Kako prepoznati susjedne i vertikalne uglove. Koji se uglovi nazivaju susjednim? Koliki je zbir dva susedna ugla

U procesu proučavanja kursa geometrije, koncepti "ugla", " vertikalni uglovi”, “susjedni uglovi' su prilično česti. Razumijevanje svakog od pojmova pomoći će razumjeti zadatak i ispravno ga riješiti. Šta su susjedni uglovi i kako ih odrediti?

Susjedni uglovi - definicija koncepta

Termin "susedni uglovi" karakteriše dva ugla formirana zajedničkim zrakom i dve dodatne poluprave koje leže na istoj pravoj. Sve tri grede dolaze iz iste tačke. Zajednička poluprava je istovremeno stranica i jednog i drugog ugla.

Susjedni uglovi - osnovna svojstva

1. Na osnovu formulacije susjednih uglova, lako je vidjeti da zbir takvih uglova uvijek čini pravi ugao, čija je mjera stepena 180°:

• Ako su μ i η susjedni uglovi, tada je μ + η = 180°.
• Poznavajući vrijednost jednog od susjednih uglova (na primjer, μ), lako se može izračunati stepen stepena drugog ugla (η) koristeći izraz η = 180° - μ.

2. Ovo svojstvo uglova vam omogućava da napravite sljedeći izlaz: Ugao koji je u blizini pravog ugla također će biti pravi ugao.

3. Uzimajući u obzir trigonometrijske funkcije(sin, cos, tg, ctg), na osnovu formula redukcije za susjedne uglove μ i η, vrijedi sljedeće:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Susjedni uglovi - primjeri

Primjer 1

Dat je trokut sa vrhovima M, P, Q – ΔMPQ. Pronađite uglove koji su susedni uglovima ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Proširimo svaku stranu trougla kao pravu liniju.
• Znajući da se susjedni uglovi međusobno nadopunjuju u pravi ugao, saznajemo da:

pored ugla ∠QMP je ∠LMP,

pored ugla ∠MPQ je ∠SPQ,

susjedni ugao za ∠PQM je ∠HQP.

Primjer 2

Vrijednost jednog susjednog ugla je 35°. Kolika je mjera stepena drugog susjednog ugla?

• Zbir dva susjedna ugla iznosi 180°.
• Ako je ∠μ = 35°, onda je susjedni ∠η = 180° – 35° = 145°.

Primjer 3

Odredite vrijednosti susjednih uglova, ako je poznato da je mjera stepena jednog od dna tri puta veća od stepena mjere drugog ugla.

• Označimo vrijednost jednog (manjeg) ugla kroz – ∠μ = λ.
• Tada će, prema uslovu zadatka, vrijednost drugog ugla biti jednaka ∠η = 3λ.
• Na osnovu osnovnog svojstva susjednih uglova, slijedi μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Dakle, prvi ugao je ∠μ = λ = 45°, a drugi ugao je ∠η = 3λ = 135°.

Sposobnost privlačenja terminologije, kao i poznavanje osnovnih svojstava susjednih uglova, pomoći će u rješavanju mnogih geometrijskih problema.

Od ovoga postoje . Ako su dva ugla susedna i jednaka u isto vreme, onda su pravi uglovi. Ako je jedan od susednih uglova pravi, odnosno 90 stepeni, onda je i drugi ugao pravi. Ako je jedan od susjednih uglova oštar, onda će drugi biti tup. Slično, ako je jedan od uglova tup, onda će drugi biti oštar.

Oštar ugao- ovo je onaj čija je mjera stepena manja od 90 stepeni, ali veća od 0. Tup ugao ima stepenu mjeru veću od 90 stepeni, ali manju od 180.

Još jedno svojstvo susjednih uglova formulirano je na sljedeći način: ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi susjedni njima jednaki. To je da ako postoje dva ugla za koje je mjera stepena ista (na primjer, 50 stepeni) i istovremeno jedan od njih ima susjedni ugao, tada su vrijednosti ovih susjednih uglova također se poklapaju (u primjeru, njihova mjera stepena će biti 130 stepeni).

Izvori:

• Veliki Encyclopedic Dictionary- Susedni uglovi
• Ugao od 180 stepeni

Riječ "" ima razne interpretacije. U geometriji, ugao je deo ravni omeđen sa dve zrake koje izlaze iz jedne tačke - vrha. Kada mi pričamo o ravnim, oštrim, razvijenim uglovima, onda se misli na geometrijske uglove.

Kao i svaki oblik u geometriji, uglovi se mogu porediti. Jednakost uglova je određena kretanjem. Ugao je lako podijeliti na dva jednaka dijela. Podjela na tri dijela je malo teže, ali se to ipak može učiniti ravnalom i šestarom. Inače, ovaj zadatak se činio prilično teškim. Geometrijski je lako opisati da je jedan ugao veći ili manji od drugog.

Jedinica mjere za uglove je 1/180

Kako pronaći susjedni ugao?

Matematika je najstarija egzaktna nauka koja se obavezno izučava u školama, fakultetima, institutima i univerzitetima. Međutim, osnovno znanje se uvijek polaže u školi. Ponekad dijete dobije dosta teške zadatke, a roditelji ne mogu pomoći, jer su jednostavno zaboravili neke stvari iz matematike. Na primjer, kako pronaći susjedni ugao prema vrijednosti glavnog ugla, itd. Zadatak je jednostavan, ali može biti težak za rješavanje zbog nepoznavanja koji se uglovi nazivaju susjednim i kako ih pronaći.

Pogledajmo pobliže definiciju i svojstva susjednih uglova, kao i kako ih izračunati iz podataka u zadatku.

Definicija i svojstva susjednih uglova

Dvije zrake koje izlaze iz iste tačke formiraju lik koji se naziva "ravni ugao". U ovom slučaju, ova tačka se naziva vrh ugla, a zrake su njegove stranice. Ako se jedna od zraka nastavi dalje od početne tačke duž prave linije, tada se formira drugi ugao, koji se naziva susjednim. Svaki ugao u ovom slučaju ima dva susjedna ugla, jer su stranice ugla ekvivalentne. To jest, uvijek postoji susjedni ugao od 180 stepeni.

Glavna svojstva susjednih uglova uključuju

• Susedni uglovi imaju zajednički vrh i jednu stranu;
• Zbir susjednih uglova je uvijek 180 stepeni, ili pi ako je proračun u radijanima;
• Sinusi susjednih uglova su uvijek jednaki;
• Kosinusi i tangente susjednih uglova su jednaki, ali imaju suprotne predznake.

Kako pronaći susjedne uglove

Obično su date tri varijacije zadataka za pronalaženje vrijednosti susjednih uglova

• Zadata je vrijednost glavnog ugla;
• Dat je omjer glavnog i susjednog ugla;
• Zadata je vrijednost vertikalnog ugla.

Svaka verzija problema ima svoje rješenje. Hajde da ih razmotrimo.

S obzirom na vrijednost glavnog ugla

Ako je vrijednost glavnog ugla naznačena u zadatku, pronalaženje susjednog ugla je vrlo jednostavno. Da biste to učinili, dovoljno je oduzeti vrijednost glavnog ugla od 180 stepeni i dobit ćete vrijednost susjednog ugla. Ovo rešenje dolazi iz svojstva susednog ugla - zbir susednih uglova je uvek 180 stepeni.

Ako je vrijednost glavnog ugla data u radijanima i u zadatku je potrebno pronaći susjedni ugao u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost glavnog ugla, pošto je vrijednost punog ugla od 180 stepeni je jednako broju Pi.

S obzirom na omjer glavnog i susjednog ugla

U zadatku se umjesto stupnjeva i radijana vrijednosti glavnog ugla može dati omjer glavnog i susjednog ugla. U ovom slučaju rješenje će izgledati kao jednadžba proporcija:

1. Proporciju proporcije glavnog ugla označavamo kao varijablu "Y".
2. Proporcija koja se odnosi na susjedni ugao označava se kao varijabla "X".
3. Broj stupnjeva koji padaju na svaku proporciju, označavamo, na primjer, "a".
4. Opšta formula će izgledati ovako - a*X+a*Y=180 ili a*(X+Y)=180.
5. Zajednički faktor jednačine "a" nalazimo po formuli a=180/(X+Y).
6. Zatim dobijenu vrijednost zajedničkog faktora "a" pomnožimo s dijelom ugla koji treba odrediti.

Na ovaj način možemo pronaći vrijednost susjednog ugla u stepenima. Međutim, ako trebate pronaći vrijednost u radijanima, onda samo trebate pretvoriti stupnjeve u radijane. Da biste to uradili, pomnožite ugao u stepenima sa pi i podelite sa 180 stepeni. Rezultirajuća vrijednost će biti u radijanima.

S obzirom na vrijednost vertikalnog ugla

Ako u zadatku nije data vrijednost glavnog ugla, ali je data vrijednost vertikalnog ugla, tada se susjedni ugao može izračunati po istoj formuli kao u prvom paragrafu, gdje je data vrijednost glavnog ugla .

Vertikalni ugao je ugao koji dolazi iz iste tačke kao i glavni, ali je istovremeno usmeren u potpuno suprotnom smeru. Tako ispada odraz ogledala. To znači da je vertikalni ugao jednak po veličini glavnom. Zauzvrat, susjedni kut okomitog ugla jednak je susjednom kutu glavnog ugla. Zahvaljujući tome, moguće je izračunati susjedni ugao glavnog ugla. Da biste to učinili, jednostavno oduzmite vrijednost vertikale od 180 stupnjeva i dobijete vrijednost susjednog ugla glavnog ugla u stepenima.

Ako je vrijednost data u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost vertikalnog ugla, jer je vrijednost punog ugla od 180 stepeni jednaka broju Pi.

Također možete pročitati naše korisnih članaka i .

Pitanje 1. Koji se uglovi nazivaju susjednim?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne poluprave.
Na slici 31, uglovi (a 1 b) i (a 2 b) su susjedni. Imaju zajedničku stranu b, a stranice a 1 i a 2 su dodatne poluprave.

Pitanje 2. Dokažite da je zbir susjednih uglova 180°.
Odgovori. Teorema 2.1. Zbir susjednih uglova je 180°.
Dokaz. Neka su ugao (a 1 b) i ugao (a 2 b) dati susedni uglovi (vidi sliku 31). Greda b prolazi između stranica a 1 i a 2 razvijenog ugla. Dakle, zbir uglova (a 1 b) i (a 2 b) jednak je razvijenom uglu, odnosno 180°. Q.E.D.

Pitanje 3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi koji su im susjedni jednaki.
Odgovori.

Iz teoreme 2.1 Iz toga slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi koji su im susjedni jednaki.
Recimo da su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki. Moramo dokazati da su uglovi (a 2 b) i (c 2 d) također jednaki.
Zbir susjednih uglova je 180°. Iz ovoga slijedi da je a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + c 2 d = 180°. Dakle, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b i c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Pošto su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki, dobijamo da je a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Svojstvom tranzitivnosti predznaka jednakosti slijedi da je a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pitanje 4. Koji ugao se naziva pravi (oštar, tup)?
Odgovori. Ugao jednak 90° naziva se pravi ugao.
Ugao manji od 90° naziva se oštar ugao.
Ugao veći od 90° i manji od 180° naziva se tupim uglom.

Pitanje 5. Dokažite da je ugao koji se nalazi pored pravog ugla pravi ugao.
Odgovori. Iz teoreme o zbiru susednih uglova sledi da je ugao susedan pravom uglu pravi ugao: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Pitanje 6. Koji su vertikalni uglovi?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla komplementarne poluprave stranica drugog.

Pitanje 7. Dokažite da su vertikalni uglovi jednaki.
Odgovori. Teorema 2.2. Vertikalni uglovi su jednaki.
Dokaz. Neka su (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dati vertikalni uglovi (slika 34). Ugao (a 1 b 2) graniči sa uglom (a 1 b 1) i sa uglom (a 2 b 2). Odavde, teoremom o zbiru susednih uglova, zaključujemo da svaki od uglova (a 1 b 1) i (a 2 b 2) nadopunjuje ugao (a 1 b 2) do 180°, tj. uglovi (a 1 b 1) i (a 2 b 2) su jednaki. Q.E.D.

Pitanje 8. Dokažite da ako je u presjeku dvije prave jedan od uglova pravi, onda su i ostala tri ugla prava.
Odgovori. Pretpostavimo da se prave AB i CD seku u tački O. Pretpostavimo da je ugao AOD 90°. Pošto je zbir susjednih uglova 180°, dobijamo da je AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Ugao COB je okomit u odnosu na AOD ugao, tako da su jednaki. To jest, ugao COB = 90°. COA je okomita u odnosu na BOD, tako da su jednaki. To jest, ugao BOD = 90°. Dakle, svi uglovi su jednaki 90°, odnosno svi su u redu. Q.E.D.

Pitanje 9. Koje se prave nazivaju okomiti? Koji znak se koristi za označavanje okomitosti linija?
Odgovori. Dvije prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.
Okomitost linija je označena sa \(\perp\). Unos \(a\perp b\) glasi: "Prava a je okomita na pravu b".

Pitanje 10. Dokažite da se kroz bilo koju tačku prave može povući prava okomita na nju, i to samo jednu.
Odgovori. Teorema 2.3. Kroz svaku liniju možete nacrtati pravu okomitu na nju, i to samo jednu.
Dokaz. Neka je a data prava i A data tačka na njoj. Označite sa a 1 jednu od poluprava pravom linijom a sa početnom tačkom A (slika 38). Od poluprave a 1 odvojiti ugao (a 1 b 1) jednak 90°. Tada će pravac koji sadrži zraku b 1 biti okomit na pravu a.

Pretpostavimo da postoji još jedna prava koja također prolazi kroz tačku A i okomita je na pravu a. Označimo sa c 1 polupravu ove prave koja leži u istoj poluravni sa zrakom b 1 .
Uglovi (a 1 b 1) i (a 1 c 1), po 90°, položeni su u jednoj poluravni od poluprave a 1 . Ali od poluprave a 1, u ovoj poluravni može se izdvojiti samo jedan ugao jednak 90°. Dakle, ne može postojati druga prava koja prolazi kroz tačku A i okomita na pravu a. Teorema je dokazana.

Pitanje 11.Šta je okomita na pravu?
Odgovori. Okomita na datu pravu je odsječak okomit na datu pravu, čiji je jedan od svojih krajeva u tački presjeka. Ovaj kraj segmenta se zove osnovu okomito.

Pitanje 12. Objasni šta je dokaz kontradikcijom.
Odgovori. Metoda dokaza koju smo koristili u teoremi 2.3 naziva se dokazom po kontradikciji. Ovaj način dokaza sastoji se u tome da prvo postavimo pretpostavku suprotnu od onoga što je navedeno u teoremi. Zatim, rasuđivanjem, oslanjajući se na aksiome i dokazane teoreme, dolazimo do zaključka koji je u suprotnosti ili sa uslovom teoreme, ili sa jednom od aksioma, ili sa prethodno dokazanom teoremom. Na osnovu toga zaključujemo da je naša pretpostavka bila pogrešna, što znači da je tvrdnja teoreme tačna.

Pitanje 13.Šta je simetrala ugla?
Odgovori. Simetrala ugla je zraka koja dolazi iz vrha ugla, prolazi između njegovih stranica i dijeli ugao na pola.

Dva ugla koji se nalaze na istoj pravoj liniji i imaju jedan vrh nazivaju se susjednim.

Inače, ako je zbir dva ugla na istoj pravoj 180 stepeni i imaju zajedničku stranu, onda su to susedni uglovi.

1 susjedni ugao + 1 susjedni ugao = 180 stepeni.

Susedni uglovi su dva ugla koja imaju jednu zajedničku stranu, a druge dve strane čine pravu liniju kao celinu.

Zbir dva susedna ugla je uvek 180 stepeni. Na primjer, ako je jedan ugao 60 stepeni, onda će drugi nužno biti jednak 120 stepeni (180-60).

Uglovi AOC i BOC su susedni uglovi, jer su ispunjeni svi uslovi za karakterizaciju susednih uglova:

1.OS - zajednička strana dva ugla

2.AO - strana ugla AOC, OB - strana ugla BOS. Ove strane zajedno čine pravu liniju AOB.

3. Postoje dva ugla i njihov zbir je 180 stepeni.

Sjećajući se školskog kursa geometrije, o susjednim uglovima možemo reći sljedeće:

susjedni uglovi imaju jednu zajedničku stranu, a druge dvije strane pripadaju istoj pravoj liniji, odnosno nalaze se na istoj pravoj liniji. Ako prema slici, onda su uglovi OWL i BOA susjedni uglovi, čiji je zbir uvijek jednak 180, jer dijele pravi ugao, a ravan ugao je uvijek jednak 180.



Susjedni uglovi su lak koncept u geometriji. Susedni uglovi, ugao plus ugao sabiraju do 180 stepeni.

Dva susjedna ugla - ovo će biti jedan rasklopljeni ugao.

Postoji još nekoliko nekretnina. Sa susjednim uglovima, lako je rješavati probleme i dokazivati ​​teoreme.

Susjedni uglovi nastaju kada se zrak povuče iz proizvoljne tačke na pravoj liniji. Tada se ispostavlja da je ova proizvoljna tačka vrh ugla, zraka je zajednička strana susjednih uglova, a linija iz koje je povučena zraka su dvije preostale strane susjednih uglova. Susjedni uglovi mogu biti ili isti u slučaju okomite, ili različiti u kosoj gredi. Lako je vidjeti da je zbir susjednih uglova 180 stepeni, ili samo prava linija. Na drugi način se ovaj ugao može objasniti jednostavan primjer- prvo ste išli u jednom pravcu u pravoj liniji, a zatim se predomislili, odlučili da se vratite i okrenuli ste se za 180 stepeni i krenuli u istoj pravoj liniji u suprotnom smeru.



Dakle, šta je susedni ugao? definicija:

Susedna su dva ugla sa zajedničkim vrhom i jednom zajedničkom stranom, a druge dve strane ovih uglova leže na istoj pravoj liniji.



I mali video lekcija u kojoj se razumno prikazuje o susjednim uglovima, okomitim uglovima, plus o okomitim linijama, koje su poseban slučaj susjednih i okomitih uglova

Susjedni uglovi su uglovi kojima je jedna strana zajednička, a druga jedna prava.

Susjedni uglovi su uglovi koji zavise jedan od drugog. Odnosno, ako se zajednička strana malo zarotira, tada će se jedan ugao smanjiti za nekoliko stepeni, a drugi će se automatski povećati za isti broj stepeni. Ovo svojstvo susjednih uglova omogućava rješavanje u geometriji razne zadatke i izvode dokaze raznih teorema.

Ukupan zbir susednih uglova je uvek 180 stepeni.



Iz predmeta geometrije, (koliko se sećam za 6. razred), dva ugla se nazivaju susedni, kod kojih je jedna strana zajednička, a druge strane su dodatne zrake, zbir susednih uglova je 180. Svaki od dva susedna ugla dopunjuju drugi zaokrenutim uglom. Primjer susjednih uglova:



Susedni uglovi su dva ugla sa zajedničkim vrhom, čija je jedna strana zajednička, a preostale stranice leže na istoj pravoj liniji (ne poklapaju se). Zbir susjednih uglova je sto osamdeset stepeni. Generalno, sve ovo je vrlo lako pronaći u Google-u ili udžbeniku geometrije.