Решаване на задачи за хвърляне на зарове.

Във всички задачи B6 на теория на вероятностите,които са представени в Отворете банка за работни места за, се изисква да се намери вероятноствсяко събитие.

Трябва да знаете само едно формула, който се използва за изчисляване вероятност:

В тази формула p е вероятността за събитието,

к- броят на събитията, които ни "задоволяват", в езика теория на вероятноститете се наричат благоприятни резултати.

н-броя на всички възможни събития, или брой на всички възможни резултати.

Очевидно броят на всички възможни събития е по-голям от броя на благоприятните изходи, така че вероятносте стойност, по-малка или равна на 1.

Ако вероятностсъбитие е равно на 1, което означава, че това събитие определено ще се случи. Такова събитие се нарича надежден. Например фактът, че след неделя ще има понеделник, за съжаление е сигурно събитие и неговата вероятност е равна на 1.

Най-големите трудности при решаването на задачи възникват именно при намирането на числата k и n.

Разбира се, както при решаването на всякакви проблеми, когато решавате проблеми на теория на вероятноститетрябва внимателно да прочетете условието, за да разберете правилно какво е дадено и какво трябва да се намери.

Нека да разгледаме някои примери за решаване на задачи от от Open Task Bank за .

Пример1. При случаен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността да получите общо 8 точки. Закръглете резултата до най-близката стотна.

Нека една точка падне на първия зар, тогава 6 може да падне на втория различни опции. Така, тъй като първата кост има 6 различни лица, общ бройразлични опции е равно на 6x6=36.

Но не сме доволни от всичко. Съгласно условието на задачата, сумата от падналите точки трябва да е равна на 8. Нека съставим таблица на благоприятните резултати:

Виждаме, че броят на резултатите, които ни устройват, е 5.

Така вероятността да паднат общо 8 точки е 5/36=0,13(8).

Още веднъж прочитаме въпроса на проблема: необходимо е резултатът да се закръгли до стотни.

Да си припомним правило за закръгляване.

Трябва да закръглим до стотни. Ако следващата цифра след стотните (т.е. в хилядната цифра) е число, което е по-голямо или равно на 5, тогава добавяме 1 към числото в стотната цифра, ако това число е по-малко от 5, тогава числото в стотната цифра остава непроменено.

В нашия случай 8 е на хилядна позиция, така че числото 3, което е на стотна позиция, се увеличава с 1.

Така че p=5/36 ≈0,14

Отговор: 0,14

Пример 2. В първенството по гимнастика участват 20 спортисти: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай.

В тази задача броят на възможните резултати е 20 - това е броят на всички спортисти.

Намерете броя на благоприятните резултати. Той е равен на броя на спортистите от Китай.

По този начин,

Отговор: 0,25

Пример 3: Средно от 1000 продадени градински помпи, 5 текат. Намерете вероятността една произволно избрана помпа да не изтече.

В този проблем n=1000.

Интересуваме се от помпи, които не пропускат. Броят им е 1000-5=995. Тези.

Отговор вляво Гост

С един зар ситуацията е неприлично проста. Нека ви напомня, че вероятността се намира по формулата P=m/n
П
=
м
н
, където n
н
- броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от експеримента с хвърляне на зар или зар и m
м
- броят резултати, които благоприятстват събитието.

Пример 1. Зарът се хвърля веднъж. Каква е вероятността да получите четен брой точки?

Тъй като зарът е куб (казват също и обикновен зар, т.е. зарът е балансиран, така че да се пада на всички лица с еднаква вероятност), лицата на зара са 6 (с брой точки от 1 до 6, обикновено означавани с точки), тогава и общият брой резултати в задачата n=6
н
=
6
. Само такива изходи са благоприятни за събитието, когато изпадне лице с 2, 4 или 6 точки (само четни), такива лица са m = 3
м
=
3
. Тогава желаната вероятност е P=3/6=1/2=0,5
П
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Пример 2. Хвърля се зар. Намерете вероятността да получите поне 5 точки.

Ние спорим по същия начин, както в предишния пример. Общият брой еднакво вероятни резултати при хвърляне на зарове n=6
н
=
6
, а условието "паднали са поне 5 точки", тоест "паднали са 5 или 6 точки" е изпълнено от 2 резултата, m=2
м
=
2
. Необходимата вероятност е P=2/6=1/3=0,333
П
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Дори не виждам смисъл да давам повече примери, нека да преминем към два зара, където всичко е по-интересно и по-трудно.

Два зара

Кога говорим сиотносно проблемите с хвърлянето на 2 зара, много е удобно да използвате таблицата с резултати. Нека начертаем броя на точките на първия зар хоризонтално и броя на точките на втория зар вертикално. Нека получим такава заготовка (обикновено го правя в Excel, можете да изтеглите файла по-долу):

таблица за оценяване на хвърляне на 2 зара
А какво ще кажете за клетките на таблицата, ще попитате? И зависи какъв проблем ще решим. Ще има задача за сбора от точки - там ще запишем сбора, за разликата - ще запишем разликата и т.н. Започваме ли?

Пример 3. Хвърлят се 2 зара едновременно. Намерете вероятността общото хвърляне да е по-малко от 5.

Първо, нека разгледаме общия брой резултати от експеримента. когато хвърлихме един зар, всичко беше очевидно, 6 лица - 6 изхода. Тук вече има две кости, така че резултатите могат да бъдат представени като подредени двойки числа от формата (x, y)
х
,
г
, където x
х
- колко точки паднаха на първия зар (от 1 до 6), y
г
- колко точки паднаха на втория зар (от 1 до 6). Очевидно ще има n=6⋅6=36 такива двойки числа
н
=
6
⋅
6
=
36
(и те съответстват само на 36 клетки в таблицата с резултати).

Сега е време да попълните таблицата. Във всяка клетка ще въведем сумата от падналите точки на първия и втория зар и ще получим следната картина:

таблица за оценяване на хвърляне на 2 зара
Сега тази таблица ще ни помогне да намерим броя на резултатите, които са в полза на събитието „общо по-малко от 5“ резултати. За да направим това, преброяваме броя на клетките, в които стойността на сумата е по-малка от 5 (т.е. 2, 3 или 4). За по-голяма яснота ще нарисуваме тези клетки, те ще бъдат m = 6
м
=
6
:

таблица със суми от точки по-малки от 5 при хвърляне на 2 зара
Тогава вероятността е: P=6/36=1/6
П
=
6
36
=
1
6
.

Пример 4. Хвърлят се два зара. Намерете вероятността произведението от броя точки да се дели на 3.

Правим таблица на произведенията на точките, паднали на първия и втория зар. Веднага изберете в него онези числа, които са кратни на 3:

таблица за оценяване на хвърляне на 2 зара
Остава само да се запише, че общият брой резултати n=36
н
=
36
(вижте предишния пример, мотивите са същите) и броя на благоприятните резултати (броя на попълнените клетки в таблицата по-горе) m=20
м
=
20
. Тогава вероятността за събитието ще бъде равна на P=20/36=5/9
П
=
20
36
=
5
9
.

Както можете да видите, този тип задачи, с подходяща подготовка (да се сортират още няколко задачи), могат да бъдат решени бързо и лесно. За разнообразие, нека направим още една задача с друга таблица (всички таблици могат да бъдат изтеглени в долната част на страницата).

Пример 5. Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността разликата между броя точки на първия и втория зар да бъде от 2 до 5.

Нека запишем таблицата с разликите в резултата, изберете клетките в нея, в които стойността на разликата ще бъде между 2 и 5:

таблица с разлики в резултатите за хвърляне на 2 зара
Така че общият брой еднакво възможни елементарни резултати n=36
н
=
36
, а броят на благоприятните резултати (броят на попълнените клетки в таблицата по-горе) е m=10
м
=
10
. Тогава вероятността за събитието ще бъде равна на P=10/36=5/18
П
=
10
36
=
5
18
.

Така че, в случай, че става въпрос за хвърляне на 2 зара и просто събитие, трябва да изградите таблица, да изберете необходимите клетки в нея и да разделите броя им на 36, това ще бъде вероятността. Освен задачи за сбор, произведение и разлика на броя точки, има и задачи за модул на разликата, най-малък и най-голям брой изпаднали точки (подходящи таблици можете да намерите в Excel файла) .

Задачи 1.4 - 1.6

Задача 1.4 условие

Посочете грешката в "решението" на задачата: хвърлени са два зара; намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е 3 (събитие A). "Решение". Възможни са два изхода от теста: сборът от падналите точки е 3, сборът от падналите точки не е равен на 3. Събитие А е облагодетелствано от един изход, общият брой на изходите е два. Следователно изискваната вероятност е равна на P(A) = 1/2.

Решение на задача 1.4

Погрешността на това "решение" е, че въпросните резултати не са еднакво вероятни. Правилно решение: общият брой на еднакво вероятните резултати е равен (всеки брой точки, хвърлени на един зар, могат да се комбинират с всички числа на точки, хвърлени на друг зар). Сред тези резултати само два резултата благоприятстват събитието: (1; 2) и (2; 1). Така че желаната вероятност

Отговор:

Задача 1.5 условие

Хвърлят се два зара. Намерете вероятностите за следните събития: а) сборът от хвърлените точки е равен на седем; б) сборът от падналите точки е равен на осем, а разликата е четири; в) сборът от падналите точки е равен на осем, ако се знае, че разликата им е равна на четири; г) сумата от падналите точки е пет, а произведението е четири.

Решение на задача 1.5

а) Шест варианта на първия зар, шест на втория. Общо опции: (според продуктовото правило). Опции за сума, равна на 7: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - общо шест опции. означава,

б) само две подходящи опции: (6.2) и (2.6). означава,

в) Има само две подходящи опции: (2.6), (6.2). Но само настроики 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Означава,.

г) За сума, равна на 5, са подходящи следните опции: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Продуктът е 4 само за два варианта. Тогава

Отговор: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Задача 1.6 условие

Куб, чиито всички страни са боядисани, се нарязва на хиляда кубчета с еднакъв размер, които след това се смесват старателно. Намерете вероятността за късмет изваденото кубче да има цветни лица: а) едно; б) две; в три часа.

Решение на задача 1.6

Общо бяха оформени 1000 кубчета. Кубчета с три цветни лица: 8 (това са ъглови зарове). С две боядисани лица: 96 (защото има 12 кубични ръба с 8 кубчета на всеки ръб). Зар с боядисан ръб: 384 (тъй като има 6 лица и има 64 зара на всяко лице). Остава да разделим всяко намерено число на 1000.

Отговор: а) 0,384; б) 0,096 в) 0,008

Друг популярен проблем в теорията на вероятностите (заедно с проблема с хвърлянето на монети) е проблем с хвърляне на зарове.

Обикновено задачата звучи така: хвърлят се един или повече зарове (обикновено 2, рядко 3). Трябва да намерите вероятността броят на точките да е 4, или сумата на точките да е 10, или произведението на броя на точките да се дели на 2, или броят на точките да се различава с 3 и т.н.

Основният метод за решаване на такива проблеми е използването на класическата вероятностна формула, която ще анализираме в примерите по-долу.

След като се запознаете с методите за решаване, можете да изтеглите един супер полезен за хвърляне на 2 зара (с таблици и примери).

Един зар

С един зар ситуацията е неприлично проста. Напомням, че вероятността се намира по формулата $P=m/n$, където $n$ е броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от експеримента с хвърляне на зар или зар, а $m$ е числото от онези резултати, които благоприятстват събитието.

Пример 1 Зарът се хвърля веднъж. Каква е вероятността да получите четен брой точки?

Тъй като зарът е куб (казват също правилни зарове, тоест зарът е балансиран, така че пада върху всички лица с еднаква вероятност), зарът има 6 лица (с брой точки от 1 до 6, обикновено обозначени с точки), тогава общият брой резултати в проблемът е $n=6$. Събитието се благоприятства само при такива резултати, когато изпадне лице с 2, 4 или 6 точки (само четни), такива лица са $m=3$. Тогава желаната вероятност е равна на $P=3/6=1/2=0,5$.

Пример 2 Хвърля се зар. Намерете вероятността да получите поне 5 точки.

Ние спорим по същия начин, както в предишния пример. Общият брой на еднакво възможните резултати при хвърляне на зарове е $n=6$, а условието "поне 5 хвърлени точки", тоест "5 или 6 хвърлени точки" е изпълнено от 2 резултата, $m=2 $. Необходимата вероятност е равна на $P=2/6=1/3=0,333$.

Два зара

Когато става въпрос за проблеми с хвърлянето на 2 зара, той е много удобен за използване таблица с резултати. Нека начертаем броя на точките на първия зар хоризонтално и броя на точките на втория зар вертикално. Нека получим такъв празен (обикновено го правя в Excel, можете да изтеглите файла):

А какво ще кажете за клетките на таблицата, ще попитате? И зависи какъв проблем ще решим. Ще има задача за сбора от точки - там ще запишем сбора, за разликата - ще запишем разликата и т.н. Започваме ли?

Пример 3 Хвърлете 2 зара едновременно. Намерете вероятността общото хвърляне да е по-малко от 5.

Първо, нека разгледаме общия брой резултати от експеримента. когато хвърлихме един зар, всичко беше очевидно, 6 лица - 6 изхода. Тук вече има два зара, така че резултатите могат да бъдат представени като подредени двойки числа от формата $(x,y)$, където $x$ - колко точки са паднали на първия зар (от 1 до 6), $ y$ - колко точки са паднали на втория зар (от 1 до 6). Очевидно ще има $n=6\cdot 6=36$ такива двойки числа (и точно 36 клетки в таблицата с резултати отговарят на тях).

Сега тази таблица ще ни помогне да намерим броя на резултатите, които са в полза на събитието „общо по-малко от 5“ резултати. За да направим това, преброяваме броя на клетките, в които стойността на сумата е по-малка от 5 (т.е. 2, 3 или 4). За по-голяма яснота, нека нарисуваме тези клетки, те ще бъдат $m=6$:

Тогава вероятността е: $P=6/36=1/6$.

Пример 4 Хвърлят се два зара. Намерете вероятността произведението от броя точки да се дели на 3.

Остава само да запишем, че общият брой резултати е $n=36$ (вижте предишния пример, мотивите са същите), а броят на благоприятните резултати (броят на попълнените клетки в таблицата по-горе) е $ m=20$. Тогава вероятността за събитието ще бъде равна на $P=20/36=5/9$.

Пример 5 Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността разликата между броя точки на първия и втория зар да бъде от 2 до 5.

И така, общият брой еднакво възможни елементарни резултати е $n=36$, а броят на благоприятните резултати (броят на попълнените клетки в таблицата по-горе) е $m=10$. Тогава вероятността за събитието ще бъде равна на $P=10/36=5/18$.

Така че, в случай, че става въпрос за хвърляне на 2 зара и просто събитие, трябва да изградите таблица, да изберете необходимите клетки в нея и да разделите броя им на 36, това ще бъде вероятността. Освен задачи за сбор, произведение и разлика в броя на точките има и задачи за модул на разликата, най-малък и най-голям брой изпаднали точки (подходящи таблици можете да намерите в).

Други задачи за кости и кубчета

Разбира се, въпросът не се ограничава до двата класа задачи за хвърляне на зарове, обсъдени по-горе (те просто са най-често срещаните в задачниците и ръководствата), има и други. За промяна и разбиране на метода на приближеното решение, нека анализираме още три типични примера: за хвърляне на 3 зара, за условна вероятност и за формулата на Бернули.

Пример 6 Хвърлете 3 зара. Намерете вероятността общо хвърлените точки да са 15.

В случай на 3 зара, таблиците се съставят по-рядко, тъй като ще са им необходими до 6 парчета (а не една, както по-горе), те преминават с просто изброяване на необходимите комбинации.

Намерете общия брой резултати от експеримента. Резултатите могат да бъдат представени като подредени тройки от числа от формата $(x,y,z)$, където $x$ - колко точки са паднали на първия зар (от 1 до 6), $y$ - колко точки са паднали на втория зар (от 1 до 6), $z$ - колко точки са паднали на третия зар (от 1 до 6). Очевидно ще има $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ такива тройки числа.

Сега ще изберем такива резултати, които дават общо 15 точки.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Имаме $m=3+6+1=10$ резултати. Необходимата вероятност е $P=10/216=0,046$.

Пример 7 Хвърлете 2 зара. Намерете вероятността на първия зар да паднат не повече от 4 точки, при условие че сборът на точките е четен.

Най-лесният начин да разрешите този проблем е да използвате отново таблицата (всичко ще бъде ясно), както преди. Изписваме таблицата със суми от точки и избираме само клетки с равномерни стойности:

Получаваме, че според експерименталното условие няма 36, а $n=18$ резултата (когато сумата от точки е четна).

Сега от тези клеткинека изберем само тези, които отговарят на събитието "не повече от 4 точки паднаха на първия зар" - тоест всъщност клетките в първите 4 реда на таблицата (маркирани в оранжево), те ще бъдат $m= 12$.

Желана вероятност $P=12/18=2/3.$

Същата задача може реши различноизползвайки формулата за условна вероятност. Да влезем в събитията:
A = Сборът на точките е четен
B = Не повече от 4 хвърлени точки на първия зар
AB = Сумата от броя на точките е четна и на първия зар са паднали не повече от 4 точки
Тогава формулата за желаната вероятност е: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Намерете вероятностите. Общият брой резултати е $n=36$, за събитие A броят на благоприятните резултати (вижте таблиците по-горе) е $m(A)=18$, а за събитието AB - $m(AB)=12$ . Получаваме: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Съвпадение.

Пример 8 Зарът се хвърля 4 пъти. Намерете вероятността четно число да се появи точно 3 пъти.

Когато заровете хвърлен няколко пъти, а събитието не е за сбор, продукт и т.н. интегрални характеристики, но само около брой паданияот определен тип, можете да използвате, за да изчислите вероятността

Задачи за вероятност зарове не по-малко популярни от проблемите с хвърляне на монети. Условието на такава задача обикновено звучи така: при хвърляне на един или повече зарове (2 или 3), каква е вероятността сумата от точките да бъде 10, или броят на точките да е 4, или произведението от брой точки или делимо на 2 произведение от броя точки и т.н.

Прилагането на класическата вероятностна формула е основният метод за решаване на задачи от този тип.

Един умре, вероятност.

Ситуацията е доста проста с един зар. се определя по формулата: P=m/n, където m е броят на благоприятните изходи за събитието, а n е броят на всички елементарни равновъзможни изходи от експеримента с хвърляне на зар или зар.

Задача 1. Зарът се хвърля веднъж. Каква е вероятността да получите четен брой точки?

Тъй като зарът е куб (или се нарича още обикновен зар, кубът ще падне на всички лица с еднаква вероятност, тъй като е балансиран), зарът има 6 лица (броят на точките от 1 до 6, които обикновено се означават с точки), което означава, че в задачата общият брой резултати: n=6. Събитието се благоприятства само от резултати, при които изпада лице с четни точки 2,4 и 6, за куб от такива лица: m=3. Сега можем да определим желаната вероятност за зарове: P=3/6=1/2=0,5.

Задача 2. Зарът се хвърля веднъж. Каква е вероятността да получите поне 5 точки?

Такъв проблем се решава по аналогия с примера, посочен по-горе. При хвърляне на зарове общият брой на еднакво възможните изходи е: n=6 и удовлетворяват условието на задачата (изпаднали са поне 5 точки, т.е. изпаднали са 5 или 6 точки) само 2 изхода, което означава m =2. След това намираме желаната вероятност: P=2/6=1/3=0,333.

Два зара, вероятност.

Когато решавате задачи с хвърляне на 2 зара, е много удобно да използвате специална таблица с резултати. На него хоризонтално се нанасят падналите на първия зар точки, а по вертикала - падналите на втория зар. Заготовката изглежда така:

Но възниква въпросът какво ще има в празните клетки на таблицата? Зависи от задачата, която трябва да се реши. Ако задачата е за сбора от точки, тогава там се записва сборът, а ако е за разликата, тогава се записва разликата и т.н.

Задача 3. Хвърлят се 2 зара едновременно. Каква е вероятността да получите сума по-малка от 5 точки?

Първо трябва да разберете какъв ще бъде общият брой резултати от експеримента. Всичко беше очевидно при хвърляне на един зар 6 лица на зара - 6 резултата от експеримента. Но когато вече има два зара, тогава възможните резултати могат да бъдат представени като подредени двойки числа от вида (x, y), където x показва колко точки са паднали на първия зар (от 1 до 6), а y - колко точки паднаха на втория зар (от 1 до 6). Общо ще има такива числови двойки: n=6*6=36 (на тях съответстват 36 клетки в таблицата с резултати).

Сега можете да попълните таблицата, за това във всяка клетка се въвежда броят на сумата от точки, паднали на първия и втория зар. Попълнената таблица изглежда така:

Благодарение на таблицата ще определим броя на резултатите, които благоприятстват събитието „общо падане по-малко от 5 точки“. Нека преброим броя на клетките, стойността на сумата в които ще бъде по-малка от числото 5 (това са 2, 3 и 4). За удобство рисуваме върху такива клетки, те ще бъдат m = 6:

Предвид данните от таблицата, вероятност за заровее равно на: P=6/36=1/6.

Задача 4. Бяха хвърлени два зара. Определете вероятността произведението от броя на точките да се дели на 3.

За да решим задачата, ще направим таблица с произведенията на точките, паднали на първия и втория зар. В него веднага избираме числа, кратни на 3:

Записваме общия брой резултати от експеримента n=36 (обосновката е същата като в предишната задача) и броя на благоприятните резултати (броя клетки, които са защриховани в таблицата) m=20. Вероятността за събитие е: P=20/36=5/9.

Задача 5. Зарът се хвърля два пъти. Каква е вероятността разликата между броя на точките на първия и втория зар да бъде между 2 и 5?

За да се определи вероятност за заровеНека напишем таблицата с разликите в резултата и изберете тези клетки в нея, стойността на разликата в които ще бъде между 2 и 5:

Броят на благоприятните резултати (броят клетки, защриховани в таблицата) е равен на m=10, общият брой на еднакво възможните елементарни резултати ще бъде n=36. Определя вероятността от събитие: P=10/36=5/18.

В случай на просто събитие и когато хвърляте 2 зара, трябва да изградите таблица, след това да изберете необходимите клетки в нея и да разделите броя им на 36, това ще се счита за вероятност.