Was ist der Unterschied zwischen einem gewöhnlichen Bruch und einer Dezimalzahl? Gemeinsamer Bruch

Thema: Konzept dezimal.

Dezimalzahlen lesen und schreiben.

Zweck der Lektion: Entwicklung der Fähigkeiten zum Schreiben und Lesen von Dezimalbrüchen, die Fähigkeit, gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000 usw. umzurechnen. in einen Dezimalbruch umwandeln.

Aufgaben:

- lehrreich zu unterrichten Dezimalzahlen lesen und schreiben;

- Entwicklung – Fähigkeiten zur Selbsteinschätzung und Selbstanalyse entwickeln Bildungsaktivitäten, die mathematische Sprache der Schüler entwickeln;

- pädagogisch – eine Kultur des mathematischen Denkens und der Fähigkeit zum selbstständigen Arbeiten pflegen.
3. Unterrichtsart – Lektion zur Festigung des Wissens
4. Lehrmethoden: verbal, visuell, praktisch
5. Formen studentischer Arbeit – frontal, individuell, Gruppe

6. Notwendige technische Ausrüstung – Multimediaprojektor, Computer, Leinwand

7. Pädagogische und methodische Unterstützung: Lehrbuch „Mathematik 5“, I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich

Unterrichtsaufbau:

Org. Moment.
Wiederholung früherer Themen mündliche Arbeit.
Mathematische Diktate.
Pause im Sportunterricht.
Hauptteil.
Spiegelung.
Hausaufgaben.

Unterrichtsfortschritt:

Org. Moment.

Gegenseitige Begrüßung zwischen Lehrer und Schülern.
Überprüfung von Arbeitsplätzen.
Den Schülern den Unterrichtsplan mitteilen.

- Hallo Leute!

Es ist so gut, dass ich zu dir gekommen bin. Sie haben mir nahegelegt, dass Sie bei meinen Ermittlungen auf jeden Fall helfen werden.

In meinem Untersuchungsausschuss Es ging eine Beschwerde von zwei Fahrern ein, die in einen Verkehrsunfall verwickelt waren.

Wenden wir uns den Fallmaterialien zu.

^ AUSSAGEN DER OPFER.

Von zwei Punkten A und B fuhren ein Pkw und ein Lkw aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des Autos beträgt 60 km/h und die Geschwindigkeit des LKW 40 km/h. Nach welcher Zeit treffen sie sich, wenn die Entfernung zwischen den Punkten 350 km beträgt?

- Betrachten wir die Lösung .

1) 40 + 60 = 100 (km/h) – Gesamtgeschwindigkeit der Autos (Annäherungsgeschwindigkeit)

2) 350: 100 = 35 (h)

Antwort: Die Autos treffen sich in 35 Stunden.
- Leute, schaut euch alle Daten an und antwortet: „Hat dieses Ergebnis bei euch irgendwelche Zweifel geweckt?“
- Ja, es besteht ein Zweifel, bei diesem Problem kann die Zeit nicht 35 Stunden betragen.
- Als Ergebnis der Entscheidung wurde also ein Fehler gemacht. Wir werden die Antwort herausfinden, indem wir eine Untersuchung durchführen und alle Fakten, Dokumente und Beweise studieren.
- Für unsere Untersuchung habe ich eine Lupe, eine Waage und Bücher mitgenommen.

ERSTE AUFGABE. (Beweis eins)
Streichen Sie diese Zahlen durch:

Natürliche Zahlen
Richtige Brüche
Unechte Brüche
Gemischte Zahlen

8 45/1000; 1000; 12; 3/2; 0,12; 1/6; 15/15; 30/24; 12/1000; 21,032; 1 2/3.

Welche Zahlen bleiben übrig?

Neu geschriebene Zahlen tauchten an unserem mathematischen Horizont auf. Das sind Dezimalbrüche.
- Wenden wir uns wissenschaftlichen Dokumenten zu.

^ Ein Dezimalbruch unterscheidet sich von einem gewöhnlichen Bruch dadurch, dass sein Nenner eine Zifferneinheit ist.

Zum Beispiel:

^ Dezimalbrüche werden von gewöhnlichen Brüchen in eine separate Form getrennt.
Sie können dem Bruchteil der Dezimalzahl auf der rechten Seite beliebig viele Nullen hinzufügen; dadurch ändert sich der Wert des Bruchs nicht.

^ Der Bruchteil einer Dezimalzahl wird an der letzten signifikanten Ziffer gelesen.

Zum Beispiel:
0,3 - drei Zehntel
0,75 - fünfundsiebzig Hundertstel
0,000005 - fünf Millionstel.

Das Lesen des ganzen Teils einer Dezimalzahl ist dasselbe wie das Lesen natürlicher Zahlen.

Zum Beispiel:
27,5 - siebenundzwanzig...;
1,57 - eins...

Nach dem ganzen Teil des Dezimalbruchs wird das Wort „ganz“ ausgesprochen.

Zum Beispiel:
10,7 – zehn Komma sieben

0,67 – null Komma siebenundsechzig Hundertstel.

Dezimalstellen - das sind die Ziffern des Nachkommateils. Der Bruchteil wird nicht durch Ziffern gelesen (im Gegensatz zu natürlichen Zahlen), sondern als Ganzes, daher wird der Bruchteil eines Dezimalbruchs bestimmt zuletzt rechts signifikante Ziffer.

Die ersten drei Ziffern werden am häufigsten in Berechnungen verwendet. Die große Ziffernkapazität des Bruchteils von Dezimalzahlen wird nur in bestimmten Wissensgebieten verwendet, in denen Infinitesimalmengen berechnet werden.

1. Dezimalstelle - Zehntelstelle
2. Dezimalstelle - Hundertstelstelle
3. Dezimalstelle - Tausendstelstelle
4. Dezimalstelle – Zehntausendstelstelle
5. Dezimalstelle – Hunderttausendstelstelle
6. Dezimalstelle - Millionste Stelle
7. Dezimalstelle – zehnmillionste Stelle
Die 8. Dezimalstelle ist die hundertmillionste Stelle

Welche Informationen haben Sie über unser Studienobjekt erhalten?

Wenden wir uns den Archivmaterialien zu.
Wir untersuchen historische Beweise. Wie wurden diese Brüche früher geschrieben?

Im 5. Jahrhundert schrieb der chinesische Wissenschaftler Tszyu-Chun-Zhi einen Bruchteil der Form 2.135436 wie folgt auf:

2 Chi, 1 Cun, 3 Lappen, 5 Ordinalzahl, 4 Haare, 3 Feinste, 6 Spinnweben.

Der usbekische Wissenschaftler Jamshid Ghiyaseddin al-Kashi im Buch

„Der Schlüssel zur Arithmetik“ (1424) zeigte die Aufzeichnung von Brüchen in einer Zeile mit Zahlen im Dezimalsystem.

Für die Aufnahme verwendete er eine vertikale Linie,

Die Tinte ist schwarz und rot.

Im Buch „Mathematischer Kanon“ des französischen Mathematikers F. Vieta (1540-1603) wird der Dezimalbruch wie folgt geschrieben 2 135436 - Der Bruchteil wurde unterstrichen und über der Zeile des ganzzahligen Teils der Zahl geschrieben

1571 G. - Johann Kepler schlug eine moderne Notation für Dezimalbrüche vor, d.h. Trennen Sie den gesamten Teil durch ein Komma.

Früher gab es andere Möglichkeiten:

3.7 wurde als 3(0)7 oder 3\7 oder als ganze Teile und Bruchteile in verschiedenen Tinten geschrieben.
- Beschreiben Sie also, wie ein Dezimalbruch heute aussieht.
^ LASSEN SIE UNS DIE ERMITTLUNGSMASSNAHMEN FORTSETZEN.
ZWEITE AUFGABE. (Beweis zwei)
Geben Sie die niedrigstwertige Ziffer der Zahl an und lesen Sie sie:

1,25 12, 54 3,06 1410,05

Dritte AUFGABE. (Ulitsa Dritte)
Wie werden Dezimalzahlen geschrieben?

46,5 80,35 4,65 8,035 40,065 83,05 0,465 0,0835

^ LASST UNS EIN UNTERSUCHUNGSEXPERIMENT DURCHFÜHREN.
MATHEMATISCHES DIKKTAT.
- Für die nächste Aufgabe benötigen wir eine Lupe, denn wir müssen das Komma in den Zahlen finden.
4735,62 123,456 54,5454 230,032 74635,2

Tauschen Sie Arbeiten mit Ihren Kollegen aus und schließen Sie die Überprüfung ab

PHYSIKALISCHE MINUTE.

^ HAUPTTEIL.

Hören wir uns die Zeugenaussagen an:

Mama kaufte 2¼ kg Äpfel und 3,5 kg Birnen. Wie viele Kilogramm Obst hat Mama gekauft?
- Welche Brüche wurden im Dokument gefunden? ( normal Und dezimal)

Halten Sie es für möglich, solche Brüche zu addieren? ( NEIN)

Was muss getan werden, um die Problemfrage zu beantworten? ( Berechnen Sie entweder in gemeinsamen oder dezimalen Brüchen).

Dazu müssen Sie einige Brüche in andere umwandeln. Hier brauche ich eine Waage.

Wozu dienen Waagen? ( abwägen, vergleichen, ausgleichen)

Auf unseren mathematischen Skalen vergleichen wir die Anzahl der Dezimalstellen (im Bruchteil) und Nullen in der Zifferneinheit.
^ A). Drücken Sie die Zahlen als gemeinsamen Bruch aus:

0,13 6,013 0, 05 14,007 51, 3 830,0026

(Jede Gruppe erhält eine Nummer. Nach Abschluss der Aufgabe verteidigen sie ihre Antwort und ergänzen sie durch ihr eigenes Beispiel.)

B). Drücken Sie die Zahl als Dezimalbruch aus:

1 1 / 10 , 25 / 100 , 98 3 / 10 , 2 56 / 1000 , 75 108 / 10000

R. B. O A B
Ordnen Sie die gemeinsamen Brüche in aufsteigender Reihenfolge an.

BRAVO
4. REFLEXION.
- Unsere Ermittlungen gehen zu Ende. Alle Fallmaterialien wurden überprüft, Fakten verglichen und Dokumente studiert.
- Kehren wir zu unserem Verstoß zurück.
- Welche Zahl sollte in der Aufgabe stehen, um die richtige Antwort zu erhalten? „Was haben Sie bei dieser Zahl verloren?“ (KOMMA)
- Was ist die richtige Antwort?
- Wie schreibe ich die Antwort als gewöhnlichen Bruch?
- In Stunden und Minuten umrechnen?
- Danke, gut gemacht. Ich ziehe meinen Hut vor dir. Wir haben die Aufgabe erledigt.

5. Hausaufgaben.

Bereiten Sie Nachrichten zu folgenden Themen vor:

„Die Geschichte der Dezimalbrüche“

„Wo werden Dezimalzahlen verwendet?“
DANKE FÜR DIE LEKTION.

Brüche

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Brüche sind im Gymnasium kein großes Ärgernis. Vorerst. Bis Sie auf Potenzen mit rationalen Exponenten und Logarithmen stoßen. Und da... Sie drücken und drücken auf den Taschenrechner und er zeigt eine vollständige Anzeige einiger Zahlen an. Man muss wie in der dritten Klasse mit dem Kopf denken.

Lasst uns endlich Brüche herausfinden! Nun, wie sehr kann man darin verwirrt sein!? Darüber hinaus ist alles einfach und logisch. Also, Welche Arten von Brüchen gibt es?

Arten von Brüchen. Transformationen.

Es gibt Brüche drei Typen.

1. Gemeinsame Brüche , Zum Beispiel:

Manchmal wird anstelle einer horizontalen Linie ein Schrägstrich eingefügt: 1/2, 3/4, 19/5 usw. Hier werden wir diese Schreibweise oft verwenden. Die oberste Nummer wird angerufen Zähler, untere - Nenner. Wenn Sie diese Namen ständig verwechseln (es kommt vor...), sagen Sie sich den Satz: „ Zzzzz erinnern! Zzzzz Nenner - schau zzzzzäh!" Schauen Sie, alles wird zzz in Erinnerung bleiben.)

Der Strich, entweder horizontal oder geneigt, bedeutet Division von der oberen Zahl (Zähler) zur unteren (Nenner). Das ist alles! Anstelle eines Bindestrichs ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen – zwei Punkte.

Wenn eine vollständige Teilung möglich ist, muss dies erfolgen. Anstelle des Bruchs „32/8“ ist es also viel angenehmer, die Zahl „4“ zu schreiben. Diese. 32 wird einfach durch 8 geteilt.

32/8 = 32: 8 = 4

Ich spreche nicht einmal vom Bruch „4/1“. Was auch nur „4“ ist. Und wenn es nicht vollständig teilbar ist, belassen wir es als Bruch. Manchmal muss man den umgekehrten Vorgang ausführen. Wandeln Sie eine ganze Zahl in einen Bruch um. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalstellen , Zum Beispiel:

In diesem Formular müssen Sie die Antworten auf die Aufgaben „B“ aufschreiben.

3. Gemischte Zahlen , Zum Beispiel:

Gemischte Zahlen werden im Gymnasium praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber das muss man unbedingt können! Sonst stößt man bei einem Problem auf eine solche Nummer und friert ein... aus dem Nichts. Aber wir werden uns an diesen Vorgang erinnern! Etwas tiefer.

Am vielseitigsten gemeinsame Brüche. Beginnen wir mit ihnen. Wenn ein Bruch übrigens allerlei Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben enthält, ändert das übrigens nichts. In dem Sinne, dass alles Aktionen mit Bruchausdrücken unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen!

Die Haupteigenschaft eines Bruchs.

Also, los geht's! Zunächst werde ich Sie überraschen. Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Haupteigenschaft eines Bruchs. Erinnern: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Es ist klar, dass man weiterschreiben kann, bis einem blau im Gesicht wird. Lassen Sie sich nicht von Sinus und Logarithmus verwirren, wir werden uns weiter damit befassen. Die Hauptsache ist zu verstehen, dass es all diese verschiedenen Ausdrücke gibt der gleiche Bruch . 2/3.

Brauchen wir das, all diese Transformationen? Ja! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die Grundeigenschaft eines Bruchs für verwenden Brüche reduzieren. Es scheint eine elementare Sache zu sein. Teilen Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, einen Fehler zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Du kannst überall einen Fehler machen! Vor allem, wenn Sie keinen Bruch wie 5/10 kürzen müssen, sondern einen Bruchausdruck mit allen möglichen Buchstaben.

Wie man Brüche ohne Mehraufwand richtig und schnell kürzen kann, lesen Sie im Sonderkapitel 555.

Ein normaler Schüler macht sich nicht die Mühe, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu dividieren! Er streicht einfach alles durch, was oben und unten gleich ist! Hier lauert es typischer Fehler, ein Patzer, wenn man so will.

Beispielsweise müssen Sie den Ausdruck vereinfachen:

Hier gibt es nichts zu bedenken, streichen Sie oben den Buchstaben „a“ und unten die beiden durch! Wir bekommen:

Alles ist richtig. Aber wirklich, du hast gespalten alle Zähler und alle der Nenner ist „a“. Wenn Sie es gewohnt sind, einfach das „a“ im Ausdruck zu streichen, können Sie es schnell streichen

und hol es dir wieder

Was kategorisch falsch wäre. Denn hier alle der Zähler auf „a“ ist schon teilt nicht! Dieser Anteil kann nicht reduziert werden. Übrigens ist eine solche Reduzierung, ähm... eine ernsthafte Herausforderung für den Lehrer. Das ist nicht vergeben! Erinnerst du dich? Beim Reduzieren muss man dividieren alle Zähler und alle Nenner!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie erhalten irgendwo einen Bruchteil, zum Beispiel 375/1000. Wie kann ich jetzt weiterhin mit ihr zusammenarbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen wir, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, kürzen Sie es sorgfältig um fünf und um weitere fünf, und sogar... während es gekürzt wird, kurz gesagt. Holen wir uns 3/8! Viel schöner, oder?

Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt ohne Taschenrechner! Das ist wichtig für das Einheitliche Staatsexamen, oder?

So konvertieren Sie Brüche von einem Typ in einen anderen.

Mit Dezimalbrüchen ist alles einfach. So wie es gehört wird, so steht es auch geschrieben! Sagen wir 0,25. Das sind null Komma fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (wir dividieren Zähler und Nenner durch 25) und erhalten den üblichen Bruch: 1/4. Alle. Es passiert, und nichts wird reduziert. Wie 0,3. Das sind drei Zehntel, also 3/10.

Was ist, wenn die ganzen Zahlen nicht Null sind? Es ist in Ordnung. Wir schreiben den ganzen Bruch auf ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Zum Beispiel: 3.17. Das sind drei Komma siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner. Wir erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das bedeutet alles. Das ist die Antwort. Grundstufe, Watson! Aus allem Gesagten eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt werden .

Aber manche Leute können die umgekehrte Umrechnung vom Normalwert in den Dezimalwert ohne einen Taschenrechner nicht durchführen. Und es ist notwendig! Wie schreiben Sie die Antwort auf das Einheitliche Staatsexamen auf? Lesen Sie diesen Prozess sorgfältig durch und meistern Sie ihn.

Was ist das Merkmal eines Dezimalbruchs? Ihr Nenner ist Stets kostet 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 und so weiter. Wenn Ihr gemeinsamer Bruch einen solchen Nenner hat, ist das kein Problem. Zum Beispiel 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Was wäre, wenn die Antwort auf die Aufgabe in Abschnitt „B“ 1/2 wäre? Was werden wir als Antwort schreiben? Dezimalzahlen sind erforderlich...

Erinnern wir uns Haupteigenschaft eines Bruchs ! In der Mathematik ist es vorteilhaft, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens alles! Außer Null natürlich. Nutzen wir also diese Immobilie zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass es 10 oder 100 oder 1000 wird (kleiner ist natürlich besser...)? Natürlich um 5 Uhr. Fühlen Sie sich frei, den Nenner zu multiplizieren (dies ist uns notwendig) mit 5. Dann muss aber auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Das ist schon Mathematik Forderungen! Wir erhalten 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Das ist es.

Es kommen jedoch alle möglichen Nenner vor. Sie könnten zum Beispiel auf den Bruch 3/16 stoßen. Versuchen Sie herauszufinden, womit Sie 16 multiplizieren müssen, um 100 oder 1000 zu erhalten ... Funktioniert das nicht? Dann können Sie einfach 3 durch 16 dividieren. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie mit einer Ecke auf einem Blatt Papier dividieren, wie es in der Grundschule gelehrt wurde. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt auch sehr schlechte Nenner. Beispielsweise gibt es keine Möglichkeit, den Bruch 1/3 in eine gute Dezimalzahl umzuwandeln. Sowohl auf dem Taschenrechner als auch auf einem Blatt Papier erhalten wir 0,3333333... Das bedeutet, dass 1/3 ein exakter Dezimalbruch ist nicht übersetzt. Dasselbe wie 1/7, 5/6 und so weiter. Es gibt viele davon, unübersetzbar. Dies bringt uns zu einer weiteren nützlichen Schlussfolgerung. Nicht jeder Bruch kann in eine Dezimalzahl umgewandelt werden !

Übrigens, das hier nützliche Informationen zum Selbsttest. Im Abschnitt „B“ müssen Sie in Ihrer Antwort einen Dezimalbruch notieren. Und du hast zum Beispiel 4/3 bekommen. Dieser Bruch lässt sich nicht in eine Dezimalzahl umwandeln. Das bedeutet, dass Sie unterwegs irgendwo einen Fehler gemacht haben! Gehen Sie zurück und überprüfen Sie die Lösung.

Also haben wir gewöhnliche und dezimale Brüche herausgefunden. Es bleibt nur noch, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie geht das? Sie können einen Sechstklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer ist ein Sechstklässler zur Stelle ... Das müssen Sie selbst machen. Es ist nicht schwierig. Sie müssen den Nenner des Bruchteils mit dem ganzen Teil multiplizieren und den Zähler des Bruchteils addieren. Dies ist der Zähler des gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt derselbe. Es klingt kompliziert, aber in Wirklichkeit ist alles einfach. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Angenommen, Sie waren entsetzt, als Sie die Zahl im Problem sahen:

Ruhig, ohne Panik, denken wir. Der gesamte Teil ist 1. Einheit. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner wird der Nenner des gewöhnlichen Bruchs sein. Wir zählen den Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (dem Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies ist der Zähler eines gemeinsamen Bruchs. Das ist es. In mathematischer Notation sieht es noch einfacher aus:

Ist es klar? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! Konvertieren Sie in gewöhnliche Brüche. Sie sollten 10/7, 7/2, 23/10 und 21/4 erhalten.

Die umgekehrte Operation wandelt einen unechten Bruch in um gemischte Zahl- wird in der High School selten benötigt. Na ja, wenn ja... Und wenn Sie nicht in der High School sind, können Sie einen Blick in den Sonderabschnitt 555 werfen. Dort erfahren Sie übrigens auch etwas über unechte Brüche.

Nun, das ist praktisch alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden Wie Übertragen Sie sie von einem Typ auf einen anderen. Bleibt die Frage: Wofür Mach das? Wo und wann kann dieses tiefe Wissen angewendet werden?

Ich antworte. Jedes Beispiel wird es Ihnen zeigen notwendige Maßnahmen. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen miteinander vermischt werden, wandeln wir alles in gewöhnliche Brüche um. Es ist immer machbar. Nun, wenn da etwa 0,8 + 0,3 steht, dann zählen wir es so, ohne Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen die Lösung, die für Sie am bequemsten ist uns !

Wenn die Aufgabe nur aus Dezimalbrüchen besteht, aber ähm ... irgendwelche bösen Brüche, gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen über und probieren Sie es aus! Schauen Sie, alles wird gut. Beispielsweise müssen Sie die Zahl 0,125 quadrieren. Es ist nicht so einfach, wenn Sie sich nicht an den Umgang mit einem Taschenrechner gewöhnt haben! Sie müssen nicht nur Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch darüber nachdenken, wo Sie das Komma einfügen! In deinem Kopf wird es definitiv nicht funktionieren! Was wäre, wenn wir zu einem gewöhnlichen Bruch übergehen würden?

0,125 = 125/1000. Wir reduzieren es um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal um 5. Wir bekommen 5/40. Oh, es schrumpft immer noch! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Wir quadrieren es leicht (in unseren Gedanken!) und erhalten 1/64. Alle!

Fassen wir diese Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen. Gemeinsame, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen Stets kann in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Rückübertragung nicht immer möglich

3. Die Wahl der Art der Brüche zur Bearbeitung einer Aufgabe hängt von der Aufgabe selbst ab. Je nach Verfügbarkeit verschiedene Typen Um Brüche in einer Aufgabe zu lösen, ist es am zuverlässigsten, mit gewöhnlichen Brüchen fortzufahren.

Jetzt können Sie üben. Wandeln Sie zunächst diese Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sie sollten Antworten wie diese erhalten (durcheinander!):

Lassen Sie uns das abschließen. In dieser Lektion haben wir unser Gedächtnis aufgefrischt Schlüsselpunkte durch Brüche. Es kommt jedoch vor, dass es nichts Besonderes zu aktualisieren gibt...) Wenn jemand es völlig vergessen hat oder es noch nicht beherrscht... Dann können Sie zu einem speziellen Abschnitt 555 gehen. Dort werden alle Grundlagen ausführlich behandelt. Viele plötzlich alles verstehen beginnen. Und sie lösen Brüche im Handumdrehen.

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Schon drin Grundschule Schüler begegnen Brüchen. Und dann tauchen sie in jedem Thema auf. Mit diesen Zahlen kann man Aktionen nicht vergessen. Daher müssen Sie alle Informationen über gewöhnliche und dezimale Brüche kennen. Diese Konzepte sind nicht kompliziert, die Hauptsache ist, alles in der richtigen Reihenfolge zu verstehen.

Warum werden Brüche benötigt?

Die Welt um uns herum besteht aus ganzen Objekten. Daher besteht kein Bedarf an Aktien. Aber Alltag drängt Menschen ständig dazu, mit Teilen von Objekten und Dingen zu arbeiten.

Schokolade besteht beispielsweise aus mehreren Stücken. Stellen Sie sich eine Situation vor, in der seine Kachel aus zwölf Rechtecken besteht. Wenn man es in zwei Teile teilt, erhält man 6 Teile. Es lässt sich leicht in drei Teile unterteilen. Aber es wird nicht möglich sein, fünf Personen eine ganze Anzahl Schokoladenscheiben zu geben.

Übrigens sind diese Scheiben bereits Brüche. Und ihre weitere Unterteilung führt zum Erscheinen komplexerer Zahlen.

Was ist ein „Bruch“?

Dies ist eine Zahl, die aus Teilen von Eins besteht. Äußerlich sieht es aus wie zwei Zahlen, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. Diese Funktion wird als Bruch bezeichnet. Die oben (links) geschriebene Zahl wird Zähler genannt. Unten (rechts) steht der Nenner.

Im Wesentlichen entpuppt sich der Schrägstrich als Divisionszeichen. Das heißt, der Zähler kann als Dividend und der Nenner als Divisor bezeichnet werden.

Welche Brüche gibt es?

In der Mathematik gibt es nur zwei Arten: gewöhnliche und dezimale Brüche. Schüler lernen die ersten in der Grundschule kennen und nennen sie einfach „Brüche“. Letzteres wird in der 5. Klasse erlernt. Dann tauchen diese Namen auf.

Unter gewöhnlichen Brüchen versteht man alle Brüche, die als zwei durch einen Strich getrennte Zahlen geschrieben werden. Zum Beispiel 4/7. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der der Bruchteil eine Positionsschreibweise hat und durch ein Komma von der ganzen Zahl getrennt wird. Zum Beispiel 4.7. Den Schülern muss klar sein, dass es sich bei den beiden angegebenen Beispielen um völlig unterschiedliche Zahlen handelt.

Jeder einfache Bruch kann als Dezimalzahl geschrieben werden. Diese Aussage trifft fast immer umgekehrt zu. Es gibt Regeln, die es Ihnen ermöglichen, einen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch zu schreiben.

Welche Untertypen gibt es bei diesen Bruchtypen?

Es ist besser, damit anzufangen chronologische Reihenfolge, wie sie untersucht werden. Gewöhnliche Brüche stehen an erster Stelle. Unter ihnen lassen sich 5 Unterarten unterscheiden.

Richtig. Sein Zähler ist immer kleiner als sein Nenner.

Falsch. Sein Zähler ist größer oder gleich seinem Nenner.

Reduzierbar/irreduzibel. Es kann sich als richtig oder falsch herausstellen. Wichtig ist auch, ob Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben. Wenn ja, dann ist es notwendig, beide Teile des Bruchs durch sie zu dividieren, also zu reduzieren.

Gemischt. Einer ganzen Zahl wird ihr üblicher regelmäßiger (unregelmäßiger) Bruchteil zugeordnet. Außerdem ist es immer links.

Zusammengesetzt. Es wird aus zwei durcheinander dividierten Fraktionen gebildet. Das heißt, es enthält drei Bruchzeilen gleichzeitig.

Dezimalbrüche haben nur zwei Untertypen:

endlich, das heißt einer, dessen Bruchteil begrenzt ist (ein Ende hat);

unendlich – eine Zahl, deren Nachkommastellen nicht enden (sie können endlos geschrieben werden).

Wie wandle ich einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Wenn es sich um eine endliche Zahl handelt, dann wird eine auf der Regel basierende Assoziation angewendet – wie ich höre, so schreibe ich. Das heißt, Sie müssen es richtig lesen und aufschreiben, jedoch ohne Komma, sondern mit einem Bruchstrich.

Als Hinweis zum erforderlichen Nenner müssen Sie bedenken, dass es sich immer um eine und mehrere Nullen handelt. Von Letzterem müssen Sie so viele schreiben, wie Ziffern im Bruchteil der betreffenden Zahl vorhanden sind.

Wie konvertiert man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche, wenn ihr ganzzahliger Teil fehlt, also gleich Null ist? Zum Beispiel 0,9 oder 0,05. Nach Anwendung der angegebenen Regel stellt sich heraus, dass Sie Null-Ganzzahlen schreiben müssen. Aber es ist nicht angegeben. Es bleibt nur noch, die Bruchteile aufzuschreiben. Die erste Zahl hat einen Nenner von 10, die zweite einen Nenner von 100. Das heißt, die angegebenen Beispiele haben die folgenden Zahlen als Antworten: 9/10, 5/100. Darüber hinaus stellt sich heraus, dass letzterer um 5 reduziert werden kann. Daher muss das Ergebnis dafür als 1/20 geschrieben werden.

Wie kann man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln, wenn sein ganzzahliger Teil von Null verschieden ist? Zum Beispiel 5,23 oder 13,00108. In beiden Beispielen wird der gesamte Teil gelesen und sein Wert geschrieben. Im ersten Fall ist es 5, im zweiten 13. Dann müssen Sie mit dem Bruchteil fortfahren. Mit ihnen soll die gleiche Operation durchgeführt werden. Die erste Zahl erscheint 23/100, die zweite - 108/100000. Der zweite Wert muss erneut reduziert werden. Die Antwort ergibt die folgenden gemischten Brüche: 5 23/100 und 13 27/25000.

Wie wandle ich einen unendlichen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch um?

Wenn es nicht periodisch ist, ist ein solcher Vorgang nicht möglich. Diese Tatsache ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass jeder Dezimalbruch immer entweder in einen endlichen oder einen periodischen Bruch umgewandelt wird.

Das einzige, was Sie mit einem solchen Bruch machen können, ist, ihn zu runden. Aber dann ist die Dezimalzahl ungefähr gleich dieser Unendlichkeit. Es kann bereits in ein gewöhnliches verwandelt werden. Aber der umgekehrte Vorgang: Die Konvertierung in eine Dezimalzahl liefert niemals den Anfangswert. Das heißt, unendliche nichtperiodische Brüche werden nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt. Daran muss man sich erinnern.

Wie schreibe ich einen unendlichen periodischen Bruch als gewöhnlichen Bruch?

In diesen Zahlen gibt es immer eine oder mehrere Nachkommastellen, die wiederholt werden. Sie werden als Periode bezeichnet. Zum Beispiel 0,3(3). Hier steht „3“ im Punkt. Sie werden als rational klassifiziert, weil sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.

Diejenigen, die periodische Brüche kennengelernt haben, wissen, dass sie rein oder gemischt sein können. Im ersten Fall beginnt der Punkt unmittelbar nach dem Komma. Im zweiten Teil beginnt der Bruchteil mit einigen Zahlen, und dann beginnt die Wiederholung.

Die Regel, nach der Sie eine unendliche Dezimalzahl als gemeinsamen Bruch schreiben müssen, ist für die beiden angegebenen Zahlentypen unterschiedlich. Es ist ganz einfach, reine periodische Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben. Wie bei endlichen Zahlen müssen sie umgerechnet werden: Schreiben Sie den Punkt im Zähler auf, und der Nenner ist die Zahl 9, die so oft wiederholt wird, wie der Punkt Ziffern enthält.

Zum Beispiel 0,(5). Die Zahl hat keinen ganzzahligen Teil, daher müssen Sie sofort mit dem Bruchteil beginnen. Schreiben Sie 5 als Zähler und 9 als Nenner. Das heißt, die Antwort ist der Bruch 5/9.

Die Regel zum Schreiben eines gewöhnlichen periodischen Dezimalbruchs, der gemischt ist.

Schauen Sie sich die Länge des Zeitraums an. So viele Neunen wird der Nenner haben.

Notieren Sie den Nenner: zuerst Neunen, dann Nullen.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie die Differenz zweier Zahlen aufschreiben. Alle Zahlen nach dem Komma werden zusammen mit dem Punkt minimiert. Selbstbehalt – ohne Periode.

Zum Beispiel 0,5(8) – schreiben Sie den periodischen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch. Der Nachkommateil vor dem Punkt enthält eine Ziffer. Es wird also eine Null geben. Es gibt auch nur eine Zahl in der Periode – 8. Das heißt, es gibt nur eine Neun. Das heißt, Sie müssen 90 in den Nenner schreiben.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie 5 von 58 subtrahieren. Das Ergebnis ist 53. Die Antwort müsste beispielsweise als 53/90 geschrieben werden.

Wie werden Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt?

Am meisten einfache Möglichkeit Es stellt sich heraus, dass es sich um eine Zahl handelt, deren Nenner die Zahl 10, 100 usw. enthält. Dann wird der Nenner einfach verworfen und ein Komma zwischen den gebrochenen und ganzzahligen Teilen gesetzt.

Es gibt Situationen, in denen der Nenner leicht zu 10, 100 usw. wird. Zum Beispiel die Zahlen 5, 20, 25. Es reicht aus, sie jeweils mit 2, 5 und 4 zu multiplizieren. Sie müssen lediglich nicht nur den Nenner, sondern auch den Zähler mit derselben Zahl multiplizieren.

Für alle anderen Fälle hilft eine einfache Regel: Teilen Sie den Zähler durch den Nenner. In diesem Fall erhalten Sie möglicherweise zwei mögliche Antworten: einen endlichen oder einen periodischen Dezimalbruch.

Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition und Subtraktion

Studierende lernen sie früher kennen als andere. Außerdem haben die Brüche zunächst den gleichen Nenner und dann unterschiedliche. Allgemeine Regeln kann auf einen solchen Plan reduziert werden.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Schreiben Sie zusätzliche Faktoren für alle gewöhnlichen Brüche.

Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner mit den dafür angegebenen Faktoren.

Addieren (subtrahieren) Sie die Zähler der Brüche und lassen Sie den gemeinsamen Nenner unverändert.

Wenn der Zähler des Minuenden kleiner als der Subtrahend ist, müssen wir herausfinden, ob wir eine gemischte Zahl oder einen echten Bruch haben.

Im ersten Fall müssen Sie das gesamte Teil ausleihen. Addiere den Nenner zum Zähler des Bruchs. Und dann führen Sie die Subtraktion durch.

Im zweiten Fall ist es notwendig, die Regel anzuwenden, eine größere Zahl von einer kleineren Zahl zu subtrahieren. Das heißt, vom Modul des Subtrahends subtrahiere das Modul des Minuends und setze als Antwort ein „-“-Zeichen.

Schauen Sie sich das Ergebnis der Addition (Subtraktion) genau an. Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, müssen Sie den ganzen Teil auswählen. Das heißt, man dividiert den Zähler durch den Nenner.

Multiplikation und Division

Um sie auszuführen, müssen Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies erleichtert die Durchführung von Aktionen. Sie verlangen jedoch weiterhin, dass Sie sich an die Regeln halten.

Wenn Sie Brüche multiplizieren, müssen Sie auf die Zahlen im Zähler und Nenner achten. Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, können sie reduziert werden.

Multiplizieren Sie die Zähler.

Multiplizieren Sie die Nenner.

Wenn das Ergebnis ein reduzierbarer Bruch ist, muss er erneut vereinfacht werden.

Beim Dividieren müssen Sie zunächst die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor (zweiter Bruch) durch den Kehrwertbruch (Zähler und Nenner vertauschen).

Gehen Sie dann wie bei der Multiplikation vor (ab Punkt 1).

Bei Aufgaben, bei denen Sie mit einer ganzen Zahl multiplizieren (dividieren) müssen, sollte diese als unechter Bruch geschrieben werden. Also mit einem Nenner von 1. Gehen Sie dann wie oben beschrieben vor.

Operationen mit Dezimalzahlen

Addition und Subtraktion

Natürlich können Sie eine Dezimalzahl jederzeit in einen Bruch umwandeln. Und handeln Sie nach dem bereits beschriebenen Plan. Aber manchmal ist es bequemer, ohne diese Übersetzung zu handeln. Dann sind die Regeln für ihre Addition und Subtraktion genau die gleichen.

Gleichen Sie die Anzahl der Ziffern im Bruchteil der Zahl aus, also nach dem Dezimalpunkt. Fügen Sie die fehlende Anzahl Nullen hinzu.

Schreibe die Brüche so, dass das Komma unter dem Komma steht.

Addiere (subtrahiere) wie natürliche Zahlen.

Entfernen Sie das Komma.

Multiplikation und Division

Wichtig ist, dass Sie hier keine Nullen hinzufügen müssen. Brüche sollten so belassen werden, wie sie im Beispiel angegeben sind. Und dann geht es nach Plan.

Um zu multiplizieren, müssen Sie die Brüche untereinander schreiben und dabei die Kommas ignorieren.

Multiplizieren Sie wie natürliche Zahlen.

Setzen Sie ein Komma in die Antwort und zählen Sie vom rechten Ende der Antwort aus so viele Ziffern, wie in den Nachkommastellen beider Faktoren vorhanden sind.

Um zu dividieren, müssen Sie zunächst den Teiler umwandeln: ihn in eine natürliche Zahl umwandeln. Das heißt, multiplizieren Sie es mit 10, 100 usw., je nachdem, wie viele Ziffern der Bruchteil des Divisors enthält.

Multiplizieren Sie die Dividende mit derselben Zahl.

Teilen Sie eine Dezimalzahl durch natürliche Zahl.

Setzen Sie in Ihrer Antwort ein Komma, wenn die Teilung des gesamten Teils endet.

Was passiert, wenn ein Beispiel beide Arten von Brüchen enthält?

Ja, in der Mathematik gibt es oft Beispiele, in denen Sie Operationen an gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen durchführen müssen. Bei solchen Aufgaben gibt es zwei mögliche Lösungen. Sie müssen die Zahlen objektiv abwägen und die optimale auswählen.

Erster Weg: Stellen Sie gewöhnliche Dezimalzahlen dar

Es eignet sich, wenn durch Division oder Übersetzung endliche Brüche entstehen. Wenn mindestens eine Zahl einen periodischen Teil ergibt, ist diese Technik verboten. Selbst wenn Sie nicht gerne mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten, müssen Sie diese daher zählen.

Zweiter Weg: Dezimalbrüche wie gewöhnlich schreiben

Diese Technik erweist sich als praktisch, wenn der Teil nach dem Komma 1-2 Ziffern enthält. Wenn es mehr davon gibt, erhältst du am Ende möglicherweise einen sehr großen gemeinsamen Bruch und die Dezimalschreibweise macht die Berechnung der Aufgabe schneller und einfacher. Daher müssen Sie die Aufgabe immer nüchtern bewerten und die einfachste Lösungsmethode wählen.

Gemeinsamer Bruch

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es erlaubt, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >" oder " = ". Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nichtnegative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B stehen in derselben Beziehung wie zwei nichtnegative Zahlen und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B.
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Brüche hinzufügen Additionsoperation. A Und B Für alle rationalen Zahlen es gibt ein sogenanntes Summationsregel C Summationsregel. Darüber hinaus die Nummer selbst angerufen Menge A Und B Zahlen und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe .
. Die Summationsregel hat die folgende Form: Additionsoperation. A Und B Für alle rationalen Zahlen Multiplikationsoperation. Multiplikationsregel Summationsregel C Summationsregel. Darüber hinaus die Nummer selbst , was ihnen eine rationale Zahl zuweist Menge A Und B arbeiten und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation .
. Die Multiplikationsregel sieht so aus: Transitivität der Ordnungsrelation. A , B Und Summationsregel Für jedes Tripel rationaler Zahlen A Wenn B Und B Wenn Summationsregel weniger A Wenn Summationsregel, Das A, und wenn B Und B, und wenn Summationsregel weniger A, und wenn Summationsregel gleicht
. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Das Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Zum linken und rechten Teil rationale Ungleichheit Sie können dieselbe rationale Zahl addieren.
maximale Breite: 98 %; Höhe: automatisch; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Axiom des Archimedes. A Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist

.

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Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften rationaler Zahlen werden nicht als grundlegende Eigenschaften unterschieden, da sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen Grundeigenschaften oder direkt durch die Definition eines mathematischen Objekts nachgewiesen werden können . Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon aufzulisten.

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen Um die Anzahl rationaler Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge ermitteln. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu reicht es aus, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt. Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Auf jedem wird eine endlose Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem Um die Anzahl rationaler Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge ermitteln. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu reicht es aus, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt. J ich die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet

- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und

- Spaltennummer.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl einer anderen natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist, dass der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines Bruchs gleich eins ist.

Mit diesem Algorithmus können wir alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuordnet. Das. Auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen abzählbar.

Die Aussage über die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen mag einige Verwirrung stiften, da sie auf den ersten Blick viel umfangreicher zu sein scheint als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann durch niemanden ausgedrückt werden rationale Zahl

Rationale Zahlen der Form 1 / N im Großen und Ganzen N Es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den irreführenden Eindruck, dass mit rationalen Zahlen beliebige geometrische Abstände gemessen werden können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Aus dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Das. Länge der Hypotenuse einer gleichschenkligen rechtwinkliges Dreieck mit einem Einsbein ist gleich, d. h. eine Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass eine Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt werden kann, dann gibt es eine solche ganze Zahl M und so eine natürliche Zahl N, das , und der Bruch ist irreduzibel, also Zahlen M Und N- gegenseitig einfach.

Wenn, dann , d.h. M 2 = 2N 2. Daher die Zahl M 2 ist gerade, aber das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, was bedeutet, dass die Zahl selbst M auch sogar. Es gibt also eine natürliche Zahl k, so dass die Zahl M kann im Formular dargestellt werden M = 2k. Zahlenquadrat M in diesem Sinne M 2 = 4k 2, aber andererseits M 2 = 2N 2 bedeutet 4 k 2 = 2N 2, oder N 2 = 2k 2. Wie bereits bei der Nummer gezeigt M, das bedeutet, dass die Zahl N- auch als M. Aber dann sind sie nicht relativ prim, da beide halbiert sind. Der daraus resultierende Widerspruch beweist, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt.

Von den vielen Brüchen, die es in der Arithmetik gibt, verdienen diejenigen, die 10, 100, 1000 im Nenner haben – im Allgemeinen jede Zehnerpotenz – besondere Aufmerksamkeit. Diese Brüche haben einen besonderen Namen und eine besondere Schreibweise.

Eine Dezimalzahl ist jeder Zahlenbruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist.

Beispiele für Dezimalbrüche:

Warum war es überhaupt notwendig, solche Fraktionen auszusondern? Warum brauchen sie ein eigenes Aufnahmeformular? Dafür gibt es mindestens drei Gründe:

Dezimalzahlen sind viel einfacher zu vergleichen. Denken Sie daran: Um gewöhnliche Brüche zu vergleichen, müssen Sie sie voneinander subtrahieren und insbesondere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Bei Dezimalbrüchen ist nichts dergleichen erforderlich;
Rechenaufwand reduzieren. Dezimalbrüche werden addiert und mit multipliziert eigene Regeln, und nach ein wenig Training werden Sie damit viel schneller arbeiten als mit normalen;
Einfache Aufnahme. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen werden Dezimalzahlen ohne Verlust der Klarheit in einer Zeile geschrieben.

Die meisten Taschenrechner geben Antworten auch in Dezimalzahlen an. In manchen Fällen kann ein anderes Aufnahmeformat Probleme verursachen. Was wäre zum Beispiel, wenn Sie im Laden um Wechselgeld in Höhe von 2/3 eines Rubels bitten :)

Regeln zum Schreiben von Dezimalbrüchen

Der Hauptvorteil von Dezimalbrüchen ist die bequeme und visuelle Notation. Nämlich:

Die Dezimalschreibweise ist eine Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen, bei der der ganzzahlige Teil durch einen regelmäßigen Punkt oder ein Komma vom Bruchteil getrennt wird. In diesem Fall wird das Trennzeichen selbst (Punkt oder Komma) als Dezimalpunkt bezeichnet.

Zum Beispiel 0,3 (sprich: „Null Zeiger, 3 Zehntel“); 7,25 (7 ganze, 25 Hundertstel); 3,049 (3 ganze, 49 Tausendstel). Alle Beispiele sind der vorherigen Definition entnommen.

Beim Schreiben wird üblicherweise ein Komma als Dezimalpunkt verwendet. Hier und im weiteren Verlauf der Website wird auch das Komma verwendet.

Um einen beliebigen Dezimalbruch einzugeben angegebene Form, müssen Sie drei einfache Schritte befolgen:

Schreiben Sie den Zähler separat auf;
Verschieben Sie den Dezimalpunkt um so viele Stellen nach links, wie der Nenner Nullen enthält. Nehmen Sie an, dass sich der Dezimalpunkt zunächst rechts von allen Ziffern befindet.
Wenn sich der Dezimalpunkt verschoben hat und danach am Ende der Eingabe Nullen stehen, müssen diese durchgestrichen werden.

Es kommt vor, dass der Zähler im zweiten Schritt nicht genügend Ziffern hat, um die Verschiebung abzuschließen. In diesem Fall werden die fehlenden Stellen mit Nullen aufgefüllt. Und im Allgemeinen können Sie links von jeder Zahl beliebig viele Nullen zuweisen, ohne Ihre Gesundheit zu beeinträchtigen. Es ist hässlich, aber manchmal nützlich.

Auf den ersten Blick mag dieser Algorithmus recht kompliziert erscheinen. Eigentlich ist alles ganz, ganz einfach – man muss nur ein wenig üben. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Geben Sie für jeden Bruch seine Dezimalschreibweise an:

Der Zähler des ersten Bruchs ist: 73. Wir verschieben den Dezimalpunkt um ein Zeichen (da der Nenner 10 ist) – wir erhalten 7,3.

Zähler des zweiten Bruchs: 9. Wir verschieben den Dezimalpunkt um zwei Stellen (da der Nenner 100 ist) – wir erhalten 0,09. Ich musste eine Null nach dem Komma und eine weitere davor hinzufügen, um keinen seltsamen Eintrag wie „.09“ zu hinterlassen.

Der Zähler des dritten Bruchs ist: 10029. Wir verschieben den Dezimalpunkt um drei Stellen (da der Nenner 1000 ist) – wir erhalten 10,029.

Der Zähler des letzten Bruchs: 10.500. Wieder verschieben wir den Punkt um drei Ziffern – wir erhalten 10.500. Am Ende der Zahl stehen zusätzliche Nullen. Streichen Sie sie durch und wir erhalten 10,5.

Achten Sie auf die letzten beiden Beispiele: die Zahlen 10,029 und 10,5. Gemäß den Regeln müssen die Nullen auf der rechten Seite durchgestrichen werden, wie im letzten Beispiel. Sie sollten dies jedoch niemals mit Nullen innerhalb einer Zahl tun (die von anderen Zahlen umgeben sind). Deshalb haben wir 10,029 und 10,5 erhalten und nicht 1,29 und 1,5.

Also haben wir die Definition und Form der Schreibweise von Dezimalbrüchen herausgefunden. Jetzt wollen wir herausfinden, wie man gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandelt – und umgekehrt.

Umrechnung von Brüchen in Dezimalzahlen

Betrachten wir einen einfachen numerischen Bruch der Form a /b. Sie können die Grundeigenschaft eines Bruchs nutzen und Zähler und Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, dass das Ergebnis eine Zehnerpotenz ist. Aber bevor Sie das tun, lesen Sie Folgendes:

Es gibt Nenner, die nicht auf Zehnerpotenzen reduziert werden können. Lernen Sie, solche Brüche zu erkennen, da sie mit dem unten beschriebenen Algorithmus nicht verarbeitet werden können.

So sind die Dinge. Nun, wie verstehen Sie, ob der Nenner auf eine Zehnerpotenz reduziert wird oder nicht?

Die Antwort ist einfach: Faktorisieren Sie den Nenner Primfaktoren. Enthält die Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5, kann diese Zahl auf eine Zehnerpotenz reduziert werden. Wenn es andere Zahlen gibt (3, 7, 11 – was auch immer), können Sie die Zehnerpotenz vergessen.

Aufgabe. Prüfen Sie, ob die angegebenen Brüche als Dezimalzahlen dargestellt werden können:

Schreiben wir die Nenner dieser Brüche auf und faktorisieren sie:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - es sind nur die Zahlen 2 und 5 vorhanden, daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - es gibt einen „verbotenen“ Faktor 3. Der Bruch kann nicht als Dezimalzahl dargestellt werden.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 · 3 · 2 · 3 · 2 · 5 = 2 · 7 · 5. Alles ist in Ordnung: Es gibt nichts außer den Zahlen 2 und 5. Ein Bruch kann als Dezimalzahl dargestellt werden.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 · 4 · 3. Der Faktor 3 ist wieder „aufgetaucht“. Er kann nicht als Dezimalbruch dargestellt werden.

Damit haben wir den Nenner geklärt – schauen wir uns nun den gesamten Algorithmus zum Umwandeln in Dezimalbrüche an:

Faktorisieren Sie den Nenner des ursprünglichen Bruchs und stellen Sie sicher, dass er im Allgemeinen als Dezimalzahl darstellbar ist. Diese. Überprüfen Sie, ob in der Erweiterung nur die Faktoren 2 und 5 vorhanden sind. Andernfalls funktioniert der Algorithmus nicht.
Zählen Sie, wie viele Zweier und Fünfer in der Erweiterung vorhanden sind (es wird dort keine anderen Zahlen geben, erinnern Sie sich?). Wählen Sie einen zusätzlichen Faktor, sodass die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich ist.
Tatsächlich multiplizieren wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit diesem Faktor – wir erhalten die gewünschte Darstellung, d. h. Der Nenner wird eine Zehnerpotenz sein.

Selbstverständlich wird auch der Zusatzfaktor nur in Zweier und Fünfer zerlegt. Um Ihr Leben nicht zu verkomplizieren, sollten Sie gleichzeitig den kleinsten aller möglichen Multiplikatoren wählen.

Und noch etwas: Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthält, konvertieren Sie diesen Bruch unbedingt in einen unechten Bruch – und wenden Sie erst dann den beschriebenen Algorithmus an.

Aufgabe. Wandeln Sie diese numerischen Brüche in Dezimalzahlen um:

Lassen Sie uns den Nenner des ersten Bruchs faktorisieren: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Daher kann der Bruch als Dezimalzahl dargestellt werden. Die Erweiterung enthält zwei Zweier und keine einzige Fünf, daher beträgt der zusätzliche Faktor 5 2 = 25. Damit ist die Anzahl der Zweier und Fünfer gleich. Wir haben:

Schauen wir uns nun den zweiten Bruch an. Beachten Sie dazu, dass 24 = 3 8 = 3 2 3 – es gibt ein Tripel in der Entwicklung, sodass der Bruch nicht als Dezimalzahl dargestellt werden kann.

Die letzten beiden Brüche haben die Nenner 5 (Primzahl) bzw. 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 – es kommen überall nur Zweier und Fünfer vor. Darüber hinaus reicht im ersten Fall „für vollkommenes Glück“ ein Faktor von 2 nicht aus und im zweiten Fall 5. Wir erhalten:

Umrechnung von Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Die umgekehrte Konvertierung – von der dezimalen in die reguläre Notation – ist viel einfacher. Hier gibt es keine Einschränkungen oder besondere Prüfungen, Sie können also jederzeit einen Dezimalbruch in den klassischen „zweistöckigen“ Bruch umwandeln.

Der Übersetzungsalgorithmus lautet wie folgt:

Streichen Sie alle Nullen auf der linken Seite der Dezimalstelle sowie den Dezimalpunkt durch. Dies ist der Zähler des gewünschten Bruchs. Die Hauptsache ist, es nicht zu übertreiben und die inneren Nullen, die von anderen Zahlen umgeben sind, nicht zu streichen;
Zählen Sie, wie viele Dezimalstellen es nach dem Komma gibt. Nehmen Sie die Zahl 1 und fügen Sie rechts so viele Nullen hinzu, wie Sie Zeichen zählen. Dies wird der Nenner sein;
Schreiben Sie tatsächlich den Bruch auf, dessen Zähler und Nenner wir gerade gefunden haben. Wenn möglich, reduzieren Sie es. Wenn der ursprüngliche Bruch einen ganzzahligen Teil enthielt, erhalten wir nun einen unechten Bruch, was für weitere Berechnungen sehr praktisch ist.

Aufgabe. Konvertieren Sie Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Streichen Sie die Nullen links und die Kommas durch – wir erhalten die folgenden Zahlen(das sind die Zähler): 8; 3107; 225; 72008.

Im ersten und zweiten Bruch gibt es 3 Dezimalstellen, im zweiten 2 und im dritten sogar 4 Dezimalstellen. Wir erhalten die Nenner: 1000; 1000; 100; 10000.

Zum Schluss kombinieren wir die Zähler und Nenner zu gewöhnlichen Brüchen:

Wie aus den Beispielen hervorgeht, kann der resultierende Anteil sehr oft reduziert werden. Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass jeder Dezimalbruch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Die umgekehrte Konvertierung ist möglicherweise nicht immer möglich.