Najjednostavnije ispitne jednadžbe. Zadatak Jedinstvenog državnog ispita: rješavanje jednostavnih jednačina

Video kurs “Stekni A” uključuje sve teme koje su vam potrebne uspješan završetak Jedinstveni državni ispit iz matematike za 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sve neophodna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci prvog dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Tricky Tricks rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u pravnom postupku, i/ili na osnovu javnih upita ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Jednačine, dio $C$

Jednakost koja sadrži nepoznati broj, označen slovom, naziva se jednačina. Izraz lijevo od znaka jednakosti naziva se lijeva strana jednačine, a izraz desno desna strana jednačine.

Šema za rješavanje složenih jednačina:

Prije rješavanja jednadžbe potrebno je za nju zapisati raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).
Riješite jednačinu.
Od dobivenih korijena jednadžbe odaberite one koji zadovoljavaju ODZ.

ODZ raznih izraza (pod izrazom podrazumijevamo alfanumeričku notaciju):

1. Izraz u nazivniku ne smije biti jednak nuli.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Radikalni izraz ne smije biti negativan.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. Radikalni izraz u nazivniku mora biti pozitivan.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Za logaritam: sublogaritamski izraz mora biti pozitivan; osnova mora biti pozitivna; Baza ne može biti jednaka jedinici.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritamske jednadžbe

Logaritamske jednadžbe su jednadžbe oblika $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, gdje je $a$ pozitivan broj različit od $1$, i jednačine koje se svode na ovaj oblik.

Da biste riješili logaritamske jednadžbe, morate znati svojstva logaritama: razmotrićemo sva svojstva logaritama za $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – bilo koji realan broj.

1. Za bilo koji realni brojevi$m$ i $n$ imaju sljedeće jednakosti:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritam proizvoda jednak zbiru logaritme na istu bazu od svakog faktora.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritam količnika jednak je razlici između logaritama brojnika i nazivnika koristeći istu bazu

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Kada množite dva logaritma, možete zamijeniti njihove baze

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, ako su $a, b, c$ i $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, gdje je $a, b, c > 0, a≠1$

6. Formula za prelazak na novu bazu

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Posebno ako je potrebno zamijeniti osnovni i podlogaritamski izraz

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Postoji nekoliko glavnih tipova logaritamskih jednadžbi:

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe: $log_(a)x=b$. Rješenje ove vrste jednadžbe proizilazi iz definicije logaritma, tj. $x=a^b$ i $x > 0$

Hajde da predstavimo obe strane jednačine kao logaritam na osnovu $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Ako su logaritmi sa istom osnovom jednaki, onda su i podlogaritamski izrazi jednaki.

Odgovor: $x = 8$

Jednačine oblika: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Jer baze su iste, onda izjednačavamo podlogaritamske izraze i uzimamo u obzir ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Jer baze su iste, onda izjednačavamo podlogaritamske izraze

Prebacimo sve termine na lijeva strana jednadžbi i predstaviti slične pojmove

Provjerimo pronađene korijene prema uslovima $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Prilikom zamjene u drugu nejednačinu, korijen $x=4$ ne zadovoljava uvjet, dakle, to je vanjski korijen

Odgovor: $x=-3$

Varijabilna metoda zamjene.

U ovoj metodi trebate:

Zapišite ODZ jednačine.
Koristeći svojstva logaritma, osigurajte da jednačine proizvode identične logaritme.
Zamijenite $log_(a)f(x)$ bilo kojom promjenljivom.
Riješite jednačinu za novu varijablu.
Vratite se na korak 3, zamijenite vrijednost za varijablu i dobijete najjednostavniju jednačinu oblika: $log_(a)x=b$
Riješite najjednostavniju jednačinu.
Nakon pronalaženja korijena logaritamske jednadžbe, potrebno ih je staviti u korak 1 i provjeriti ODZ uvjet.

Riješite jednačinu $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Zapišimo ODZ jednačinu:

$\table\(\ x>0,\text"pošto je pod znakom korijena i logaritma";\ √x≠1→x≠1;$

2. Napravimo logaritme bazi $2$, za ovo ćemo koristiti pravilo za prelazak na novu bazu u drugom članu:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Hajdemo razlomci - racionalna jednačina u odnosu na varijablu t

Svedimo sve članove na zajednički nazivnik $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Rešimo rezultat kvadratna jednačina prema Vietovoj teoremi:

6. Vratimo se na korak 3, izvršimo obrnutu zamjenu i dobijemo dvije jednostavne logaritamske jednadžbe:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Logaritujmo desnu stranu jednadžbe

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Izjednačimo sublogaritamske izraze

$√x=2$, $√x=4$

Da bismo se riješili korijena, kvadrirajmo obje strane jednadžbe

$h_1=4$, $h_2= 16$

7. Zamijenimo korijene logaritamske jednadžbe u koraku 1 i provjerimo ODZ uvjet.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

Prvi korijen zadovoljava ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Drugi korijen također zadovoljava ODZ.

Odgovor: $4; $16

Jednačine oblika $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Takve jednadžbe se rješavaju uvođenjem nove varijable i prelaskom na običnu kvadratnu jednačinu. Nakon što se pronađu korijeni jednadžbe, oni se moraju odabrati uzimajući u obzir ODZ.

Frakcionalne racionalne jednadžbe

Ako je razlomak nula, tada je brojnik nula, a nazivnik nije nula.
Ako barem jedan dio racionalne jednadžbe sadrži razlomak, tada se jednačina naziva razlomačno-racionalnom.

Da biste riješili frakcionu racionalnu jednadžbu, trebate:

Pronađite vrijednosti varijable kod kojih jednačina nema smisla (ODZ)
Naći zajednički imenilac razlomaka uključenih u jednačinu;
Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom;
Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu;
Isključiti iz njegovih korijena one koji ne zadovoljavaju ODZ uvjet.

Ako jednačina uključuje dva razlomka, a brojnici su njihovi jednaki izrazi, tada se imenioci mogu izjednačiti jedni s drugima i rezultirajuća jednačina se može riješiti bez obraćanja pažnje na brojioce. ALI uzimajući u obzir ODZ cijele originalne jednadžbe.

Eksponencijalne jednadžbe

Eksponencijalne jednadžbe su one u kojima je nepoznata sadržana u eksponentu.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi koriste se svojstva potencija, podsjetimo se nekih od njih:

1. Prilikom množenja stepena sa istim bazama, baza ostaje ista, a eksponenti se sabiraju.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istim bazama, baza ostaje ista, a eksponenti se oduzimaju

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Prilikom podizanja stepena na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti množe

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Kada se proizvod podiže na stepen, svaki faktor se podiže na ovaj stepen

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Kada se razlomak podiže na stepen, brojilac i imenilac se dižu na ovaj stepen

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Kada se bilo koja baza podigne na nulti eksponent, rezultat je jednak jedan

7. Baza u bilo kojem negativnom eksponentu može se predstaviti kao baza u istom pozitivnom eksponentu promjenom položaja baze u odnosu na hod razlomka

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikal (koren) se može predstaviti kao stepen sa razlomačnim eksponentom

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Vrste eksponencijalnih jednadžbi:

1. Jednostavne eksponencijalne jednadžbe:

a) Oblik $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje je $a >0, a≠1, x$ nepoznato. Za rješavanje ovakvih jednačina koristimo svojstvo potencija: potencije sa istom bazom ($a >0, a≠1$) su jednake samo ako su im eksponenti jednaki.

b) Jednačina oblika $a^(f(x))=b, b>0$

Da bi se riješile takve jednadžbe, potrebno je obje strane uzeti logaritamski na bazu $a$, ispada

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Metoda niveliranja baze.

3. Metoda faktorizacije i zamjene varijable.

Za ovu metodu u cijeloj jednadžbi, prema svojstvu potencija, potrebno je potencije transformirati u jedan oblik $a^(f(x))$.
Napravite promjenu varijable $a^(f(x))=t, t > 0$.
Dobijamo racionalnu jednačinu koja se mora riješiti faktoriranjem izraza.
Vršimo obrnute zamjene uzimajući u obzir činjenicu da je $t >

Riješite jednačinu $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Koristeći svojstvo potencija, transformišemo izraz tako da dobijemo stepen 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Promijenimo varijablu $2^x=t; t>0$

Dobijamo kubnu jednačinu oblika

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$

Pomnožite cijelu jednačinu sa $2$ da biste se riješili nazivnika

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

Proširimo lijevu stranu jednačine koristeći metodu grupisanja

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

Izvadimo zajednički faktor $2$ iz prve zagrade i $7t$ iz druge

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Dodatno, u prvoj zagradi vidimo formulu razliku kocki

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Proizvod je nula kada je barem jedan od faktora nula

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Rešimo prvu jednačinu

Rešimo drugu jednačinu preko diskriminanta

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Odgovor: $-1; 0; 1$

4. Metoda konverzije kvadratne jednadžbe

Imamo jednačinu oblika $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, gdje su $A, B$ i $C$ koeficijenti.
Napravimo zamjenu $a^(f(x))=t, t > 0$.
Rezultat je kvadratna jednadžba oblika $A·t^2+B·t+S=0$. Rješavamo rezultirajuću jednačinu.
Vršimo obrnutu supstituciju uzimajući u obzir činjenicu da je $t > 0$. Dobijamo najjednostavnije eksponencijalna jednačina$a^(f(x))=t$, riješi ga i upiši rezultat u odgovor.

Metode faktorizacije:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Da biste polinom faktorirali tako što ćete zajednički faktor izvaditi iz zagrada, trebate:

Odredite zajednički faktor.
Podijelite dati polinom s njim.
Zapišite proizvod zajedničkog faktora i rezultujućeg količnika (uključujući ovaj količnik u zagrade).

Faktor polinoma: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Zajednički faktor ovog polinoma je $2a$, pošto su svi pojmovi djeljivi sa $2$ i "a". Zatim, nalazimo količnik dijeljenja originalnog polinoma sa "2a", dobijamo:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Ovo je konačni rezultat faktorizacije.

Korištenje skraćenih formula za množenje

1. Kvadrat zbira se rastavlja na kvadrat prvog broja plus dvostruki umnožak prvog broja i drugog broja i plus kvadrat drugog broja.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Kvadrat razlike se rastavlja na kvadrat prvog broja minus dvostruki proizvod prvog broja i drugog i plus kvadrat drugog broja.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Razlika kvadrata se rastavlja na proizvod razlike brojeva i njihovog zbira.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Kocka zbira jednaka je kocki prvog broja plus trostruki umnožak kvadrata prvog sa drugim brojem plus trostruki umnožak prvog sa kvadratom drugog broja plus kocka drugog broj.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Kocka razlike jednaka je kocki prvog broja minus trostruki umnožak kvadrata prvog broja sa drugim brojem plus trostruki proizvod prvog sa kvadratom drugog broja i minus kocka od drugi broj.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Zbir kocki jednak je proizvodu zbira brojeva i parcijalnog kvadrata razlike.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Razlika kocki jednaka je proizvodu razlike brojeva i nepotpunog kvadrata zbira.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Metoda grupisanja

Metoda grupisanja je pogodna za korištenje kada je potrebno faktorizirati polinom s parnim brojem članova. IN ovu metodu potrebno je sabrati pojmove u grupe i iz svake grupe izdvojiti zajednički faktor. Nakon što ih stavimo u zagrade, nekoliko grupa treba da dobije identične izraze, onda uzimamo ovu zagradu naprijed kao zajednički faktor i množimo ga sa zagradama rezultirajućeg količnika;

Faktorirajte polinom $2a^3-a^2+4a-2$

Za dekomponovanje ovog polinoma koristićemo metod grupisanja pojmova, za to ćemo grupisati prva dva i poslednja dva člana, a važno je pravilno postaviti znak ispred drugog grupisanja, stavićemo znak + i stoga u zagradama upišite pojmove sa njihovim znacima.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Nakon što smo izvadili zajedničke faktore, dobili smo par identičnih zagrada. Sada uzimamo ovu zagradu kao zajednički faktor.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Proizvod ovih zagrada je konačni rezultat faktorizacije.

Koristeći formulu kvadratnog trinoma.

Ako je dostupno kvadratni trinom oblika $ax^2+bx+c$, onda se može proširiti prema formuli

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, gdje su $x_1$ i $x_2$ korijeni kvadratnog trinoma