Уравнение стоячей волны через синус. Упругие волны
колеблющиеся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной .
При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице, передается лишь состояние колебательного движения и его энергии. Поэтому, основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), и продольными (сгущение и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения).
Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны
(Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.)
Это уравнение носит название волнового уравнения. Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению описывает некоторую волну.
Уравнением волны
называется выражение, которое дает смещение
колеблющейся точки
как функцию ее координат (x
, y
, z
) и времени t
.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.
– это уравнение плоской волны.
Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y
или z
В общем виде уравнение плоской волны
записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .
Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:
Введем волновое число , или в векторной форме:
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.
Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
уравнение сферической волны :
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.
ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР - вектор k , определяющий направление распространения и пространственный период плоской монохроматич. волны
где - постоянные амплитуда и фаза волны, - круговая частота, r - радиус-вектор. Модуль В. в. наз. волновым числом k= , где - пространственный период или длина волны. В направлении В. в. происходит наибыстрейшее изменение фазы волны , поэтому оно и принимается за направление распространения. Скорость перемещения фазы в этом направлении, или фазовая скорость , определяется через волновое число .. в.
6.1 Стоячие волны в упругой среде
Согласно принципу суперпозиции, при распростране-нии в упругой среде одновременно нескольких волн воз-никает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды являются векторной сум-мой колебаний, которые совершали бы частицы при рас-пространении каждой из волн в отдельности.
Волны, создающие колебания среды, разности фаз меж-ду которыми в каждой точке пространства постоянны, на-зываются когерентными .
При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что в одних точ-ках пространства волны усиливают друг друга, а в других точках – ослабляют. Важный случай интерференции наб-людается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой . Возникающие при этом колебания называют стоячей волной . Чаще все-го стоячие волны возникают при отражении бегущей вол-ны от преграды. При этом падающая волна и отраженная навстречу ей волна при сложении дают стоячую волну.
Получим уравнение стоячей волны. Возьмем две плос-кие гармонические волны, распространяющиеся навстечу друг другу вдоль оси X и имеющие одинаковую частоту и амплитуду :
где 
– фаза колебаний точек среды при про-хождении первой волны;
– фаза колебаний точек среды при про-хождении второй волны.
Разность фаз в каждой точке на оси X не будет зави-сеть от времени, т.е. будет постоянной:
Следовательно, обе волны будут когерентными.
Возникшее в результате сложения рассматриваемых волн колебание частиц среды будет следующим:
Преобразуем сумму косинусов углов по правилу (4.4) и получим:
Перегруппировав множители, получим:
Для упрощения выражения выберем начало отсчета так, чтобы разность фаз 
и начало отсчета времени , чтобы и сумма фаз была равна нулю: 
.
Тогда уравнение для суммы волн примет вид:
Уравнение (6.6) называется уравнением стоячей вол-ны . Из него видно, что частота стоячей волны равна частоте бегущей волны, а амплитуда, в отличие от бегу-щей волны, зависит от расстояния от начала отсчета :
. (6.7)
С учетом (6.7) уравнение стоячей волны принимает вид:
. (6.8)
Таким образом, точки среды колеблются с частотой , совпадающей с частотой бегущей волны, и амплитудой a , зависящей от положения точки на оси X . Соответственно, амплитуда изменяется по закону косинуса и имеет свои максимумы и минимумы (рис. 6.1).
 |
Для того, чтобы наглядно представить расположение минимумов и максимумов амплитуды заменим, согласно (5.29), волновое число его значением:
Тогда выражение (6.7) для амплитуды примет вид
(6.10)
Отсюда становится видно, что амплитуда смещения мак-симальна при 
, т.е. в точках, координата кото-рых удовлетворяет условию:
, (6.11)
где 
Отсюда получаем координаты точек, где амплитуда сме-щения максимальна:
; (6.12)
Точки, где амплитуда колебаний среды максимальна, называются пучностями волны .
Амплитуда волны равна нулю в точках, где 
. Координата таких точек, называемых узлами волны
, удов-летворяет условию:
, (6.13)
где
Из (6.13) видно, что координаты узлов имеют зна-чения:
, (6.14)
На рис. 6.2 показан примерный вид стоячей волны, от-мечено расположение узлов и пучностей. Видно, что со-седние узлы и пучности смещения отстоят друг от друга на одно и то же расстояние.
 |
Найдем расстояние между соседними пучностями и уз-лами. Из (6.12) получаем расстояние между пучностями:
(6.15)
Расстояние между узлами получаем из (6.14):
(6.16)
Из полученных соотношений (6.15) и (6.16) видно, что расстояние между соседними узлами, как и между сосед-ними пучностями, постоянно и равно ; узлы и пуч-ности сдвинуты относительно друг друга на (рис. 6.3).
Из определения длины волны можно записать выра-жение для длины стоячей волны: она равна половине дли-ны бегущей волны:
Запишем, с учетом (6.17), выражения для координат уз-лов и пучностей:
, (6.18)
, 
(6.19)
Множитель , определяющий амплитуду стоя-чей волны, меняет свой знак при переходе через нулевое значение, вследствие чего фаза колебаний по разные сто-роны от узла отличается на . Следовательно, все точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в про-тивофазе. Все точки, находящиеся между соседними уз-лами, колеблются синфазно.
 |
Узлы условно разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются незави-симо. Никакой передачи движения между областями нет, и, значит, перетекания энергии между областями нет. То есть нет передачи возмущения вдоль оси . Поэтому волна называется стоячей.
Итак, стоячая волна образуется из двух противополож-но направленных бегущих волн равных частот и амп-литуд. Векторы Умова каждой из этих волн равны по мо-дулю и противоположны при направлению, и при сложе-нии дают ноль. Следовательно, стоячая волна энергии не переносит.
6.2 Примеры стоячих волн
6.2.1 Стоячая волна в струне
Расмотрим струну длиной L , закрепленную с обоих кон-цов (рис. 6.4).
Расположим вдоль струны ось X таким образом, чтобы левый конец струны имел координату x=0 , а правый – x=L . В струне возникают колебания, описываемые урав-нением:
Запишем граничные условия для рассматриваемой стру-ны. Поскольку её концы закреплены, то в точках с коор-динатами x=0 и x=L колебаний нет:
(6.22)
Найдем уравнение колебаний струны исходя из запи-санных граничных условий. Запишем уравнение (6.20) для левого конца струны с учетом (6.21):
Соотношение (6.23) выполняется для любого времени t в двух случаях:
1. 
. Это возможно в том случае, если коле-бания в струне отсутствуют (). Данный случай инте-реса не представляет, и мы его рассматривать не будем.
2. . Здесь фаза . Этот случай и позволит нам получить уравнение колебаний струны.
Подставим полученное значение фазы в граничное условие (6.22) для правого конца струны:
. (6.25)
Учитывая, что
, (6.26)
из (6.25) получим:
Снова возникают два случая, при которых выполняется соотношение (6.27). Случай, когда колебания в струне от-сутствуют (), мы рассматривать не будем.
Во втором случае должно выполняться равенство:
а это возможно, только когда аргумент синуса кратен це-лому числу :
Значение мы отбрасываем, т.к. при этом , а это означало бы или нулевую длину струны (L=0 ) или вол-новое число k=0 . Учитывая связь (6.9) между волновым числом и длиной волны видно, что для того, чтобы вол-новое число равнялось бы нулю, длина волны должна бы быть бесконечной, а это означало бы отсутствие колебаний.
Из (6.28) видно, что волновое число при колебаниях струны, закрепленной с обоих концов, может принимать только определенные дискретные значения:
Учитывая (6.9), запишем (6.30) в виде:
откуда волучаем выражение для возможных длин волн в струне:
Другими словами, на длине струны L должно уклады-ваться целое число n полуволн:
Соответствующие частоты колебаний можно опреде-лить из (5.7):
Здесь – фазовая скорость волны, зависящая, соглас-но (5.102), от линейной плотности струны и силы на-тяжения струны :
Подставив (6.34) в (6.33), получим выражение, описы-вающее возможные частоты колебаний струны:
, (6.36)
Частоты называют собственными частотами стру-ны. Частоту (при n = 1):
(6.37)
называют основной частотой (или основным тоном ) струны. Частоты, определяемые при n>1 называются обертонами или гармониками . Номер гармоники равен n-1 . Например, частота :
соответствует первой гармонике, а частота :
сответствует второй гармонике, и т.д. Поскольку струну можно представить в виде дискретной системы с беско-нечным числом степеней свободы, то каждая гармоника является модой колебаний струны. В общем случае коле-бания струны представляют собой суперпозицию мод.
 |
Каждой гармонике соответствует своя длина волны. Для основного тона (при n= 1) длина волны:
соответственно для первой и второй гармоники (при n= 2 и n= 3) длины волн будут:
На рис.6.5 показан вид нескольких мод колебаний, осуществляемых струной.
Таким образом, струна с закрепленными концами реа-лизует в рамках классической физики исключительный случай – дискретный спектр частоты колебаний (или длин волн). Таким же образом ведет себя упругий стер-жень с одним или обоими зажатыми концами и колебания воздушного столба в трубах, что и будет рассмотрено в последующих разделах.
6.2.2 Влияние начальных условий на движение
непрерывной струны. Фурье-анализ
Колебания струны с зажатыми концами помимо дис-кретного спектра частот колебаний обладают еще одним важным свойством: конкретная форма колебаний струны зависит от способа возбуждения колебаний, т.е. от на-чальных условий. Рассмотрим подробней.
Уравнение (6.20), описывающее одну моду стоячей вол-ны в струне, является частным решением дифференциаль-ного волнового уравнения (5.61). Поскольку колебание стру-ны складывается из всех возможных мод (для струны – бес-конечное количество), то и общее решение волнового уравнения (5.61) складывается из бесконечного числа частных решений:
, (6.43)
где i – номер моды колебаний. Выражение (6.43) записа-но с учетом того, что концы струны закреплены:
а также с учетом связи частоты i -й моды и ее волнового числа:
(6.46)
Здесь 
– волновое число i
-й моды;
– волновое число 1-й моды;
Найдем величину начальной фазы для каждой моды колебаний. Для этого в момент времени t=0 придадим струне форму, описываемую функцией f 0 (x) , выражение для которой получим из (6.43):
. (6.47)
На рис. 6.6 показан пример формы струны, описывае-мой функцией f 0 (x) .
 |
В момент времени t=0 струна еще покоится, т.е. ско-рость всех ее точек равна нулю. Из (6.43) найдем выраже-ние для скорости точек струны:
и, подставив в него t=0 , получим выражение для скорос-ти точек струны в начальный момент времени:
. (6.49)
Поскольку в начальный момент времени скорость рав-на нулю, то выражение (6.49) будет равно нулю для всех точек струны, если . Из этого следует, что на-чальная фаза для всех мод тоже равна нулю (). С учетом этого выражение (6.43), описывающее движение струны, принимает вид:
, (6.50)
а выражение (6.47), описывающее начальную форму стру-ны, выглядит как:
. (6.51)
Стоячая волна в струне описывается функцией, перио-дичной на интервале , где равна двум длинам струны (рис. 6.7):
Это видно из того, что периодичность на интервале означает:
Следовательно,
что и приводит нас к выражению (6.52).
Из математического анализа известно, что любая пе-риодическая функция может быть разложена с высо-кой точностью в ряд Фурье:
, (6.57)
где , , – коэффициенты Фурье.
Если в среде распространяются одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции волн. Принцип суперпозиции утверждает, что движение, вызванное распространением сразу нескольких волн, есть снова некоторый волновой процесс. Таким процессом, например, является звучание оркестра. Оно возникает от одновременного возбуждения звуковых колебаний воздуха отдельными музыкальными инструментами. Замечательно, что при наложении волн могут возникать особые явления. Их называют эффектами сложения или, как еще говорят, суперпозиции волн. Среди этих эффектов наиболее важными являются интерференция и дифракция.
Интерференция – явление устойчивого во времени перераспределения энергии колебаний в пространстве, в результате которого в одних местах колебания усиливаются, а в других ослабляются. Это явление возникает при сложении волн с сохраняющейся во времени разностью фаз, так называемых когерентных волн. Интерференцию большого числа волн принято называть дифракцией. Принципиального различия между интерференцией и дифракцией нет. Природа этих явлений одна и та же. Мы ограничимся обсуждением только одного очень важного интерференционного эффекта, который заключается в образовании стоячих волн.
Необходимым условием образования стоячих волн является наличие границ, отражающих падающие на них волны. Стоячие волны образуются в результате сложения падающих и отраженных волн. Явления такого рода встречаются довольно часто. Так, каждый тон звучания любого музыкального инструмента возбуждается стоячей волной. Эта волна образуется либо в струне (струнные инструменты), либо в столбе воздуха (духовые инструменты). Отражающими границами в этих случаях являются точки закрепления струны и поверхности внутренних полостей духовых инструментов.
Каждая стоячая волна обладает следующими свойствами. Вся область пространства, в которой возбуждена волна, может быть разбита на ячейки таким образом, что на границах ячеек колебания полностью отсутствуют. Точки, расположенные на этих границах, называются узлами стоячей волны. Фазы колебаний во внутренних точках каждой ячейки одинаковы. Колебания в соседних ячейках совершаются навстречу друг другу, то есть в противофазе. В пределах одной ячейки амплитуда колебаний изменяется в пространстве и в каком-то месте достигает максимального значения. Точки, в которых это наблюдается, называются пучностями стоячей волны. Наконец, характерным свойством стоячих волн является дискретность спектра их частот. В стоячей волне колебания могут совершаться только со строго определенными частотами, и переход от одной из них к другой происходит скачком.
Рассмотрим простой пример стоячей волны. Предположим, что струна ограниченной длины натянута вдоль оси ; концы ее жестко закреплены, причем левый конец находится в начале координат. Тогда координата правого конца будет . Возбудим в струне волну
,
распространяющуюся вдоль слева направо. От правого конца струны волна отразится. Предположим, что это произойдет без потери энергии. В этом случае отраженная волна будет иметь ту же амплитуду и ту же частоту, что и падающая. Поэтому отраженная волна должна иметь вид:
Ее фаза содержит постоянную , определяющую изменение фазы при отражении. Поскольку отражение происходит на обоих концах струны и без потерь энергии, то в струне будут одновременно распространяться волны одинаковых частот. Поэтому при сложении и должна возникнуть интерференция. Найдем результирующую волну.
Это и есть уравнение стоячей волны. Из него следует, что в каждой точке струны происходят колебания с частотой . При этом амплитуда колебаний в точке равна
.
Так как концы струны закреплены, то там колебания отсутствуют. Из условия следует, что . Поэтому окончательно получим:
.
Теперь ясно, что в точках, в которых , колебания отсутствуют вовсе. Эти точки и являются узлами стоячей волны. Там же, где , амплитуда колебаний максимальна, она равна удвоенному значению амплитуды складываемых колебаний. Эти точки являются пучностями стоячей волны. В появлении пучностей и узлов как раз и заключается интерференция: в одних местах колебания усиливаются, а в других исчезают. Расстояние между соседними узлом и пучностью находится из очевидного условия: . Поскольку , то . Следовательно, расстояние между соседними узлами .
Из уравнения стоячей волны видно, что множитель 
при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на . Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе.
Таким образом, при сложении падающей и отраженной волн действительно можно получить картину волнового движения, которая была охарактеризована ранее. При этом ячейки, о которых шла речь, в одномерном случае представляют собой отрезки, заключенные между соседними узлами и имеющие длину .
Убедимся, наконец, в том, что рассмотренная нами волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний. Воспользуемся тем, что колебания на правом конце струны отсутствуют, то есть . Отсюда получается, что . Это равенство возможно, если , где – целое произвольное положительное число.
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим
Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета - так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением
Тогда уравнение (99.1) примет вид
Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:
амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:
Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения
Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).
Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.
Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.
Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.
Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :
Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) - стоячую волну деформации.
На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.
Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.
