Възлови мрежи. Метод на възлите в задача B5 За мрежа от тройни плоски възли

Има чудесна формула, която ви позволява да броите област на полигонана координатната мрежа почти без грешки. Дори не е формула, реално е теорема. На пръв поглед може да изглежда сложно. Но е достатъчно да решите няколко задачи - и ще разберете колко страхотна е тази функция. Така че давай!

Да започнем с нова дефиниция:

Координатен стеков възел е всяка точка, която се намира в пресечната точка на вертикалните и хоризонталните линии на тази мрежа.

Обозначаване:

На първата снимка възлите изобщо не са маркирани. Вторият има 4 възела. И накрая, на третата снимка са маркирани всичките 16 възела.

Какво общо има това с проблем B5? Факт е, че върховете на многоъгълника в такива проблеми Винагилежат във възлите на мрежата. Като следствие, следната теорема работи за тях:

Теорема. Да разгледаме многоъгълник върху координатна мрежа, чиито върхове лежат във възлите на тази мрежа. Тогава площта на многоъгълника е:

където n е броят на възлите в даден полигон, k е броят на възлите, които лежат на неговата граница (гранични възли).

Като пример, разгледайте обикновен триъгълник върху координатна мрежа и се опитайте да маркирате вътрешните и граничните възли.

Първата снимка показва обикновен триъгълник. На втората снимка са отбелязани вътрешните й възли, чийто брой е n = 10. На третата снимка са отбелязани възлите, лежащи на границата, общо k = 6 от тях.

Може би много читатели не разбират как се броят числата n и k. Започнете с вътрешни възли. Тук всичко е очевидно: боядисваме върху триъгълника с молив и виждаме колко възли са засенчени.

С граничните възли е малко по-сложно. многоъгълна граница - затворена прекъсната линия, който пресича координатната мрежа в много точки. Най-лесният начин е да маркирате някаква "начална" точка и след това да обиколите останалите.

Граничните възли ще бъдат само онези точки от полилинията, в които те се пресичат едновременно три реда:

1. Всъщност прекъсната линия;
2. Хоризонтална линия на мрежата;
3. вертикална линия.

Нека да видим как всичко работи в реални проблеми.

Задача. Намерете площта на триъгълник, ако размерът на клетката е 1 x 1 cm:

Първо, нека маркираме възлите, които лежат вътре в триъгълника, както и на неговата граница:

Оказва се, че има само един вътрешен възел: n = 1. Има шест гранични възела: три съвпадат с триъгълни върхове, а още три лежат отстрани. Общо k = 6.

Сега изчисляваме площта по формулата:

Това е всичко! Проблема решен.

Задача. Намерете площта на четириъгълник, изобразен върху карирана хартия с размер на клетката 1 см на 1 см. Дайте отговора си в квадратни сантиметри.

Отново маркираме вътрешните и граничните възли. Вътрешните възли са n = 2. Гранични възли: k = 7, от които 4 са върховете на четириъгълника, а още 3 лежат отстрани.

Остава да заменим числата n и k във формулата на площта:

Обърнете внимание на последния пример. Този проблем всъщност беше предложен по време на диагностичната работа през 2012 г. Ако работите по стандартната схема, ще трябва да направите много допълнителни конструкции. А по метода на възлите всичко се решава почти устно.

Важна забележка относно зоните

Но формулата не е всичко. Нека пренапишем малко формулата, като поставим членовете от дясната страна до общ знаменател. Получаваме:

Числата n и k са броят на възлите, те винаги са цели числа. Така че целият числител също е цяло число. Разделяме го на 2, което предполага важен факт:

Площта винаги е изразена цяло число или дроб. Освен това в края на дробта винаги има „пет десети“: 10,5; 17,5 и т.н.

По този начин площта в задача B5 винаги се изразява като цяло число или дроб от формата ***.5. Ако отговорът е различен, това означава, че някъде е допусната грешка. Имайте това предвид, когато се явявате на истинския изпит по математика!

Те са леки, ажурни, с ясен модел на мрежест възел само когато са направени от равномерна и гладка нишка (без мъх): това е въдица, ленени конци и силно усукана вълна. Чрез намаляване или увеличаване на разстоянието между възлите, мрежите се изплитат около триизмерни обекти, точно повтарящи тяхната форма. Но преди всичко монотонната ненатрапчива текстура на решетката се използва като фон за основния модел.

Има определени правила за тъкане на мрежи:

• колкото по-големи са празнините между нишките, окачени на основата, толкова по-деликатна е мрежата;
• броят на нишките, окачени на основата, трябва да бъде кратен на броя на нишките в един възел;
• възли и работни нишки от възли, изтъкани в шахматна дъска, сменят местата си след всеки ред, поради което се консумират равномерно;
• броят на редовете се брои от страничния ръб на мрежата (отгоре надолу) по крайните възли, като се има предвид, че възлите на нечетните редове са разположени на самия ръб, а четните се преместват по-дълбоко;
• броят на висящите нишки зависи от мотива на шаблона (мотивът е определен брой възли, които се повтарят ритмично в шаблона).

Решетка от прости възли (фиг. 164, а).

Краищата на висящите нишки за тъкане на мрежата трябва да са 2 пъти по-дълги от височината на готовия продукт. Можете да работите от дясно на ляво и от ляво на дясно.

Закрепете 4 нишки с дължина 1 м върху основата на разстояние 2-3 см една от друга, като ги сгънете наполовина (получиха се 8 нишки).

1-ви ред - отстъпвайки от основата с 1 см, завържете един ляв прост възел на всяка двойка нишки (фиг. 164, b) и ги закрепете с щифт към половината - получиха се 4 възела (фиг. 164, c ).

2-ри ред - оставете настрана най-лявата нишка и на следващите 2 (1 нишка от възлите на 1-ви ред) завържете ляв прост възел, отстъпвайки от 1-вия ред с 2-3 см. След това на всяка следваща 2 нишка тъчете възли , като ги поставите на едно ниво с 1-ви възел. Последната най-дясна нишка остана свободна. Образуваха се 3 възела, които са разположени шахматно спрямо възлите от 1-ви ред.

Тези възли също са закрепени към възглавницата.

3-ти ред - вкарайте в работа 1 крайна свободна нишка и 2-3 см под 2-ри ред, завържете обикновен възел на всяка двойка нишки. Образуваха се 4 възела (както на 1-ви ред).

4-ти ред - тъчете като 2-ри, като се стремите да поддържате равни разстояния между редовете.

Фигури 164, 165 и 166:

За да предотвратите плъзгане на мрежата върху възглавницата, не забравяйте да закрепите възлите с щифтове - това ще помогне да се избегнат изкривени редове. Уверете се, че свободните нишки по ръбовете на мрежата са с еднакъв размер във всички редове.

Мрежата може да бъде изплетена в кръг, ако завържете краищата на основата. В този случай няма свободни нишки, тъй като всички нишки участват в тъкането на всеки ред.

Решетка от преплетени прости възли (фиг. 165, а).

В този модел 2 прости възела се завързват на всеки 2 нишки, като се преплитат заедно: първо десният прост възел се завързва (не плътно) на левия конец, след това десният конец се издърпва в примката на свободния възел (фиг. 165, б) и левият прост възел се завързва, докато затягате десния. И двата възела трябва да се преплитат симетрично (фиг. 165, c) - такова преплитане се нарича "любовен възел".

Решетка от възли за вратовръзка (фиг. 166).

Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 2. Дължината им трябва да бъде 2 пъти височината на мрежата.

Решетки от арменски възли.

Изчислението за набор от нишки е същото като в предишната решетка, ако възлите са вързани на 2 нишки (фиг. 167, а). Друга версия на шаблона (фиг. 167, b): възли в нечетни редове се правят на 3 нишки, в четни - на 2. Броят на краищата на висящите нишки в този модел трябва да бъде разделен на 3. Тяхната дължина е не е същото (фиг. 168): късите нишки са равни на височината на решетката, дългите трябва да са 2 пъти по-големи.

Схема 167-168:

Мрежи от бримкови възли.

Те са ажурни или по-плътни в зависимост от броя на възлите във всяка връзка: колкото по-малко са възлите, толкова по-плътна е мрежата.

Решетка от единични десни възли

(плътна - фиг. 169). Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 2, дължината им трябва да бъде 2 пъти височината на решетката.

Схема 169-172:

За мрежа от тройни едностранни възли

(всички 3 вдясно) - фиг. 170, броят на краищата на висящите нишки е кратен на 4. Дължината на нечетните нишки трябва да бъде равна на височината на решетката, четните - 2,5 пъти по-дълги.

Ажурна мрежа от комбинация от десни и леви бримкови възли

(фиг. 171) са направени от нишки, които са 2,5 пъти по-дълги от височината им, броят им трябва да се дели на 2.

Ажурна мрежа с квадратни клетки

(фиг. 172) са изтъкани от вериги от "змии", всяка от които се състои от 4-6 бримкови възела. "Змиите" са свързани по двойки с двоен плосък възел. Броят на краищата на висящите нишки за мрежата е кратен на 4, дължината им трябва да бъде 3 пъти височината на мрежата.

Решетки от възли "фриволите".

Възлите в тях се завързват с единичен конец (фиг. 173, а) и двоен конец (фиг. 173, б). Дължината на висящите нишки в тези две мрежи трябва да бъде 3 пъти височината на мрежата. Броят на краищата за първата мрежа трябва да се дели на 2, за втората - на 4.

Схема 173-176:

Решетка-мешка от възли "фриволите" (фиг. 174).

Тъка се чрез редуване на десните и левите възли за плетене: в нечетните редове всеки 2 конеца се завързват с ляв възел, в четните редове десните възли се завързват на същите възли, като се използват работни конци от противоположния възел на предходния ред. . В този случай възлите не са подредени шахматно, а във вертикални редове един под друг. Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 2 плюс 1 за симетрия, възлестите нишки трябва да са равни на дължината на мрежата, работните нишки трябва да са 2,5 пъти по-дълги.

Решетки от повторни възли.

Изтъкани са с диагонални и вертикални рипсови възли.

При тъкане на мрежа с големи клетки (фиг. 175, а) нечетните редове се изпълняват на всеки 2 нишки, като се завързват с диагонални възли отляво надясно (десният конец в лявата ръка е възел, лявата нишка в дясната ръката работи). В равномерни редове функциите на нишките се променят: възлите от предишния ред стават работещи. Възлите се изпълняват от дясно на ляво.

Ако възлите на мрежата са разположени близо един до друг, тогава повърхността на тъкане е фино резервирана (фиг. 175, b). Тази мрежа се нарича туид и букле. Броят на краищата на висящите нишки трябва да се дели на 2, дължината им трябва да бъде 4 пъти височината на мрежата.

Тъкане на решетка с триъгълни клетки от вертикални репсови възли

(Фиг. 176) е подобно на тъкането на хоризонтална булка от вертикални рипсови възли (виж Фиг. 38, c).

Краищата на висящите нишки трябва да са със същата дължина като мрежата, броят им трябва да се дели на 2. Преди работа всички нишки се разделят на 2 - нодуларни, а в 1-вия ред с допълнителна нишка като работна нишка, една вертикална повторна нишка се вмъква във всяка двойка нишки.възел (отдясно наляво). На следващия ред шахматно се преразпределят заплетените конци и всяка двойка заплетени конци се оплита отляво надясно. Работната нишка за тъкане може да се отреже според нуждите.

Решетки от плоски възли.

Те са много популярни в тъкането. Някои от тях приличат на дантела, други, много плътни, идват със сложно тъкане на нишки.

Изплита се плътна мрежа от единични плоски възли, като възлите се завързват плътно един до друг. Решетката може да бъде направена по-рядка и релефна (фиг. 177), ако всяка връзка е изтъкана от няколко възела (трябва да има достатъчно, за да може коприварчето да се обърне на ръба).

Броят на краищата на висящите нишки и за двете мрежи е кратен на 4. Дължината на краищата за първата мрежа трябва да бъде 3 пъти, а за втората мрежа 5 пъти нейната височина.

Схема 177-180:

Решетка от двойни плоски възли - "шахматна дъска" (фиг. 178)

Има по-ясна текстура, ако напречните ленти на всички възли са разположени от едната страна. Броят на краищата на висящите конци е кратен на 4. Дължината им трябва да е 4 пъти височината на мрежата.

Структурата на двойния плосък възел ви позволява да тъчете мрежа без висящи нишки върху основата. Вместо това се използват щифтове: нишките се сгъват наполовина, закрепват се с бримка до възглавницата и на всеки 4 от тях се завързват двойни плоски възли (фиг. 179).

Тази техника се използва при тъкане на дрехи, шалове, т.е. когато е необходим еластичен ръб.

За тъкане на мрежа от сдвоени двойни плоски възли на 6 нишки

(фиг. 180) краищата на висящите нишки трябва да са 3 пъти по-дълги от височината на решетката, а броят им трябва да се дели на 6. Първо се завързва двоен плосък възел върху средните 4 нишки (2, 3, 4 и 5) и работниците се отделят настрани нишки (2-ри и 5-ти), след което завържете 2-ри възел върху същите възли (3-ти и 4-ти) свободни нишки (1-ви и 6-ти). Започвайки и завършвайки следващия ред, първите и последните 3 нишки се отвеждат отстрани, средните нишки се преразпределят на шест.

По същия принцип се изплита мрежа от двойни плоски възли, свързани с 3 (фиг. 181). Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 8, дължината им трябва да бъде 2-3 пъти височината на мрежата.

Мрежа от ажурни габарити (фиг. 182) се изпълнява на същия брой нишки като предишната, но нишките се преразпределят, след като 2 групи от 3 възела са вързани на същите нодуларни с интервал между групите от 0,5 cm.

Схема 181-184:

В решетка от двойни плоски възли - "полотнянка"

(фиг. 183) - възлите не са разположени шахматно, а един под друг. Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 4, дължината им трябва да бъде 3 пъти височината на мрежата.

Решетка-мережка

(фиг. 184) се извършва чрез кръстосване на работните нишки във всеки ред. Дължината на работните нишки е 4-6 пъти по-голяма от нодуларните нишки, дължината на нодулните нишки е равна на височината на мрежата. Броят на краищата на нишките, окачени на основата, трябва да се дели на 4. Уверете се, че сплитането на работните нишки е еднакво навсякъде: дясно над ляво.

За мрежа с големи клетки от двойни плоски възли

(Фиг. 185) броят на краищата на висящите нишки е кратен на 6 плюс 4 нишки за симетрия на шарката, дължината на завързаните нишки (2, 3, 5 и 6-та) трябва да бъде равна на височината на решетката, работните нишки (1-ва и 4-та) в 2 пъти по-дълги.

Схема 185-188

За мрежа от тройни плоски възли

(фиг. 186) броят на краищата на висящите нишки е кратен на 4, дължината им трябва да бъде 4 пъти височината на решетката.

За мрежа от плоски сложни възли

(фиг. 187) броят на краищата на висящите нишки е кратен на 6, дължината им трябва да бъде 4 пъти височината на решетката.

За мрежа с "мухи"

(фиг. 188) броят на краищата на висящите нишки трябва да се дели на 4, дължината им трябва да бъде 3,5-4 пъти височината на мрежата. "Мухата" е изтъкана от 4 нишки (1-ва и 4-та - работни, 2-ра и 3-та - възли): първо левият единичен плосък възел е вързан, след това десният прост възел е вързан към 2 възли (фиг. 189, a ) и под тях - двоен плосък възел с лява напречна греда (фиг. 189, b). Ако "мухите" се изпълняват върху дебели нишки, тогава вместо двоен плосък възел се завързва десен единичен плосък възел (фиг. 189, c).

Схема 189-191

Решетка от китайски възли (фиг. 190).

Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 2, тяхната дължина трябва да бъде 3 пъти по-голяма от височината на мрежата (вижте техниката на завързване на възел на фиг. 139, a, b). Ако окачите нишките, като ги редувате по цвят, тогава нечетните редове на решетката ще бъдат от двуцветни възли, а четните редове ще бъдат от един цвят (фиг. 191).

Решетка от възли "Josephine" (фиг. 192).

По-добре е да го изпълнявате от снопове нишки или единични, но дебели нишки. Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 2, дължината им трябва да бъде 4 пъти височината на мрежата.

Схема 192-193:

Решетка от плитки (фиг. 193).

Той е доста сложен в изпълнението, тъй като при тъкането е трудно да се поддържа същото разстояние между плитките. Броят на краищата на висящите нишки е кратен на 2, дължината им трябва да бъде 4-5 пъти височината на мрежата.

Фрагменти от геометрична мрежа.

Ритъмът на възлите на мрежата лесно се преустройва в геометрични фигури: шестоъгълници (фиг. 194, а), триъгълници (фиг. 194, b), ромби (фиг. 194, c).

Техниката на тяхното тъкане е много проста. Например, ако е изтъкан триъгълник, тогава в началото и в края на всеки нов ред не се плетат 2 крайни нишки и тогава в реда ще има 1 възел по-малко, отколкото в предишния. Така тъчете, докато остане само 1 възел. За тъкане на триъгълник разпределението на възлите в редове се обозначава с числа, например 3, 2, 1. Ако се изпълнява ромб, тогава те започват с 1 възел: 1 двоен плосък възел е вързан на 4 средни нишки, нишките се разпределят под него по 2 и, добавяйки още 2 свободни от ръбовете, завържете под 1-вия възел 2 двойни плоски в шахматен ред. В следващите редове те също се прикрепят

2 нишки отляво и отдясно и в резултат на това платното се разширява след всеки ред с 1 възел. След като завършите горната половина на ромба, тъчете долната. Брой възли в редовете: 1.2, 3.2, 1.

Пример за друго разпределение на възли в редове 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - според тази сметка ромбите са изтъкани от арменски (фиг. 195, а), диагонален реп (фиг. 195, b) и пионерски възли (фиг. 195, c) и от плоски вериги (фиг. 195, d).

Схема 194 - 195

Възлите на мрежата се подреждат хармонично в хоризонтална линия

(Фиг. 196, а) и вертикални (фиг. 196, б) зигзагообразни линии. По-удобно е да тъчете хоризонтална с отделни ъгли и след това да ги свържете с възел, като използвате нишките на съседни фрагменти. Ъглите се тъкат по следния начин: първо се завързва горният централен възел, след това нишките под него се разделят по равно (например по 2) и се изпращат 2 наляво, 2 надясно. Под 1-вия възел отляво се завързва нов възел, като се използват 2 леви нишки от 1-вия възел и 2 свободни отляво. Завържете възел отдясно по същия начин. След това изплетете още 1 възел отдясно и отляво, като използвате 2 свободни нишки и 2 нишки от предишния възел. Така тъчете диагонално до желания размер на ъгъла с горната част отгоре. Чрез свързване на 2 ъгъла с върхове, насочени в противоположни посоки, се получава ромб, чиято среда е запълнена със свободни нишки (фиг. 197, а). Съгласно същия принцип е изтъкан шестоъгълник (фиг. 197, b).

Схема 196-199

По-плътна диагонална линия от възли

(Фиг. 198) се получава, ако за всеки нов възел се използват 3 нишки от предишния възел (1 нодуларен, 2 работни) и 1 свободен.

Приемане на свързване на мрежата с фрагменти от други модели.

Монотонна мрежа от мрежи се използва за създаване на нови модели. На решетките различните тъкани фрагменти изглеждат по-релефни, изпъкнали и изразителни. Как се вплитат комбинации от вериги, възли и други елементи в решетката? Запознайте се с тези техники, като използвате примера на решетка "шахматна дъска" в средата с общ двоен плосък възел (фиг. 199, а).

Първо се рисува скица на нов модел и се определят размерът и местоположението на възела. Като правило, той се въвежда в ромб от свободни работни нишки (фиг. 199, b). Решетката се изплита до върха на ромба, след което не се връзват възли там, където е маркиран ромба: първо 1 възел (горната част на ромба), на следващия ред още 2 възела в шахматен ред, след това 3 възела и така докато се получи желаната ширина на ромба. След това се завързва общ възел. Колкото повече нишки остават за възела, толкова по-ефективен е той (когато завързвате, не го изкривявайте: центърът на възела трябва да съвпада с центъра на ромба). Изправете нишките под възела и изплетете долната половина на ромба, като постепенно включите 2 крайни нишки от общия възел в работата.