பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான பகுதியளவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்

எளிமையாகச் சொன்னால், இவை சமன்பாடுகளாகும், இதில் வகுப்பில் குறைந்தது ஒரு மாறி இருக்கும்.

உதாரணத்திற்கு:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

உதாரணமாக இல்லைபகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன?

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நீங்கள் அவற்றில் எழுத வேண்டும். மற்றும் வேர்களைக் கண்டறிந்த பிறகு, அவற்றை அனுமதிக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். இல்லையெனில், வெளிப்புற வேர்கள் தோன்றக்கூடும், மேலும் முழு முடிவும் தவறானதாகக் கருதப்படும்.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

ODZ ஐ எழுதி "தீர்க்க".

சமன்பாட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லையும் பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை ரத்து செய்யவும். அடையாளங்கள் மறையும்.

அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்காமல் சமன்பாட்டை எழுதவும்.

இதன் விளைவாக சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை ODZ உடன் சரிபார்க்கவும்.

படி 7 இல் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற்ற வேர்களை உங்கள் பதிலில் எழுதுங்கள்.

அல்காரிதம், 3-5 தீர்க்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை மனப்பாடம் செய்யாதீர்கள், அது தானாகவே நினைவில் இருக்கும்.

உதாரணமாக . பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

தீர்வு:

பதில்: \(3\).

உதாரணமாக . பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் \(=0\)

தீர்வு:

பதில்: \(\frac(1)(2)\).

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டோம். இப்போது படித்த முறைகளை பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளுக்கு விரிவுபடுத்துவோம்.

பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன? இந்த கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்துள்ளோம். பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்எண்கள், மாறிகள், அவற்றின் சக்திகள் மற்றும் கணிதச் செயல்பாடுகளின் குறியீடுகளால் ஆன வெளிப்பாடுகள்.

அதன்படி, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் வடிவத்தின் சமன்பாடுகள்: , எங்கே - பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள்.

முன்னதாக, நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கக்கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருதினோம். இப்போது இருபடி சமன்பாடுகளாக குறைக்கக்கூடிய பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .

தீர்வு:

ஒரு பின்னம் 0 க்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் 0 க்கு சமமாக இருந்தால் மற்றும் அதன் வகுத்தல் 0 க்கு சமமாக இல்லை.

நாங்கள் பின்வரும் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும். அதைத் தீர்ப்பதற்கு முன், அதன் அனைத்து குணகங்களையும் 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: ; .

2 0க்கு சமமாக இருக்காது என்பதால், இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: . மேலே பெறப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்கள் எதுவும் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும்போது பெறப்பட்ட மாறியின் தவறான மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், அவை இரண்டும் இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள்.

பதில்:.

எனவே, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையை உருவாக்குவோம்:

1. எல்லா சொற்களையும் இடது பக்கம் நகர்த்தவும், இதனால் வலது பக்கம் 0 உடன் முடிவடையும்.

2. இடது பக்கத்தை மாற்றவும் மற்றும் எளிமைப்படுத்தவும், அனைத்து பின்னங்களையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வாருங்கள்.

3. பின்வரும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி விளைந்த பின்னத்தை 0க்கு சமன் செய்யவும்: .

4. முதல் சமன்பாட்டில் பெறப்பட்ட அந்த வேர்களை எழுதி, பதிலில் இரண்டாவது சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யவும்.

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: .

தீர்வு

ஆரம்பத்தில், எல்லா விதிமுறைகளையும் நகர்த்துவோம் இடது பக்கம், 0 என்பது வலதுபுறத்தில் இருக்கும்.

இப்போது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவோம்:

இந்த சமன்பாடு அமைப்புக்கு சமம்:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும்.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்கள்: . நாங்கள் பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம்:

நாம் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: ; .

இப்போது இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்போம்: காரணிகள் எதுவும் 0 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், காரணிகளின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இருக்காது.

இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: . முதல் சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களில் ஒன்று மட்டுமே பொருத்தமானது - 3.

பதில்:.

இந்த பாடத்தில், பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு என்றால் என்ன என்பதை நாங்கள் நினைவில் வைத்தோம், மேலும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் கற்றுக்கொண்டோம், இது இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு குறைக்கிறது.

அடுத்த பாடத்தில், உண்மையான சூழ்நிலைகளின் மாதிரிகளாக பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், மேலும் இயக்க சிக்கல்களையும் பார்ப்போம்.

நூல் பட்டியல்

1. பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. அல்ஜீப்ரா, 8ம் வகுப்பு. - எம்.: கல்வி, 2004.
2. டோரோஃபீவ் ஜி.வி., சுவோரோவா எஸ்.பி., புனிமோவிச் ஈ.ஏ. மற்றும் பிற அல்ஜீப்ரா, 8. 5வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. அல்ஜீப்ரா, 8ம் வகுப்பு. பொது கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல். - எம்.: கல்வி, 2006.

1. திருவிழா கற்பித்தல் யோசனைகள் "பொது பாடம்" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

வீட்டு பாடம்

முதலில், பிழைகள் இல்லாமல் பகுத்தறிவு பின்னங்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை அறிய, நீங்கள் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். மேலும் கற்றுக்கொள்வது எளிதல்ல - சொற்களின் பாத்திரங்கள் சைன்கள், மடக்கைகள் மற்றும் வேர்களாக இருக்கும்போது கூட அவை அங்கீகரிக்கப்பட வேண்டும்.

இருப்பினும், முக்கிய கருவி ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணியாக்கமாகவே உள்ளது. இதை மூன்று வெவ்வேறு வழிகளில் அடையலாம்:

1. உண்மையில், சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தின்படி: அவை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளாகச் சுருக்க அனுமதிக்கின்றன;
2. ஒரு பாகுபாடு மூலம் ஒரு இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கத்தைப் பயன்படுத்துதல். அதே முறையானது எந்த முக்கோணத்தையும் காரணியாக்க முடியாது என்பதைச் சரிபார்க்க உதவுகிறது;
3. தொகுத்தல் முறை மிகவும் சிக்கலான கருவியாகும், ஆனால் அது ஒரே வழி, முந்தைய இரண்டு வேலை செய்யவில்லை என்றால் இது வேலை செய்கிறது.

இந்த வீடியோவின் தலைப்பிலிருந்து நீங்கள் யூகித்திருக்கலாம், நாங்கள் மீண்டும் பகுத்தறிவு பின்னங்களைப் பற்றி பேசுவோம். சில நிமிடங்களுக்கு முன்பு, நான் ஒரு பத்தாம் வகுப்பு மாணவனுடன் ஒரு பாடத்தை முடித்தேன், அங்கு நாங்கள் இந்த வெளிப்பாடுகளை சரியாக பகுப்பாய்வு செய்தோம். எனவே, இந்த பாடம் குறிப்பாக உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

நிச்சயமாக பலருக்கு இப்போது ஒரு கேள்வி உள்ளது: "10-11 ஆம் வகுப்பு மாணவர்கள் பகுத்தறிவு பின்னங்கள் போன்ற எளிய விஷயங்களை ஏன் படிக்க வேண்டும், ஏனெனில் இது 8 ஆம் வகுப்பில் கற்பிக்கப்படுகிறது?" ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், பெரும்பாலான மக்கள் இந்த தலைப்பை "செல்கின்றனர்". 10-11 ஆம் வகுப்பில், 8 ஆம் வகுப்பிலிருந்து பகுத்தறிவு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது, வகுத்தல், கழித்தல் மற்றும் கூட்டுவது என்பதை அவர்கள் இனி நினைவில் வைத்திருப்பதில்லை, ஆனால் இந்த எளிய அறிவில் தான் மேலும், மேலும் சிக்கலான வடிவமைப்புகள்மடக்கைக்கு தீர்வாக, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்மற்றும் பல சிக்கலான வெளிப்பாடுகள், எனவே உயர்நிலைப் பள்ளியில் பகுத்தறிவு பின்னங்கள் இல்லாமல் நடைமுறையில் எதுவும் செய்ய முடியாது.

சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்

வாருங்கள் நம் வேலையை தொடங்குவோம். முதலில், நமக்கு இரண்டு உண்மைகள் தேவை - இரண்டு செட் சூத்திரங்கள். முதலில், நீங்கள் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — சதுரங்களின் வேறுபாடு;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ — தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் சதுரம்;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ என்பது கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ என்பது கனசதுரங்களின் வித்தியாசம்.

IN தூய வடிவம்அவை எந்த எடுத்துக்காட்டுகளிலும் அல்லது உண்மையான தீவிர வெளிப்பாடுகளிலும் காணப்படவில்லை. எனவே, $a$ மற்றும் $b$ எழுத்துக்களின் கீழ் மிகவும் சிக்கலான கட்டமைப்புகளைப் பார்க்க கற்றுக்கொள்வது எங்கள் பணியாகும், எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கைகள், வேர்கள், சைன்கள் போன்றவை. நிலையான பயிற்சியின் மூலம் மட்டுமே இதைப் பார்க்க கற்றுக்கொள்ள முடியும். அதனால்தான் பகுத்தறிவு பின்னங்களைத் தீர்ப்பது முற்றிலும் அவசியம்.

இரண்டாவது, முற்றிலும் வெளிப்படையான சூத்திரம் இருபடி முக்கோணத்தின் காரணியாக்கம் ஆகும்:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ என்பது வேர்கள்.

நாங்கள் தத்துவார்த்த பகுதியைக் கையாண்டோம். ஆனால் 8 ஆம் வகுப்பில் உள்ள உண்மையான பகுத்தறிவு பின்னங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது? இப்போது நாம் பயிற்சி செய்வோம்.

பணி எண் 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

பகுத்தறிவு பின்னங்களைத் தீர்ப்பதற்கு மேலே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்போம். முதலில், காரணியாக்கம் ஏன் தேவைப்படுகிறது என்பதை விளக்க விரும்புகிறேன். உண்மை என்னவென்றால், பணியின் முதல் பகுதியில் முதல் பார்வையில், நீங்கள் சதுரத்துடன் கனசதுரத்தை குறைக்க விரும்புகிறீர்கள், ஆனால் இது கண்டிப்பாக தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது, ஏனென்றால் அவை எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள சொற்கள், ஆனால் எந்த விஷயத்திலும் காரணிகள் இல்லை.

எப்படியும் சுருக்கம் என்றால் என்ன? குறைப்பு என்பது அத்தகைய வெளிப்பாடுகளுடன் வேலை செய்வதற்கான அடிப்படை விதியைப் பயன்படுத்துவதாகும். ஒரு பின்னத்தின் முக்கிய பண்பு என்னவென்றால், "பூஜ்ஜியம்" அல்லாத அதே எண்ணால் நாம் எண் மற்றும் வகுப்பினை பெருக்கலாம். இந்த வழக்கில், நாம் குறைக்கும் போது, ​​மாறாக, "பூஜ்ஜியத்தில்" இருந்து வேறுபட்ட அதே எண்ணால் வகுக்கிறோம். இருப்பினும், வகுப்பில் உள்ள அனைத்து சொற்களையும் ஒரே எண்ணால் வகுக்க வேண்டும். உன்னால் அது முடியாது. மேலும் அவை இரண்டும் காரணியாக்கப்படும் போது மட்டுமே, வகுப்பைக் கொண்டு எண்ணைக் குறைக்க நமக்கு உரிமை உண்டு. இதை செய்வோம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பில் எத்தனை சொற்கள் உள்ளன என்பதை இப்போது நீங்கள் பார்க்க வேண்டும், அதன்படி எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைக் கண்டறியவும்.

ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டையும் துல்லியமான கனசதுரமாக மாற்றுவோம்:

எண்ணை மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

வகுத்தலைப் பார்ப்போம். சதுரங்களின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி அதை விரிவுபடுத்துவோம்:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ வலது)\]

இப்போது வெளிப்பாட்டின் இரண்டாம் பகுதியைப் பார்ப்போம்:

எண்:

வகுப்பினைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

மேலே உள்ள உண்மைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு முழு கட்டமைப்பையும் மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

பகுத்தறிவு பின்னங்களை பெருக்கும் நுணுக்கங்கள்

இந்த கட்டுமானத்தின் முக்கிய முடிவு பின்வருமாறு:

• ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் காரணியாக்க முடியாது.
• அது சிதைந்திருந்தாலும், சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் என்ன என்பதை நீங்கள் கவனமாகப் பார்க்க வேண்டும்.

இதைச் செய்ய, முதலில், எத்தனை சொற்கள் உள்ளன என்பதை நாம் மதிப்பிட வேண்டும் (இரண்டு இருந்தால், சதுரங்களின் வேறுபாட்டின் கூட்டுத்தொகை அல்லது க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் மூலம் அவற்றை விரிவுபடுத்துவது மட்டுமே. மூன்று உள்ளன, பின்னர் இது , தனித்துவமாக, தொகையின் வர்க்கம் அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கம்). எண் அல்லது வகுப்பிற்கு காரணியாக்கம் தேவையில்லை என்பது பெரும்பாலும் நிகழ்கிறது, அல்லது அதன் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும்.

பிரச்சனை எண் 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4(x)^(2))-1)\]

பொதுவாக, இந்த சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டம் முந்தையதை விட வேறுபட்டதல்ல - வெறுமனே அதிக செயல்கள் இருக்கும், மேலும் அவை மிகவும் மாறுபட்டதாக மாறும்.

முதல் பகுதியுடன் தொடங்குவோம்: அதன் எண்ணிக்கையைப் பார்த்து சாத்தியமான மாற்றங்களைச் செய்யுங்கள்:

இப்போது வகுப்பினைப் பார்ப்போம்:

இரண்டாவது பகுதியுடன்: எண்களில் எதுவும் செய்ய முடியாது, ஏனெனில் இது ஒரு நேரியல் வெளிப்பாடு, மேலும் அதிலிருந்து எந்த காரணியையும் அகற்றுவது சாத்தியமில்லை. வகுப்பினைப் பார்ப்போம்:

\[(((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=(\left(x-2 \right ))^(2))\]

மூன்றாவது பகுதிக்கு செல்வோம். எண்:

கடைசிப் பகுதியின் வகுப்பினைப் பார்ப்போம்:

மேலே உள்ள உண்மைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)(((( \left(x-2 \right))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \வலது))(\இடது(2x-1 \வலது)\இடது(2x+1 \வலது))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \வலது))\]

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, எல்லாம் அல்ல, எப்போதும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பொறுத்தது அல்ல - சில நேரங்களில் அடைப்புக்குறிக்குள் ஒரு நிலையான அல்லது மாறியை வைக்க போதுமானது. இருப்பினும், பல சொற்கள் இருக்கும்போது அல்லது அவற்றுக்கான சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் பொதுவாக சாத்தியமில்லாத வகையில் அவை கட்டமைக்கப்படும்போது எதிர் நிலைமையும் நிகழ்கிறது. இந்த வழக்கில், அது எங்களுக்கு உதவி வருகிறது உலகளாவிய கருவி, அதாவது, குழுவாக்கும் முறை. இதைத்தான் இப்போது அடுத்த சிக்கலில் பயன்படுத்துவோம்.

பணி எண் 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

முதல் பகுதியைப் பார்ப்போம்:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\இடது(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\வலது)=\]

\[=\இடது(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

அசல் வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

இப்போது இரண்டாவது அடைப்புக்குறியைப் பார்ப்போம்:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b) \வலது)\]

இரண்டு கூறுகளை தொகுக்க முடியாததால், மூன்றை தொகுத்துள்ளோம். கடைசிப் பகுதியின் வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பதே எஞ்சியுள்ளது:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

இப்போது எங்கள் முழு கட்டுமானத்தையும் மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))(((( \இடது(a-b \right))^(2)))\]

சிக்கல் தீர்க்கப்பட்டது, மேலும் இங்கு எதையும் எளிமைப்படுத்த முடியாது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

நாங்கள் குழுவைக் கண்டுபிடித்தோம் மற்றும் காரணியாக்கத்தின் திறன்களை விரிவுபடுத்தும் மற்றொரு சக்திவாய்ந்த கருவியைப் பெற்றோம். ஆனால் பிரச்சனை அதில் உள்ளது உண்மையான வாழ்க்கைஇதுபோன்ற சுத்திகரிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை யாரும் எங்களுக்கு வழங்க மாட்டார்கள், அங்கு பல பின்னங்கள் உள்ளன, அதில் நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பினைக் காரணியாகக் கொள்ள வேண்டும், பின்னர், முடிந்தால், அவற்றைக் குறைக்கவும். உண்மையான வெளிப்பாடுகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும்.

பெரும்பாலும், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் கூடுதலாக, கழித்தல் மற்றும் கூட்டல், அனைத்து வகையான அடைப்புக்குறிகள் இருக்கும் - பொதுவாக, நீங்கள் செயல்களின் வரிசையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். ஆனால் மிக மோசமான விஷயம் என்னவென்றால், வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல் மற்றும் சேர்க்கும்போது, ​​​​அவை ஒரு பொதுவான வகுப்பாகக் குறைக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, அவை ஒவ்வொன்றும் காரணியாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் இந்த பின்னங்களை மாற்ற வேண்டும்: ஒத்தவற்றைக் கொடுங்கள் மற்றும் பல. இதை எப்படி சரியாக, விரைவாக, அதே நேரத்தில் தெளிவாக சரியான பதிலைப் பெறுவது? பின்வரும் கட்டுமானத்தை உதாரணமாகப் பயன்படுத்தி இப்போது நாம் பேசுவது இதுதான்.

பிரச்சனை எண். 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((( x)^(2))-3x+9) \வலது)\]

முதல் பகுதியை எழுதி தனித்தனியாக கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:

\[(((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

இரண்டாவதாக செல்லலாம். வகுப்பின் பாகுபாட்டை உடனடியாகக் கணக்கிடுவோம்:

இதை காரணியாக்க முடியாது, எனவே நாம் பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\இடது(x+3 \வலது)\இடது(((x)^(2))-3x+9 \வலது) \]

நாம் தனித்தனியாக எண்ணை எழுதுவோம்:

\[(((x)^(2))-2x+12=0\]

இதன் விளைவாக, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கப்பட முடியாது.

நாம் செய்யக்கூடிய மற்றும் சிதைக்கக்கூடிய அதிகபட்சத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே செய்துள்ளோம்.

எனவே நாங்கள் எங்கள் அசல் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\இடது(x+3 \வலது)\இடது(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

அவ்வளவுதான், பிரச்சனை தீர்ந்தது.

உண்மையைச் சொல்வதானால், அது அவ்வளவு சிறப்பாக இல்லை கடினமான பணி: அங்கு எல்லாம் எளிதில் காரணியாக இருந்தது, ஒத்த சொற்கள் விரைவாகக் குறைக்கப்பட்டன, எல்லாமே அழகாகக் குறைக்கப்பட்டன. எனவே இப்போது மிகவும் தீவிரமான சிக்கலை தீர்க்க முயற்சிப்போம்.

பிரச்சனை எண் 5

\[\இடது(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \வலது)\]

முதலில் முதல் அடைப்புக்குறியைக் கையாள்வோம். ஆரம்பத்தில் இருந்தே, இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினை தனித்தனியாக காரணியாக்குவோம்:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \வலது)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\இடது(x-2 \வலது)\ இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\இடது(x-2) \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது)) =\frac((\இடது(x-2 \வலது))^(2)))(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(((x)^(2))+2x+4 \வலது ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

இப்போது இரண்டாவது பகுதியுடன் வேலை செய்வோம்:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(x+2 \வலது))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ இடது(x-2 \வலது))(\இடது(x-2 \வலது)\இடது(x+2 \வலது))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

நம்மிடம் திரும்புவோம் அசல் வடிவமைப்புமற்றும் எழுதவும்:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\இடது(x-2) \வலது)\இடது(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

முக்கிய புள்ளிகள்

மீண்டும், இன்றைய வீடியோ பாடத்தின் முக்கிய உண்மைகள்:

1. சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரங்களை நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - மேலும் தெரிந்து கொள்வது மட்டுமல்ல, உண்மையான சிக்கல்களில் நீங்கள் சந்திக்கும் அந்த வெளிப்பாடுகளில் பார்க்க முடியும். ஒரு அற்புதமான விதி இதற்கு நமக்கு உதவும்: இரண்டு சொற்கள் இருந்தால், அது சதுரங்களின் வேறுபாடு அல்லது க்யூப்ஸின் வேறுபாடு அல்லது தொகை; மூன்று என்றால், அது கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கமாக மட்டுமே இருக்க முடியும்.
2. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு கட்டுமானத்தையும் விரிவுபடுத்த முடியாவிட்டால், டிரினோமியல்களை காரணியாக்குவதற்கான நிலையான சூத்திரம் அல்லது குழுவாக்கும் முறை ஆகியவை நமக்கு உதவுகின்றன.
3. ஏதாவது வேலை செய்யவில்லை என்றால், மூல வெளிப்பாட்டை கவனமாகப் பார்த்து, அதனுடன் ஏதேனும் மாற்றங்கள் தேவைப்படுகிறதா என்பதைப் பார்க்கவும். காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது போதுமானதாக இருக்கும், மேலும் இது பெரும்பாலும் நிலையானது.
4. நீங்கள் ஒரு வரிசையில் பல செயல்களைச் செய்ய வேண்டிய சிக்கலான வெளிப்பாடுகளில், ஒரு பொதுவான வகுப்பைக் குறைக்க மறக்காதீர்கள், அதன் பிறகு, அனைத்து பின்னங்களும் அதற்குக் குறைக்கப்படும்போது, ​​​​புதிய எண்களில் அதைக் கொண்டு வர மறக்காதீர்கள், பின்னர் புதிய எண்ணை மீண்டும் காரணியாக்குங்கள் - ஏதாவது குறைக்கப்படலாம்.

பகுத்தறிவு பின்னங்களைப் பற்றி இன்று நான் உங்களுக்குச் சொல்ல விரும்பினேன். ஏதாவது தெளிவாக தெரியவில்லை என்றால், தளத்தில் இன்னும் நிறைய வீடியோ டுடோரியல்கள் உள்ளன, அத்துடன் நிறைய பணிகள் உள்ளன சுதந்திரமான முடிவு. எனவே காத்திருங்கள்!

இந்த கட்டுரையில் நான் உங்களுக்கு காண்பிப்பேன் ஏழு வகையான பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகள், மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் இருபடிக்கு குறைக்கலாம். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும் மாற்றங்கள் மிகவும் அற்பமானவை அல்ல, மேலும் அவற்றைப் பற்றி நீங்களே யூகிப்பது மிகவும் கடினம்.

ஒவ்வொரு வகை சமன்பாட்டிற்கும், அதில் மாறியை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பதை விளக்குகிறேன், பின்னர் தொடர்புடைய வீடியோ டுடோரியலில் விரிவான தீர்வைக் காண்பிப்பேன்.

சமன்பாடுகளை நீங்களே தொடர்ந்து தீர்க்க உங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது, பின்னர் வீடியோ பாடத்துடன் உங்கள் தீர்வை சரிபார்க்கவும்.

எனவே, ஆரம்பிக்கலாம்.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நான்கு அடைப்புக்குறிகளின் பலன் உள்ளது, வலது பக்கத்தில் ஒரு எண் உள்ளது.

1. இலவச விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்படி அடைப்புக்குறிகளை இரண்டால் தொகுக்கலாம்.

2. அவற்றைப் பெருக்கவும்.

3. மாறியின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

எங்கள் சமன்பாட்டில், முதல் அடைப்புக்குறியை மூன்றாவது மற்றும் இரண்டாவது நான்காவதுடன் தொகுப்போம், ஏனெனில் (-1)+(-4)=(-7)+2:

இந்த கட்டத்தில் மாறி மாற்றீடு தெளிவாகிறது:

சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

பதில்:

2 .

இந்த வகையின் ஒரு சமன்பாடு ஒரு வித்தியாசத்துடன் முந்தைய சமன்பாட்டைப் போன்றது: சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் எண் மற்றும் . மேலும் இது முற்றிலும் மாறுபட்ட வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது:

1. இலவச விதிமுறைகளின் பலன் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் வகையில் அடைப்புக்குறிகளை இரண்டாக தொகுக்கிறோம்.

2. ஒவ்வொரு ஜோடி அடைப்புக்குறிகளையும் பெருக்கவும்.

3. ஒவ்வொரு காரணியிலிருந்தும் x ஐ எடுத்துக் கொள்கிறோம்.

4. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஆல் வகுக்கவும்.

5. மாறியின் மாற்றத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.

இந்த சமன்பாட்டில், முதல் அடைப்புக்குறியை நான்காவதுடன் தொகுக்கிறோம், இரண்டாவதாக மூன்றாவது அடைப்புக்குறியை தொகுக்கிறோம்:

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் உள்ள குணகமும் இலவச காலமும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலிருந்தும் ஒரு காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

x=0 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஆல் வகுக்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பதில்:

3 .

இரண்டு பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் என்பதை நினைவில் கொள்க சதுர முக்கோணங்கள், இதற்கு முன்னணி குணகம் மற்றும் இலவச சொல் ஒன்றுதான். இரண்டாவது வகையின் சமன்பாட்டில் உள்ளதைப் போல, அடைப்புக்குறியிலிருந்து x ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ஒவ்வொரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை x ஆல் வகுக்கவும்:

இப்போது நாம் ஒரு மாறி மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்தலாம்:

t மாறிக்கு ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

4 .

சமன்பாட்டின் குணகங்கள் மையத்தை பொறுத்து சமச்சீரானவை என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திரும்பக் கூடியது .

அதை தீர்க்க,

1. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுக்கவும் (x=0 சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்பதால் இதை செய்யலாம்.) நாம் பெறுகிறோம்:

2. விதிமுறைகளை இவ்வாறு தொகுக்கலாம்:

3. ஒவ்வொரு குழுவிலும், அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்வோம்:

4. மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

5. வெளிப்பாடு மூலம் வெளிப்படுத்தவும்:

இங்கிருந்து

t க்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பதில்:

5. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்.

அதிவேக, மடக்கை மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது ஒரே மாதிரியான அமைப்பைக் கொண்ட சமன்பாடுகள் எதிர்கொள்ளப்படலாம், எனவே நீங்கள் அதை அடையாளம் காண முடியும்.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள் பின்வரும் அமைப்பைக் கொண்டுள்ளன:

இந்த சமத்துவத்தில், A, B மற்றும் C எண்கள், மற்றும் சதுரம் மற்றும் வட்டம் ஒரே மாதிரியான வெளிப்பாடுகளைக் குறிக்கின்றன. அதாவது, ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரே அளவு கொண்ட மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது (இந்த விஷயத்தில், மோனோமியல்களின் அளவு 2), மற்றும் இலவச சொல் இல்லை.

ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, இரு பக்கங்களையும் பிரிக்கவும்

கவனம்! ஒரு சமன்பாட்டின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களை அறியப்படாத ஒரு வெளிப்பாடு மூலம் பிரிக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் வேர்களை இழக்கலாம். எனவே, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்கும் வெளிப்பாட்டின் வேர்கள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்களா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

முதல் வழியில் செல்வோம். நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

இப்போது நாம் மாறி மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:

வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கி, tக்கான இருகோடி சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்:

பதில்:அல்லது

7 .

இந்த சமன்பாடு பின்வரும் அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது:

அதைத் தீர்க்க, நீங்கள் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

முழு சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க, நீங்கள் தயாரிப்பை இரண்டு மடங்கு சேர்க்க வேண்டும் அல்லது கழிக்க வேண்டும். பிறகு கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தைப் பெறுகிறோம். வெற்றிகரமான மாறி மாற்றீட்டிற்கு இது முக்கியமானது.

இரண்டு மடங்கு தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். இது மாறியை மாற்றுவதற்கான திறவுகோலாக இருக்கும். எங்கள் சமன்பாட்டில், இரண்டு மடங்கு தயாரிப்பு சமம்

இப்போது நமக்கு எது வசதியானது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் - தொகையின் சதுரம் அல்லது வித்தியாசம். முதலில் வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

நன்று! இந்த வெளிப்பாடு இரண்டு மடங்கு தயாரிப்புக்கு சமம். பின்னர், தொகையின் வர்க்கத்தை அடைப்புக்குறிக்குள் பெற, நீங்கள் இரட்டைத் தயாரிப்பைச் சேர்த்துக் கழிக்க வேண்டும்:

பற்றி தொடர்ந்து பேசுவோம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. பற்றி விரிவாக இந்தக் கட்டுரையில் பார்ப்போம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்மற்றும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கும் கொள்கைகள். முதலில், எந்த வகையான சமன்பாடுகள் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம், முழு பகுத்தறிவு மற்றும் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் வரையறையை வழங்கவும், எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கவும். அடுத்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளைப் பெறுவோம், நிச்சயமாக, தேவையான அனைத்து விளக்கங்களுடனும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

கூறப்பட்ட வரையறைகளின் அடிப்படையில், பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , அனைத்தும் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள்.

காட்டப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற வகைகளின் சமன்பாடுகள் ஒரு மாறி அல்லது இரண்டு, மூன்று போன்றவற்றுடன் இருக்கலாம் என்பது தெளிவாகிறது. மாறிகள். பின்வரும் பத்திகளில் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை ஒரு மாறி மூலம் தீர்ப்பது பற்றி பேசுவோம். இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமற்றும் அவர்கள் அதிக எண்ணிக்கையிலானசிறப்பு கவனம் தேவை.

அறியப்படாத மாறிகளின் எண்ணிக்கையால் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைப் பிரிப்பதைத் தவிர, அவை முழு எண் மற்றும் பின்னம் என பிரிக்கப்படுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுவதும், அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் இரண்டும் முழு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருந்தால்.

வரையறை.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியாவது ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுதியளவு பகுத்தறிவு(அல்லது பகுதியளவு பகுத்தறிவு).

முழு சமன்பாடுகளும் ஒரு மாறியால் வகுபடவில்லை என்பது தெளிவாகிறது, மாறாக, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் ஒரு மாறி (அல்லது வகுப்பில் உள்ள மாறி) மூலம் வகுப்பதைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். எனவே 3 x+2=0 மற்றும் (x+y)·(3·x 2 -1)+x=−y+0.5- இவை முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள், அவற்றின் இரண்டு பகுதிகளும் முழு வெளிப்பாடுகள். A மற்றும் x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 என்பது பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

இந்த புள்ளியை முடித்து, இந்த புள்ளியில் அறியப்பட்ட நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள் முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள் என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது

முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய அணுகுமுறைகளில் ஒன்று அவற்றை சமமானதாகக் குறைப்பதாகும் இயற்கணித சமன்பாடுகள். சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களைச் செய்வதன் மூலம் இது எப்போதும் செய்யப்படலாம்:

• முதலில், அசல் முழு எண் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து வெளிப்பாடு இடது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது எதிர் அடையாளம்வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற;
• இதற்குப் பிறகு, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் விளைவாக நிலையான பார்வை.

இதன் விளைவாக அசல் முழு எண் சமன்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு இயற்கணித சமன்பாடு உள்ளது. எனவே அதிகபட்சம் எளிய வழக்குகள்முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது நேரியல் அல்லது இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் குறைக்கிறது, மேலும் பொதுவாக n பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறது. தெளிவுக்காக, உதாரணத்திற்கான தீர்வைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும் 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

தீர்வு.

இந்த முழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வையும் சமமான இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் தீர்வுக்குக் குறைப்போம். இதைச் செய்ய, முதலில், வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக மாற்றுகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. மற்றும், இரண்டாவதாக, தேவையானவற்றை நிறைவு செய்வதன் மூலம் இடதுபுறத்தில் உருவாகும் வெளிப்பாட்டை நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுகிறோம்: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. இதனால், அசல் முழு எண் சமன்பாட்டின் தீர்வு தீர்வுக்கு குறைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு x 2 −5 x−6=0 .

அதன் பாகுபாட்டை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம் D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, இது நேர்மறையானது, அதாவது சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இது ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதைக் காண்கிறோம்:

முற்றிலும் உறுதியாக இருக்க, அதை செய்வோம் சமன்பாட்டின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்கிறது. முதலில் ரூட் 6 ஐ சரிபார்த்து, அசல் முழு எண் சமன்பாட்டில் x மாறிக்கு பதிலாக அதை மாற்றவும்: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, இது அதே, 63=63. இது சரியான எண் சமன்பாடு ஆகும், எனவே x=6 என்பது சமன்பாட்டின் வேர். இப்போது நாம் ரூட் −1 ஐ சரிபார்க்கிறோம், எங்களிடம் உள்ளது 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, எங்கிருந்து, 0=0 . x=−1 ஆக இருக்கும்போது, ​​அசல் சமன்பாடு சரியான எண் சமத்துவமாக மாறும், எனவே, x=−1 என்பது சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமும் ஆகும்.

பதில்:

6 , −1 .

இங்கே "முழு சமன்பாட்டின் பட்டம்" என்பது ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் முழு சமன்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புடையது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம்:

வரையறை.

முழு சமன்பாட்டின் சக்திசமமான இயற்கணித சமன்பாட்டின் அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரையறையின்படி, முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து முழு சமன்பாடும் இரண்டாவது பட்டம் கொண்டது.

இது முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்கும் முடிவாக இருந்திருக்கலாம், ஒன்று இல்லாவிட்டால்…. அறியப்பட்டபடி, இரண்டாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களுடன் தொடர்புடையது, மேலும் நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு பொதுவான ரூட் சூத்திரங்கள் எதுவும் இல்லை. எனவே, மூன்றாவது, நான்காவது மற்றும் உயர் டிகிரிகளின் முழு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க, பிற தீர்வு முறைகளை நாட வேண்டியது அவசியம்.

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், அடிப்படையிலான முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறை காரணியாக்கல் முறை. இந்த வழக்கில், பின்வரும் வழிமுறை பின்பற்றப்படுகிறது:

• முதலில், அவர்கள் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியம் இருப்பதை உறுதி செய்கிறார்கள், முழு சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடதுபுறமாக வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறார்கள்;
• பின்னர், இடது பக்கத்தில் விளைந்த வெளிப்பாடு பல காரணிகளின் விளைபொருளாக வழங்கப்படுகிறது, இது பல எளிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு செல்ல அனுமதிக்கிறது.

காரணியாக்கம் மூலம் முழு சமன்பாட்டையும் தீர்ப்பதற்கான கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைக்கு ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவான விளக்கம் தேவைப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

முழு சமன்பாட்டையும் தீர்க்கவும் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

தீர்வு.

முதலில், வழக்கம் போல், சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம், அடையாளத்தை மாற்ற மறக்காமல், நாம் பெறுகிறோம் (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றுவது நல்லதல்ல என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஏனெனில் இது படிவத்தின் நான்காவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும். x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, தீர்வு கடினமானது.

மறுபுறம், விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் நாம் x 2 -10·x+13 , அதன் மூலம் அதை ஒரு தயாரிப்பாகக் காட்டலாம் என்பது தெளிவாகிறது. எங்களிடம் உள்ளது (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அசல் முழுச் சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், மேலும் அது, x 2 -10·x+13=0 மற்றும் x 2 −2·x−1=0 ஆகிய இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளின் தொகுப்பால் மாற்றப்படலாம். அவற்றின் வேர்களைக் கண்டறிதல் அறியப்பட்ட சூத்திரங்கள்பாகுபாடு மூலம் வேர்கள் கடினம் அல்ல, வேர்கள் சமம். அவை அசல் சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

பதில்:

முழு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பதற்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான முறை. சில சமயங்களில், அசல் முழு சமன்பாட்டின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும் சமன்பாடுகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

உதாரணமாக.

பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும் (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

தீர்வு.

இந்த முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டையும் ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பது மிகவும் நல்ல யோசனையல்ல, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் பகுத்தறிவு வேர்கள் இல்லாத நான்காவது டிகிரி சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டிய அவசியத்திற்கு வருவோம். எனவே, நீங்கள் வேறு தீர்வைத் தேட வேண்டும்.

இங்கே நீங்கள் ஒரு புதிய மாறி y ஐ அறிமுகப்படுத்தலாம் மற்றும் x 2 +3·x என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றலாம். இந்த மாற்றீடு நம்மை முழு சமன்பாட்டிற்கு இட்டுச் செல்கிறது (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , இது −2·(y−4) வெளிப்பாட்டை இடது பக்கம் நகர்த்திய பிறகு மற்றும் வெளிப்பாட்டின் மாற்றத்திற்குப் பிறகு அங்கு உருவாக்கப்பட்ட, ஒரு இருபடி சமன்பாடு y 2 +4·y+3=0 குறைக்கப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் y=−1 மற்றும் y=−3 கண்டுபிடிக்க எளிதானது, எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் அடிப்படையில் அவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

இப்போது நாம் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தும் முறையின் இரண்டாம் பகுதிக்கு செல்கிறோம், அதாவது தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்ய. தலைகீழ் மாற்றீட்டைச் செய்த பிறகு, x 2 +3 x=−1 மற்றும் x 2 +3 x=−3 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம், அவை x 2 +3 x+1=0 மற்றும் x 2 +3 x+3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம். =0. இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டாவது இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதன் பாகுபாடு எதிர்மறையானது (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

பதில்:

பொதுவாக, அதிக அளவுகளின் முழு சமன்பாடுகளையும் நாம் கையாளும் போது, ​​தேடுவதற்கு நாம் எப்போதும் தயாராக இருக்க வேண்டும் தரமற்ற முறைஅல்லது அவற்றைத் தீர்க்க ஒரு செயற்கை முறை.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முதலில், p(x) மற்றும் q(x) ஆகியவை முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளாக இருக்கும் படிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகையின் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு பிற பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு குறைப்பது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு அணுகுமுறை பின்வரும் அறிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது: எண் பின்னம் u/v, அங்கு v என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணாகும் (இல்லையெனில் நாம் சந்திப்போம், இது வரையறுக்கப்படவில்லை), அதன் எண் இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், u=0 என்றால் மட்டுமே. இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது p(x)=0 மற்றும் q(x)≠0 ஆகிய இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதாக குறைக்கப்படுகிறது.

இந்த முடிவு பின்வருவனவற்றுடன் ஒத்துப்போகிறது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம். படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• முழு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் p(x)=0 ;
• கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும் நிபந்தனை q(x)≠0 திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்
• உண்மை என்றால், இந்த வேர் அசல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும்;
• அது திருப்தியடையவில்லை என்றால், இந்த வேர் புறம்பானது, அதாவது, இது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல.

ஒரு பகுதி பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது அறிவிக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இது ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு மற்றும் வடிவத்தின் , p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

இந்த வகையின் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின்படி, முதலில் 3 x−2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். இது ஒரு நேரியல் சமன்பாடு ஆகும், இதன் ரூட் x=2/3 ஆகும்.

இந்த ரூட்டைச் சரிபார்க்க வேண்டும், அதாவது, இது 5 x 2 −2≠0 நிபந்தனையை பூர்த்திசெய்கிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும். x க்கு பதிலாக 2/3 என்ற எண்ணை 5 x 2 −2 என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம், மேலும் நமக்கு கிடைக்கும். நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது, எனவே x=2/3 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.

பதில்:

2/3 .

நீங்கள் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை சற்று மாறுபட்ட நிலையில் இருந்து தீர்க்கலாம். இந்த சமன்பாடு அசல் சமன்பாட்டின் மாறி x இல் உள்ள முழு எண் சமன்பாடு p(x)=0 க்கு சமம். அதாவது, நீங்கள் இதை ஒட்டிக்கொள்ளலாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் :

• p(x)=0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்;
• x மாறியின் ODZ ஐக் கண்டறியவும்;
• ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் பகுதியைச் சேர்ந்த வேர்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - அவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

முதலில், நாம் x 2 -2·x−11=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம். எங்களிடம் உள்ள இரண்டாவது குணகத்திற்கான ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கணக்கிடலாம் D 1 =(-1) 2 −1·(−11)=12, மற்றும்.

இரண்டாவதாக, அசல் சமன்பாட்டிற்கான மாறி x இன் ODZ ஐக் காண்கிறோம். இது x 2 +3·x≠0 அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது, இது x·(x+3)≠0, எங்கிருந்து x≠0, x≠−3.

முதல் கட்டத்தில் காணப்படும் வேர்கள் ODZ இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை சரிபார்க்க உள்ளது. வெளிப்படையாக ஆம். எனவே, அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பதில்:

ODZ கண்டுபிடிக்க எளிதானது என்றால், இந்த அணுகுமுறை முதல் முறையை விட அதிக லாபம் தரும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், மேலும் p(x) = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள் பகுத்தறிவற்றதாக இருந்தால் அல்லது பகுத்தறிவு, ஆனால் ஒரு பெரிய எண் மற்றும் /அல்லது வகுத்தல், எடுத்துக்காட்டாக, 127/1101 மற்றும் −31/59. இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், q(x)≠0 நிலையைச் சரிபார்ப்பதற்கு குறிப்பிடத்தக்க கணக்கீட்டு முயற்சி தேவைப்படும், மேலும் ODZ ஐப் பயன்படுத்தி வெளிப்புற வேர்களை விலக்குவது எளிது.

மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​குறிப்பாக p(x) = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருக்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளில் முதல் முறையைப் பயன்படுத்துவது அதிக லாபம் தரும். அதாவது, p(x)=0 என்ற முழுச் சமன்பாட்டின் வேர்களையும் உடனடியாகக் கண்டறிவது நல்லது, பின்னர் ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்குப் பதிலாக, q(x)≠0 நிபந்தனை அவர்களுக்குத் திருப்தி அளிக்கிறதா என்பதைச் சரிபார்த்து, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது நல்லது. இந்த ODZ இல் p(x)=0 . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் DZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதை விட சரிபார்க்க இது பொதுவாக எளிதானது என்பதே இதற்குக் காரணம்.

குறிப்பிட்ட நுணுக்கங்களை விளக்குவதற்கு இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், முழு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி இயற்றப்பட்டது. இடது பக்கம்இந்த சமன்பாட்டின் ஒரு தயாரிப்பு, மற்றும் வலது கை பூஜ்ஜியமாகும், எனவே, காரணியாக்கம் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையின்படி, இந்த சமன்பாடு நான்கு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமம் 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . இந்த சமன்பாடுகளில் மூன்று நேரியல் மற்றும் ஒன்று நாம் அவற்றை தீர்க்க முடியும். முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x=1/2, இரண்டாவது - x=6, மூன்றாவது - x=7, x=−2, நான்காவது - x=-1.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைக் கொண்டு, அசல் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியின் வகுத்தல் மறைந்துவிட்டதா என்பதைச் சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது, ஆனால் ODZ ஐ தீர்மானிப்பது அவ்வளவு எளிதல்ல, இதற்கு நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும். ஐந்தாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு. எனவே, வேர்களைச் சரிபார்ப்பதற்கு ஆதரவாக ODZ ஐக் கண்டுபிடிப்பதைக் கைவிடுவோம். இதைச் செய்ய, வெளிப்பாட்டில் உள்ள மாறி x க்கு பதிலாக அவற்றை ஒவ்வொன்றாக மாற்றுவோம் x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு பெற்று, அவற்றை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

எனவே, 1/2, 6 மற்றும் −2 ஆகியவை அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் விரும்பிய வேர்கள், மேலும் 7 மற்றும் −1 ஆகியவை புறம்பான வேர்கள்.

பதில்:

1/2 , 6 , −2 .

உதாரணமாக.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

முதலில், சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம் (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. இந்த சமன்பாடு இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது: சதுரம் 5 x 2 -7 x−1=0 மற்றும் நேரியல் x−2=0. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டு வேர்களைக் காண்கிறோம், இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x=2 ஐப் பெறுகிறோம்.

x இன் காணப்படும் மதிப்புகளில் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் விரும்பத்தகாதது. அசல் சமன்பாட்டில் x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிப்பது மிகவும் எளிது. எனவே, நாங்கள் ODZ மூலம் செயல்படுவோம்.

எங்கள் விஷயத்தில், அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் மாறி x இன் ODZ ஆனது நிபந்தனை x 2 +5·x−14=0 பூர்த்தி செய்யப்பட்ட எண்களைத் தவிர அனைத்து எண்களையும் கொண்டுள்ளது. இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=−7 மற்றும் x=2 ஆகும், இதிலிருந்து நாம் ODZ பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வருகிறோம்: இது அனைத்து x போன்றவற்றையும் கொண்டுள்ளது.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் மற்றும் x=2 ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். வேர்கள் சொந்தமானது, எனவே, அவை அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள், மேலும் x=2 சொந்தமானது அல்ல, எனவே, இது ஒரு புறம்பான வேர்.

பதில்:

படிவத்தின் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டில் ஒரு எண் இருக்கும் போது, ​​அதாவது p(x) சில எண்ணால் குறிப்பிடப்படும் போது, ​​தனித்தனியாகப் பேசுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். இதில்

• இந்த எண் பூஜ்ஜியம் அல்லாததாக இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே;
• இந்த எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாட்டின் மூலமானது ODZ இலிருந்து எந்த எண்ணாகவும் இருக்கும்.

உதாரணமாக.

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணைக் கொண்டிருப்பதால், எந்த x க்கும் இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுவேர்கள் இல்லை.

பதில்:

வேர்கள் இல்லை.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் எண் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே இந்த பின்னத்தின் மதிப்பு அது அர்த்தமுள்ள எந்த x க்கும் பூஜ்ஜியமாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு இந்த மாறியின் ODZ இலிருந்து x இன் எந்த மதிப்பாகும்.

ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பைத் தீர்மானிக்க இது உள்ளது. இது x 4 +5 x 3 ≠0 இன் அனைத்து மதிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது. x 4 +5 x 3 =0 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் 0 மற்றும் −5 ஆகும், ஏனெனில் இந்த சமன்பாடு x 3 (x+5)=0 சமன்பாட்டிற்கு சமம், மேலும் இது x என்ற இரண்டு சமன்பாடுகளின் சேர்க்கைக்கு சமம். 3 =0 மற்றும் x +5=0, இந்த வேர்கள் தெரியும். எனவே, ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் விரும்பிய வரம்பு x=0 மற்றும் x=−5 தவிர எந்த x ஆகும்.

எனவே, ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடு எண்ணற்ற பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை பூஜ்ஜியம் மற்றும் கழித்தல் ஐந்து தவிர வேறு எந்த எண்களாகும்.

பதில்:

இறுதியாக, தன்னிச்சையான வடிவத்தின் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது. அவற்றை r(x)=s(x) என எழுதலாம், இங்கு r(x) மற்றும் s(x) ஆகியவை பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள் மற்றும் அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பின்னமானது. முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​​​அவற்றின் தீர்வு ஏற்கனவே நமக்கு நன்கு தெரிந்த வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வரும் என்று சொல்லலாம்.

சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை மாற்றுவது சமமான சமன்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே சமன்பாடு r(x)=s(x) சமன்பாடு r(x)−s(x) சமன்பாடு ஆகும் )=0.

இந்த வெளிப்பாட்டிற்கு சமமான ஏதேனும் ஒன்று சாத்தியம் என்பதையும் நாங்கள் அறிவோம். எனவே, r(x)−s(x)=0 சமன்பாட்டின் இடதுபுறத்தில் உள்ள பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை வடிவத்தின் ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு பின்னமாக மாற்றலாம்.

எனவே நாம் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிலிருந்து r(x)=s(x) சமன்பாட்டிற்கு நகர்கிறோம், மேலும் அதன் தீர்வு, நாம் மேலே கண்டறிந்தபடி, p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு குறைக்கிறது.

ஆனால் இங்கே r(x)−s(x)=0 ஐ , பின்னர் p(x)=0 என்று மாற்றும் போது, ​​x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு விரிவடையும் என்ற உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். .

இதன் விளைவாக, நாம் வந்த அசல் சமன்பாடு r(x)=s(x) மற்றும் p(x)=0 சமன்பாடு ஆகியவை சமமற்றதாக மாறலாம், மேலும் p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நாம் வேர்களைப் பெறலாம். இது r(x)=s(x) என்ற அசல் சமன்பாட்டின் புறம்பான வேர்களாக இருக்கும். சரிபார்ப்பதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ க்கு சொந்தமானவை என்பதைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் நீங்கள் பதிலில் புறம்பான வேர்களை அடையாளம் காணலாம் மற்றும் சேர்க்கக்கூடாது.

இந்த தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை r(x)=s(x). பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்க r(x)=s(x) , உங்களுக்குத் தேவை

• எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் வெளிப்பாட்டை வலது பக்கத்திலிருந்து நகர்த்துவதன் மூலம் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுங்கள்.
• சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் பின்னங்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும், அதன் மூலம் அதை வடிவத்தின் பகுத்தறிவுப் பகுதியாக மாற்றவும்.
• p(x)=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
• அசல் சமன்பாட்டில் அவற்றை மாற்றுவதன் மூலம் அல்லது அசல் சமன்பாட்டின் ODZ ஐச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் வெளிப்புற வேர்களைக் கண்டறிந்து அகற்றவும்.

அதிக தெளிவுக்காக, பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முழு சங்கிலியையும் காண்பிப்போம்:
.

கொடுக்கப்பட்ட தகவலைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, தீர்வு செயல்முறையின் விரிவான விளக்கத்துடன் பல எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இப்போது கிடைத்த தீர்வு அல்காரிதம் படி செயல்படுவோம். முதலில் நாம் சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் சொற்களை நகர்த்துகிறோம், இதன் விளைவாக நாம் சமன்பாட்டிற்கு செல்கிறோம்.

இரண்டாவது கட்டத்தில், விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாட்டை ஒரு பின்னத்தின் வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும். இதைச் செய்ய, பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, அதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம்: . எனவே நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அன்று அடுத்த நிலை−2·x−1=0 என்ற சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும். x=−1/2 ஐக் காண்கிறோம்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் −1/2 அசல் சமன்பாட்டின் வெளிப்புற மூலமல்லவா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டின் x மாறியின் VA ஐ நீங்கள் சரிபார்க்கலாம் அல்லது கண்டறியலாம். இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் விளக்குவோம்.

சரிபார்ப்புடன் ஆரம்பிக்கலாம். x என்ற மாறிக்கு பதிலாக அசல் சமன்பாட்டில் −1/2 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம், மேலும் அதையே −1=−1 பெறுகிறோம். மாற்றீடு சரியான எண் சமத்துவத்தை அளிக்கிறது, எனவே x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும்.

ODZ மூலம் அல்காரிதத்தின் கடைசி புள்ளி எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை இப்போது காண்பிப்போம். அசல் சமன்பாட்டின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு என்பது −1 மற்றும் 0 தவிர அனைத்து எண்களின் தொகுப்பாகும் (x=-1 மற்றும் x=0 இல் பின்னங்களின் பிரிவுகள் மறைந்துவிடும்). முந்தைய படியில் காணப்படும் ரூட் x=−1/2 ODZ க்கு சொந்தமானது, எனவே, x=−1/2 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் ரூட் ஆகும்.

பதில்:

−1/2 .

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

நாம் ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும், அல்காரிதத்தின் அனைத்து படிகளையும் கடந்து செல்லலாம்.

முதலில், இந்த வார்த்தையை வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கம் நகர்த்துகிறோம், நமக்கு கிடைக்கும் .

இரண்டாவதாக, இடது பக்கத்தில் உருவான வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்: . இதன் விளைவாக, நாம் x=0 சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

அதன் வேர் வெளிப்படையானது - இது பூஜ்யம்.

நான்காவது கட்டத்தில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலமானது அசல் பகுதியளவு பகுத்தறிவு சமன்பாட்டிற்கு புறம்பானதா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். இது அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது, ​​வெளிப்பாடு பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுபடுவதால் அர்த்தமில்லை. எங்கிருந்து 0 என்பது ஒரு புறம்பான வேர் என்று முடிவு செய்கிறோம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

7, இது Eq க்கு வழிவகுக்கிறது. இதிலிருந்து இடது பக்கத்தின் வகுப்பில் உள்ள வெளிப்பாடு வலது பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது, . இப்போது நாம் மும்மடங்கின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் கழிக்கிறோம்: . ஒப்புமை மூலம், எங்கிருந்து, மேலும்.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு வேர்களும் அசல் பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்பதை சரிபார்ப்பு காட்டுகிறது.

பதில்:

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; எட். எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• இயற்கணிதம்: 9 ஆம் வகுப்பு: கல்வி. பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; எட். எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2009. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-021134-5.