So bestimmen Sie benachbarte und vertikale Winkel. Welche Winkel heißen benachbart? Was ist die Summe zweier benachbarter Winkel?

Beim Studium eines Geometriekurses werden die Konzepte „Winkel“, „ vertikale Winkel”, “angrenzende Winkel” kommen recht häufig vor. Wenn Sie die einzelnen Begriffe verstehen, können Sie das Problem besser verstehen und richtig lösen. Was sind benachbarte Winkel und wie werden sie bestimmt?

Benachbarte Winkel – Definition des Konzepts

Der Begriff „benachbarte Winkel“ bezeichnet zwei Winkel, die durch einen gemeinsamen Strahl und zwei weitere auf derselben Geraden liegende Halblinien gebildet werden. Alle drei Strahlen gehen vom selben Punkt aus. Eine gemeinsame Halblinie ist gleichzeitig eine Seite des einen und des anderen Winkels.

Benachbarte Winkel – Grundeigenschaften

1. Anhand der Formulierung benachbarter Winkel ist leicht zu erkennen, dass die Summe solcher Winkel immer einen Umkehrwinkel bildet, dessen Gradmaß 180° beträgt:

• Wenn μ und η benachbarte Winkel sind, dann ist μ + η = 180°.
• Wenn Sie die Größe eines der angrenzenden Winkel kennen (z. B. μ), können Sie das Gradmaß des zweiten Winkels (η) mithilfe des Ausdrucks η = 180° – μ leicht berechnen.

2. Mit dieser Winkeleigenschaft können Sie Folgendes tun nächste Ausgabe: Ein Winkel, der an einen rechten Winkel angrenzt, ist auch ein rechter Winkel.

3. Überlegen trigonometrische Funktionen(sin, cos, tg, ctg), basierend auf den Reduktionsformeln für benachbarte Winkel μ und η, gilt Folgendes:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Angrenzende Winkel – Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten M, P, Q – ΔMPQ. Finden Sie die Winkel neben den Winkeln ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Verlängern wir jede Seite des Dreiecks mit einer geraden Linie.
• Da wir wissen, dass sich benachbarte Winkel bis zu einem umgekehrten Winkel ergänzen, finden wir Folgendes heraus:

neben dem Winkel ∠QMP ist ∠LMP,

neben dem Winkel ∠MPQ ist ∠SPQ,

neben dem Winkel ∠PQM ist ∠HQP.

Beispiel 2

Der Wert eines benachbarten Winkels beträgt 35°. Was ist das Gradmaß des zweiten angrenzenden Winkels?

• Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Wenn ∠μ = 35°, dann daneben ∠η = 180° – 35° = 145°.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Werte benachbarter Winkel, wenn bekannt ist, dass das Gradmaß eines von ihnen dreimal größer ist als das Gradmaß des anderen Winkels.

• Bezeichnen wir den Betrag eines (kleineren) Winkels mit – ∠μ = λ.
• Dann ist der Wert des zweiten Winkels entsprechend den Bedingungen des Problems gleich ∠η = 3λ.
• Basierend auf der Grundeigenschaft benachbarter Winkel folgt μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Das bedeutet, dass der erste Winkel ∠μ = λ = 45° und der zweite Winkel ∠η = 3λ = 135° beträgt.

Die Fähigkeit, Terminologie zu verwenden sowie die grundlegenden Eigenschaften benachbarter Winkel zu kennen, wird Ihnen bei der Lösung vieler geometrischer Probleme helfen.

Daraus gibt es . Wenn zwei Winkel benachbart und gleich sind, dann sind sie rechte Winkel. Wenn einer der angrenzenden Winkel rechts ist, also 90 Grad beträgt, dann ist auch der andere Winkel rechts. Wenn einer der angrenzenden Winkel spitz ist, ist der andere stumpf. Wenn einer der Winkel stumpf ist, ist der zweite entsprechend spitz.

Spitzer Winkel- Dies ist einer, dessen Gradmaß kleiner als 90 Grad, aber größer als 0 ist. Ein stumpfer Winkel hat ein Gradmaß größer als 90 Grad, aber kleiner als 180.

Eine weitere Eigenschaft benachbarter Winkel lässt sich wie folgt formulieren: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind auch die angrenzenden Winkel gleich. Das heißt, wenn es zwei Winkel gibt, für die das Gradmaß gleich ist (z. B. 50 Grad) und gleichzeitig einer von ihnen einen benachbarten Winkel hat, dann stimmen auch die Werte dieser benachbarten Winkel überein ( im Beispiel beträgt ihr Gradmaß 130 Grad.

Quellen:

• Groß Enzyklopädisches Wörterbuch- Angrenzende Ecken
• Winkel 180 Grad

Das Wort „“ hat unterschiedliche Interpretationen. In der Geometrie ist ein Winkel ein Teil einer Ebene, die von zwei Strahlen begrenzt wird, die von einem Punkt ausgehen – dem Scheitelpunkt. Wann wir reden darüber etwa rechte, spitze, abgewinkelte Winkel, dann sind geometrische Winkel gemeint.

Wie alle Figuren in der Geometrie können Winkel verglichen werden. Die Winkelgleichheit wird durch Bewegung bestimmt. Es ist einfach, den Winkel in zwei gleiche Teile zu teilen. Das Teilen in drei Teile ist etwas schwieriger, aber mit Lineal und Zirkel geht das trotzdem. Diese Aufgabe schien übrigens ziemlich schwierig zu sein. Die Beschreibung, dass ein Winkel größer oder kleiner als ein anderer ist, ist geometrisch einfach.

Die Maßeinheit für Winkel ist 1/180

Wie finde ich einen angrenzenden Winkel?

Mathematik ist die älteste exakte Wissenschaft, die in Schulen, Hochschulen, Instituten und Universitäten obligatorisch studiert wird. Grundkenntnisse werden jedoch immer in der Schule vermittelt. Manchmal werden dem Kind recht komplexe Aufgaben gestellt, aber die Eltern können nicht helfen, weil sie einfach einige Dinge aus der Mathematik vergessen haben. So finden Sie beispielsweise einen angrenzenden Winkel basierend auf der Größe des Hauptwinkels usw. Das Problem ist einfach, kann jedoch zu Schwierigkeiten bei der Lösung führen, da nicht bekannt ist, welche Winkel als benachbart bezeichnet werden und wie man sie findet.

Schauen wir uns die Definition und Eigenschaften benachbarter Winkel genauer an und wie man sie aus den Daten in der Aufgabe berechnet.

Definition und Eigenschaften benachbarter Winkel

Zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen bilden eine Figur, die als „ebener Winkel“ bezeichnet wird. In diesem Fall wird dieser Punkt als Scheitelpunkt des Winkels bezeichnet und die Strahlen sind seine Seiten. Setzt man einen der Strahlen geradlinig über den Startpunkt hinaus fort, so entsteht ein weiterer Winkel, der als angrenzend bezeichnet wird. Jeder Winkel hat in diesem Fall zwei benachbarte Winkel, da die Seiten des Winkels gleichwertig sind. Das heißt, es gibt immer einen angrenzenden Winkel von 180 Grad.

Zu den Haupteigenschaften benachbarter Winkel gehören

• Benachbarte Winkel haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt und eine Seite;
• Die Summe benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad oder die Zahl Pi, wenn die Berechnung im Bogenmaß erfolgt;
• Die Sinuswerte benachbarter Winkel sind immer gleich;
• Die Kosinus- und Tangenswerte benachbarter Winkel sind gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen.

So finden Sie benachbarte Winkel

Normalerweise werden drei Problemvarianten angegeben, um die Größe benachbarter Winkel zu ermitteln

• Der Wert des Hauptwinkels ist angegeben;
• Angegeben ist das Verhältnis von Haupt- und Nebenwinkel;
• Der Wert des vertikalen Winkels wird angegeben.

Jede Version des Problems hat ihre eigene Lösung. Schauen wir sie uns an.

Der Wert des Hauptwinkels wird angegeben

Wenn das Problem den Wert des Hauptwinkels angibt, ist es sehr einfach, den angrenzenden Winkel zu finden. Subtrahieren Sie dazu einfach den Wert des Hauptwinkels von 180 Grad und Sie erhalten den Wert des angrenzenden Winkels. Diese Lösung basiert auf der Eigenschaft eines angrenzenden Winkels – die Summe benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad.

Wenn der Wert des Hauptwinkels im Bogenmaß angegeben wird und das Problem die Ermittlung des angrenzenden Winkels im Bogenmaß erfordert, muss der Wert des Hauptwinkels von der Zahl Pi subtrahiert werden, da der Wert des gesamten entfalteten Winkels 180 Grad beträgt ist gleich der Zahl Pi.

Angegeben ist das Verhältnis von Haupt- und Nebenwinkel

Das Problem kann das Verhältnis des Haupt- und des Nachbarwinkels anstelle der Grad- und Bogenmaßwerte des Hauptwinkels angeben. In diesem Fall sieht die Lösung wie eine Proportionsgleichung aus:

1. Den Anteil des Hauptwinkels bezeichnen wir als Variable „Y“.
2. Der auf den angrenzenden Winkel bezogene Bruch wird als Variable „X“ bezeichnet.
3. Die Gradzahl, die auf jede Proportion fällt, wird beispielsweise mit „a“ bezeichnet.
4. Die allgemeine Formel sieht folgendermaßen aus: a*X+a*Y=180 oder a*(X+Y)=180.
5. Wir ermitteln den gemeinsamen Faktor der Gleichung „a“ mithilfe der Formel a=180/(X+Y).
6. Dann multiplizieren wir den resultierenden Wert des gemeinsamen Faktors „a“ mit dem Bruchteil des Winkels, der bestimmt werden muss.

Auf diese Weise können wir den Wert des angrenzenden Winkels in Grad ermitteln. Wenn Sie jedoch einen Wert im Bogenmaß ermitteln müssen, müssen Sie lediglich die Gradzahl in Bogenmaß umrechnen. Multiplizieren Sie dazu den Winkel in Grad mit Pi und dividieren Sie alles durch 180 Grad. Der resultierende Wert wird im Bogenmaß angegeben.

Der Wert des vertikalen Winkels wird angegeben

Wenn das Problem nicht den Wert des Hauptwinkels, sondern den Wert des Vertikalwinkels angibt, kann der angrenzende Winkel mit der gleichen Formel wie im ersten Absatz berechnet werden, wo der Wert des Hauptwinkels angegeben ist.

Ein vertikaler Winkel ist ein Winkel, der vom selben Punkt wie der Hauptwinkel ausgeht, aber in genau die entgegengesetzte Richtung gerichtet ist. So stellt sich heraus Spiegelbild. Dies bedeutet, dass der vertikale Winkel in seiner Größe dem Hauptwinkel entspricht. Der angrenzende Winkel des Vertikalwinkels ist wiederum gleich dem angrenzenden Winkel des Hauptwinkels. Dadurch kann der Nebenwinkel des Hauptwinkels berechnet werden. Subtrahieren Sie dazu einfach den vertikalen Wert von 180 Grad und erhalten Sie den Wert des angrenzenden Winkels des Hauptwinkels in Grad.

Wenn der Wert im Bogenmaß angegeben wird, muss der Wert des vertikalen Winkels von der Zahl Pi abgezogen werden, da der Wert des vollen Entfaltungswinkels von 180 Grad gleich der Zahl Pi ist.

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Frage 1. Welche Winkel heißen benachbart?
Antwort. Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halblinien sind.
In Abbildung 31 liegen die Winkel (a 1 b) und (a 2 b) nebeneinander. Sie haben die Seite b gemeinsam und die Seiten a 1 und a 2 sind zusätzliche Halblinien.

Frage 2. Beweisen Sie, dass die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt.
Antwort. Satz 2.1. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.
Nachweisen. Winkel (a 1 b) und Winkel (a 2 b) seien benachbarte Winkel (siehe Abb. 31). Strahl b verläuft zwischen den Seiten a 1 und a 2 eines geraden Winkels. Daher ist die Summe der Winkel (a 1 b) und (a 2 b) gleich dem entfalteten Winkel, also 180°. Q.E.D.

Frage 3. Beweisen Sie: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind auch ihre benachbarten Winkel gleich.
Antwort.

Aus dem Satz 2.1 Daraus folgt, dass, wenn zwei Winkel gleich sind, auch die benachbarten Winkel gleich sind.
Nehmen wir an, die Winkel (a 1 b) und (c 1 d) sind gleich. Wir müssen beweisen, dass auch die Winkel (a 2 b) und (c 2 d) gleich sind.
Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°. Daraus folgt, dass a 1 b + a 2 b = 180° und c 1 d + c 2 d = 180°. Daher ist a 2 b = 180° - a 1 b und c 2 d = 180° - c 1 d. Da die Winkel (a 1 b) und (c 1 d) gleich sind, erhalten wir a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Aus der Transitivitätseigenschaft des Gleichheitszeichens folgt a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Frage 4. Welcher Winkel heißt rechts (spitz, stumpf)?
Antwort. Ein Winkel von 90° wird rechter Winkel genannt.
Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitzer Winkel bezeichnet.
Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180° wird als stumpf bezeichnet.

Frage 5. Beweisen Sie, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ein rechter Winkel ist.
Antwort. Aus dem Satz über die Summe benachbarter Winkel folgt, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ein rechter Winkel ist: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Frage 6. Welche Winkel werden als vertikal bezeichnet?
Antwort. Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels komplementäre Halblinien der Seiten des anderen sind.

Frage 7. Beweisen Sie, dass die vertikalen Winkel gleich sind.
Antwort. Satz 2.2. Vertikale Winkel sind gleich.
Nachweisen. Seien (a 1 b 1) und (a 2 b 2) die gegebenen vertikalen Winkel (Abb. 34). Winkel (a 1 b 2) grenzt an Winkel (a 1 b 1) und an Winkel (a 2 b 2). Daraus schließen wir unter Verwendung des Satzes über die Summe benachbarter Winkel, dass jeder der Winkel (a 1 b 1) und (a 2 b 2) den Winkel (a 1 b 2) zu 180° ergänzt, d. h. Winkel (a 1 b 1) und (a 2 b 2) sind gleich. Q.E.D.

Frage 8. Beweisen Sie: Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden einer der Winkel recht ist, dann sind auch die anderen drei Winkel recht.
Antwort. Angenommen, die Linien AB und CD schneiden sich im Punkt O. Angenommen, der Winkel AOD beträgt 90°. Da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt, ergibt sich AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Der Winkel COB ist vertikal zum Winkel AOD, daher sind sie gleich. Das heißt, Winkel COB = 90°. Der Winkel COA ist vertikal zum Winkel BOD, daher sind sie gleich. Das heißt, Winkel BOD = 90°. Somit sind alle Winkel gleich 90°, also alle rechten Winkel. Q.E.D.

Frage 9. Welche Geraden heißen Senkrechte? Welches Zeichen wird verwendet, um die Rechtwinkligkeit von Linien anzuzeigen?
Antwort. Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.
Die Rechtwinkligkeit von Geraden wird durch das Zeichen \(\perp\) angegeben. Der Eintrag \(a\perp b\) lautet: „Linie a steht senkrecht auf Linie b.“

Frage 10. Beweisen Sie, dass Sie durch jeden Punkt einer Geraden eine Gerade senkrecht dazu zeichnen können, und zwar nur eine.
Antwort. Satz 2.3. Durch jede Linie können Sie eine Linie senkrecht dazu zeichnen, und zwar nur eine.
Nachweisen. Sei a eine gegebene Gerade und A ein gegebener Punkt darauf. Bezeichnen wir mit a 1 eine der Halbgeraden der Geraden a mit dem Startpunkt A (Abb. 38). Subtrahieren wir von der Halbgeraden a 1 einen Winkel (a 1 b 1) gleich 90°. Dann steht die Gerade, die den Strahl b 1 enthält, senkrecht zur Geraden a.

Nehmen wir an, dass es eine weitere Gerade gibt, die ebenfalls durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. Bezeichnen wir mit c 1 die Halblinie dieser Linie, die in derselben Halbebene mit dem Strahl b 1 liegt.
Die Winkel (a 1 b 1) und (a 1 c 1), jeweils gleich 90°, werden in einer Halbebene ausgehend von der Halblinie a 1 angelegt. Aber von der Halblinie a 1 kann in eine gegebene Halbebene nur ein Winkel gleich 90° gelegt werden. Daher kann es keine andere Gerade geben, die durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. Der Satz ist bewiesen.

Frage 11. Was steht senkrecht zu einer Geraden?
Antwort. Eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden ist ein Segment einer Geraden senkrecht zu einer gegebenen Geraden, deren eines ihrer Enden an ihrem Schnittpunkt liegt. Dieses Ende des Segments wird aufgerufen Basis senkrecht.

Frage 12. Erklären Sie, woraus ein Widerspruchsbeweis besteht.
Antwort. Die Beweismethode, die wir in Satz 2.3 verwendet haben, wird Widerspruchsbeweis genannt. Diese Beweismethode besteht darin, dass wir zunächst eine Annahme machen, die dem Satz entgegengesetzt ist. Dann kommen wir durch Argumentation, die sich auf Axiome und bewährte Theoreme stützt, zu einer Schlussfolgerung, die entweder den Bedingungen des Theorems oder einem der Axiome oder einem zuvor bewiesenen Theorem widerspricht. Auf dieser Grundlage kommen wir zu dem Schluss, dass unsere Annahme falsch war und daher die Aussage des Theorems wahr ist.

Frage 13. Was ist die Winkelhalbierende?
Antwort. Die Winkelhalbierende ist der Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht, zwischen seinen Seiten verläuft und den Winkel in zwei Hälften teilt.

Zwei Winkel, die auf derselben Geraden liegen und denselben Scheitelpunkt haben, werden als benachbart bezeichnet.

Wenn andernfalls die Summe zweier Winkel auf einer Geraden 180 Grad beträgt und sie eine gemeinsame Seite haben, dann handelt es sich um benachbarte Winkel.

1 angrenzender Winkel + 1 angrenzender Winkel = 180 Grad.

Benachbarte Winkel sind zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen beiden Seiten im Allgemeinen eine gerade Linie bilden.

Die Summe zweier benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad. Wenn beispielsweise ein Winkel 60 Grad beträgt, entspricht der zweite zwangsläufig 120 Grad (180-60).

Die Winkel AOC und BOC sind benachbarte Winkel, da alle Bedingungen für die Eigenschaften benachbarter Winkel erfüllt sind:

1.OS – gemeinsame Seite zweier Ecken

2.AO – Seite der Ecke AOS, OB – Seite der Ecke BOS. Zusammen bilden diese Seiten eine gerade Linie AOB.

3. Es gibt zwei Winkel und ihre Summe beträgt 180 Grad.

Wenn wir uns an den Geometriekurs in der Schule erinnern, können wir Folgendes über benachbarte Winkel sagen:

Benachbarte Winkel haben eine gemeinsame Seite und die beiden anderen Seiten gehören zur gleichen Geraden, das heißt, sie liegen auf derselben Geraden. Wenn gemäß der Abbildung, dann sind die Winkel SOB und BOA benachbarte Winkel, deren Summe immer gleich 180 ist, da sie einen geraden Winkel teilen und ein gerader Winkel immer gleich 180 ist.



Benachbarte Winkel sind ein einfaches Konzept in der Geometrie. Benachbarte Winkel, ein Winkel plus ein Winkel, ergeben zusammen 180 Grad.

Zwei benachbarte Winkel bilden einen abgewickelten Winkel.

Es gibt noch mehrere weitere Eigenschaften. Mit benachbarten Winkeln lassen sich Probleme leicht lösen und Theoreme leicht beweisen.

Benachbarte Winkel werden gebildet, indem ein Strahl von einem beliebigen Punkt auf einer geraden Linie gezeichnet wird. Dann stellt sich heraus, dass dieser beliebige Punkt der Scheitelpunkt des Winkels ist, der Strahl die gemeinsame Seite benachbarter Winkel ist und die Gerade, von der aus der Strahl gezeichnet wird, die beiden verbleibenden Seiten benachbarter Winkel sind. Benachbarte Winkel können bei einem senkrechten Strahl gleich sein, bei einem schrägen Strahl unterschiedlich sein. Es ist leicht zu verstehen, dass die Summe benachbarter Winkel 180 Grad oder einfach eine gerade Linie ist. Eine andere Möglichkeit, diesen Winkel zu erklären, ist einfaches Beispiel- Zuerst bist du geradlinig in eine Richtung gelaufen, dann hast du es dir anders überlegt, dich entschieden, umzukehren und bist um 180 Grad gedreht und auf derselben geraden Linie in die entgegengesetzte Richtung gegangen.



Was ist also ein angrenzender Winkel? Definition:

Zwei Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und einer gemeinsamen Seite werden als benachbart bezeichnet, und die beiden anderen Seiten dieser Winkel liegen auf derselben Geraden.



UND kurzes Video Eine Lektion, in der anschaulich über benachbarte Winkel, vertikale Winkel und über senkrechte Linien gesprochen wird, die einen Sonderfall von benachbarten und vertikalen Winkeln darstellen

Benachbarte Winkel sind Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam und die andere eine Linie ist.

Benachbarte Winkel sind Winkel, die voneinander abhängen. Das heißt, wenn die gemeinsame Seite leicht gedreht wird, verringert sich ein Winkel um mehrere Grad und der zweite Winkel vergrößert sich automatisch um die gleiche Anzahl Grad. Diese Eigenschaft benachbarter Winkel ermöglicht uns die Lösung in der Geometrie verschiedene Aufgaben und Beweise verschiedener Theoreme durchführen.

Die Gesamtsumme benachbarter Winkel beträgt immer 180 Grad.



Aus dem Geometriekurs (soweit ich mich an die 6. Klasse erinnere) werden zwei Winkel als benachbart bezeichnet, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die anderen Seiten zusätzliche Strahlen sind, die Summe benachbarter Winkel beträgt 180. Jeder der beiden Benachbarte Winkel ergänzen sich zu einem erweiterten Winkel. Beispiel für angrenzende Winkel:



Benachbarte Winkel sind zwei Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, von denen eine Seite gemeinsam ist und die übrigen Seiten auf derselben Geraden liegen (nicht zusammenfallen). Die Summe benachbarter Winkel beträgt einhundertachtzig Grad. Im Allgemeinen ist das alles sehr leicht in Google oder einem Geometrielehrbuch zu finden.