வெக்டார்களின் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பின் நேரியல் இடைவெளி. திசையன் அமைப்பின் நேரியல் இடைவெளி

லீனியர் ஷெல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது துணைவெளி உருவாக்கப்பட்டது எக்ஸ். பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. லீனியர் ஷெல் என்றும் கூறப்படுகிறது மேல் நீட்டியதுஒரு கொத்து எக்ஸ் .

பண்புகள்

மேலும் பார்க்கவும்

இணைப்புகள்

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010.

• ஜாங்கர்
• பேமெண்ட் பேலன்ஸ்

பிற அகராதிகளில் "லீனியர் ஷெல்" என்றால் என்ன என்பதைக் காண்க:

நேரியல் ஷெல்- திசையன் இடத்தின் தொகுப்பைக் கொண்ட அனைத்து துணைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு M. மேலும், Mnaz. ஏ.எம்.ஐ. வொய்ட்செகோவ்ஸ்கியால் உருவாக்கப்பட்ட துணைவெளியும்... கணித கலைக்களஞ்சியம்

நேரியல் ஷெல் திசையன்கள்

நேரியல் ஷெல் திசையன்கள்- அனைத்து சாத்தியமான குணகங்களுடன் (α1, ..., αn) இந்த திசையன்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு ∑αiai ... பொருளாதார-கணித அகராதி

நேரியல் ஷெல் திசையன்கள்- அனைத்து சாத்தியமான குணகங்களுடனும் (?1, …, ?n) இந்த திசையன்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு?? தலைப்புகள் பொருளாதாரம் EN லீனியர் ஹல் …

நேரியல் இயற்கணிதம்- கணித ஒழுக்கம், இயற்கணிதத்தின் ஒரு பகுதி, குறிப்பாக, நேரியல் சமன்பாடுகள், அணிகள் மற்றும் தீர்மானிப்பான்களின் கோட்பாடு, அத்துடன் திசையன் (நேரியல்) இடைவெளிகளின் கோட்பாடு ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. நேரியல் உறவு “படிவத்தின் உறவு: a1x1 + a2x2 +… +…… தொழில்நுட்ப மொழிபெயர்ப்பாளர் வழிகாட்டி

நேரியல் சார்பு- “படிவத்தின் உறவு: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, இதில் a1, a2, ..., an எண்கள், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியம் அல்ல; x1, x2, ..., xn என்பது சில கணிதப் பொருள்களாகும், அதற்கான கூட்டல் செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. பொருளாதார-கணித அகராதி

ஷெல்- லீனியர் ஷெல் பார்க்க... பொருளாதார-கணித அகராதி

நேரியல் சார்பு

நேரியல் கலவை- லீனியர் ஸ்பேஸ், அல்லது வெக்டார் ஸ்பேஸ், நேரியல் இயற்கணிதம் பற்றிய ஆய்வின் முக்கிய பொருள். பொருளடக்கம் 1 வரையறை 2 எளிமையான பண்புகள் 3 தொடர்புடைய வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள் ... விக்கிபீடியா

நேரியல் குழுசில உடல் K மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தின் V இன் வெக்டார் ஸ்பேஸின் நேரியல் மாற்றங்களின் ஒரு குழு ஆகும். V விண்வெளியில் ஒரு அடிப்படையைத் தேர்ந்தெடுப்பது, உடலின் K மீது பட்டம் n இன் சிதைவடையாத சதுர மெட்ரிக்குகளின் குழுவாக நேரியல் குழுவை உணர்த்துகிறது. இது ஒரு ஐசோமார்பிஸத்தை நிறுவுகிறது ... கணித கலைக்களஞ்சியம்

புத்தகங்கள்

• நேரியல் இயற்கணிதம். திறந்த மூலக் கல்விக்கான பாடப்புத்தகம் மற்றும் பட்டறை 1471 UAHக்கு வாங்கவும் (உக்ரைன் மட்டும்)
• நேரியல் இயற்கணிதம். கல்வியியல் இளங்கலை பட்டத்திற்கான பாடநூல் மற்றும் பட்டறை, Kremer N.Sh.. இந்த பாடநூலில் பல புதிய கருத்துக்கள் மற்றும் கூடுதல் கேள்விகள் உள்ளன, அதாவது மேட்ரிக்ஸின் விதிமுறை, ஒரு அடிப்படையை பூர்த்தி செய்யும் முறை, நேரியல் இடைவெளிகளின் ஐசோமார்பிசம், நேரியல் துணைவெளிகள், நேரியல் ...

திசையன் இடத்திலிருந்து திசையன்களின் அமைப்பாக இருக்கட்டும் விகளத்திற்கு மேல் பி.

வரையறை 2:நேரியல் ஷெல் எல்அமைப்புகள் ஏகணினியின் திசையன்களின் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பாகும் ஏ. பதவி L(A).

எந்த இரண்டு அமைப்புகளுக்கும் என்று காட்டலாம் ஏமற்றும் பி,

ஏநேரியல் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது பிஎன்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. (1)

ஏஇணையான பிபின்னர் மற்றும் எப்போது மட்டுமே L(A)=L(B). (2)

முந்தைய சொத்திலிருந்து ஆதாரம் பின்வருமாறு

3 திசையன்களின் எந்த அமைப்பின் நேரியல் இடைவெளியும் இடத்தின் துணைவெளியாகும் வி.

ஆதாரம்

ஏதேனும் இரண்டு திசையன்களை எடுத்துக் கொள்ளவும் L(A), இருந்து திசையன்களில் பின்வரும் விரிவாக்கங்கள் உள்ளன ஏ: . நிபந்தனைகளின் 1) மற்றும் 2) சாத்தியக்கூறுகளை சரிபார்க்கலாம்:

இது கணினி திசையன்களின் நேரியல் கலவையாக இருப்பதால் ஏ.

இது கணினி திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகும் ஏ.

இப்போது மேட்ரிக்ஸைக் கருத்தில் கொள்வோம். மேட்ரிக்ஸ் வரிசைகளின் நேரியல் இடைவெளி ஏமேட்ரிக்ஸின் வரிசை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது Lr(A). மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகளின் நேரியல் இடைவெளி ஏநெடுவரிசை இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது Lc(A). மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை இடைவெளி எப்போது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் ஏவெவ்வேறு எண்கணித இடைவெளிகளின் துணைவெளிகளாகும் பி என்மற்றும் மாலைமுறையே. அறிக்கை (2) ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வரும் முடிவுக்கு வரலாம்:

தேற்றம் 3:ஒரு அணி மற்றொன்றிலிருந்து அடிப்படை மாற்றங்களின் சங்கிலியால் பெறப்பட்டால், அத்தகைய மெட்ரிக்ஸின் வரிசை இடைவெளிகள் ஒத்துப்போகின்றன.

துணைவெளிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் குறுக்குவெட்டு

விடுங்கள் எல்மற்றும் எம்- விண்வெளியின் இரண்டு துணைவெளிகள் ஆர்.

தொகை எல்+எம்திசையன்களின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது x+y , எங்கே எக்ஸ் ∈எல்மற்றும் ஒய் ∈எம். வெளிப்படையாக, திசையன்களின் எந்த நேரியல் கலவையும் எல்+எம்சொந்தமானது எல்+எம், எனவே எல்+எம்இடத்தின் துணைவெளியாகும் ஆர்(விண்வெளியுடன் ஒத்துப்போகலாம் ஆர்).

கடப்பதன் மூலம் எல்∩எம்துணைவெளிகள் எல்மற்றும் எம்ஒரே நேரத்தில் துணைவெளிகளுக்குச் சொந்தமான திசையன்களின் தொகுப்பாகும் எல்மற்றும் எம்(பூஜ்ஜிய திசையன் மட்டுமே இருக்க முடியும்).

தேற்றம் 6.1. தன்னிச்சையான துணைவெளிகளின் பரிமாணங்களின் கூட்டுத்தொகை எல்மற்றும் எம்வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண நேரியல் வெளி ஆர்இந்த துணைவெளிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரிமாணத்திற்கும் இந்த துணைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டின் பரிமாணத்திற்கும் சமம்:

மங்கலான L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

ஆதாரம். குறிப்போம் F=L+Mமற்றும் G=L∩M. விடுங்கள் ஜி ஜி- பரிமாண துணைவெளி. அதில் ஒரு அடிப்படையை தேர்வு செய்வோம். ஏனெனில் ஜி⊂எல்மற்றும் ஜி⊂எம், எனவே அடிப்படையில் ஜிஅடிப்படையில் சேர்க்கலாம் எல்மற்றும் அடித்தளத்திற்கு எம். துணைவெளியின் அடிப்படையை விடுங்கள் எல்மற்றும் துணைவெளியின் அடிப்படையை அனுமதிக்கவும் எம். திசையன்கள் என்பதைக் காட்டுவோம்

(6.1) அடிப்படையாக அமைகிறது F=L+M. திசையன்கள் (6.1) இடத்தின் அடிப்படையை உருவாக்குவதற்காக எஃப்அவை நேரியல் சார்பற்றதாகவும், இடத்தின் எந்த வெக்டராகவும் இருக்க வேண்டும் எஃப்திசையன்கள் (6.1) நேரியல் கலவையால் குறிப்பிடப்படலாம்.

திசையன்களின் நேரியல் சுதந்திரத்தை நிரூபிப்போம் (6.1). இடத்தின் பூஜ்ஜிய வெக்டரை விடுங்கள் எஃப்சில குணகங்களுடன் திசையன்களின் (6.1) நேரியல் கலவையால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

(6.3) இன் இடது பக்கம் துணைவெளி திசையன் ஆகும் எல், மற்றும் வலது பக்கம் துணைவெளி திசையன் ஆகும் எம். எனவே திசையன்

(6.4) துணைவெளியைச் சேர்ந்தது G=L∩M. மறுபுறம், திசையன் v துணைவெளியின் அடிப்படை திசையன்களின் நேரியல் கலவையால் குறிப்பிடப்படலாம் ஜி:

(6.5) சமன்பாடுகளிலிருந்து (6.4) மற்றும் (6.5) எங்களிடம் உள்ளது:

ஆனால் திசையன்கள் துணைவெளியின் அடிப்படை எம், எனவே அவை நேரியல் சார்பற்றவை மற்றும் . பின்னர் (6.2) படிவத்தை எடுக்கும்:

துணைவெளியின் அடிப்படையின் நேரியல் சுதந்திரம் காரணமாக எல்எங்களிடம் உள்ளது:

சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் (6.2) பூஜ்ஜியமாக மாறியதால், பின்னர் திசையன்கள்

நேரியல் சார்பற்றது. ஆனால் எந்த திசையன் z இருந்து எஃப்(துணைவெளிகளின் கூட்டுத்தொகையின் வரையறையின்படி) தொகையால் குறிப்பிடப்படலாம் x+y , எங்கே எக்ஸ் ∈ எல்,ஒய் ∈ எம். அதன் திருப்பத்தில் எக்ஸ் திசையன்களின் நேரியல் கலவையால் குறிக்கப்படுகிறது a ஒய் - திசையன்களின் நேரியல் கலவை. எனவே, திசையன்கள் (6.10) துணைவெளியை உருவாக்குகின்றன எஃப். திசையன்கள் (6.10) ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குவதைக் கண்டறிந்தோம் F=L+M.

சப்ஸ்பேஸ் தளங்களைப் படிக்கிறது எல்மற்றும் எம்மற்றும் துணைவெளி அடிப்படை F=L+M(6.10), எங்களிடம் உள்ளது: மங்கலான L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. எனவே:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

துணைவெளிகளின் நேரடித் தொகை

வரையறை 6.2. விண்வெளி எஃப்துணைவெளிகளின் நேரடித் தொகையைக் குறிக்கிறது எல்மற்றும் எம், ஒவ்வொரு திசையன் என்றால் எக்ஸ் விண்வெளி எஃப்ஒரு தொகையாக மட்டுமே குறிப்பிட முடியும் x=y+z , எங்கே ஒய் ∈L மற்றும் z ∈எம்.

நேரடி அளவு குறிக்கப்படுகிறது எல்⊕எம். என்றால் என்று சொல்கிறார்கள் F=L⊕எம், அந்த எஃப்அதன் துணைவெளிகளின் நேரடித் தொகையாக சிதைகிறது எல்மற்றும் எம்.

தேற்றம் 6.2. பொருட்டு n- பரிமாண இடம் ஆர்துணைவெளிகளின் நேரடித் தொகையாக இருந்தது எல்மற்றும் எம், குறுக்குவெட்டுக்கு இது போதும் எல்மற்றும் எம்பூஜ்ஜிய உறுப்பு மட்டுமே உள்ளது மற்றும் பரிமாணம் R என்பது துணைவெளிகளின் பரிமாணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் எல்மற்றும் எம்.

ஆதாரம். துணைவெளி L இல் சில அடிப்படைகளையும், M இன் துணைவெளியில் சில அடிப்படைகளையும் தேர்வு செய்வோம். அதை நிரூபிப்போம்

(6.11) என்பது இடத்தின் அடிப்படை ஆர். தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளின்படி, விண்வெளியின் பரிமாணம் Rnதுணைவெளிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் எல்மற்றும் எம் (n=l+m) தனிமங்களின் நேரியல் சுதந்திரத்தை நிரூபிக்க இது போதுமானது (6.11). இடத்தின் பூஜ்ஜிய வெக்டரை விடுங்கள் ஆர்சில குணகங்களுடன் திசையன்களின் (6.11) நேரியல் கலவையால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

(6.13) (6.13) இன் இடது பக்கம் துணைவெளியின் திசையன் என்பதால் எல், மற்றும் வலது பக்கம் துணைவெளி திசையன் ஆகும் எம்மற்றும் எல்∩எம்=0 , அந்த

(6.14) ஆனால் திசையன்கள் துணைவெளிகளின் அடிப்படைகள் எல்மற்றும் எம்முறையே. எனவே அவை நேரியல் சார்பற்றவை. பிறகு

(6.15) (6.12) நிபந்தனையின் கீழ் (6.15) மட்டுமே செல்லுபடியாகும் என்று நிறுவப்பட்டது, மேலும் இது திசையன்களின் நேரியல் சுதந்திரத்தை நிரூபிக்கிறது (6.11). எனவே அவை ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன ஆர்.

x∈R ஐ விடுங்கள். அடிப்படையின்படி அதை விரிவுபடுத்துவோம் (6.11):

(6.16) (6.16) இலிருந்து எங்களிடம் உள்ளது:

(6.18) (6.17) மற்றும் (6.18) இலிருந்து எந்த திசையன் ஆர்திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் எக்ஸ் 1 ∈எல்மற்றும் எக்ஸ் 2 ∈எம். இந்த பிரதிநிதித்துவம் தனித்துவமானது என்பதை நிரூபிக்க உள்ளது. பிரதிநிதித்துவம் (6.17) தவிர, பின்வரும் பிரதிநிதித்துவம் இருக்கட்டும்:

(6.19) (6.17) இலிருந்து (6.19) கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்

(6.20) முதல் , மற்றும் எல்∩எம்=0 , பின்னர் மற்றும். எனவே மற்றும். ■

துணைவெளிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரிமாணத்தில் தேற்றம் 8.4. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட-பரிமாண நேரியல் இடத்தின் துணைவெளிகள் மற்றும் இருந்தால், துணைவெளிகளின் கூட்டுத்தொகையின் பரிமாணம், அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் பரிமாணம் இல்லாமல் அவற்றின் பரிமாணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் ( கிராஸ்மேனின் சூத்திரம்):

உண்மையில், குறுக்குவெட்டின் அடிப்படையாக இருக்கட்டும். துணைவெளியின் அடிப்படை வரை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட திசையன்களின் தொகுப்பையும், துணைவெளியின் அடிப்படை வரை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட திசையன்களின் தொகுப்பையும் கூடுதலாக வழங்குவோம். அத்தகைய கூட்டல் தேற்றம் 8.2 மூலம் சாத்தியமாகும். இந்த மூன்று திசையன்களின் தொகுப்புகளிலிருந்து, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட திசையன்களின் தொகுப்பை உருவாக்குவோம். இந்த திசையன்கள் விண்வெளியின் ஜெனரேட்டர்கள் என்பதைக் காட்டுவோம். உண்மையில், இந்த இடத்தின் எந்த வெக்டரும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து திசையன்களின் நேரியல் கலவையாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது

எனவே, . ஜெனரேட்டர்கள் நேரியல் சார்பற்றவை, எனவே அவை இடத்தின் அடிப்படை என்பதை நிரூபிப்போம். உண்மையில், இந்த திசையன்களின் நேரியல் கலவையை உருவாக்கி அதை பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமன் செய்வோம்: . இந்த விரிவாக்கத்தின் அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியமாகும்: இருமுனை வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு திசையன் இடத்தின் துணைவெளிகள் ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் ஆர்த்தோகனல் திசையன்களின் தொகுப்பாகும். இந்த தொகுப்பு ஒரு திசையன் துணைவெளி ஆகும், இது பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது.

லீனியர் ஷெல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது துணைவெளி உருவாக்கப்பட்டது எக்ஸ். பொதுவாக குறிக்கப்படுகிறது. லீனியர் ஷெல் என்றும் கூறப்படுகிறது மேல் நீட்டியதுஒரு கொத்து எக்ஸ் .

பண்புகள்

மேலும் பார்க்கவும்

இணைப்புகள்

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010.

பிற அகராதிகளில் "லீனியர் ஷெல்" என்றால் என்ன என்பதைக் காண்க:

திசையன் இடத்தின் தொகுப்பைக் கொண்ட அனைத்து துணைவெளிகளின் M இன் குறுக்குவெட்டு E. மேலும், Mnaz. ஏ.எம்.ஐ. வொய்ட்செகோவ்ஸ்கியால் உருவாக்கப்பட்ட துணைவெளியும்... கணித கலைக்களஞ்சியம்

நேரியல் ஷெல் திசையன்கள்

நேரியல் ஷெல் திசையன்கள்- அனைத்து சாத்தியமான குணகங்களுடன் (α1, ..., αn) இந்த திசையன்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு ∑αiai ... பொருளாதார-கணித அகராதி

நேரியல் ஷெல் திசையன்கள்- அனைத்து சாத்தியமான குணகங்களுடனும் (?1, …, ?n) இந்த திசையன்களின் நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு?? தலைப்புகள் பொருளாதாரம் EN லீனியர் ஹல் …

நேரியல் இயற்கணிதம்- கணித ஒழுக்கம், இயற்கணிதத்தின் ஒரு பகுதி, குறிப்பாக, நேரியல் சமன்பாடுகள், அணிகள் மற்றும் தீர்மானிப்பான்களின் கோட்பாடு, அத்துடன் திசையன் (நேரியல்) இடைவெளிகளின் கோட்பாடு ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. நேரியல் உறவு “படிவத்தின் உறவு: a1x1 + a2x2 +… +…… தொழில்நுட்ப மொழிபெயர்ப்பாளர் வழிகாட்டி

நேரியல் சார்பு- “படிவத்தின் உறவு: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, இதில் a1, a2, ..., an எண்கள், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியம் அல்ல; x1, x2, ..., xn என்பது சில கணிதப் பொருள்களாகும், அதற்கான கூட்டல் செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. பொருளாதார-கணித அகராதி

ஷெல்- லீனியர் ஷெல் பார்க்க... பொருளாதார-கணித அகராதி

லீனியர் ஸ்பேஸ், அல்லது வெக்டார் ஸ்பேஸ், நேரியல் இயற்கணிதம் பற்றிய ஆய்வின் முக்கிய பொருள். பொருளடக்கம் 1 வரையறை 2 எளிமையான பண்புகள் 3 தொடர்புடைய வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள் ... விக்கிபீடியா

ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் K மீது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணத்தின் ஒரு திசையன் ஸ்பேஸ் V இன் நேரியல் மாற்றங்களின் குழு K. விண்வெளியில் ஒரு அடிப்படையின் தேர்வு, உடலின் K மீது பட்டம் n இன் சிதைவடையாத சதுர மெட்ரிக்குகளின் குழுவாக நேரியல் குழுவை உணர்த்துகிறது. இவ்வாறு, ஒரு ஐசோமார்பிசம் நிறுவப்பட்டது ... கணித கலைக்களஞ்சியம்

புத்தகங்கள்

• நேரியல் இயற்கணிதம். திறந்த மூலக் கல்விக்கான பாடநூல் மற்றும் பட்டறை
• நேரியல் இயற்கணிதம். கல்வியியல் இளங்கலை பட்டத்திற்கான பாடநூல் மற்றும் பட்டறை, Kremer N.Sh.. இந்த பாடநூலில் பல புதிய கருத்துக்கள் மற்றும் கூடுதல் கேள்விகள் உள்ளன, அதாவது மேட்ரிக்ஸின் விதிமுறை, ஒரு அடிப்படையை பூர்த்தி செய்யும் முறை, நேரியல் இடைவெளிகளின் ஐசோமார்பிசம், நேரியல் துணைவெளிகள், நேரியல் ...

1. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பு பி n (எக்ஸ்) டிகிரி அதிகமாக இல்லை n.

2. ஒரு கொத்து n-டெர்ம் வரிசைகள் (கால-படி-கால கூட்டல் மற்றும் ஒரு அளவுகோலால் பெருக்கல்).

3 . நிறைய அம்சங்கள் சி [ ஏ , பி ] தொடர்ந்து [ ஏ, பி] மற்றும் ஒரு அளவுகோலால் புள்ளிவாரியாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல்.

4. பல செயல்பாடுகள் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன [ ஏ, பி] மற்றும் சில நிலையான உட்புற புள்ளியில் மறைந்துவிடும் c: f (c) = 0 மற்றும் ஒரு ஸ்கேலரால் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் பாயிண்ட்டைஸ் செயல்பாடுகளுடன்.

5. R+ ஐ அமைக்கவும், என்றால் எக்ஸ் ⊕ ஒய்  எக்ஸ்  ஒய், ⊙எக்ஸ் எக்ஸ்  .

§8. துணைவெளியின் வரையறை

தொகுப்பை விடுங்கள் டபிள்யூநேரியல் இடத்தின் துணைக்குழு ஆகும் வி (டபிள்யூ  வி) மற்றும் அது போன்ற

a)  எக்ஸ், ஒய்டபிள்யூ  எக்ஸ் ⊕ ஒய்டபிள்யூ;

b)  எக்ஸ்டபிள்யூ,    ⊙ எக்ஸ்டபிள்யூ.

இங்கே கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் விண்வெளியில் உள்ளது வி(அவை விண்வெளி தூண்டப்பட்டவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன வி).

நிறைய டபிள்யூவிண்வெளியின் துணைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது வி.

7  . துணைவெளி டபிள்யூஅதுவே வெளி.

◀ அதை நிரூபிக்க, ஒரு நடுநிலை உறுப்பு இருப்பதையும் அதன் எதிர்நிலையையும் நிரூபித்தாலே போதும். சமன்பாடுகள் 0⊙ எக்ஸ்=  மற்றும் (–1)⊙ எக்ஸ் = –எக்ஸ்தேவையானதை நிரூபிக்கவும்.

ஒரு நடுநிலை உறுப்பு () மற்றும் இடைவெளியுடன் ஒத்துப்போகும் துணைவெளி ஆகியவற்றை மட்டுமே கொண்ட ஒரு துணைவெளி வி, இடத்தின் அற்பமான துணைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன வி.

§9. திசையன்களின் நேரியல் கலவை. திசையன் அமைப்பின் நேரியல் இடைவெளி

திசையன்களை விடுங்கள் இ 1 ,இ 2 , …இ n விமற்றும்  1,  2 , …  n .

திசையன் x =  1 இ 1 +  2 இ 2 + … +  n இ n = நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறதுதிசையன்களின் சேர்க்கை இ 1 , இ 2 , … , இ nகுணகங்களுடன்  1,  2 , …  n .

ஒரு நேரியல் கலவையில் உள்ள அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நேரியல் சேர்க்கை அழைக்கப்பட்டதுஅற்பமானது.

திசையன்களின் சாத்தியமான அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பு
லீனியர் ஹல் என்று அழைக்கப்படுகிறதுதிசையன்களின் இந்த அமைப்பு மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது:

ℒ(இ 1 , இ 2 , …, இ n) = ℒ
.

8  . ℒ(இ 1 , இ 2 , …, இ n

◀ ஒரு அளவுகோலால் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளின் சரியான தன்மை ℒ( இ 1 , இ 2 , …, இ n) என்பது சாத்தியமான அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளின் தொகுப்பாகும். நடுநிலை உறுப்பு ஒரு அற்பமான நேரியல் கலவையாகும். உறுப்புக்கு எக்ஸ்=
எதிர் உறுப்பு - எக்ஸ் =
. செயல்பாடுகள் திருப்திப்படுத்த வேண்டிய கோட்பாடுகளும் திருப்தி அளிக்கின்றன. எனவே,ℒ( இ 1 , இ 2 , …, இ n) ஒரு நேரியல் வெளி.

எந்த நேரியல் இடத்திலும், பொதுவாக, எண்ணற்ற பிற நேரியல் இடைவெளிகள் (துணைவெளிகள்) - நேரியல் ஓடுகள் உள்ளன.

எதிர்காலத்தில் பின்வரும் கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்க முயற்சிப்போம்:

வெவ்வேறு திசையன் அமைப்புகளின் நேரியல் ஓடுகள் எப்போது ஒரே திசையன்களைக் கொண்டிருக்கும் (அதாவது, இணைகின்றன)?

2) அதே நேரியல் இடைவெளியை வரையறுக்கும் குறைந்தபட்ச திசையன்களின் எண்ணிக்கை என்ன?

3) அசல் இடம் என்பது திசையன்களின் சில அமைப்பின் நேரியல் இடைவெளியா?

§10. முழுமையான திசையன் அமைப்புகள்

விண்வெளியில் இருந்தால் விஒரு வரையறுக்கப்பட்ட திசையன்கள் உள்ளன
அதனால் என்ன,ℒ
 வி, பின்னர் திசையன்களின் அமைப்பு
ஒரு முழுமையான அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது வி, மற்றும் விண்வெளி வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு, திசையன்களின் அமைப்பு இ 1 , இ 2 , …, இ n விமுழுமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது விஅமைப்பு, அதாவது. என்றால்

எக்ஸ்வி   1 ,  2 , …  n அது போன்ற x =  1 இ 1 +  2 இ 2 + … +  n இ n .

விண்வெளியில் இருந்தால் விவரையறுக்கப்பட்ட முழுமையான அமைப்பு இல்லை (மற்றும் முழுமையான ஒன்று எப்போதும் இருக்கும் - எடுத்துக்காட்டாக, விண்வெளியின் அனைத்து திசையன்களின் தொகுப்பு வி), பின்னர் விண்வெளி விஎல்லையற்ற பரிமாணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

9  . என்றால்
முழுமையாக விதிசையன்களின் அமைப்பு மற்றும் ஒய் வி, அந்த ( இ 1 , இ 2 , …, இ n , ஒய்) ஒரு முழுமையான அமைப்பாகும்.

◀ நேரியல் சேர்க்கைகளில் முன் குணகம் ஒய் 0 க்கு சமமாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

திசையன்(அல்லது நேரியல்) விண்வெளி- ஒரு கணித அமைப்பு, இது திசையன்கள் எனப்படும் தனிமங்களின் தொகுப்பாகும், இதற்காக ஒன்றோடொன்று கூட்டல் மற்றும் ஒரு எண்ணால் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன - ஒரு அளவிடுதல். இந்த செயல்பாடுகள் எட்டு கோட்பாடுகளுக்கு உட்பட்டவை. ஸ்கேலர்கள் உண்மையான, சிக்கலான அல்லது வேறு எந்த எண் புலத்தின் கூறுகளாக இருக்கலாம். அத்தகைய இடத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு சாதாரண முப்பரிமாண யூக்ளிடியன் விண்வெளி ஆகும், அதன் திசையன்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, உடல் சக்திகளைக் குறிக்க. ஒரு திசையன், திசையன் இடத்தின் ஒரு உறுப்பு என, ஒரு இயக்கிய பிரிவின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எந்தவொரு இயற்கையின் திசையன் இடத்தின் ஒரு உறுப்புக்கு "திசையன்" என்ற கருத்தை பொதுமைப்படுத்துவது சொற்களின் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துவது மட்டுமல்லாமல், தன்னிச்சையான இயற்கையின் இடைவெளிகளுக்கு செல்லுபடியாகும் பல முடிவுகளைப் புரிந்துகொள்வது அல்லது கணிப்பது கூட சாத்தியமாக்குகிறது.

திசையன் இடைவெளிகள் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பொருள். திசையன் இடத்தின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்று அதன் பரிமாணமாகும். பரிமாணம் என்பது விண்வெளியின் அதிகபட்ச நேரியல் சார்பற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, அதாவது, தோராயமான வடிவியல் விளக்கத்தை நாடுகிறது, ஒரு ஸ்கேலரால் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் செயல்பாடுகள் மூலம் ஒருவருக்கொருவர் வெளிப்படுத்த முடியாத திசைகளின் எண்ணிக்கை. திசையன் இடம் ஒரு விதிமுறை அல்லது உள் தயாரிப்பு போன்ற கூடுதல் கட்டமைப்புகளுடன் வழங்கப்படலாம். இத்தகைய இடைவெளிகள் இயற்கையாகவே கணிதப் பகுப்பாய்வில் தோன்றும், முதன்மையாக எல்லையற்ற பரிமாண செயல்பாட்டு இடைவெளிகளின் வடிவத்தில் (ஆங்கிலம்), செயல்பாடுகள் திசையன்கள் ஆகும். பல பகுப்பாய்வு சிக்கல்களுக்கு திசையன்களின் வரிசை கொடுக்கப்பட்ட திசையனுடன் ஒன்றிணைகிறதா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். இத்தகைய கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வது கூடுதல் கட்டமைப்பைக் கொண்ட திசையன் இடைவெளிகளில் சாத்தியமாகும், பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் பொருத்தமான இடவியல், இது அருகாமை மற்றும் தொடர்ச்சியின் கருத்துகளை வரையறுக்க அனுமதிக்கிறது. இத்தகைய இடவியல் திசையன் இடைவெளிகள், குறிப்பாக பனாச் மற்றும் ஹில்பர்ட் இடைவெளிகள், ஆழமான ஆய்வுக்கு அனுமதிக்கின்றன.

வெக்டார் ஸ்பேஸ் என்ற கருத்தின் அறிமுகத்தை எதிர்பார்க்கும் முதல் படைப்புகள் 17 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தவை. அப்போதுதான் பகுப்பாய்வு வடிவியல், மெட்ரிக்குகளின் கோட்பாடு, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் மற்றும் யூக்ளிடியன் திசையன்கள் உருவாகத் தொடங்கின.

வரையறை

நேரியல்அல்லது திசையன் இடம் வி (எஃப்) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​வி\இடது(எஃப்\வலது))களத்திற்கு மேல் எஃப் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​எஃப்)- இது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட நான்கு (V , F , + , ⋅) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(V,F,+,\cdot)), எங்கே

• வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)- தன்னிச்சையான இயற்கையின் கூறுகளின் காலியாக இல்லாத தொகுப்பு, அவை அழைக்கப்படுகின்றன திசையன்கள்;
• எஃப் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​எஃப்)- கூறுகள் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு புலம் அளவுகோல்கள்;
• செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது கூடுதலாகதிசையன்கள் V × V → V (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​V\times V\ to V), இது ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகளையும் இணைக்கிறது x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) )அமைக்கிறது வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி) வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)அவர்களை அழைத்தார் தொகைமற்றும் நியமிக்கப்பட்டது x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது திசையன்களை ஸ்கேலர்களால் பெருக்குதல் F × V → V (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​F\times V\ to V), ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பொருந்தும் λ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\ லாம்ப்டா)வயல்வெளிகள் எஃப் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​எஃப்)மற்றும் ஒவ்வொரு உறுப்பு x (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbf (x) )அமைக்கிறது வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)தொகுப்பின் ஒரே உறுப்பு வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி), குறிக்கப்பட்டது λ ⋅ x (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\lambda \cdot \mathbf (x) )அல்லது λ x (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\lambda \mathbf (x) );

ஒரே தனிமங்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் இடைவெளிகள், ஆனால் வெவ்வேறு புலங்களில், வெவ்வேறு திசையன் இடைவெளிகளாக இருக்கும் (உதாரணமாக, உண்மையான எண்களின் ஜோடிகளின் தொகுப்பு R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))நிஜ எண்களின் புலத்தின் மீது இரு பரிமாண வெக்டார் ஸ்பேஸ் அல்லது ஒரு பரிமாண - கலப்பு எண்களின் புலத்தின் மீது).

எளிமையான பண்புகள்

1. வெக்டார் ஸ்பேஸ் என்பது ஒரு அபெலியன் குழுவாகும்.
2. நடுநிலை உறுப்பு 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )யாருக்கும் .
4. யாருக்கும் x ∈ V (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbf (x) \in V)எதிர் உறுப்பு − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)குழு பண்புகளில் இருந்து பின்பற்றப்படும் ஒரே விஷயம்.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )யாருக்கும் x ∈ V (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x)))எந்த மற்றும் x ∈ V (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )யாருக்கும் α ∈ F (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\alpha \in F).

தொடர்புடைய வரையறைகள் மற்றும் பண்புகள்

துணைவெளி

இயற்கணித வரையறை: நேரியல் துணைவெளிஅல்லது திசையன் துணைவெளி- காலியாக இல்லாத துணைக்குழு கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)நேரியல் வெளி வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)அதுபோல் கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)இது வரையறுக்கப்பட்டவற்றைப் பொறுத்து ஒரு நேரியல் வெளி வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)ஒரு அளவிடல் மூலம் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள். அனைத்து துணைவெளிகளின் தொகுப்பு பொதுவாக இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது L a t (V) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\mathrm (Lat) (V)). ஒரு துணைக்குழு ஒரு துணைவெளியாக இருப்பதற்கு அது அவசியம் மற்றும் போதுமானது

கடைசி இரண்டு அறிக்கைகள் பின்வருவனவற்றிற்கு சமமானவை:

அனைத்து திசையன்களுக்கும் x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)திசையன் α x + β y (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) )சேர்ந்தது கே (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​கே)எதற்கும் α, β ∈ F (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\alpha ,\beta \in F).

குறிப்பாக, ஒரே ஒரு பூஜ்ஜிய வெக்டரைக் கொண்ட ஒரு வெக்டார் ஸ்பேஸ் எந்த இடத்தின் துணைவெளியாகும்; ஒவ்வொரு இடமும் தனக்கான துணைவெளி. இவ்விரண்டுடன் ஒத்துப் போகாத துணைவெளிகள் எனப்படும் சொந்தம்அல்லது அற்பமானதல்ல.

துணைவெளிகளின் பண்புகள்

நேரியல் சேர்க்கைகள்

படிவத்தின் இறுதி அளவு

நேரியல் கலவை அழைக்கப்படுகிறது:

அடிப்படை. பரிமாணம்

திசையன்கள் x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் சார்ந்தது, அவற்றின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அற்பமான நேரியல் சேர்க்கை இருந்தால்; அது

சில குணகங்களில் α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​\alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,)மற்றும் குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று α i (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​\alpha _(i))பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

இல்லையெனில், இந்த திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் சார்பற்றது.

இந்த வரையறை பின்வரும் பொதுமைப்படுத்தலை அனுமதிக்கிறது: எண்ணற்ற வெக்டார்களின் தொகுப்பு வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)அழைக்கப்பட்டது நேரியல் சார்ந்தது, சில நேர்கோட்டு சார்ந்து இருந்தால் இறுதிஅதன் ஒரு துணைக்குழு, மற்றும் நேரியல் சார்பற்றது, அதில் ஏதேனும் இருந்தால் இறுதிதுணைக்குழு நேரியல் சார்பற்றது.

அடிப்படையின் பண்புகள்:

நேரியல் ஷெல்

நேரியல் ஷெல்துணைக்குழுக்கள் எக்ஸ் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​எக்ஸ்)நேரியல் வெளி வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)- அனைத்து துணைவெளிகளின் குறுக்குவெட்டு வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி)கொண்டிருக்கும் எக்ஸ் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​எக்ஸ்).

நேரியல் இடைவெளி என்பது ஒரு துணைவெளி வி (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​வி).

லீனியர் ஷெல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது துணைவெளி உருவாக்கப்பட்டது எக்ஸ் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​எக்ஸ்). லீனியர் ஷெல் என்றும் கூறப்படுகிறது V (X) (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\mathcal (V))(X))- விண்வெளி, மேல் நீட்டியதுஒரு கொத்து எக்ஸ் (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​எக்ஸ்).