Xətti bərabərsizliklər sistemi nədir. Bərabərsizliklər sistemləri - Bilik Hipermarketi
Xətti bərabərsizliklər sisteminin həlli nümunələrinə baxaq.
4x + 29 \end(massiv) \sağ.\]" title="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir.">!}
Bir sistemi həll etmək üçün onu təşkil edən hər bir bərabərsizlik lazımdır. Yalnız ayrı-ayrılıqda deyil, birlikdə onları qıvrımlı mötərizə ilə birləşdirərək yazmaq qərarı verilir.
Sistemin hər bir bərabərsizliyində naməlumları bir tərəfə, məlum olanları isə əks işarə ilə digər tərəfə köçürürük:
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Sadələşdirildikdən sonra bərabərsizliyin hər iki hissəsi x-dən əvvəlki ədədə bölünməlidir. Birinci bərabərsizliyi müsbət ədədə bölürük, ona görə də bərabərsizliyin işarəsi dəyişmir. İkinci bərabərsizliyi mənfi ədədə bölürük, ona görə də bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilməlidir:
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Say xətlərində bərabərsizliklərin həllini qeyd edirik:
Cavab olaraq, həllərin kəsişməsini, yəni kölgənin hər iki xəttdə olduğu hissəni yazırıq.
Cavab: x∈[-2;1).
Birinci bərabərsizlikdə kəsrdən xilas olaq. Bunun üçün hər iki hissəni ən kiçik ortaq məxrəcə vururuq 2. Müsbət ədədə vurulduqda bərabərsizlik işarəsi dəyişmir.
İkinci bərabərsizlikdə mötərizələri açın. İki ifadənin cəmi və fərqinin hasili bu ifadələrin kvadratlarının fərqinə bərabərdir. Sağ tərəfdə iki ifadə arasındakı fərqin kvadratı var.
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Naməlumları bir tərəfə, məlum olanları əks işarə ilə digər tərəfə köçürür və sadələşdiririk:
Bərabərsizliyin hər iki tərəfini x-dən əvvəlki ədədə bölün. Birinci bərabərsizlikdə mənfi ədədə bölürük, ona görə də bərabərsizliyin işarəsi tərsinə çevrilir. İkincisində müsbət ədədə bölürük, bərabərsizlik işarəsi dəyişmir:
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Hər iki bərabərsizlik “kiçik” işarəsi ilə qeyd olunur (bir işarənin ciddi şəkildə “az”, digərinin ciddi deyil, “az və ya bərabər” olması vacib deyil). Hər iki həlli qeyd edə bilmərik, lakin "" qaydasından istifadə edirik. Ən kiçik 1-dir, buna görə də sistem bərabərsizliyə endirilir
Onun həllini say xəttində qeyd edirik:
Cavab: x∈(-∞;1].
Mötərizələr açırıq. Birinci bərabərsizlikdə - . Bu ifadələrin kublarının cəminə bərabərdir.
İkincidə - kvadratların fərqinə bərabər olan iki ifadənin cəmi və fərqinin hasilatı. Burada mötərizələrin qarşısında mənfi işarə olduğundan, onları iki mərhələdə açmaq daha yaxşıdır: əvvəlcə düsturdan istifadə edin və yalnız sonra mötərizələri açın, hər bir terminin işarəsini əksinə dəyişdirin.
Bilinməyənləri bir tərəfə, məlum olanları isə əks işarə ilə digər tərəfə köçürürük:
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Hər ikisi əlamətlərdən böyükdür. “Daha çox” qaydasından istifadə edərək, bərabərsizliklər sistemini bir bərabərsizliyə endiririk. İki ədəddən böyüyü 5-dir, deməli
Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}
Bərabərsizliyin həllini ədəd xəttində qeyd edirik və cavabını yazırıq:
Cavab: x∈(5;∞).
Xətti bərabərsizliklər sistemləri cəbrdə təkcə müstəqil tapşırıqlar kimi deyil, həm də müxtəlif növ tənliklərin, bərabərsizliklərin və s. həlli zamanı meydana gəldiyi üçün bu mövzunun vaxtında öyrənilməsi vacibdir.
Növbəti dəfə bərabərsizliklərdən birinin həlli olmadığı və ya həllinin istənilən ədəd olduğu xüsusi hallarda xətti bərabərsizlik sistemlərinin həlli nümunələrinə baxacağıq.
Rubrika: |XƏTTİ TƏNLƏR VƏ BƏRABƏRBƏRBARƏTLƏR I
§ 23 Xətti bərabərsizliklər sistemləri
Xətti bərabərsizliklər sistemi eyni naməlum kəmiyyəti ehtiva edən hər hansı iki və ya daha çox xətti bərabərsizliklər toplusudur.
Belə sistemlərə nümunələr:
Bərabərsizliklər sistemini həll etmək, sistemin hər bir bərabərsizliyinin ödənildiyi naməlum kəmiyyətin bütün qiymətlərini tapmaq deməkdir.
Yuxarıdakı sistemləri həll edək.
Bir-birinin altına iki ədəd sətir qoyaq (şək. 31); yuxarıda bu dəyərləri qeyd edin X , altında birinci bərabərsizlik ( X > 1) və aşağıda - həmin dəyərlər X , bunun altında ikinci bərabərsizlik təmin edilir ( X > 4).
Nömrə xətlərindəki nəticələri müqayisə edərək qeyd edirik ki, hər iki bərabərsizlik eyni vaxtda təmin ediləcək. X > 4. Cavab, X > 4.
Birinci bərabərsizlik -3 verir X < -б, или X > 2 və ikinci - X > -8 və ya X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , altında sistemin birinci bərabərsizliyi təmin edilir və birincinin altında yerləşən ikinci real xəttdə bütün bu dəyərlər X , bunun üçün sistemin ikinci bərabərsizliyi ödənilir (şək. 32).
Bu iki nəticənin müqayisəsi göstərir ki, hər iki bərabərsizlik eyni vaxtda bütün dəyərlər üçün keçərlidir X , 2-dən 8-ə qədər bağlandı. Belə dəyərlər toplusu X ikiqat bərabərsizlik 2 kimi yazılır< X < 8.
Misal 3. Bərabərsizliklər sistemini həll edin
Sistemin birinci bərabərsizliyi 5 verir X < 10, или X < 2, второе X > 4. Beləliklə, hər iki bərabərsizliyi eyni vaxtda ödəyən istənilən ədəd 2-dən və 4-dən çox olmamalıdır (şək. 33).
Amma belə rəqəmlər yoxdur. Buna görə də bu sistem bərabərsizliklər heç bir dəyər üçün təmin edilmir X . Belə bərabərsizliklər sistemləri uyğunsuz adlanır.
Məşqlər
Bu bərabərsizliklər sistemlərini həll edin (No 179 -184):
Bərabərsizlikləri həll edin (No 185, 186):
185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.
Bərabərlik məlumatlarına daxil olan hərflərin etibarlı dəyərlərini tapın (№ 187, 188):
Bərabərsizlikləri həll edin (No 189, 190):
189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oh < 5.
191. 10 litr suyun temperaturu nə qədər olmalıdır ki, onu 15° temperaturda 6 litr su ilə qarışdırdıqda temperaturu ən azı 30° və 40°-dən çox olmayan su alınsın?
192. Üçbucağın bir tərəfi 4 sm, digər ikisinin cəmi 10 sm-dir.Bu tərəfləri tam ədədlərlə ifadə olunubsa tapın.
193. Məlumdur ki, iki xətti bərabərsizlik sistemi naməlum kəmiyyətin heç bir qiyməti üçün ödənilmir. Bu sistemin fərdi bərabərsizliklərinin naməlum kəmiyyətin heç bir dəyəri üçün təmin edilmədiyini söyləmək mümkündürmü?
Tərif 1 . kosmosdakı nöqtələr toplusu R koordinatları tənliyi təmin edən n a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, adlanır ( n - 1 )-ölçülü hiperplan n-ölçülü məkan.
Teorem 1. Hiperplan bütün məkanı iki yarım fəzaya bölür. Yarım boşluq qabarıq çoxluqdur.
Sonlu sayda yarım fəzanın kəsişməsi qabarıq çoxluqdur.
Teorem 2 . ilə xətti bərabərsizliyin həlli n naməlum
a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b
bütün fəzanın hipermüstəvi ilə bölündüyü yarım fəzalardan biridir
a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+a n x n= b.
-dən bir sistemi nəzərdən keçirək m ilə xətti bərabərsizliklər n naməlum.
Sistemin hər bir bərabərsizliyinin həlli müəyyən bir yarım fəzadır. Sistemin həlli bütün yarım fəzaların kəsişməsi olacaqdır. Bu dəst qapalı və qabarıq olacaq.
Xətti bərabərsizliklər sistemlərinin həlli
iki dəyişən ilə
Sistem verilsin m iki dəyişənli xətti bərabərsizliklər.
Hər bir bərabərsizliyin həlli bütün təyyarənin müvafiq xətt ilə bölündüyü yarımmüstəvilərdən biri olacaqdır. Sistemin həlli bu yarım müstəvilərin kəsişməsi olacaqdır. Bu problem təyyarədə qrafik olaraq həll edilə bilər X 1 0 X 2 .
37. Qabarıq çoxbucaqlının təsviri
Tərif 1. Bağlı qabarıq məhdud təyin R n sonlu ədədi olan künc nöqtələri, qabarıq adlanır n-ölçülü çoxüzlü.
Tərif 2 . Qapalı qabarıq sərhədsiz qurulmuşdur R Sonlu sayda künc nöqtəsi olan n qabarıq çoxüzlü bölgə adlanır.
Tərif 3 . Çoxlu AMMAR varsa, n məhdud adlanır n-bu dəsti ehtiva edən ölçülü top.
Tərif 4. Nöqtələrin qabarıq xətti kombinasiyası t i , olduğu ifadədir.
teorem (qabarıq çoxüzlü üçün təmsil teoremi). Qabarıq çoxbucaqlının istənilən nöqtəsi onun künc nöqtələrinin qabarıq xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər.
38. Tənliklər və bərabərsizliklər sisteminin yol verilən həllər sahəsi.
Sistem verilsin m ilə xətti tənliklər və bərabərsizliklər n naməlum.
Tərif 1 . Nöqtə R n koordinatları sistemin tənliklərini və bərabərsizliklərini ödəyirsə, sistemin mümkün həlli adlanır. Hamının cəmi mümkün həllər sistemin mümkün həllər sahəsi (ROA) adlanır.
Tərif 2. Koordinatları mənfi olmayan mümkün həllə sistemin icazə verilən həlli deyilir. Bütün icazə verilən məhlullar toplusuna sistemin icazə verilən məhlullar regionu (ODD) deyilir.
Teorem 1 . ODE qapalı, qabarıq, məhdud (və ya qeyri-məhdud) alt çoxluqdur R n.
Teorem 2. Sistemin icazə verilən həlli o zaman istinaddır ki, bu nöqtə ODS-nin künc nöqtəsi olsun.
Teorem 3 (ODT-nin təsviri haqqında teorem).Əgər ODE məhdud çoxluqdursa, onda hər hansı icazə verilən məhlul ODE-nin künc nöqtələrinin qabarıq xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər (sistemin dayaq məhlullarının qabarıq xətti kombinasiyası şəklində).
Teorem 4 (sistemin dayaq həllinin mövcudluğu haqqında teorem). Sistemdə ən azı bir məqbul həll (ODR) varsa, o zaman icazə verilən həllər arasında ən azı bir istinad həlli var.
eyni naməlum kəmiyyəti ehtiva edən iki və ya daha çox xətti bərabərsizliyin istənilən toplusu adlanır
Bu cür sistemlərə nümunələr:
İki şüanın kəsişmə intervalı bizim həllimizdir. Buna görə də bu bərabərsizliyin həlli hər şeydir X iki ilə səkkiz arasında yerləşir.
Cavab: X
Bərabərsizliklər sisteminin həllinin xəritələşdirilməsinin bu növünün tətbiqi bəzən adlanır dam üsulu.
Tərif:İki çoxluğun kəsişməsi AMMA və AT və daxil olan bütün elementləri özündə birləşdirən belə üçüncü çoxluq adlanır AMMA və içində AT. İxtiyari xarakterli çoxluqların kəsişməsinin mənası budur. İndi biz ədədi çoxluqları təfərrüatı ilə nəzərdən keçiririk, ona görə də xətti bərabərsizlikləri taparkən belə çoxluqlar şüalardır - birgə istiqamətli, əks istiqamətli və s.
Gəlin reallıqda öyrənək misallar bərabərsizliklərin xətti sistemlərinin tapılması, sistemə daxil olan fərdi bərabərsizliklərin həlli çoxluqlarının kəsişməsinin necə müəyyən edilməsi.
Hesablayın bərabərsizliklər sistemi:
İki qüvvə xəttini birinin altına yerləşdirək. Biz bu dəyərləri yuxarıya qoyuruq X, birinci bərabərsizliyi yerinə yetirən x>7 , və aşağıda - ikinci bərabərsizliyin həlli kimi çıxış edən x>10 Say xətlərinin nəticələrini əlaqələndiririk, hər iki bərabərsizliyin təmin ediləcəyini öyrənirik. x>10.
Cavab: (10;+∞).
Birinci nümunə ilə bənzətmə ilə edirik. Verilmiş ədədi oxda bütün bu dəyərləri tərtib edin X bunun üçün birincisi mövcuddur sistem bərabərsizliyi, və ikinci ədədi oxda, bütün bu dəyərlər birincinin altına yerləşdirilir X, bunun üçün sistemin ikinci bərabərsizliyi ödənilir. Gəlin bu iki nəticəni müqayisə edək və müəyyən edək ki, hər iki bərabərsizlik eyni vaxtda bütün dəyərlər üçün təmin ediləcək. X 7 ilə 10 arasında yerləşir, işarələri nəzərə alaraq 7 alırıq<x≤10
Cavab: (7; 10).
Aşağıdakılar eyni şəkildə həll olunur. bərabərsizliklər sistemləri.