C 14 е аритметичният квадратен корен. Коренни формули
Факт 1.
\(\bullet\) Нека вземем някакво неотрицателно число \(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), когато на квадрат получаваме числото \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условиесъществуване корен квадратени те трябва да се помнят!
Спомнете си, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На какво е равно \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността на \(\sqrt a\) се нарича извличане на корен квадратен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича радикален израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, израз \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.
Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите естествени числаот \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]
Факт 3.
Какви операции можете да правите с квадратни корени?
\(\bullet\) Сума или разлика квадратни корениНЕ Е РАВНО на корен квадратен от сбора или разликата, т.е \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и след това ги сгънете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира в както и да е, Ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За съжаление, този израз не може да бъде допълнително опростен\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратния корен на големи числакато ги факторизираме.
Нека разгледаме един пример. Нека намерим \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\), т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (кратка нотация за израза \(5\cdot \sqrt2\)). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \
Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбирате, не можем по някакъв начин да трансформираме числото \(\sqrt2\). Нека си представим, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо повече от \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\)). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\) Те често казват „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на число . Например, можете да вземете корена на числото \(16\), защото \(16=4^2\) , следователно \(\sqrt(16)=4\) . Но е невъзможно да се извлече коренът на числото \(3\), тоест да се намери \(\sqrt3\), защото няма число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така нататък. са ирационални.
Също ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3.14\)), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, то е приблизително равно на \(2.7 \)) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички са рационални и всичко ирационални числаобразуват множество, наречено набор от реални числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат реални числа.
Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) на истинска линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателните числа модулът „изяжда“ минуса, докато положителните числа, както и числото \(0\), остават непроменени от модула.
НОТова правило важи само за числа. Ако под вашия знак за модул има неизвестно \(x\) (или друго неизвестно), например \(|x|\) , за което не знаем дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава същият: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Много често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също. Това е вярно само ако \(a\) е положително число или нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, тогава това е невярно. Достатъчно е да разгледаме този пример. Нека вземем вместо \(a\) числото \(-1\) . Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е да се използва знакът за корен с отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\)
;
\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест, когато вземем корена на число, което е на някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (имайте предвид, че ако модулът не е доставен, се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25\ ) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да се случи: когато извличаме корен, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)
Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) За квадратни корени е вярно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо, нека трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Между какви цели числа се намира \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Нека сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да приемем, че \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадратиране на двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше неправилно и \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делението на двете страни на неравенство с положително число също не влияе на неговия знак, но умножението/делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да поставите на квадрат двете страни на уравнение/неравенство САМО АКО двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример можете да поставите на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Трябва да се помни, че \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако може да се извлече) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това – между кои „ десетки” и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи това с пример.
Нека вземем \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (това е например между \(120\) и \(130\)). Също така от таблицата с квадрати знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа, когато се повдигнат на квадрат, дават \(4\) в края? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Нека намерим \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!
За да решите адекватно Единния държавен изпит по математика, първо трябва да изучите теоретичен материал, който ви запознава с множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. И намирането на основни формули за Единния държавен изпит по математика може да бъде трудно дори в Интернет.
Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които полагат Единния държавен изпит?
- Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света около тях. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
- Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за Единния държавен изпит по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли компетентно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава и прави изводи.
Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.
Какво е квадратен корен?
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази концепция е много проста. Естествен, бих казал. Математиците се опитват да намерят реакция за всяко действие. Има събиране - има и изваждане. Има умножение - има и деление. Има квадратура... Значи също има вземане на корен квадратен!Това е всичко. Това действие ( корен квадратен) в математиката се обозначава с тази икона:
Самата икона се нарича красива дума " радикален".
Как да извлечете корена?По-добре е да погледнете примери.
Колко е корен квадратен от 9? Кое число на квадрат ще ни даде 9? 3 на квадрат ни дава 9! Тези:
Но какво е корен квадратен от нула? Няма проблем! Какво число на квадрат прави нулата? Да, дава нула! означава:
Схванах го, какво е квадратен корен?След това обмисляме примери:
Отговори (в безпорядък): 6; 1; 4; 9; 5.
Решихте ли? Наистина, колко по-лесно е това?!
Но... Какво прави човек като види някаква задача с корени?
Човек започва да се натъжава... Не вярва в простотата и лекотата на корените си. Въпреки че изглежда знае какво е корен квадратен...
Това е така, защото човекът е пренебрегнал няколко важни точки при изучаването на корените. Тогава тези прищявки си отмъщават жестоко на контролни и изпити...
Точка едно. Трябва да разпознаете корените по очите!
Колко е корен квадратен от 49? Седем? вярно! Как разбра, че е седем? Поставих на квадрат седем и получих 49? вярно! Моля, имайте предвид, че извлечете коренаот 49 трябваше да направим обратната операция - квадрат 7! И гледай да не пропуснем. А може и да са пропуснали...
Това е трудността извличане на корени. КвадратМожете да използвате всеки номер без никакви проблеми. Умножете число само по себе си с колона - това е всичко. Но за извличане на корениНяма толкова проста и безотказна технология. Ние трябва да Вдигниотговорете и проверете дали е верен, като го повдигнете на квадрат.
Този сложен творчески процес - избор на отговор - е значително опростен, ако вие помняквадрати на популярни числа. Като таблица за умножение. Ако, да речем, трябва да умножите 4 по 6, вие не добавяте четири 6 пъти, нали? Веднага излиза отговор 24. Въпреки че не всеки го разбира, да...
За да работите свободно и успешно с корени, е достатъчно да знаете квадратите на числата от 1 до 20. Освен това тамИ обратно.Тези. трябва да можете лесно да изрецитирате, да речем, 11 на квадрат и корен квадратен от 121. За да постигнете това запомняне, има два начина. Първият е да научите таблицата на квадратите. Това ще бъде голяма помощ при решаването на примери. Второто е да се решат повече примери. Това значително ще ви помогне да запомните таблицата с квадратите.
И никакви калкулатори! Само за тестови цели. В противен случай ще се забавите безмилостно по време на изпита...
Така, какво е корен квадратенИ как екстракт от корени- Мисля, че е ясно. Сега нека разберем от КАКВО можем да ги извлечем.
Точка две. Root, не те познавам!
От кои числа можете да извадите квадратен корен? Да, почти всеки от тях. По-лесно е да разберете от какво е забранено еизвлечете ги.
Нека се опитаме да изчислим този корен:
За да направим това, трябва да изберем число, което на квадрат ще ни даде -4. Ние избираме.
Какво, не става ли? 2 2 дава +4. (-2) 2 дава отново +4! Това е... Няма числа, които, повдигнати на квадрат, да ни дадат отрицателно число! Въпреки че знам тези цифри. Но няма да ви кажа). Отидете в колеж и ще разберете сами.
Същата история ще се случи с всяко отрицателно число. Оттук и заключението:
Израз, в който има отрицателно число под знака за квадратен корен - няма смисъл! Това е забранена операция. То е също толкова забранено, колкото и деленето на нула. Запомнете твърдо този факт!Или с други думи:
Не можете да извличате квадратни корени от отрицателни числа!
Но от всички останали това е възможно. Например, напълно е възможно да се изчисли
На пръв поглед това е много трудно. Избиране на дроби и повдигането им на квадрат... Не се притеснявайте. Когато разберем свойствата на корените, такива примери ще бъдат сведени до същата таблица с квадрати. Животът ще стане по-лесен!
Добре, дроби. Но все още срещаме изрази като:
Всичко е наред. Все същото. Корен квадратен от две е числото, което, когато се повдигне на квадрат, ни дава две. Само това число е напълно нечетно... Ето го:
Интересното е, че тази дроб никога не свършва... Такива числа се наричат ирационални. При квадратни корени това е най-често срещаното нещо. Между другото, затова се наричат изрази с корени ирационален. Ясно е, че писането на такава безкрайна дроб през цялото време е неудобно. Следователно, вместо безкрайна дроб, те го оставят така:
Ако при решаването на пример се окажете с нещо, което не може да бъде извлечено, като:
тогава го оставяме така. Това ще бъде отговорът.
Трябва ясно да разберете какво означават иконите
Разбира се, ако се вземе коренът на числото гладка, трябва да направите това. Отговорът на задачата е във формата напр
Съвсем пълен отговор.
И, разбира се, трябва да знаете приблизителните стойности от паметта:
Това знание много помага за оценка на ситуацията при сложни задачи.
Точка три. Най-хитрият.
Основното объркване при работа с корени е причинено от тази точка. Той е този, който дава увереност в собствените си способности... Нека да се справим с тази точка правилно!
Първо, нека отново извадим корен квадратен от четири от тях. Вече ви притеснявах ли с този корен?) Няма значение, сега ще бъде интересно!
Какво число прави 4 на квадрат? Е, две, две - чувам недоволни отговори...
вярно две. Но също минус двеще даде 4 на квадрат... Междувременно отговорът
правилно и отговорът
груба грешка. Като този.
И така, каква е сделката?
Наистина, (-2) 2 = 4. И според дефиницията на корен квадратен от четири минус дведоста подходящ... Това също е корен квадратен от четири.
Но! В училищния курс по математика е обичайно да се вземат предвид квадратни корени само неотрицателни числа!Тоест нула и всички са положителни. Дори е измислен специален термин: от номера А- Това неотрицателничисло, чийто квадрат е А. Отрицателните резултати при извличане на аритметичен квадратен корен просто се изхвърлят. В училище всичко е корен квадратен - аритметика. Въпреки че това не се споменава особено.
Добре, това е разбираемо. Дори е по-добре да не се занимавате с отрицателни резултати... Това още не е объркване.
Объркването започва при решаването на квадратни уравнения. Например, трябва да решите следното уравнение.
Уравнението е просто, ние пишем отговора (както се преподава):
Този отговор (между другото абсолютно правилен) е само съкратена версия двеотговори:
Спри, спри! Точно по-горе написах, че квадратният корен е число Винагинеотрицателен! И ето един от отговорите - отрицателен! Разстройство. Това е първият (но не и последният) проблем, който предизвиква недоверие към корените... Нека разрешим този проблем. Нека запишем отговорите (само за разбиране!) така:
Скобите не променят същността на отговора. Просто го отделих със скоби знациот корен. Сега можете ясно да видите, че самият корен (в скоби) все още е неотрицателно число! И знаците са резултат от решаването на уравнението. В крайна сметка, когато решаваме всяко уравнение, трябва да пишем всичко Xs, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще дадат правилния резултат. Корен от пет (положително!) с плюс и минус се вписва в нашето уравнение.
Като този. Ако ти просто вземете корен квадратенот всичко, ти ВинагиВие получавате едно неотрицателнорезултат. Например:
Защото то - аритметичен квадратен корен.
Но ако решавате някакво квадратно уравнение, като:
Че ВинагиОказва се двеотговор (с плюс и минус):
Защото това е решението на уравнението.
надежда, какво е корен квадратенИзяснихте точките си. Сега остава да разберем какво може да се направи с корените, какви са техните свойства. И какви са точките и клопките... извинете, камъни!)
Всичко това е в следващите уроци.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Математиката възниква, когато човекът осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, преброявате това, което ви заобикаля, е това, което е в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха частици от елементарната математика, които позволяваха да се свържат числата с техните физически изрази, по-късно изводите започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, „ математиката достигна тавана на сложността, когато изчезнаха от нея." всички числа." Концепцията за „квадратен корен“ се появява във време, когато може лесно да бъде подкрепена от емпирични данни, излизащи отвъд равнината на изчисленията.
Където започна всичко
Първото споменаване на корена, който в момента се обозначава като √, е записано в произведенията на вавилонските математици, които полагат основите на съвременната аритметика. Разбира се, те почти не приличаха на настоящата форма - учените от онези години за първи път използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. Те изведоха приблизителна формула за изчисление, която показа как да се извлече корен квадратен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонски учени са издялали процеса за извеждане на √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора се открива само в десетия знак след десетичната запетая.
Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страна на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато се решават квадратни уравнения, няма измъкване от извличането на корена.
Наред с вавилонските трудове обектът на статията е изследван и в китайския труд „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не може да бъде извлечен без остатък, дава ирационален резултат .
Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корен, подобно на растение. На латински тази дума звучи като радикс (можете да проследите модел - всичко, което има „коренно“ значение, е съгласно, било то репичка или радикулит).
Учените от следващите поколения подхванаха тази идея, обозначавайки я като Rx. Например, през 15-ти век, за да се покаже, че е взет корен квадратен от произволно число a, те са написали R 2 a. „Кърлежът“, познат на съвременните очи, се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.
Нашите дни
В математически термини квадратният корен от число y е числото z, чийто квадрат е равен на y. С други думи, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Това определение обаче е приложимо само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателна стойност на израза. С други думи, √y=z, където z е по-голямо или равно на 0.
Като цяло, което се прилага за определяне на алгебричен корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. Така, поради факта, че z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.
Поради факта, че любовта към математиката се е увеличила само с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, наред с такива интересни явления като Деня на Пи, се празнуват и празници на корен квадратен. Празнуват се девет пъти на всеки сто години и се определят на следния принцип: числата, които посочват по ред деня и месеца, трябва да са корен квадратен от годината. И така, следващият път, когато ще празнуваме този празник, е 4 април 2016 г.
Свойства на квадратния корен върху полето R
Почти всички математически изрази имат геометрична основа и √y, което се определя като страна на квадрат с площ y, не е избегнало тази съдба.
Как да намерим корена на число?
Има няколко алгоритъма за изчисление. Най-простият, но в същото време доста тромав, е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:
1) от числото, чийто корен ни трябва, нечетните числа се изваждат на свой ред - докато остатъкът на изхода е по-малък от извадения или дори равен на нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане желаното число. Например, изчисляване на корен квадратен от 25:
Следващото нечетно число е 11, остатъкът е: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
За такива случаи има разширение на серия Тейлър:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, където n приема стойности от 0 до
+∞ и |y|≤1.
Графично представяне на функцията z=√y
Нека разгледаме елементарната функция z=√y върху полето от реални числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Графикът му изглежда така:
Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).
Свойства на функцията z=√y върху полето от реални числа R
1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата е включена).
2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (отново е включена нула).
3. Функцията приема минималната си стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.
4. Функцията z=√y не е нито четна, нито нечетна.
5. Функцията z=√y не е периодична.
6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z=√y с координатните оси: (0; 0).
7. Пресечната точка на графиката на функцията z=√y е и нулата на тази функция.
8. Функцията z=√y непрекъснато нараства.
9. Функцията z=√y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.
Опции за показване на функцията z=√y
В математиката, за да се улесни изчисляването на сложни изрази, понякога се използва степенната форма на записване на квадратния корен: √y=y 1/2. Тази опция е удобна, например, при повдигане на функция на степен: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него квадратният корен се представя като обикновена степенна функция.
И в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.
Струва си да се отбележи, че в тази област квадратният корен е много търсен, тъй като е част от повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се самоизвиква).
Корен квадратен в комплексно поле C
Като цяло темата на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на четен корен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: нейният квадрат е -1. Благодарение на това квадратните уравнения бяха решени дори с отрицателен дискриминант. В C същите свойства са приложими за квадратния корен като в R, единственото нещо е, че ограниченията върху радикалния израз са премахнати.
Учениците винаги питат: „Защо не мога да използвам калкулатор на изпита по математика? Как да извадя корен квадратен от число без калкулатор? Нека се опитаме да отговорим на този въпрос.
Как да извадя корен квадратен от число без помощта на калкулатор?
Действие корен квадратенобратно на действието на повдигане на квадрат.
√81= 9 9 2 =81
Ако вземете корен квадратен от положително число и повдигнете резултата на квадрат, ще получите същото число.
От малки числа, които са точни квадрати на естествени числа, например 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, могат да се извадят корени квадратни устно. Обикновено в училище учат таблица с квадрати на естествени числа до двадесет. Познавайки тази таблица, е лесно да извлечете квадратни корени от числата 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. От числа, по-големи от 400, можете да ги извлечете, като използвате метода за избор, като използвате някои съвети. Нека се опитаме да разгледаме този метод с пример.
Пример: Извадете корена на числото 676.
Забелязваме, че 20 2 = 400 и 30 2 = 900, което означава 20< √676 < 900.
Точните квадрати на естествените числа завършват на 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Числото 6 е дадено от 4 2 и 6 2.
Това означава, че ако коренът е взет от 676, тогава той е или 24, или 26.
Остава да проверим: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Отговор: √676 = 26 .
| Повече ▼ пример: √6889 .
Тъй като 80 2 = 6400 и 90 2 = 8100, тогава 80< √6889 < 90.
Числото 9 е дадено от 3 2 и 7 2, тогава √6889 е равно на 83 или 87.
Нека проверим: 83 2 = 6889.
Отговор: √6889 = 83 .
Ако ви е трудно да решите с помощта на метода за подбор, можете да факторизирате радикалния израз.
Например, намерете √893025.
Нека да разложим на множители числото 893025, не забравяйте, че го направихте в шести клас.
Получаваме: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
| Повече ▼ пример: √20736. Нека разложим числото 20736 на множители:
Получаваме √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Разбира се, факторизирането изисква познаване на знаците за делимост и умения за факторизиране.
И накрая, има правило за извличане на квадратни корени. Нека се запознаем с това правило с примери.
Изчислете √279841.
За да извлечем корена на многоцифрено цяло число, ние го разделяме отдясно наляво на лица, съдържащи 2 цифри (най-левият край може да съдържа една цифра). Записваме го така: 27’98’41
За да получим първата цифра на корена (5), изваждаме корен квадратен от най-големия перфектен квадрат, който се съдържа в първото лице вляво (27).
След това квадратът на първата цифра на корена (25) се изважда от първото лице и следващото лице (98) се добавя към разликата (изважда се).
Отляво на полученото число 298 напишете двойната цифра на корена (10), разделете на него броя на всички десетки от предварително полученото число (29/2 ≈ 2), проверете частното (102 ∙ 2 = 204 трябва да бъде не повече от 298) и напишете (2) след първата цифра на корена.
След това полученото частно 204 се изважда от 298 и следващото ребро (41) се добавя към разликата (94).
Отляво на полученото число 9441 напишете двойното произведение на цифрите на корена (52 ∙2 = 104), разделете броя на всички десетки на числото 9441 (944/104 ≈ 9) на този продукт, проверете частното (1049 ∙9 = 9441) трябва да бъде 9441 и го запишете (9) след втората цифра на корена.
Получихме отговора √279841 = 529.
Извлечете по подобен начин корени от десетични дроби. Само коренното число трябва да бъде разделено на лица, така че запетаята да е между лицата.
Пример. Намерете стойността √0,00956484.
Само не забравяйте, че ако една десетична дроб има нечетен брой десетични знаци, квадратният корен не може да бъде извлечен от нея.
Така че сега видяхте три начина за извличане на корена. Изберете този, който ви подхожда най-добре и практикувайте. За да се научите да решавате проблеми, трябва да ги разрешите. И ако имате въпроси, запишете се за моите уроци.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
В тази статия ще представим понятие корен от число. Ще продължим последователно: ще започнем с квадратния корен, оттам ще преминем към описанието на кубичния корен, след което ще обобщим понятието корен, дефинирайки n-тия корен. В същото време ще въведем определения, обозначения, ще дадем примери за корени и ще дадем необходимите обяснения и коментари.
Корен квадратен, корен квадратен аритметичен
За да разберете дефиницията на корен от число и по-специално на корен квадратен, трябва да имате . В този момент често ще срещаме втората степен на числото - квадрата на числото.
Да започнем с дефиниции на корен квадратен.
Определение
Корен квадратен от aе число, чийто квадрат е равен на a.
За да донесе примери за квадратни корени, вземем няколко числа, например 5, −0.3, 0.3, 0, и ги повдигнем на квадрат, получаваме съответно числата 25, 0.09, 0.09 и 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 и 0 2 =0·0=0 ). Тогава, по дефиницията, дадена по-горе, числото 5 е корен квадратен от числото 25, числата −0,3 и 0,3 са корен квадратен от 0,09, а 0 е корен квадратен от нула.
Трябва да се отбележи, че не за всяко число a съществува a, чийто квадрат е равен на a. А именно, за всяко отрицателно число a няма реално число b, чийто квадрат да е равен на a. Всъщност равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a, тъй като b 2 е неотрицателно число за всяко b. По този начин, няма квадратен корен от отрицателно число в множеството от реални числа. С други думи, в множеството от реални числа квадратният корен от отрицателно число не е дефиниран и няма значение.
Това води до логичен въпрос: „Има ли квадратен корен от a за всяко неотрицателно a“? Отговорът е да. Този факт може да бъде оправдан от конструктивния метод, използван за намиране на стойността на квадратния корен.
Тогава възниква следващият логичен въпрос: „Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено неотрицателно число a - едно, две, три или дори повече“? Ето отговора: ако a е нула, тогава единственият квадратен корен от нула е нула; ако a е някакво положително число, тогава броят на квадратните корени на числото a е две, а корените са . Нека оправдаем това.
Нека започнем със случая a=0. Първо, нека покажем, че нулата наистина е корен квадратен от нула. Това следва от очевидното равенство 0 2 =0·0=0 и дефиницията на квадратния корен.
Сега нека докажем, че 0 е единственият квадратен корен от нула. Нека използваме обратния метод. Да предположим, че има някакво ненулево число b, което е квадратен корен от нула. Тогава условието b 2 =0 трябва да бъде изпълнено, което е невъзможно, тъй като за всяко ненулево b стойността на израза b 2 е положителна. Стигнахме до противоречие. Това доказва, че 0 е единственият квадратен корен от нула.
Нека да преминем към случаите, когато а е положително число. По-горе казахме, че винаги има квадратен корен от всяко неотрицателно число, нека квадратният корен от a е числото b. Да кажем, че има число c, което също е квадратен корен от a. Тогава по дефиницията на квадратен корен равенствата b 2 =a и c 2 =a са верни, от което следва, че b 2 −c 2 =a−a=0, но тъй като b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , тогава (b−c)·(b+c)=0 . Полученото равенство е валидно свойства на операциите с реални числавъзможно само когато b−c=0 или b+c=0 . Така числата b и c са равни или противоположни.
Ако приемем, че има число d, което е друг корен квадратен от числото a, тогава чрез разсъждения, подобни на вече дадените, се доказва, че d е равно на числото b или числото c. И така, броят на квадратните корени от положително число е две, а квадратните корени са противоположни числа.
За удобство при работа с квадратни корени, отрицателният корен е „отделен“ от положителния. За целта се въвежда дефиниция на аритметичен квадратен корен.
Определение
Аритметичен корен квадратен от неотрицателно число ае неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a.
Нотацията за аритметичния корен квадратен от a е . Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен. Нарича се още радикален знак. Следователно понякога можете да чуете и „корен“, и „радикал“, което означава един и същ обект.
Извиква се числото под знака за аритметичен квадратен корен радикално число, а изразът под знака за корен е радикален израз, докато терминът „радикално число“ често се заменя с „радикален израз“. Например в записа числото 151 е радикално число, а в записа изразът a е радикален израз.
При четене думата „аритметика“ често се пропуска, например записът се чете като „корен квадратен от седем точка двадесет и девет“. Думата „аритметика“ се използва само когато искат да подчертаят, че говорим конкретно за положителен корен квадратен от число.
В светлината на въведената нотация, от дефиницията на аритметичен квадратен корен следва, че за всяко неотрицателно число a .
Квадратни корени от положително число a се записват с помощта на аритметичния знак за квадратен корен като и . Например квадратният корен от 13 е и . Аритметичният корен квадратен от нула е нула, т.е. За отрицателни числа a няма да придаваме значение на нотацията, докато не изучим комплексни числа. Например изразите и са безсмислени.
Въз основа на дефиницията на квадратния корен се доказват свойствата на квадратния корен, които често се използват в практиката.
В заключение на тази точка отбелязваме, че квадратните корени на числото a са решения на формата x 2 =a по отношение на променливата x.
Кубичен корен от число
Определение за кубичен коренна числото a се дава подобно на дефиницията на корен квадратен. Само че се основава на концепцията за куб от число, а не за квадрат.
Определение
Кубичен корен от aе число, чийто куб е равен на a.
Да дадем примери за кубични корени. За да направите това, вземете няколко числа, например 7, 0, −2/3, и ги кубирайте: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Тогава, въз основа на определението за кубичен корен, можем да кажем, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула и −2/3 е кубичен корен от −8/27.
Може да се покаже, че кубичният корен от число, за разлика от квадратния корен, винаги съществува, не само за неотрицателно a, но и за всяко реално число a. За да направите това, можете да използвате същия метод, който споменахме при изучаването на квадратни корени.
Освен това има само един кубичен корен от дадено число a. Нека докажем последното твърдение. За да направите това, разгледайте три случая поотделно: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.
Лесно е да се покаже, че ако a е положително, кубичният корен на a не може да бъде нито отрицателно число, нито нула. Наистина, нека b е кубичен корен от a, тогава по дефиниция можем да запишем равенството b 3 =a. Ясно е, че това равенство не може да бъде вярно за отрицателно b и за b=0, тъй като в тези случаи b 3 =b·b·b ще бъде съответно отрицателно число или нула. Така че кубичният корен на положително число a е положително число.
Сега да предположим, че в допълнение към числото b има друг кубичен корен от числото a, нека го обозначим с. Тогава c 3 =a. Следователно b 3 −c 3 =a−a=0, но b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(това е формулата за съкратено умножение разлика от кубчета), откъдето (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Полученото равенство е възможно само когато b−c=0 или b 2 +b·c+c 2 =0. От първото равенство имаме b=c, а второто равенство няма решения, тъй като лявата му страна е положително число за всякакви положителни числа b и c като сбор от три положителни члена b 2, b·c и c 2. Това доказва уникалността на кубичния корен на положително число a.
Когато a=0, кубичният корен на числото a е само числото нула. Наистина, ако приемем, че има число b, което е различен от нула кубичен корен от нула, тогава трябва да е в сила равенството b 3 =0, което е възможно само когато b=0.
За отрицателно a могат да бъдат дадени аргументи, подобни на случая за положително a. Първо, показваме, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен нито на положително число, нито на нула. Второ, приемаме, че има втори кубичен корен от отрицателно число и показваме, че той задължително ще съвпадне с първия.
И така, винаги има кубичен корен от всяко дадено реално число а и то уникален.
Да дадем дефиниция на аритметичен кубичен корен.
Определение
Аритметичен кубичен корен от неотрицателно число aе неотрицателно число, чийто куб е равен на a.
Аритметичният кубичен корен на неотрицателно число a се означава като , знакът се нарича знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в тази нотация се нарича коренов индекс. Числото под знака на корена е радикално число, изразът под знака за корен е радикален израз.
Въпреки че аритметичният кубичен корен е дефиниран само за неотрицателни числа a, също така е удобно да се използват обозначения, в които отрицателните числа се намират под знака за аритметичен кубичен корен. Ще ги разбираме по следния начин: , където a е положително число. Например, 
.
Ще говорим за свойствата на кубичните корени в общата статия свойства на корените.
Изчисляването на стойността на кубичен корен се нарича извличане на кубичен корен; това действие се обсъжда в статията извличане на корени: методи, примери, решения.
За да завършим тази точка, нека кажем, че кубичният корен на числото a е решение на формата x 3 =a.
n-ти корен, аритметичен корен от степен n
Нека обобщим понятието корен от число - въвеждаме дефиниция на n-ти коренза n.
Определение
n-ти корен от aе число, чиято n-та степен е равна на a.
От тази дефиниция става ясно, че коренът от първа степен на числото a е самото число a, тъй като при изучаване на степента с естествен показател взехме a 1 =a.
По-горе разгледахме специални случаи на корен n-ти за n=2 и n=3 - корен квадратен и корен кубичен. Тоест квадратният корен е корен от втора степен, а кубичният корен е корен от трета степен. За да изучаваме корени от n-та степен за n=4, 5, 6, ..., е удобно да ги разделим на две групи: първата група - корени от четни степени (т.е. за n = 4, 6, 8 , ...), втората група - корени на нечетни степени (т.е. с n=5, 7, 9, ...). Това се дължи на факта, че корените на четните степени са подобни на квадратните корени, а корените на нечетните степени са подобни на кубичните корени. Нека се справим с тях един по един.
Да започнем с корените, чиято степен са четните числа 4, 6, 8, ... Както вече казахме, те са подобни на корен квадратен от числото a. Тоест, коренът на всяка четна степен на числото a съществува само за неотрицателно a. Освен това, ако a=0, тогава коренът на a е единствен и равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена с четна степен на числото a и те са противоположни числа.
Нека обосновем последното твърдение. Нека b е четен корен (означаваме го като 2·m, където m е някакво естествено число) на числото a. Да предположим, че има число c - друг корен от степен 2·m от числото a. Тогава b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Но ние знаем формата b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), тогава (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. От това равенство следва, че b−c=0, или b+c=0, или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противоположни. И последното равенство е валидно само за b=c=0, тъй като от лявата му страна има израз, който е неотрицателен за всякакви b и c като сбор от неотрицателни числа.
Що се отнася до корените от n-та степен за нечетно n, те са подобни на кубичния корен. Тоест, коренът на всяка нечетна степен на числото a съществува за всяко реално число a и за дадено число a той е уникален.
Уникалността на корен от нечетна степен 2·m+1 от числото a се доказва по аналогия с доказателството за уникалността на кубичния корен от a. Само че тук вместо равенство a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)използва се равенство от вида b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Изразът в последната скоба може да бъде пренаписан като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например при m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Когато и a и b са положителни или и двете отрицателни, техният продукт е положително число, тогава изразът b 2 +c 2 +b·c в най-високите вложени скоби е положителен като сбор от положителните числа. Сега, преминавайки последователно към изразите в скоби на предишните степени на вложеност, се убеждаваме, че те също са положителни като сбор от положителни числа. В резултат на това получаваме, че равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0възможно само когато b−c=0, тоест когато числото b е равно на числото c.
Време е да разберем записа на корените на n-та степен. За целта се дава дефиниция на аритметичен корен от n-та степен.
Определение
Аритметичен корен от n-та степен на неотрицателно число aе неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a.
