4 trigonometrische Funktionen. Grundlegende trigonometrische Identitäten

In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick darauf. Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die die Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels festlegen und es Ihnen ermöglichen, diese zu finden trigonometrische Funktionen durch einen bekannten Anderen.

Lassen Sie uns gleich die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auflisten, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Schreiben wir sie in eine Tabelle, und unten geben wir die Ergebnisse dieser Formeln an und geben die notwendigen Erklärungen.

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Beziehung zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal geht es nicht um die in der obigen Tabelle aufgeführten wichtigsten trigonometrischen Identitäten, sondern um eine einzige grundlegende trigonometrische Identität Art . Die Erklärung für diese Tatsache ist recht einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Hauptidentität erhalten, nachdem beide Teile durch bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden Und ergeben sich aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher darauf eingehen.

Das heißt, von besonderem Interesse ist die Gleichheit, die den Namen der wichtigsten trigonometrischen Identität erhielt.

Bevor wir die trigonometrische Hauptidentität beweisen, geben wir ihre Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich eins. Jetzt lasst es uns beweisen.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft verwendet, wenn Transformation trigonometrische Ausdrücke . Es ermöglicht, die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins zu ersetzen. Nicht seltener wird die grundlegende trigonometrische Identität verwendet umgekehrte Reihenfolge: Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die Tangens und Kotangens mit Sinus und Cosinus eines Blickwinkels verbinden und ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist der Sinus per Definition die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x und der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d. h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, d. h. .

Dank dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und Tangens und Kotangens werden oft nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus definiert. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Cosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass die Identitäten und finden für alle Winkel statt, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen sinnvoll sind. Die Formel gilt also für alle außer (ansonsten hat der Nenner eine Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als wenn z irgendein Wert ist.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

Noch offensichtlicher trigonometrische Identität als die beiden vorherigen, ist die Identität, die den Tangens und den Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass dies für alle anderen Winkel als gilt, da sonst entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert sind.

Beweis der Formel ganz einfach. Per Definition und von wo . Der Beweis hätte etwas anders erfolgen können. Seit , Das .

Tangens und Kotangens des gleichen Winkels, bei dem sie einen Sinn ergeben, sind also .

Bei Problemen zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie sich immer schnell, welche Seite zur Hypotenuse gehört (angrenzend oder gegenüberliegend). Ich beschloss, es nicht zu lange aufzuschieben, benötigtes Material unten, bitte lesen 😉

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, dass Schüler der 10. bis 11. Klasse Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut daran, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber welche- sie vergessen und verwirrt. Wie man bei einer Prüfung weiß, ist der Preis eines Fehlers ein verlorener Punkt.

Die Informationen, die ich direkt präsentiere, haben nichts mit Mathematik zu tun. Es ist mit figurativem Denken und mit Methoden der verbal-logischen Kommunikation verbunden. Genau so habe ich es ein für alle Mal in ErinnerungDefinitionsdaten. Wenn Sie sie doch einmal vergessen, können Sie sie sich mit den vorgestellten Techniken jederzeit leicht merken.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse:

Welche Assoziationen haben Sie mit dem Wort Kosinus?

Wahrscheinlich hat jeder sein eigenes 😉Denken Sie an den Link:

So wird Ihnen der Ausdruck sofort in Erinnerung bleiben -

«… Verhältnis des ANGRENZENDEN Schenkels zur Hypotenuse».

Das Problem mit der Bestimmung des Kosinus wurde gelöst.

Wenn Sie sich die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck merken müssen, können Sie durch die Erinnerung an die Definition des Kosinus leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse ist. Schließlich gibt es nur zwei Zweige; wenn der benachbarte Zweig vom Kosinus „besetzt“ ist, bleibt nur der gegenüberliegende Zweig beim Sinus.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Die Verwirrung ist dieselbe. Die Schüler wissen, dass dies eine Beziehung der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich daran zu erinnern, welches Bein sich auf welches bezieht – entweder das Gegenteil zum benachbarten Bein oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der angrenzenden zur gegenüberliegenden Seite:

Wie erinnert man sich? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine nutzt ebenfalls einen verbal-logischen Zusammenhang, der andere einen mathematischen.

MATHEMATISCHE METHODE

Es gibt eine solche Definition – der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus des Winkels zu seinem Kosinus:

*Wenn Sie die Formel auswendig gelernt haben, können Sie jederzeit feststellen, dass der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus des Winkels zu seinem Sinus:

Also! Wenn Sie sich diese Formeln merken, können Sie jederzeit Folgendes feststellen:

- Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite

— Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

WORTLOGISCHE METHODE

Über Tangente. Denken Sie an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich die Definition der Tangente merken müssen, können Sie sich mithilfe dieser logischen Verbindung leicht merken, was sie ist

„... das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite“

Wenn wir über Kotangens sprechen, dann können Sie, wenn Sie sich an die Definition von Tangens erinnern, die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

„... das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite“

Auf der Website gibt es einen interessanten Trick, um sich Tangens und Kotangens zu merken " Mathematisches Tandem " , sehen.

UNIVERSELLE METHODE

Man kann es sich einfach merken.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich ein Mensch dank verbal-logischer Zusammenhänge lange an Informationen, und zwar nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Ich werde nicht versuchen, Sie davon zu überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später möchte ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und warum Spickzettel nützlich sind. Und hier finden Sie Informationen dazu, wie Sie nicht lernen, aber sich einige merken trigonometrische Formeln. Also – Trigonometrie ohne Spickzettel! Wir nutzen Assoziationen zum Auswendiglernen.

1. Additionsformeln:

Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor: Kosinus-Kosinus, Sinus-Sinus. Und noch etwas: Kosinuswerte sind „unzureichend“. „Alles stimmt nicht“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.

Nebenhöhlen – „mix“: Sinus-Cosinus, Cosinus-Sinus.

2. Summen- und Differenzformeln:

Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor. Durch Addition zweier Kosinuswerte – „Koloboks“ – erhalten wir ein Kosinuspaar – „Koloboks“. Und wenn wir subtrahieren, erhalten wir definitiv keine Koloboks. Wir bekommen ein paar Sinus. Auch mit einem Minus voraus.

Nebenhöhlen – „mix“ :

3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in Summe und Differenz.

Wann erhalten wir ein Kosinuspaar? Wenn wir Kosinus addieren. Deshalb

Wann bekommen wir ein paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinuswerten. Von hier:

„Mischen“ entsteht sowohl beim Addieren als auch beim Subtrahieren von Sinuswerten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Genau, falten. Und für die Formel nehmen sie den Zusatz:

In der ersten und dritten Formel steht die Summe in Klammern. Durch eine Neuanordnung der Begriffe ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Um jedoch nicht zu verwirren und sich leichter zu merken, nehmen wir in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz

und zweitens - die Menge

Spickzettel in Ihrer Tasche geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie kopieren. Und sie geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.

• 2. Wertebereich: [-1;1]
• 3. Seltsame Funktion.
• 7. Intervalle, in denen die Funktion positiv ist: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. Intervalle, in denen die Funktion negativ ist: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. Zunehmende Intervalle: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. Verringernde Intervalle:
• 11. Mindestpunktzahl: -pi/2 +2*pi*n
• 12. Minimale Funktion: -1
• 13. Maximale Punktzahl: pi/2 +2*pi*n
• 14. Maximale Funktion: 1

Eigenschaften des Kosinus

• 1. Definitionsbereich: gesamte Zahlenachse
• 2. Wertebereich: [-1;1]
• 3. Gleichmäßige Funktion.
• 4. Kleinster positiver Zeitraum: 2*pi
• 5. Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Ox-Achse: (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Oy-Achse: (0;1)
• 7. Intervalle, in denen die Funktion positiv ist: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. Intervalle, in denen die Funktion negativ ist: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. Zunehmende Intervalle: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
• 10. Verringernde Intervalle:
• 11. Mindestpunktzahl: pi+2*pi*n
• 12. Minimale Funktion: -1
• 13. Maximale Punktzahl: 2*pi*n
• 14. Maximale Funktion: 1

Eigenschaften der Tangente

• 1. Definitionsbereich: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. Seltsame Funktion.
• 5. Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Ox-Achse: (pi*n; 0)
• 6. Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Oy-Achse: (0;0)
• 9. Die Funktion nimmt in Intervallen zu (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Eigenschaften des Kotangens

• 1. Domäne: (pi*n; pi +pi*n)
• 2. Wertebereich: gesamte Zahlenachse
• 3. Seltsame Funktion.
• 4. Kleinster positiver Zeitraum: pi
• 5. Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Ox-Achse: (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Oy-Achse: nein
• 7. Intervalle, in denen die Funktion positiv ist: (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. Intervalle, in denen die Funktion negativ ist: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. Die Funktion nimmt in Intervallen ab (pi*n; pi +pi*n)
• 10. Es gibt keine Höchst- und Mindestpunktzahl.

Die folgende Abbildung zeigt mehrere Einheitskreise, die die Vorzeichen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in verschiedenen Koordinatenvierteln angeben.

1. Trigonometrische Funktionen darstellen elementare Funktionen, dessen Argument ist Ecke. Mithilfe trigonometrischer Funktionen werden die Beziehungen zwischen den Seiten und scharfe Ecken in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Einsatzgebiete trigonometrischer Funktionen sind äußerst vielfältig. Beispielsweise können beliebige periodische Prozesse als Summe trigonometrischer Funktionen (Fourier-Reihe) dargestellt werden. Diese Funktionen tauchen häufig bei der Lösung von Differential- und Funktionsgleichungen auf.

2. Zu den trigonometrischen Funktionen gehören die folgenden 6 Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangente,Kotangens, Sekante Und Kosekans. Für jeden spezifizierte Funktionen Es gibt eine umgekehrte trigonometrische Funktion.

3. Geometrische Definition trigonometrische Funktionen lassen sich bequem über eingeben Einheitskreis. Die folgende Abbildung zeigt einen Kreis mit dem Radius r=1. Der Punkt M(x,y) ist auf dem Kreis markiert. Der Winkel zwischen dem Radiusvektor OM und der positiven Richtung der Ox-Achse ist gleich α.

4. Sinus Winkel α ist das Verhältnis der Ordinate y des Punktes M(x,y) zum Radius r:
sinα=y/r.
Da r=1 ist, ist der Sinus gleich der Ordinate des Punktes M(x,y).

5. Kosinus Winkel α ist das Verhältnis der Abszisse x des Punktes M(x,y) zum Radius r:
cosα=x/r

6. Tangente Winkel α ist das Verhältnis der Ordinate y eines Punktes M(x,y) zu seiner Abszisse x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens Winkel α ist das Verhältnis der Abszisse x eines Punktes M(x,y) zu seiner Ordinate y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekante Winkel α ist das Verhältnis des Radius r zur Abszisse x des Punktes M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekans Winkel α ist das Verhältnis des Radius r zur Ordinate y des Punktes M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Im Einheitskreis bilden die Projektionen x, y, die Punkte M(x,y) und der Radius r ein rechtwinkliges Dreieck, in dem x,y die Schenkel und r die Hypotenuse sind. Daher gelten die obigen Definitionen trigonometrischer Funktionen im Anhang rechtwinkliges Dreieck sind wie folgt formuliert:
Sinus Winkel α ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.
Kosinus Winkel α ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse.
Tangente Winkel α wird als Gegenschenkel zum Nachbarschenkel bezeichnet.
Kotangens Der Winkel α wird als angrenzende Seite zur gegenüberliegenden Seite bezeichnet.
Sekante Winkel α ist das Verhältnis der Hypotenuse zum angrenzenden Schenkel.
Kosekans Winkel α ist das Verhältnis der Hypotenuse zum gegenüberliegenden Schenkel.

11. Diagramm der Sinusfunktion
y=sinx, Definitionsbereich: x∈R, Wertebereich: −1≤sinx≤1

12. Diagramm der Kosinusfunktion
y=cosx, Domäne: x∈R, Bereich: −1≤cosx≤1

13. Graph der Tangensfunktion
y=tanx, Definitionsbereich: x∈R,x≠(2k+1)π/2, Bereich: −∞

14. Diagramm der Kotangensfunktion
y=cotx, Definitionsbereich: x∈R,x≠kπ, Bereich: −∞

15. Graph der Sekantenfunktion
y=secx, Domäne: x∈R,x≠(2k+1)π/2, Bereich: secx∈(−∞,−1]∪∪)