Müstəvidə düz xəttin parametrik tənliyi. Parametrik tənliklər Düz xəttin fəzada parametrik formada tənliyi
Bu paraqrafı mütləq oxuyun! Parametrik tənliklər, əlbəttə ki, fəza həndəsəsinin alfa və omeqası deyil, bir çox problemlərin işləyən qarışqasıdır. Üstəlik, bu tip tənliklər çox vaxt gözlənilmədən, mən deyərdim ki, nəfis şəkildə tətbiq olunur.
Xəttə məxsus nöqtə və bu xəttin istiqamət vektoru məlumdursa, bu xəttin parametrik tənlikləri sistemlə verilir:
Dərslərdə parametrik tənliklər anlayışının özü haqqında danışdım Müstəvidə düz xəttin tənliyi və Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi.
Hər şey buxarda hazırlanmış şalgamdan daha sadədir, ona görə də tapşırığı ədviyyatlı etməlisiniz:
Misal 7
Qərar: Xətlər kanonik tənliklərlə verilir və birinci mərhələdə xəttə və onun istiqamət vektoruna aid olan nöqtə tapmaq lazımdır.
a) Tənliklərdən nöqtəni və istiqamət vektorunu çıxarın: . Başqa bir nöqtə seçə bilərsiniz (bunu necə etmək yuxarıda təsvir edilmişdir), lakin ən bariz olanı götürmək daha yaxşıdır. Yeri gəlmişkən, səhvlərdən qaçınmaq üçün həmişə onun koordinatlarını tənliklərdə əvəz edin.
Bu düz xəttin parametrik tənliklərini tərtib edək:
Parametrik tənliklərin rahatlığı ondan ibarətdir ki, onların köməyi ilə xəttin digər nöqtələrini tapmaq çox asandır. Məsələn, koordinatları parametrin dəyərinə uyğun gələn bir nöqtə tapaq:
Beləliklə:
b) Kanonik tənlikləri nəzərdən keçirin. Burada bir nöqtənin seçimi sadədir, lakin məkrlidir: (koordinatları qarışdırmamağa diqqət yetirin!!!). Bələdçi vektorunu necə çıxarmaq olar? Bu xəttin nəyə paralel olduğunu təxmin edə bilərsiniz və ya sadə formal hiylədən istifadə edə bilərsiniz: nisbət "Y" və "Z"dir, ona görə də istiqamət vektorunu yazırıq və qalan boşluğa sıfır qoyuruq: .
Düz xəttin parametrik tənliklərini tərtib edirik:
c) Tənlikləri formada yenidən yazaq, yəni "Z" hər şey ola bilər. Və əgər varsa, o zaman, məsələn, . Beləliklə, nöqtə bu xəttə aiddir. İstiqamət vektorunu tapmaq üçün aşağıdakı formal texnikadan istifadə edirik: ilkin tənliklərdə "x" və "y" var və bu yerlərdə istiqamət vektorunu yazırıq. sıfırlar: . Qalan yerə qoyuruq vahid: . Bir əvəzinə, sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəm edəcək.
Düz xəttin parametrik tənliklərini yazırıq:
Təlim üçün:
Misal 8
Aşağıdakı sətirlər üçün parametrik tənlikləri yazın:
Dərsin sonunda həllər və cavablar. Cavablarınız mənim cavablarımdan bir qədər fərqli ola bilər, fakt budur ki parametrik tənliklər birdən çox şəkildə yazıla bilər. Sizin və mənim istiqamət vektorlarınızın kollinear olması və sizin nöqtənizin mənim tənliklərimə "uyğunlaşması" vacibdir (yaxşı və ya əksinə, mənim fikrim tənliklərinizlə).
Kosmosda düz xətti başqa necə təyin etmək olar? Normal vektoru olan bir şey tapmaq istərdim. Bununla belə, nömrə işləməyəcək, bir boşluq xətti üçün normal vektorlar tamamilə fərqli istiqamətlərə baxa bilər.
Başqa bir üsul artıq dərsdə qeyd edilmişdir Müstəvi tənliyi və bu məqalənin əvvəlində.
TƏYYARƏRLƏR ARASINDAKİ BUÇ
Tənliklərlə verilmiş müvafiq olaraq iki α 1 və α 2 müstəvisini nəzərdən keçirək:
Altında bucaq iki müstəvi arasında biz bu müstəvilərin əmələ gətirdiyi dihedral bucaqlardan birini nəzərdə tuturuq. Aydındır ki, normal vektorlarla α 1 və α 2 müstəviləri arasındakı bucaq göstərilən bitişik dihedral bucaqlardan birinə bərabərdir və ya 
. Belə ki 
. Çünki 
və 
, sonra
.
Misal. Təyyarələr arasındakı bucağı təyin edin x+2y-3z+4=0 və 2 x+3y+z+8=0.
İki müstəvinin paralellik şərti.
İki α 1 və α 2 müstəviləri o halda paraleldirlər ki, onların normal vektorları paralel olsun və deməli, 
.
Beləliklə, iki təyyarə bir-birinə paraleldir, o zaman və yalnız müvafiq koordinatlardakı əmsallar mütənasibdir:
və ya
Təyyarələrin perpendikulyarlığının şərti.
Aydındır ki, iki müstəvi perpendikulyardır, o halda və yalnız onların normal vektorları perpendikulyardır və buna görə də, və ya .
Beləliklə, .
Nümunələr.
Birbaşa Kosmosda.
VEKTOR TƏNLİKİ BİRBAŞA.
PARAMETRİK TƏNLİKLƏR BİRBAŞA
Düz xəttin kosmosdakı mövqeyi onun sabit nöqtələrindən hər hansı birini göstərməklə tamamilə müəyyən edilir M 1 və bu xəttə paralel vektor.
Düz xəttə paralel vektor deyilir bələdçi bu xəttin vektoru.
Belə ki, düz edək l bir nöqtədən keçir M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektora paralel düz xətt üzərində uzanan .
İxtiyari bir nöqtəni nəzərdən keçirək M(x,y,z) düz xətt üzərində. Şəkildən də bunu görmək olar 
.
vektorları kollineardır, ona görə də belə bir ədəd var t, nə , çarpan haradadır t nöqtənin mövqeyindən asılı olaraq istənilən ədədi qiymət ala bilər M düz xətt üzərində. Amil t parametr adlanır. Nöqtələrin radius vektorlarının işarələnməsi M 1 və M müvafiq olaraq, və vasitəsilə əldə edirik. Bu tənlik adlanır vektor düz xətt tənliyi. Hər bir parametrin dəyərini göstərir t hansısa nöqtənin radius vektoruna uyğun gəlir M düz bir xətt üzərində uzanır.
Bu tənliyi koordinat şəklində yazırıq. Diqqət edin ki, 
və buradan
Nəticə tənliklər adlanır parametrik düz xətt tənlikləri.
Parametr dəyişdirilərkən t koordinatları dəyişir x, y və z və nöqtə M düz bir xətt üzrə hərəkət edir.
KANONİK TƏNLİKLƏR BİRBAŞA
Qoy olsun M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - düz xətt üzərində uzanan nöqtə l, və 
onun istiqamət vektorudur. Yenə düz xətt üzərində ixtiyari bir nöqtə götürün M(x,y,z) və vektoru nəzərdən keçirin.
Aydındır ki, və vektorları kollineardır, ona görə də onların müvafiq koordinatları mütənasib olmalıdır, deməli
– kanonik düz xətt tənlikləri.
Qeyd 1. Qeyd edək ki, xəttin kanonik tənlikləri parametri aradan qaldıraraq parametrik tənliklərdən əldə edilə bilər. t. Həqiqətən, parametrik tənliklərdən əldə edirik 
və ya .
Misal. Düz xəttin tənliyini yazın 
parametrik şəkildə.
İşarə et 
, deməli x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Qeyd 2. Xəttin koordinat oxlarından birinə, məsələn, oxa perpendikulyar olsun öküz. Onda xəttin istiqamət vektoru perpendikulyardır öküz, deməli, m=0. Nəticə etibarı ilə düz xəttin parametrik tənlikləri formasını alır
Parametrin tənliklərdən çıxarılması t, şəklində düz xəttin tənliklərini alırıq
Lakin bu halda da düz xəttin kanonik tənliklərini formada yazmağa razıyıq 
. Beləliklə, kəsrlərdən birinin məxrəci sıfırdırsa, bu, xəttin müvafiq koordinat oxuna perpendikulyar olması deməkdir.
Eynilə, kanonik tənliklər 
oxlara perpendikulyar düz xəttə uyğundur öküz və ay və ya paralel ox Oz.
Nümunələr.
ÜMUMİ TƏNLİKLƏR İKİ MƏSVƏTİN KƏSƏNMƏSİ XƏTTİ KİMİ BİRBAŞA XƏT
Kosmosdakı hər düz xəttdən sonsuz sayda təyyarə keçir. Onlardan hər ikisi kəsişərək onu məkanda müəyyən edir. Deməli, hər hansı iki belə müstəvinin birlikdə nəzərdən keçirilən tənlikləri bu xəttin tənlikləridir.
Ümumiyyətlə, ümumi tənliklərlə verilən istənilən iki paralel olmayan müstəvi
onların kəsişmə xəttini müəyyənləşdirin. Bu tənliklər adlanır ümumi tənliklər düz.
Nümunələr.
Tənliklərlə verilmiş düz xətti qurun 
Xətti qurmaq üçün onun istənilən iki nöqtəsini tapmaq kifayətdir. Ən asan yol xəttin koordinat müstəviləri ilə kəsişmə nöqtələrini seçməkdir. Məsələn, təyyarə ilə kəsişmə nöqtəsi xOy fərz etməklə düz xəttin tənliklərindən alırıq z= 0:
Bu sistemi həll edərək, nöqtəni tapırıq M 1 (1;2;0).
Eynilə, fərz edirik y= 0, müstəvi ilə xəttin kəsişmə nöqtəsini alırıq xOz:
Düz xəttin ümumi tənliklərindən onun kanonik və ya parametrik tənliklərinə keçmək olar. Bunu etmək üçün bir nöqtə tapmaq lazımdır M Xəttdə 1 və xəttin istiqamət vektoru.
Nöqtə koordinatları M 1 koordinatlardan birinə ixtiyari qiymət verərək bu tənliklər sistemindən əldə edirik. İstiqamət vektorunu tapmaq üçün qeyd edin ki, bu vektor hər iki normal vektora perpendikulyar olmalıdır 
və 
. Buna görə də düz xəttin istiqamət vektoru üçün l normal vektorların çarpaz məhsulunu götürə bilərsiniz:
.
Misal. Düz xəttin ümumi tənliklərini verin 
kanonik formaya keçir.
Düz xətt üzərində bir nöqtə tapın. Bunu etmək üçün biz özbaşına koordinatlardan birini seçirik, məsələn, y= 0 və tənliklər sistemini həll edin:
Xətti təyin edən müstəvilərin normal vektorlarının koordinatları var 
Beləliklə, istiqamət vektoru düz olacaqdır
. Beləliklə, l: 
.
HÜQUQLAR ARASINDAKİ BUÇ
künc kosmosda düz xətlər arasında verilənlərə paralel ixtiyari bir nöqtədən çəkilmiş iki düz xəttin yaratdığı hər hansı bir bitişik bucaq adlandıracağıq.
Kosmosda iki düz xətt verilsin:
Aydındır ki, xətlər arasındakı φ bucağı onların istiqamət vektorları və arasındakı bucaq kimi qəbul edilə bilər. dan bəri, onda vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün düstura görə alırıq
“Müstəvidə düz xəttin tənliyi” mövzusunun yarımbəndlərindən biri də düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə düz xəttin parametrik tənliklərinin tərtib edilməsi məsələsidir. Aşağıdakı məqalədə müəyyən məlum məlumatlar üçün belə tənliklərin tərtib edilməsi prinsipi müzakirə olunur. Parametrik tənliklərdən fərqli formalı tənliklərə necə keçəcəyini göstərək; Tipik problemlərin həllini təhlil edək.
Müəyyən bir xətt həmin xəttə aid olan nöqtəni və xətt üçün istiqamət vektorunu təyin etməklə müəyyən edilə bilər.
Tutaq ki, bizə O x y düzbucaqlı koordinat sistemi verilmişdir. Həmçinin onun üzərində uzanan M 1 nöqtəsini (x 1, y 1) və verilmiş düz xəttin istiqamət vektorunu göstərən a düz xətti verilir. a → = (a x , a y) . Tənliklərdən istifadə edərək verilmiş a xəttinin təsvirini veririk.
Biz ixtiyari M (x, y) nöqtəsindən istifadə edirik və vektor alırıq M 1 M →; onun koordinatlarını başlanğıc və son nöqtələrin koordinatlarından hesablayın: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Nəticəni təsvir edək: xətt M (x, y) nöqtələri çoxluğu ilə verilir, M 1 (x 1, y 1) nöqtəsindən keçir və istiqamət vektoruna malikdir. a → = (a x , a y) . Göstərilən çoxluq düz xətti yalnız M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) və a → = (a x , a y) vektorları kollinear olduqda təyin edir.
Vektorların kollinearlığı üçün zəruri və kifayət qədər şərt vardır ki, bu halda M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) və a → = (a x , a y) vektorları üçün belə yazıla bilər. tənlik:
M 1 M → = λ · a → , burada λ hansısa həqiqi ədəddir.
Tərif 1
M 1 M → = λ · a → tənliyinə xəttin vektor-parametrik tənliyi deyilir.
Koordinat şəklində belə görünür:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Alınan x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sisteminin tənlikləri düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə düz xəttin parametrik tənlikləri adlanır. Adın mahiyyəti belədir: xəttin bütün nöqtələrinin koordinatları bütün real dəyərlər üzərində təkrarlanan zaman x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ şəklində müstəvidə parametrik tənliklərlə müəyyən edilə bilər λ parametrinin
Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ müstəvisindəki düz xəttin parametrik tənlikləri düzbucaqlı bir koordinat sistemində verilmiş, M 1 nöqtəsindən keçən düz xətti müəyyənləşdirir. (x 1, y 1) və yönləndirici vektora malikdir a → = (a x , a y) . Odur ki, düz xəttin müəyyən nöqtəsinin koordinatları və onun istiqamətləndirici vektorunun koordinatları verilirsə, onda verilmiş düz xəttin parametrik tənliklərini dərhal yazmaq olar.
Misal 1
Düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə düz xəttin parametrik tənliklərini ona aid olan M 1 (2, 3) nöqtəsi və onun istiqamət vektoru verilərsə, onun parametrik tənliklərini tərtib etmək lazımdır. a → = (3 , 1) .
Qərar
İlkin məlumatlara əsasən alırıq: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametrik tənliklər belə görünəcək:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Gəlin aydın şəkildə təsvir edək:
Cavab: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Qeyd etmək lazımdır: vektor a → = (a x , a y) olarsa a düz xəttinin istiqamətləndirici vektoru kimi xidmət edir və M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) nöqtələri bu xəttə aiddir, onda formanın parametrik tənliklərini təyin etməklə müəyyən edilə bilər. : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , eləcə də bu seçim: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .
Məsələn, bizə düz xəttin istiqamət vektoru verilir a → \u003d (2, - 1), həmçinin bu xəttə aid olan M 1 (1, - 2) və M 2 (3, - 3) nöqtələri. Sonra düz xətt parametrik tənliklərlə müəyyən edilir: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ və ya x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .
Aşağıdakı fakta da diqqət yetirilməlidir: əgər a → = (a x , a y) a düz xəttinin istiqamət vektorudur, onda vektorlardan hər hansı biri həm də onun yönləndirici vektoru olacaqdır μ a → = (μ a x , μ a y) , burada μ ϵ R , μ ≠ 0 .
Beləliklə, düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə a düz xəttini parametrik tənliklərlə təyin etmək olar: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ sıfırdan fərqli hər hansı μ qiyməti üçün.
Tutaq ki, a xətti x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ parametrik tənliklərlə verilmişdir. Sonra a → = (2 , - 5) - bu xəttin istiqamət vektoru. Həmçinin μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 vektorlarından hər hansı biri verilmiş düz xəttin istiqamət vektoruna çevriləcək. Aydınlıq üçün xüsusi bir vektoru nəzərdən keçirin - 2 · a → = (- 4 , 10) , μ = - 2 dəyərinə uyğundur. Bu halda verilmiş düz xətti x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ parametrik tənlikləri ilə də təyin etmək olar.
Müstəvidə düz xəttin parametrik tənliklərindən verilmiş düz xəttin digər tənliklərinə və əksinə keçid
Bəzi məsələlərin həllində parametrik tənliklərdən istifadə ən optimal variant deyil, o zaman düz xəttin parametrik tənliklərini fərqli tipli düz xəttin tənliklərinə çevirmək lazım gəlir. Gəlin bunu necə edəcəyinə baxaq.
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ düz xəttinin parametrik tənlikləri x - x 1 a x = y - y 1 a y müstəvisində düz xəttin kanonik tənliyinə uyğun olacaq.
Parametrik tənliklərin hər birini λ parametrinə görə həll edirik, alınan bərabərliklərin düzgün hissələrini bərabərləşdiririk və verilmiş düz xəttin kanonik tənliyini alırıq:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
Bu halda, bir x və ya y sıfıra bərabər olacaqsa, utancverici olmamalıdır.
Misal 2
x = 3 y = - 2 - 4 · λ düz xəttinin parametrik tənliklərindən kanonik tənliyə keçidi həyata keçirmək lazımdır.
Qərar
Verilmiş parametrik tənlikləri aşağıdakı formada yazırıq: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ
Tənliklərin hər birində λ parametrini ifadə edirik: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
Tənliklər sisteminin düzgün hissələrini bərabərləşdiririk və müstəvidə düz xəttin tələb olunan kanonik tənliyini alırıq:
x - 3 0 = y + 2 - 4
Cavab: x - 3 0 = y + 2 - 4
Müstəvidə düz xəttin parametrik tənlikləri verildiyi halda A x + B y + C = 0 formasında olan düz xəttin tənliyini yazmaq lazım olduqda, əvvəlcə aşağıdakıları etmək lazımdır. kanonik tənliyə, sonra isə düz xəttin ümumi tənliyinə keçid. Bütün hərəkət ardıcıllığını yazaq:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
Misal 3
Düz xəttin ümumi tənliyini, onu təyin edən parametrik tənliklər verildiyi halda yazmaq lazımdır: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ
Qərar
Əvvəlcə kanonik tənliyə keçid edək:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
Nəticə nisbəti bərabərliklə eynidir - 3 · (x + 1) = 2 · y. Mötərizələri açıb düz xəttin ümumi tənliyini alaq: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .
Cavab: 3x + 2y + 3 = 0
Yuxarıdakı hərəkətlərin məntiqinə əsasən, yamaclı düz xəttin tənliyini, seqmentlərdə düz xəttin tənliyini və ya düz xəttin normal tənliyini əldə etmək üçün düz xəttin ümumi tənliyini almaq lazımdır. , və ondan daha bir keçid həyata keçirmək.
İndi əks hərəkəti nəzərdən keçirin: bu düz xəttin tənliklərinin fərqli verilmiş forması üçün düz xəttin parametrik tənliklərini yazın.
Ən asan keçid: kanonik tənlikdən parametrik olanlara. Formanın kanonik tənliyi verilsin: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Bu bərabərliyin münasibətlərinin hər birini λ parametrinə bərabər götürürük:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
Gəlin x və y dəyişənləri üçün yaranan tənlikləri həll edək:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Misal 4
Müstəvidə düz xəttin kanonik tənliyi məlumdursa, düz xəttin parametrik tənliklərini yazmaq lazımdır: x - 2 5 = y - 2 2.
Qərar
Məlum tənliyin hissələrini λ parametrinə bərabərləşdirək: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Alınan bərabərlikdən düz xəttin parametrik tənliklərini alırıq: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Cavab: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Bir düz xəttin verilmiş ümumi tənliyindən, yamaclı düz xəttin tənliyindən və ya seqmentlərdə düz xəttin tənliyindən parametrik tənliklərə keçid etmək lazım olduqda, orijinal tənliyi tənliyə gətirmək lazımdır. kanonik birinə, sonra parametrik tənliklərə keçid edin.
Misal 5
Bu düz xəttin məlum ümumi tənliyi ilə düz xəttin parametrik tənliklərini yazmaq lazımdır: 4 x - 3 y - 3 = 0 .
Qərar
Verilmiş ümumi tənliyi kanonik formalı tənliyə çeviririk:
4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Bərabərliyin hər iki hissəsini λ parametrinə bərabərləşdiririk və düz xəttin tələb olunan parametrik tənliklərini alırıq:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Cavab: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Müstəvidə düz xəttin parametrik tənlikləri ilə bağlı nümunələr və məsələlər
Düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə düz xəttin parametrik tənliklərindən istifadə etməklə ən çox yayılmış məsələlərin növlərini nəzərdən keçirək.
- Birinci növ məsələlərdə nöqtələrin koordinatları parametrik tənliklərlə təsvir olunan düz xəttə aid olub-olmamasından asılı olmayaraq verilir.
Bu cür məsələlərin həlli aşağıdakı fakta əsaslanır: bəzi real dəyər üçün x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametrik tənliklərdən müəyyən edilən ədədlər (x, y) a-nın koordinatlarıdır. Bu parametrik tənliklər təsvir olunan düz xəttə aid nöqtə.
Misal 6
λ = 3 üçün x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ parametrik tənlikləri ilə verilmiş düz xətt üzərində yerləşən nöqtənin koordinatlarını təyin etmək lazımdır.
Qərar
Verilmiş parametrik tənliklərə məlum olan λ = 3 qiymətini əvəz edirik və istədiyiniz koordinatları hesablayırıq: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
Cavab: 1 1 2 , 5
Aşağıdakı məsələ də mümkündür: düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə hansısa M 0 (x 0, y 0) nöqtəsi verilsin və bu nöqtənin x = x parametrik tənlikləri ilə təsvir olunan xəttə aid olub-olmadığını müəyyən etmək lazımdır. 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .
Belə bir məsələni həll etmək üçün verilmiş nöqtənin koordinatlarını düz xəttin məlum parametrik tənliklərində əvəz etmək lazımdır. Hər iki parametrik tənliyin doğru olduğu λ = λ 0 parametrinin belə qiymətinin mümkün olduğu müəyyən edilərsə, verilmiş nöqtə verilmiş düz xəttə aiddir.
Misal 7
M 0 (4, - 2) və N 0 (- 2, 1) nöqtələri verilir. Onların x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ parametrik tənlikləri ilə təyin olunan düz xəttə aid olub-olmadığını müəyyən etmək lazımdır.
Qərar
M 0 (4, - 2) nöqtəsinin koordinatlarını verilmiş parametrik tənliklərdə əvəz edirik:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Belə nəticəyə gəlirik ki, M 0 nöqtəsi verilmiş xəttə aiddir, çünki λ = 2 dəyərinə uyğundur.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
Aydındır ki, N 0 nöqtəsinin uyğun olacağı elə bir λ parametri yoxdur. Başqa sözlə, verilmiş xətt N 0 (- 2 , 1) nöqtəsindən keçmir.
Cavab: M 0 nöqtəsi verilmiş xəttə aiddir; N 0 nöqtəsi verilmiş xəttə aid deyil.
- İkinci növ məsələlərdə düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə düz xəttin parametrik tənliklərini tərtib etmək tələb olunur. Belə bir problemin ən sadə nümunəsi (xəttin və istiqamət vektorunun nöqtəsinin məlum koordinatları ilə) yuxarıda nəzərdən keçirilmişdir. İndi isə əvvəlcə istiqamət vektorunun koordinatlarını tapmaq, sonra isə parametrik tənlikləri yazmaq lazım olan nümunələrə baxaq.
M 1 1 2 , 2 3 nöqtəsi verilmişdir. Bu nöqtədən keçən düz xəttin və x 2 \u003d y - 3 - 1 paralel düz xəttin parametrik tənliklərini tərtib etmək lazımdır.
Qərar
Məsələnin şərtinə görə, tənliyini qabaqlamalı olduğumuz düz xətt x 2 \u003d y - 3 - 1 düz xəttinə paraleldir. Onda verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin istiqamət vektoru kimi x 2 = y - 3 - 1 düz xəttinin istiqamət vektorundan istifadə etmək olar ki, onu aşağıdakı formada yazırıq: a → = (2, - 1) . İndi istənilən parametrik tənlikləri tərtib etmək üçün bütün lazımi məlumatlar məlumdur:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ
Cavab: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .
Misal 9
M 1 (0, - 7) nöqtəsi verilmişdir. Bu nöqtədən keçən düz xəttin 3 x – 2 y – 5 = 0 düz xəttinə perpendikulyar olan parametrik tənliklərini yazmaq lazımdır.
Qərar
Tənliyi qurulmalı olan düz xəttin istiqamət vektoru kimi düz xəttin normal vektorunu 3 x - 2 y - 5 = 0 qəbul etmək olar. Onun koordinatları (3 , - 2) dir. Düz xəttin tələb olunan parametrik tənliklərini yazırıq:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
Cavab: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- Üçüncü növ məsələlərdə verilmiş düz xəttin parametrik tənliklərindən onu təyin edən digər növ tənliklərə keçid tələb olunur. Bu cür nümunələrin həllini yuxarıda nəzərdən keçirdik, daha birini verəcəyik.
X = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ parametrik tənlikləri ilə müəyyən edilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə düz xətt verilmişdir. Bu xəttin hansısa normal vektorunun koordinatlarını tapmaq lazımdır.
Qərar
Normal vektorun istənilən koordinatlarını təyin etmək üçün parametrik tənliklərdən ümumi tənliyə keçid edəcəyik:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
x və y dəyişənlərinin əmsalları bizə normal vektorun tələb olunan koordinatlarını verir. Beləliklə, x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ xəttinin normal vektoru 1 , 3 4 koordinatlarına malikdir.
Cavab: 1 , 3 4 .
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Düz xəttin parametrik tənlikləri elementar olaraq bu düz xəttin formasına malik olan kanonik tənliyindən alınır. Parametr kimi kanonik tənliyin sol və sağ hissələrinin vurula biləcəyi dəyəri götürək.
Məxrəclərdən biri mütləq sıfırdan fərqli olduğundan və müvafiq paylayıcı istənilən qiymətləri qəbul edə bildiyindən parametrin diapazonu həqiqi ədədlərin bütün oxudur: .
Alacağıq və ya nəhayət
Tənliklər (1) düz xəttin arzu olunan parametrik tənlikləridir. Bu tənliklər mexaniki şərhə imkan verir. Əgər fərz etsək ki, parametr hansısa ilkin momentdən ölçülən vaxtdır, onda parametrik tənliklər maddi nöqtənin düz xətt üzrə sabit sürətlə hərəkət qanununu müəyyən edir (belə hərəkət ətalətlə baş verir).
Misal 1 Nöqtədən keçən və istiqamət vektoru olan düz xəttin müstəvidə parametrik tənliklərini qurun.
Qərar. (1)-də nöqtə və istiqamət vektorunun verilənlərini əvəz edirik və əldə edirik:
Çox vaxt məsələlərdə düz xəttin parametrik tənliklərini başqa növ tənliklərə çevirmək, digər növ tənliklərdən isə düz xəttin parametrik tənliklərini almaq tələb olunur. Gəlin bir neçə belə nümunəyə baxaq. Düz xəttin parametrik tənliklərini çevirmək düz xəttin ümumi tənliyiəvvəlcə onları kanonik formaya, sonra isə kanonik tənlikdən düz xəttin ümumi tənliyini əldə etmək lazımdır.
Misal 2 Düz xəttin tənliyini yazın
ümumiyyətlə.
Qərar. Əvvəlcə düz xəttin parametrik tənliklərini kanonik tənliyə gətiririk:
Əlavə çevrilmələr tənliyi ümumi formaya gətirir:
Ümumi tənliyi düz xəttin parametrik tənliklərinə çevirmək bir qədər çətindir, lakin bu hərəkət üçün aydın bir alqoritm də tərtib edilə bilər. Əvvəlcə ümumi tənliyi çevirə bilərik yamac tənliyi və ondan koordinatlardan birinə ixtiyari qiymət verərək, xəttə aid olan hansısa nöqtənin koordinatlarını tapın. Nöqtənin koordinatları və istiqamət vektoru məlum olduqda (ümumi tənlikdən) düz xəttin parametrik tənlikləri yazıla bilər.
Misal 3 Düz xəttin tənliyini parametrik tənliklər şəklində yazın.
Qərar. Düz xəttin ümumi tənliyini yamaclı bir tənliyə gətiririk:
Xəttə aid olan hansısa nöqtənin koordinatlarını tapırıq. Nöqtənin koordinatlarından birinə ixtiyari qiymət verin
Yamaclı düz xəttin tənliyindən nöqtənin başqa bir koordinatını alırıq:
Beləliklə, nöqtəni və istiqamət vektorunu bilirik. Onların məlumatlarını (1)-də əvəz edirik və düz xəttin istədiyiniz parametrik tənliklərini alırıq:
Misal 4 Parametrik tənliklərlə verilmiş düz xəttin yamacını tapın
Qərar. Düz xəttin parametrik tənlikləri əvvəlcə kanonik, sonra ümumi, nəhayət, yamac tənliyinə çevrilməlidir.
Beləliklə, verilmiş düz xəttin mailliyi:
Misal 5 Nöqtədən və perpendikulyar xəttdən keçən düz xəttin parametrik tənliklərini qurun
Düz xəttin kanonik tənliklərində kəsrlərin hər birinin hansısa parametrə bərabərləşdirilməsi t:
Parametr vasitəsilə düz xəttin hər bir nöqtəsinin cari koordinatlarını ifadə edən tənliklər alırıq t.
Beləliklə, düz xəttin parametrik tənlikləri aşağıdakı formaya malikdir:
Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənlikləri.
İki nöqtə M 1 olsun (x1,y1,z1) və M 2 (x2,y2,z2). Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənlikləri müstəvidəki oxşar tənlik kimi alınır. Ona görə də dərhal bu tənliyin formasını veririk.
İki təyyarənin kəsişməsində düz xətt. Kosmosda düz xəttin ümumi tənliyi.
Paralel olmayan iki müstəvini nəzərə alsaq, onda onların kəsişməsi düz xətt olacaqdır.
Əgər normal vektorlar və 
qeyri-kollinear.
Aşağıda misalları nəzərdən keçirərkən belə düz xətt tənliklərini kanonik tənliklərə çevirməyin yolunu göstərəcəyik.
5.4 İki düz xətt arasındakı bucaq. İki xəttin paralellik və perpendikulyarlıq şərti.
Kosmosda iki düz xətt arasındakı bucaq verilənlərə paralel ixtiyari nöqtədən çəkilmiş iki düz xəttin yaratdığı hər hansı bucaqdır.
İki sətir onların kanonik tənlikləri ilə verilsin.
İki düz xətt arasındakı bucaq üçün istiqamət vektorları arasındakı bucağı alacağıq.
və 
İki düz xəttin perpendikulyarlıq şərti onların istiqamət vektorlarının perpendikulyarlıq şərtinə və , yəni skalyar hasilinin sıfıra bərabərliyi şərtinə endirilir: və ya koordinat şəklində: .
İki xəttin paralellik şərti onların istiqamət vektorlarının paralellik şərtinə endirilir və
5.5 Düz xəttin və müstəvinin qarşılıqlı düzülüşü.
Düz xəttin tənlikləri verilsin:
və təyyarələr. Xəttlə müstəvi arasındakı bucaq xəttin yaratdığı iki bitişik bucaqdan və onun müstəviyə proyeksiyasından hər hansı biri olacaqdır (Şəkil 5.5).
 |
|||||||
Şəkil 5.5
Xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, xəttin istiqamətləndirici vektoru ilə müstəviyə normal vektor kollineardır. Beləliklə, düz xəttin və müstəvinin perpendikulyarlıq şərti kollinear vektorlar vəziyyətinə endirilir.
Düz xəttin və müstəvinin paralelliyi vəziyyətində onların yuxarıda göstərilən vektorları qarşılıqlı perpendikulyardır. Buna görə də düz xəttin və müstəvinin paralellik şərti vektorların perpendikulyarlıq şərtinə endirilir; olanlar. onların nöqtə hasilatı sıfırdır və ya koordinat şəklində: .
Aşağıda 5-ci fəslin mövzusu ilə bağlı problemlərin həlli nümunələri verilmişdir.
Misal 1:
Tənliklə verilmiş düz xəttə perpendikulyar olan A (1,2,4) nöqtəsindən keçən müstəvi üçün tənliyi yazın:
Qərar:
Verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən müstəvi tənliyindən istifadə edirik.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Nöqtə kimi müstəvi şərti ilə keçdiyi A (1,2,4) nöqtəsini götürürük.
Xəttin kanonik tənliklərini bilməklə, xəttin paralel vektorunu bilirik.
Şərtlə düz xəttin istənilən müstəviyə perpendikulyar olması səbəbindən istiqamət vektoru müstəvinin normal vektoru kimi götürülə bilər.
Beləliklə, təyyarənin tənliyini formada alırıq:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
Misal 2:
Təyyarədə tapın 4x-7y+5z-20=0 OP-nin koordinat oxları ilə bərabər bucaqlar etdiyi P nöqtəsi.
Qərar:
Sxematik bir rəsm çəkək. (Şəkil 5.6)
 |
saat
Şəkil 5.6
Boş R nöqtəsinin koordinatları var. Vektor koordinat oxları ilə eyni açılar yaratdığından bu vektorun istiqamət kosinusları bir-birinə bərabərdir.
vektorun proyeksiyalarını tapaq:
onda bu vektorun istiqamət kosinusları asanlıqla tapılır.
İstiqamət kosinuslarının bərabərliyindən bərabərlik belə olur:
x p \u003d y p \u003d z p
P nöqtəsi müstəvidə yerləşdiyi üçün bu nöqtənin koordinatlarını müstəvi tənliyində əvəz etmək onu eyniliyə çevirir.
4x p -7x p +5x p -20=0
2x p \u003d 20
x p \u003d 10
Müvafiq olaraq: y r=10; z səh=10.
Beləliklə, arzu olunan P nöqtəsi P koordinatlarına malikdir (10; 10; 10)
Misal 3:
A (2, -1, -2) və B (8, -7,5) iki nöqtəsi verilmişdir. AB seqmentinə perpendikulyar B nöqtəsindən keçən müstəvinin tənliyini tapın.
Qərar:
Məsələni həll etmək üçün verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən müstəvi tənliyindən istifadə edirik.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Nöqtə olaraq B nöqtəsindən (8, -7.5) və müstəviyə perpendikulyar vektor kimi vektordan istifadə edirik. vektorun proyeksiyalarını tapaq:
onda təyyarənin tənliyini formada alırıq:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6x-48-6y-42+7z-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
Misal 4:
OY oxuna paralel və K(1,-5,1) və M(3,2,-2) nöqtələrindən keçən müstəvi tənliyini tapın.
Qərar:
Təyyarə OY oxuna paralel olduğundan təyyarənin natamam tənliyindən istifadə edəcəyik.
Axe+Cz+D=0
K və M nöqtələrinin müstəvidə olması səbəbindən iki şərt əldə edirik.
Bu şərtlərdən A və C əmsallarını D ilə ifadə edək.
Tapılan əmsalları təyyarənin natamam tənliyinə əvəz edirik:
ildən, sonra D azaldırıq:
Misal 5:
M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) üç nöqtəsindən keçən müstəvi tənliyini tapın.
Qərar:
Verilmiş 3 nöqtədən keçən təyyarənin tənliyindən istifadə edək.
M, K, R nöqtələrinin koordinatlarını birinci, ikinci və üçüncü ilə əvəz edərək, əldə edirik:
determinantı 1-ci sətir boyunca genişləndirin.
Misal 6:
M 1 (8, -3,1) nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini tapın; M 2 (4,7,2) və müstəviyə perpendikulyar 3x+5y-7z-21=0
Qərar:
Sxematik bir rəsm çəkək (Şəkil 5.7)
Şəkil 5.7
Verilmiş P 2 müstəvisini və arzu olunan P 2 müstəvisini işarə edirik. Verilmiş R 1 müstəvisinin tənliyindən R 1 müstəvisinə perpendikulyar vektorun proyeksiyalarını təyin edirik.
Vektoru paralel köçürmə vasitəsi ilə P 2 müstəvisinə köçürmək olar, çünki məsələnin şərtinə görə, P 2 müstəvisi P 1 müstəvisinə perpendikulyardır, yəni vektor P 2 müstəvisinə paraleldir. .
R 2 müstəvisində yerləşən vektorun proyeksiyalarını tapaq:
indi R 2 müstəvisində uzanan iki vektorumuz var. Aydındır ki, vektor vektorların vektor məhsuluna bərabərdir və P 2 müstəvisinə perpendikulyar olacaq, çünki o, P 2 müstəvisinə perpendikulyardır və buna görə də onun normal vektoru.
vektorları onların proyeksiyaları ilə verilir, buna görə də:
Sonra vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyindən istifadə edirik. Nöqtə olaraq, M 1 və ya M 2 nöqtələrindən hər hansı birini götürə bilərsiniz, məsələn, M 1 (8, -3.1); Müstəviyə normal vektor kimi R 2 alırıq.
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
Misal 7:
Düz xətt iki təyyarənin kəsişməsi ilə müəyyən edilir. Xəttin kanonik tənliklərini tapın.
Qərar:
Formada bir tənliyimiz var:
Bir nöqtə tapmaq lazımdır x 0, y 0, z 0) düz xəttin və istiqamət vektorunun keçdiyi.
Koordinatlardan birini özbaşına seçirik. Misal üçün, z=1, onda iki naməlumlu iki tənlik sistemi alırıq:
Beləliklə, istədiyimiz xətt üzərində uzanan nöqtəni tapdıq (2,0,1).
İstənilən düz xəttin istiqamətləndirici vektoru olaraq normal vektor olan və vektorlarının çarpaz məhsulunu götürürük. 
, bu, istədiyiniz xəttə paralel deməkdir.
Beləliklə, düz xəttin istiqamət vektorunun proyeksiyaları var. Verilmiş vektora paralel verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyindən istifadə edərək:
Beləliklə, istədiyiniz kanonik tənlik formaya malikdir:
Misal 8:
Xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın 
və təyyarə 2x+3y+3z-8=0
Qərar:
Düz xəttin verilmiş tənliyini parametrik formada yazaq.
x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
düz xəttin hər bir nöqtəsi parametrin vahid qiymətinə uyğundur t. Parametr tapmaq üçün t xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsinə uyğun olaraq ifadəni müstəvi tənliyində əvəz edirik x, y, z parametr vasitəsilə t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t=1
sonra istədiyiniz nöqtənin koordinatları
istədiyiniz kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir (1;1;1).
Misal 9:
Paralel xətlərdən keçən təyyarənin tənliyini tapın.
Sxematik bir rəsm çəkək (Şəkil 5.9)
Şəkil 5.9
Verilmiş xətlərin tənliklərindən və bu xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının proyeksiyalarını təyin edirik. P müstəvisində yatan vektorun proyeksiyalarını tapırıq və M 1 (1, -1,2) və M 2 (0,1, -2) xətlərinin kanonik tənliklərindən və nöqtələrini götürürük.
