiner drei Dimensionen. Wenden wir uns noch einmal der Abbildung zu und beweisen, dass AC12 = AB2 + AD2 + AA12. Da die Kante CC1 senkrecht zur Basis ABCD steht, ist der Winkel ACC1 rechtwinklig. Aus dem rechtwinkligen Dreieck ACC1 erhalten wir unter Verwendung des Satzes des Pythagoras AC12 = AC2 + CC12. Aber AC ist die Diagonale des Rechtecks ​​ABCD, also AC2 = AB2 + AD2. Außerdem ist CC1 = AA1. Daher AC12= AB2+AD2+AA12 Der Satz ist bewiesen.

Ziel der Lektion: Einführung des Konzepts des Diederwinkels und seines linearen Winkels.

Aufgaben:

Pädagogisch: Betrachten Sie Aufgaben zur Anwendung dieser Konzepte und entwickeln Sie die konstruktive Fähigkeit, den Winkel zwischen Ebenen zu finden.

Entwicklung: Entwicklung kreatives Denken Studierende, persönliche Selbstentwicklung der Studierenden, Sprachentwicklung der Studierenden;

Pädagogisch: Kulturerziehung geistige Arbeit, kommunikative Kultur, reflexive Kultur.

Unterrichtsart: Lektion im Erlernen neuen Wissens

Lehrmethoden: erklärend und anschaulich

Ausrüstung: Computer, interaktives Whiteboard.

Literatur:

Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev usw.] – 18. Auflage. – M.: Bildung, 2009. – 255 S.

Unterrichtsplan:

Organisatorischer Moment (2 Min.)

Wissen aktualisieren (5 Min.)

Neues Material lernen (12 Min.)

Vertiefung des Gelernten (21 Min.)

Hausaufgaben (2 Min.)

Zusammenfassung (3 Min.)

Unterrichtsfortschritt:

1. Organisatorischer Moment.

Beinhaltet die Begrüßung der Klasse durch den Lehrer, die Vorbereitung des Raums für den Unterricht und die Überprüfung der Abwesenheiten.

2. Aktualisierung des Grundwissens.

Lehrer: In der letzten Lektion hast du geschrieben selbständiges Arbeiten. Im Großen und Ganzen war die Arbeit gut geschrieben. Jetzt wiederholen wir es ein wenig. Wie nennt man einen Winkel in einer Ebene?

Student: Ein Winkel auf einer Ebene ist eine Figur, die aus zwei Strahlen besteht, die von einem Punkt ausgehen.

Lehrer: Wie nennt man den Winkel zwischen Linien im Raum?

Student: Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien im Raum ist der kleinste der Winkel, die die Strahlen dieser Linien mit dem Scheitelpunkt im Schnittpunkt bilden.

Student: Der Winkel zwischen sich schneidenden Linien ist der Winkel zwischen sich schneidenden Linien, jeweils parallel zu den Daten.

Lehrer: Wie heißt der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?

Student: Der Winkel zwischen einer Geraden und einer EbeneJeder Winkel zwischen einer Geraden und ihrer Projektion auf diese Ebene heißt.

3. Neues Material lernen.

Lehrer: In der Stereometrie wird neben solchen Winkeln auch eine andere Art von Winkel betrachtet – Diederwinkel. Sie haben wahrscheinlich bereits erraten, was das Thema der heutigen Lektion ist. Öffnen Sie also Ihre Notizbücher und notieren Sie das heutige Datum und das Thema der Lektion.

Schreiben Sie an die Tafel und in Notizbücher:

10.12.14.

Diederwinkel.

Lehrer : Um das Konzept eines Diederwinkels einzuführen, sollte man sich daran erinnern, dass jede gerade Linie, die in einer bestimmten Ebene gezeichnet wird, diese Ebene in zwei Halbebenen teilt(Abb. 1, a)

Lehrer : Stellen wir uns vor, wir haben die Ebene entlang einer Geraden gebogen, sodass zwei Halbebenen mit Rand nicht mehr in derselben Ebene liegen (Abb. 1, b). Die resultierende Zahl ist der Diederwinkel. Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus einer Geraden und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze besteht, die nicht zur selben Ebene gehören. Die einen Diederwinkel bildenden Halbebenen werden als Flächen bezeichnet. Ein Diederwinkel hat zwei Seiten, daher der Name Diederwinkel. Die Gerade – die gemeinsame Grenze der Halbebenen – wird Kante des Diederwinkels genannt. Schreiben Sie die Definition in Ihr Notizbuch.

Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus einer Geraden und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze besteht, die nicht zur selben Ebene gehören.

Lehrer : Im Alltag begegnen uns oft Gegenstände, die die Form eines Diederwinkels haben. Nennen Sie Beispiele.

Student : Halb geöffneter Ordner.

Student : Die Wand des Raumes ist mit dem Boden verbunden.

Student : Satteldächer Gebäude.

Lehrer : Rechts. Und solche Beispiele gibt es in Hülle und Fülle.

Lehrer : Wie Sie wissen, werden Winkel in einer Ebene in Grad gemessen. Sie haben wahrscheinlich eine Frage: Wie werden Diederwinkel gemessen? Dies geschieht wie folgt.Markieren wir einen Punkt am Rand des Diederwinkels und zeichnen wir von diesem Punkt aus auf jeder Fläche einen Strahl senkrecht zum Rand. Der von diesen Strahlen gebildete Winkel wird linearer Winkel des Diederwinkels genannt. Machen Sie eine Zeichnung in Ihren Notizbüchern.

Schreiben Sie an die Tafel und in Notizbücher.

UM ∈ a, JSC ⊥ a, VO ⊥ A, SABD– Diederwinkel,∠ AOB– linearer Winkel des Diederwinkels.

Lehrer : Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind gleich. Machen Sie sich eine weitere Zeichnung wie diese.

Lehrer : Lass es uns beweisen. Betrachten Sie zwei lineare Winkel AOB undPQR. Strahlen OA undQPliegen auf derselben Seite und sind senkrechtOQ, was bedeutet, dass sie gemeinsam Regie führen. Ebenso die Strahlen OB undQRCo-Regie. Bedeutet,∠ AOB= ∠ PQR(wie Winkel mit ausgerichteten Seiten).

Lehrer : Nun, die Antwort auf unsere Frage ist, wie der Diederwinkel gemessen wird.Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß seines linearen Winkels. Zeichnen Sie die Bilder eines spitzen, rechten und stumpfen Diederwinkels aus dem Lehrbuch auf Seite 48 neu.

4. Konsolidierung des untersuchten Materials.

Lehrer : Zeichnungen für die Aufgaben anfertigen.

№ 1 . Gegeben: ΔABC, AC = BC, AB liegt in der Ebeneα, CD ⊥ α, C∉ α. Konstruieren Sie den linearen Winkel des DiederwinkelsCABD.

Student : Lösung:CM. ⊥ AB, Gleichstrom ⊥ AB.∠ CMD - Gesucht.

№ 2. Gegeben: ΔABC, ∠ C= 90°, BC liegt auf der Ebeneα, JSC⊥ α, A∈ α.

Konstruieren Sie den linearen Winkel des DiederwinkelsABCO.

Student : Lösung:AB ⊥ B.C., JSC⊥ BC bedeutet OS⊥ Sonne.∠ ACO - Gesucht.

№ 3 . Gegeben: ΔABC, ∠ C = 90°, AB liegt in der Ebeneα, CD⊥ α, C∉ α. Bauenlinearer DiederwinkelDABC.

Student : Lösung: CK ⊥ AB, Gleichstrom ⊥ AB,DK ⊥ AB bedeutet∠ DKC - Gesucht.

№ 4 . Gegeben:DABC- Tetraeder,TUN⊥ ABC.Konstruieren Sie den linearen Winkel des DiederwinkelsABCD.

Student : Lösung:DM ⊥ Sonne,TUN ⊥ VS bedeutet OM⊥ Sonne;∠ OMD - Gesucht.

5. Zusammenfassung.

Lehrer: Was hast du heute im Unterricht Neues gelernt?

Studenten : Was heißt Diederwinkel, linearer Winkel, wie wird der Diederwinkel gemessen?

Lehrer : Was haben sie wiederholt?

Studenten : Was man einen Winkel in einer Ebene nennt; Winkel zwischen Geraden.

6. Hausaufgaben.

Schreiben Sie an die Tafel und in Ihr Tagebuch: Absatz 22, Nr. 167, Nr. 170.

Konzept des Diederwinkels

Um das Konzept eines Diederwinkels einzuführen, erinnern wir uns zunächst an eines der Axiome der Stereometrie.

Jede Ebene kann in zwei Halbebenen der in dieser Ebene liegenden Geraden $a$ geteilt werden. In diesem Fall liegen Punkte, die in derselben Halbebene liegen, auf einer Seite der Linie $a$, und Punkte, die in verschiedenen Halbebenen liegen, liegen auf derselben Seite. verschiedene Seiten von der Geraden $a$ (Abb. 1).

Abbildung 1.

Das Prinzip der Konstruktion eines Diederwinkels basiert auf diesem Axiom.

Definition 1

Die Figur heißt Diederwinkel, wenn sie aus einer Geraden und zwei Halbebenen dieser Geraden besteht, die nicht zur gleichen Ebene gehören.

In diesem Fall werden die Halbebenen als Diederwinkel bezeichnet Kanten, und die gerade Linie, die die Halbebenen trennt, ist Diederkante(Abb. 1).

Abbildung 2. Diederwinkel

Gradmaß des Diederwinkels

Definition 2

Wählen wir einen beliebigen Punkt $A$ auf der Kante. Der Winkel zwischen zwei Geraden, die in verschiedenen Halbebenen liegen, senkrecht zu einer Kante stehen und sich im Punkt $A$ schneiden, wird genannt linearer Diederwinkel(Abb. 3).

Abbildung 3.

Offensichtlich hat jeder Diederwinkel unendlich viele lineare Winkel.

Satz 1

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Nachweisen.

Betrachten wir zwei lineare Winkel $AOB$ und $A_1(OB)_1$ (Abb. 4).

Abbildung 4.

Da die Strahlen $OA$ und $(OA)_1$ in derselben Halbebene $\alpha $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Da die Strahlen $OB$ und $(OB)_1$ in derselben Halbebene $\beta $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Somit

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Aufgrund der Willkür der Wahl der linearen Winkel. Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Der Satz ist bewiesen.

Definition 3

Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß des linearen Winkels eines Diederwinkels.

Beispielprobleme

Beispiel 1

Gegeben seien zwei nicht senkrechte Ebenen $\alpha $ und $\beta $, die sich entlang der Geraden $m$ schneiden. Der Punkt $A$ gehört zur Ebene $\beta$. $AB$ steht senkrecht zur Linie $m$. $AC$ ist senkrecht zur Ebene $\alpha $ (Punkt $C$ gehört zu $\alpha $). Beweisen Sie, dass der Winkel $ABC$ ein linearer Winkel eines Diederwinkels ist.

Nachweisen.

Zeichnen wir ein Bild entsprechend den Bedingungen des Problems (Abb. 5).

Abbildung 5.

Um dies zu beweisen, erinnern Sie sich an den folgenden Satz

Satz 2: Eine gerade Linie, die durch die Basis einer geneigten Linie verläuft, steht senkrecht dazu, senkrecht zu ihrer Projektion.

Da $AC$ senkrecht zur Ebene $\alpha $ steht, ist Punkt $C$ die Projektion von Punkt $A$ auf die Ebene $\alpha $. Daher ist $BC$ eine Projektion des schrägen $AB$. Nach Satz 2 steht $BC$ senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Dann erfüllt der Winkel $ABC$ alle Anforderungen zur Definition eines linearen Diederwinkels.

Beispiel 2

Der Diederwinkel beträgt $30^\circ$. Auf einer der Flächen liegt ein Punkt $A$, der sich in einem Abstand von $4$ cm von der anderen Fläche befindet. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt $A$ zur Kante des Diederwinkels.

Lösung.

Schauen wir uns Abbildung 5 an.

Gemäß der Bedingung gilt $AC=4\cm$.

Durch die Definition des Gradmaßes eines Diederwinkels gilt, dass der Winkel $ABC$ gleich $30^\circ$ ist.

Dreieck $ABC$ ist rechtwinkliges Dreieck. Per Definition der Sinus eines spitzen Winkels

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Diese Lektion richtet sich an Selbststudium Thema „Diederwinkel“. In dieser Lektion lernen die Schüler eine der wichtigsten geometrischen Formen kennen, den Diederwinkel. Außerdem lernen wir in der Lektion, wie man den linearen Winkel des betrachteten Objekts bestimmt geometrische Figur und wie groß ist der Diederwinkel an der Basis der Figur?

Lassen Sie uns wiederholen, was ein Winkel in einer Ebene ist und wie er gemessen wird.

Reis. 1. Flugzeug

Betrachten wir die Ebene α (Abb. 1). Vom Punkt her UM zwei Strahlen gehen aus - OB Und OA.

Definition. Eine Figur, die aus zwei von einem Punkt ausgehenden Strahlen besteht, wird Winkel genannt.

Der Winkel wird in Grad und Bogenmaß gemessen.

Erinnern wir uns daran, was ein Bogenmaß ist.

Reis. 2. Bogenmaß

Wenn wir einen Mittelpunktswinkel haben, dessen Bogenlänge gleich dem Radius ist, dann wird ein solcher Mittelpunktswinkel als Winkel von 1 Bogenmaß bezeichnet. ,∠ AOB= 1 rad (Abb. 2).

Beziehung zwischen Bogenmaß und Grad.

froh.

Wir haben es verstanden, ich bin froh. (). Dann,

Definition. Diederwinkel eine durch eine gerade Linie gebildete Figur heißt A und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze A, nicht zur selben Ebene gehörend.

Reis. 3. Halbebenen

Betrachten wir zwei Halbebenen α und β (Abb. 3). Ihre gemeinsame Grenze ist A. Diese Zahl wird als Diederwinkel bezeichnet.

Terminologie

Die Halbebenen α und β sind die Flächen eines Diederwinkels.

Gerade A ist eine Kante eines Diederwinkels.

Auf einer gemeinsamen Kante A Diederwinkel, wählen Sie einen beliebigen Punkt UM(Abb. 4). In der Halbebene α vom Punkt UM die Senkrechte wiederherstellen OA zu einer geraden Linie A. Vom selben Punkt aus UM in der zweiten Halbebene β konstruieren wir eine Senkrechte OB bis zum Rand A. Habe einen Winkel AOB, der als linearer Winkel des Diederwinkels bezeichnet wird.

Reis. 4. Diederwinkelmessung

Beweisen wir die Gleichheit aller linearen Winkel für einen gegebenen Diederwinkel.

Nehmen wir einen Diederwinkel an (Abb. 5). Wählen wir einen Punkt UM und Punkt O 1 auf einer geraden Linie A. Konstruieren wir einen linearen Winkel, der dem Punkt entspricht UM, d.h. wir zeichnen zwei Senkrechte OA Und OB in den Ebenen α bzw. β zur Kante A. Wir verstehen den Winkel AOB- linearer Winkel des Diederwinkels.

Reis. 5. Veranschaulichung des Beweises

Vom Punkt her O 1 Zeichnen wir zwei Senkrechte OA 1 Und OB 1 bis zum Rand A in den Ebenen α bzw. β und wir erhalten den zweiten linearen Winkel A 1 O 1 B 1.

Strahlen O 1 A 1 Und OA gleichgerichtet, da sie in derselben Halbebene liegen und parallel zueinander sind wie zwei Senkrechte auf derselben Linie A.

Ebenso Strahlen Ungefähr 1 in 1 Und OB sind co-regie, das heißt ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 als Winkel mit gleichgerichteten Seiten, was bewiesen werden musste.

Die Ebene des linearen Winkels steht senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Beweisen: A ⊥ AOB.

Reis. 6. Beweisdarstellung

Nachweisen:

OA ⊥ A durch Konstruktion, OB ⊥ A konstruktionsbedingt (Abb. 6).

Wir finden, dass die Linie A senkrecht zu zwei Schnittlinien OA Und OB aus dem Flugzeug AOB, was bedeutet, dass es gerade ist A senkrecht zur Ebene OAV, was bewiesen werden musste.

Ein Diederwinkel wird durch seinen linearen Winkel gemessen. Das bedeutet, dass ein linearer Winkel genauso viele Grad Bogenmaß enthält wie sein Diederwinkel ebenso viele Grad Bogenmaß enthält. Dementsprechend werden folgende Arten von Diederwinkeln unterschieden.

Akut (Abb. 6)

Ein Diederwinkel ist spitz, wenn sein linearer Winkel spitz ist, d. h. .

Gerade (Abb. 7)

Ein Diederwinkel ist rechts, wenn sein linearer Winkel 90° beträgt – stumpf (Abb. 8)

Ein Diederwinkel ist stumpf, wenn sein linearer Winkel stumpf ist, d. h. .

Reis. 7. Rechter Winkel

Reis. 8. Stumpfer Winkel

Beispiele für die Konstruktion linearer Winkel in realen Figuren

ABCD- Tetraeder.

1. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AB.

Reis. 9. Illustration des Problems

Konstruktion:

Wir sprechen von einem Diederwinkel, der durch eine Kante gebildet wird AB und Kanten ABD Und ABC(Abb. 9).

Machen wir eine direkte DN senkrecht zur Ebene ABC, N- die Basis der Senkrechten. Lassen Sie uns eine Schräge zeichnen DM senkrecht zu einer Geraden AB,M- geneigter Sockel. Aus dem Satz der drei Senkrechten schließen wir, dass die Projektion eine Schräge ist NM auch senkrecht zur Linie AB.

Das heißt, vom Punkt her M zwei Senkrechte zur Kante werden wiederhergestellt AB auf zwei seiten ABD Und ABC. Wir haben den linearen Winkel erhalten DMN.

Beachten Sie, dass AB, eine Kante eines Diederwinkels, senkrecht zur Ebene des linearen Winkels, d. h. der Ebene DMN. Das Problem ist gelöst.

Kommentar. Der Diederwinkel kann wie folgt bezeichnet werden: DABC, Wo

AB- Kante und Punkte D Und MIT liegen auf verschiedenen Seiten des Winkels.

2. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante Wechselstrom.

Zeichnen wir eine Senkrechte DN zum Flugzeug ABC und geneigt DN senkrecht zu einer Geraden Wechselstrom. Mit dem Drei-Senkrechten-Theorem finden wir das heraus НN- Schrägprojektion DN zum Flugzeug ABC, auch senkrecht zur Linie Wechselstrom.DNH- linearer Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante Wechselstrom.

In einem Tetraeder DABC alle Kanten sind gleich. Punkt M- Mitte der Rippe Wechselstrom. Beweisen Sie, dass der Winkel DMV- linearer Diederwinkel DUD, also ein Diederwinkel mit einer Kante Wechselstrom. Eines seiner Gesichter ist WechselstromD, zweite - DIA(Abb. 10).

Reis. 10. Illustration des Problems

Lösung:

Dreieck ADC- gleichseitig, DM- Median und damit Höhe. Bedeutet, DM ⊥ Wechselstrom. Ebenso Dreieck AINC- gleichseitig, INM- Median und damit Höhe. Bedeutet, VM ⊥ Wechselstrom.

Also vom Punkt her M Rippen Wechselstrom Der Diederwinkel stellte zwei Senkrechte wieder her DM Und VM zu dieser Kante in den Flächen des Diederwinkels.

Also, ∠ DMIN ist der lineare Winkel des Diederwinkels, der bewiesen werden musste.

Wir haben also den Diederwinkel definiert, den linearen Winkel des Diederwinkels.

In der nächsten Lektion werden wir uns mit der Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen befassen und dann lernen, was ein Diederwinkel an der Basis von Figuren ist.

Literaturverzeichnis zum Thema „Diederwinkel“, „Diederwinkel an der Basis geometrischer Figuren“

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 Seiten: Abb.
2. Geometrie. 10. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Auflage, Stereotyp. - M.: Bustard, 2008. - 233 S.: Abb.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Hausaufgabe zum Thema „Diederwinkel“, Bestimmung des Diederwinkels an der Basis von Figuren

Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Fachniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. – 5. Auflage, korrigiert und erweitert – M.: Mnemosyne, 2008. – 288 Seiten: Abb.

Aufgaben 2, 3 S. 67.

Was ist der lineare Diederwinkel? Wie baue ich es?

ABCD- Tetraeder. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante:

A) IND B) DMIT.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - Würfel Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels Ein 1 ABC mit Rippe AB. Bestimmen Sie das Gradmaß.

Zurück Vorwärts

Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Unterrichtsziele: Führen Sie das Konzept eines Diederwinkels und seines linearen Winkels ein.

Unterrichtsfortschritt

I. Organisatorischer Moment.

Informieren Sie über das Thema der Lektion und formulieren Sie die Ziele der Lektion.

II. Aktualisierung des Wissens der Schüler (Folie 2, 3).

1. Vorbereitung auf das Studium neuer Materialien.

Wie nennt man einen Winkel in einer Ebene?

Wie nennt man den Winkel zwischen Linien im Raum?

Wie heißt der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?

Geben Sie den Satz über die drei Senkrechten an

III. Neues Material lernen.

• Das Konzept des Diederwinkels.

Eine Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die durch eine Gerade MN verlaufen, wird als Diederwinkel bezeichnet (Folie 4).

Halbebenen sind Flächen, die Gerade MN ist eine Kante eines Diederwinkels.

Welche Gegenstände im Alltag haben die Form eines Diederwinkels? (Folie 5)

• Der Winkel zwischen den Ebenen АСН und СНD ist der Diederwinkel АСНD, wobei СН eine Kante ist. Die Punkte A und D liegen auf den Flächen dieses Winkels. Winkel AFD ist der lineare Winkel des Diederwinkels ACHD (Folie 6).

• Algorithmus zur Konstruktion eines linearen Winkels (Folie 7).

1 Weg. Nehmen Sie an der Kante einen beliebigen Punkt O und zeichnen Sie Senkrechte zu diesem Punkt (PO DE, KO DE), um den Winkel ROK - linear zu erhalten.

Methode 2. Nehmen Sie in einer Halbebene den Punkt K und lassen Sie zwei Senkrechte von dort auf eine andere Halbebene und eine Kante (KO und KR) fallen, dann nach dem inversen TTP-Theorem PODE

• Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind gleich (Folie 8). Beweis: Die Strahlen OA und O 1 A 1 sind gleichgerichtet, die Strahlen OB und O 1 B 1 sind ebenfalls gleichgerichtet, die Winkel BOA und B 1 O 1 A 1 sind gleich wie Winkel mit gleichgerichteten Seiten.

• Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß seines linearen Winkels (Folie 9).

IV. Konsolidierung des untersuchten Materials.

• Probleme lösen (mündlich anhand vorgefertigter Zeichnungen).

(Folien 10-12)

1. RAVS – Pyramide; Der Winkel ACB beträgt 90°, die Gerade PB steht senkrecht auf der Ebene ABC. Beweisen Sie, dass der Winkel RSV ein linearer Winkel eines Diederwinkels mit ist

2. RAVS – Pyramide; AB = BC, D ist die Mitte des Segments AC, die Gerade PB steht senkrecht auf der Ebene ABC. Beweisen Sie, dass der Winkel PDB ein linearer Winkel eines Diederwinkels mit der Kante AC ist.

• 3. PABCD – Pyramide; Die Gerade PB steht senkrecht auf der Ebene ABC, BC steht senkrecht auf DC. Beweisen Sie, dass der Winkel RKB ein linearer Winkel eines Diederwinkels mit der Kante CD ist.

Probleme beim Konstruieren eines linearen Winkels (Folien 13-14).

1. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AC, wenn in der Pyramide RABC die Fläche ABC ein regelmäßiges Dreieck ist, O der Schnittpunkt der Mediane ist, die Gerade PO senkrecht zur Ebene ABC steht

2. Gegeben sei eine Raute ABCD. Die Gerade RS steht senkrecht zur Ebene ABCD.

• Konstruieren Sie den linearen Winkel eines Diederwinkels mit der Kante ÂD und den linearen Winkel eines Diederwinkels mit der Kante AD.

Rechenaufgabe. (Folie 15)

Im Parallelogramm ABCD beträgt der Winkel ADC 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, die Gerade RS steht senkrecht zur Ebene ABC, RS = 9 cm.

Ermitteln Sie die Größe des Diederwinkels mit der Kante AD und der Fläche des Parallelogramms.

V. Hausaufgaben (Folie 16).

S. 22, Nr. 168, 171.

1. Verwendete Literatur:
2. Geometrie 10-11 L.S.Atanasyan.