ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தை எவ்வாறு உருவாக்குவது. விமானத்திற்கு செங்குத்தாக டைஹெட்ரல் கோணம்

"டைஹெட்ரல் கோணம்" - புள்ளி B இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும். கோணம் C கடுமையானது. முக்கோணம் ஏபிசி மழுங்கலாக உள்ளது. கோணம் சி மழுப்பலாக உள்ளது. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம். டெட்ராஹெட்ரான் DАВС இல் அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும். சாய்ந்தவற்றுக்கு இடையிலான கோணம். சாய்ந்த தளங்களுக்கு இடையிலான தூரம். ஒரு இருமுனைக் கோணத்தின் நேரியல் கோணங்கள் சமம். நேரியல் கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம்.

"டைஹெட்ரல் கோண வடிவியல்" - கோணம் RSV - விளிம்பு AC கொண்ட இருமுனை கோணத்திற்கான நேரியல். டைஹெட்ரல் கோணத்தின் விளிம்பு மற்றும் முகங்களைக் கண்டறியவும் (பார்க்கவும்). மாதிரியானது மிகப்பெரியதாகவோ அல்லது மடிப்பதாகவோ இருக்கலாம். விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானம் மூலம் ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் பிரிவு. விளிம்புகள். வரி CP விளிம்பு CA க்கு செங்குத்தாக உள்ளது (மூன்று செங்குத்துகளின் தேற்றத்தால்). கோணம் RKV - RSAV உடன் ஒரு இருமுனை கோணத்திற்கான நேரியல்.

"ட்ரைஹெட்ரல் கோணம்" - முக்கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அறிகுறிகள். கொடுக்கப்பட்டவை: Оabc - ட்ரைஹெட்ரல் கோணம்; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. பாடம் 6. விளைவுகள். 1) ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிட, சூத்திரம் பொருந்தும்: மூன்று கோசைன்களின் சூத்திரம். . ஒரு முக்கோண கோணம் Oabc கொடுக்கப்பட்டது. முக்கோண கோணம். தேற்றம். ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில், உச்சியில் உள்ள விமானக் கோணம் 120 க்கும் குறைவாக இருக்கும்?.

"ட்ரைஹெட்ரல் மற்றும் பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள்" - டோடெகாஹெட்ரானின் முக்கோணங்கள். ரோம்பிக் டோடெகாஹெட்ரானின் ட்ரைஹெட்ரல் மற்றும் டெட்ராஹெட்ரல் கோணங்கள். ஆக்டோஹெட்ரானின் டெட்ராஹெட்ரல் கோணங்கள். ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் முக்கோண மூலைகள். பாலிஹெட்ரல் கோணங்களை அளவிடுதல். பணி. பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள். ஐகோசஹெட்ரானின் பென்டகோனல் கோணங்கள். செங்குத்து பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள். ஒரு பிரமிட்டின் முக்கோண மூலை. SA1... ஒரு குவிந்த n-முகக் கோணமாக இருக்கட்டும்.

"ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம்" - வழக்கமான 6 வது ப்ரிஸம் A...F1 இல், அதன் விளிம்புகள் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், நேர் கோடு AC1 மற்றும் விமானம் ADE1 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும். வழக்கமான 6வது ப்ரிஸத்தில் A...F1, அதன் விளிம்புகள் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், நேர் கோடு AA1 மற்றும் விமானம் ACE1 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும். ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணம். வழக்கமான 6வது ப்ரிஸத்தில் A...F1, அதன் விளிம்புகள் 1க்கு சமமாக இருக்கும், நேர் கோடு AB1 மற்றும் விமானம் ADE1 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

"பாலிஹெட்ரல் கோணம்" - குவிந்த பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள். பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள். முகங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள் ட்ரைஹெட்ரல், டெட்ராஹெட்ரல், பென்டாஹெட்ரல் போன்றவை. சி) ஐகோசஹெட்ரான். ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு விமானக் கோணங்கள் 70° மற்றும் 80° ஆகும். எனவே,? ASB+? BSC+? ஏ.எஸ்.சி.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

மொத்தம் 9 விளக்கக்காட்சிகள் உள்ளன

வடிவவியலில், புள்ளிவிவரங்களைப் படிக்க இரண்டு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முக்கியமான பண்புகள்: பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணங்கள். இடஞ்சார்ந்த புள்ளிவிவரங்களின் விஷயத்தில், இந்த குணாதிசயங்களுக்கு இருமுனை கோணங்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன. அது என்ன என்பதைப் பார்ப்போம், மேலும் ஒரு பிரமிட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த கோணங்களைத் தீர்மானிப்பதற்கான முறையையும் விவரிக்கவும்.

டைஹெட்ரல் கோணத்தின் கருத்து

இரண்டு வெட்டும் கோடுகள் அவற்றின் வெட்டும் புள்ளியில் உச்சியுடன் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை உருவாக்குகின்றன என்பது அனைவருக்கும் தெரியும். இந்த கோணத்தை ஒரு புரோட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தி அளவிடலாம் அல்லது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்அதை கணக்கிட. இரண்டு செங்கோணங்களால் உருவாகும் கோணம் நேரியல் எனப்படும்.

இப்போது அதை கற்பனை செய்வோம் முப்பரிமாண வெளிநேர்கோட்டில் வெட்டும் இரண்டு விமானங்கள் உள்ளன. அவை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணம் என்பது இரண்டு வெட்டும் விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணம். நேரியல் போலவே, இது டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் அளவிடப்படுகிறது. விமானங்கள் வெட்டும் கோட்டின் எந்தப் புள்ளியிலும், இந்த விமானங்களில் கிடக்கும் இரண்டு செங்குத்துகளை மீட்டமைத்தால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் விரும்பிய டைஹெட்ரலாக இருக்கும். இந்த கோணத்தை தீர்மானிக்க எளிதான வழி விமான சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதாகும் பொதுவான பார்வை.

விமானங்களின் சமன்பாடு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திற்கான சூத்திரம்

விண்வெளியில் உள்ள எந்த விமானத்தின் சமன்பாடும் பொதுவாக பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

இங்கே x, y, z ஆகியவை விமானத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள், குணகங்கள் A, B, C, D ஆகியவை சில அறியப்பட்ட எண்கள். டைஹெட்ரல் கோணங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான இந்த சமத்துவத்தின் வசதி என்னவென்றால், இது விமானத்தின் திசை வெக்டரின் ஆயங்களை வெளிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் அதை n¯ ஐக் குறிப்போம். பிறகு:

திசையன் n¯ விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணம் கோணத்திற்கு சமம்அவற்றின் n 1 ¯ மற்றும் n 2 ¯ க்கு இடையில். இரண்டு திசையன்களால் உருவாகும் கோணம் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியில் இருந்து தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது கணிதத்தின் மூலம் அறியப்படுகிறது. இது இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையில் உள்ள இருமுனை கோணத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுத அனுமதிக்கிறது:

φ = ஆர்க்கோஸ் (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

திசையன்களின் ஆயங்களை நாம் மாற்றினால், சூத்திரம் வெளிப்படையாக எழுதப்படும்:

φ = ஆர்க்கோஸ் (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + சி 2 2))).

எண்ணில் உள்ள மாடுலஸ் குறி மட்டுமே தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது கூர்மையான மூலையில், டைஹெட்ரல் கோணம் எப்போதும் 90 o ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

பிரமிட் மற்றும் அதன் மூலைகள்

பிரமிடு என்பது ஒரு n-gon மற்றும் n முக்கோணங்களால் உருவாகும் உருவம். இங்கு n என்பது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியான பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான ஒரு முழு எண் ஆகும். இந்த இடஞ்சார்ந்த உருவம் ஒரு பாலிஹெட்ரான் அல்லது பாலிஹெட்ரான் ஆகும், ஏனெனில் இது தட்டையான முகங்களைக் (பக்கங்கள்) கொண்டுள்ளது.

பிரமிட் பாலிஹெட்ரான்கள் இரண்டு வகைகளாக இருக்கலாம்:

• அடித்தளத்திற்கும் பக்கத்திற்கும் இடையில் (முக்கோணம்);
• இரு தரப்புக்கும் இடையே.

நாம் ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டைக் கருத்தில் கொண்டால், அதற்கான பெயரிடப்பட்ட கோணங்களைத் தீர்மானிப்பது கடினம் அல்ல. இதைச் செய்ய, மூன்று அறியப்பட்ட புள்ளிகளின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் விமானங்களின் சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும், பின்னர் கோணம் φக்கு மேலே உள்ள பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் இருமுனை கோணங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காட்டும் ஒரு உதாரணத்தை கீழே தருகிறோம்.

நாற்கர மற்றும் அதன் அடிப்பகுதியில் கோணம்

நாம் ஒரு சதுர அடித்தளத்துடன் வழக்கமான பிரமிடு கொடுக்கப்பட்டதாக வைத்துக்கொள்வோம். சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் a, உருவத்தின் உயரம் h. பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கும் அதன் பக்கத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

சதுரத்தின் மையத்தில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தை வைப்போம். பின்னர் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள A, B, C, D புள்ளிகளின் ஆயங்கள் சமமாக இருக்கும்:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

ACB மற்றும் ADB விமானங்களை கருத்தில் கொள்வோம். வெளிப்படையாக, ACB விமானத்திற்கான திசை திசையன் n 1 ¯ இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

ADB விமானத்தின் திசை திசையன் n 2 ¯ ஐத் தீர்மானிக்க, நாங்கள் பின்வருமாறு தொடர்கிறோம்: அதற்குச் சொந்தமான தன்னிச்சையான இரண்டு திசையன்களைக் காண்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, AD¯ மற்றும் AB¯, பின்னர் அவற்றின் திசையன் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுகிறோம். அதன் முடிவு ஆய n 2 ¯ ஐக் கொடுக்கும். எங்களிடம் உள்ளது:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2/2).

ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்கி வகுத்தால் அதன் திசையை மாற்றாது என்பதால், அதன் ஆயங்களை -a ஆல் வகுத்து அதன் விளைவாக வரும் n 2 ¯ ஐ மாற்றுவோம், நாம் பெறுவது:

அடிப்படை விமானங்கள் ACB மற்றும் பக்க விமானம் ADB க்கான திசை திசையன்கள் n 1 ¯ மற்றும் n 2 ¯ வரையறுத்துள்ளோம். φ கோணத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த இது உள்ளது:

φ = ஆர்க்கோஸ் (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = ஆர்க்கோஸ் (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை மாற்றி, அதை மீண்டும் எழுதுவோம்:

φ = ஆர்க்கோஸ் (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

வழக்கமான நாற்கர பிரமிடுக்கு அடிவாரத்தில் இருமுனைக் கோணத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றுள்ளோம். உருவத்தின் உயரம் மற்றும் அதன் பக்கத்தின் நீளத்தை அறிந்து, நீங்கள் கோணத்தை φ கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, Cheops பிரமிடுக்கு, அதன் அடிப்பகுதி 230.4 மீட்டர், மற்றும் ஆரம்ப உயரம் 146.5 மீட்டர், கோணம் 51.8 o க்கு சமமாக இருக்கும்.

வடிவியல் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு நாற்கர வழக்கமான பிரமிடுக்கான இருமுனை கோணத்தையும் நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம். இதைச் செய்ய, உயரம் h, அடித்தளத்தின் பாதி நீளம் a/2 மற்றும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் அபோதெம் ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கருத்தில் கொண்டால் போதும்.

இருமுனை கோணம். நேரியல் கோணம்இருமுனை கோணம். ஒரு டைஹெட்ரல் கோணம் என்பது ஒரே விமானத்திற்குச் சொந்தமில்லாத மற்றும் பொதுவான எல்லையைக் கொண்ட இரண்டு அரை-தளங்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு உருவமாகும் - நேர் கோடு a. ஒரு இருமுனை கோணத்தை உருவாக்கும் அரை-தளங்கள் அதன் முகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த அரை-தளங்களின் பொதுவான எல்லை இருமுனை கோணத்தின் விளிம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் நேரியல் கோணம் என்பது ஒரு கோணமாகும், அதன் பக்கங்களில் கதிர்கள் உள்ளன, அதனுடன் டைஹெட்ரல் கோணத்தின் முகங்கள் டைஹெட்ரல் கோணத்தின் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தால் வெட்டப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு டைஹெட்ரல் கோணமும் எத்தனையோ நேரியல் கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது: ஒரு விளிம்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இந்த விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தை வரையலாம்; இந்த விமானம் ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் முகங்களை வெட்டும் கதிர்கள் நேரியல் கோணங்களை உருவாக்குகின்றன.

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் அனைத்து நேரியல் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். பிரமிடு சிஏபிசியின் அடிப்பகுதியின் விமானம் மற்றும் அதன் பக்கவாட்டு முகங்களின் விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்ட இருமுனைக் கோணங்களும் சமமாக இருந்தால், செங்குத்து K இலிருந்து வரையப்பட்ட செங்குத்தாக அடிப்பகுதி ABC முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகும் என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஆதாரம். முதலில், சமமான இருமுனைக் கோணங்களின் நேரியல் கோணங்களை உருவாக்குவோம். வரையறையின்படி, ஒரு நேரியல் கோணத்தின் விமானம் இருமுனைக் கோணத்தின் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். எனவே, ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் விளிம்பு நேரியல் கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். KO அடிப்படை விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், நாம் அல்லது செங்குத்தாக AC, அல்லது செங்குத்தாக SV, OQ செங்குத்தாக AB ஆகியவற்றை வரையலாம், பின்னர் புள்ளி K உடன் P, Q, R புள்ளிகளை இணைக்கலாம். எனவே, சாய்ந்த RK, QK ஆகியவற்றின் திட்டத்தை உருவாக்குவோம். , RK எனவே AC, NE, AB விளிம்புகள் இந்த கணிப்புகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, இந்த விலா எலும்புகள் சாய்ந்தவற்றுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே ROK, QOK, ROK முக்கோணங்களின் விமானங்கள் இருமுனைக் கோணத்தின் தொடர்புடைய விளிம்புகளுக்கு செங்குத்தாக உள்ளன மற்றும் நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள சம நேரியல் கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. வலது முக்கோணங்கள் ROK, QOK, ROK ஆகியவை ஒரே மாதிரியானவை (அவை பொதுவான கால் சரி மற்றும் இந்த காலுக்கு எதிர் கோணங்கள் சமமாக இருப்பதால்). எனவே, OR = OR = OQ. மைய O மற்றும் OP ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரைந்தால், ABC முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் OP, OR மற்றும் OQ ஆகிய ஆரங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும், எனவே இந்த வட்டத்திற்கு தொடுகோடு இருக்கும்.

விமானங்களின் செங்குத்துத்தன்மை. ஆல்பா மற்றும் பீட்டா விமானங்கள் அவற்றின் குறுக்குவெட்டில் உருவாகும் டைஹெட்ரல் கோணங்களில் ஒன்றின் நேரியல் கோணம் 90 க்கு சமமாக இருந்தால், அவை செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன." பின்னர் இந்த விமானங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும்.

படம் ஒரு செவ்வக இணையான பைப்பைக் காட்டுகிறது. அதன் தளங்கள் செவ்வக ABCD மற்றும் A1B1C1D1 ஆகும். மற்றும் பக்க விலா எலும்புகள் AA1 BB1, CC1, DD1 ஆகியவை தளங்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளன. இது AA1 AB க்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது பக்க முகம் ஒரு செவ்வகமாகும். எனவே, ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் பண்புகளை நாம் நியாயப்படுத்தலாம்: ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில், ஆறு முகங்களும் செவ்வகங்களாகும். ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில், ஆறு முகங்களும் செவ்வகங்களாக இருக்கும். செவ்வக இணைக் குழாய்களின் அனைத்து இருமுனைக் கோணங்களும் வலது கோணங்களாகும். செவ்வக இணைக் குழாய்களின் அனைத்து இருமுனைக் கோணங்களும் வலது கோணங்களாகும்.

தேற்றம் ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயின் மூலைவிட்டத்தின் சதுரம் அதன் முப்பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். மீண்டும் உருவத்திற்குத் திரும்பி, AC12 = AB2 + AD2 + AA12 என்பதை நிரூபிப்போம், விளிம்பு CC1 ஆனது அடிப்படை ABCD க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், ACC1 கோணம் சரியானது. இருந்து வலது முக்கோணம் ACC1 பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி AC12=AC2+CC12 ஐப் பெறுகிறோம். ஆனால் AC என்பது செவ்வக ABCDயின் மூலைவிட்டமாகும், எனவே AC2 = AB2 + AD2. கூடுதலாக, CC1 = AA1. எனவே AC12= AB2+AD2+AA12 தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இருமுனை கோணத்தின் கருத்து

டைஹெட்ரல் கோணத்தின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்த, ஸ்டீரியோமெட்ரியின் கோட்பாடுகளில் ஒன்றை முதலில் நினைவுபடுத்துவோம்.

இந்த விமானத்தில் இருக்கும் $a$ கோட்டின் இரண்டு அரை விமானங்களாக எந்த விமானத்தையும் பிரிக்கலாம். இந்த வழக்கில், ஒரே அரை-தளத்தில் இருக்கும் புள்ளிகள் $a$ நேர் கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன, மேலும் வெவ்வேறு அரை-தளங்களில் இருக்கும் புள்ளிகள் ஒரே பக்கத்தில் இருக்கும். வெவ்வேறு பக்கங்கள்நேர்கோட்டில் இருந்து $a$ (படம் 1).

படம் 1.

ஒரு இருமுனை கோணத்தை உருவாக்குவதற்கான கொள்கை இந்த கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

வரையறை 1

உருவம் அழைக்கப்படுகிறது இருமுனை கோணம், ஒரே விமானத்திற்குச் சொந்தமில்லாத இந்தக் கோட்டின் ஒரு கோடு மற்றும் இரண்டு அரை-தளங்கள் இருந்தால்.

இந்த வழக்கில், டைஹெட்ரல் கோணத்தின் அரை விமானங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன விளிம்புகள், மற்றும் அரை விமானங்களை பிரிக்கும் நேர் கோடு இருமுனை விளிம்பு(வரைபடம். 1).

படம் 2. டைஹெட்ரல் கோணம்

டைஹெட்ரல் கோணத்தின் டிகிரி அளவீடு

வரையறை 2

விளிம்பில் $A$ ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்வு செய்வோம். இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் வெவ்வேறு அரை-தளங்களில், ஒரு விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக மற்றும் $A$ புள்ளியில் வெட்டும் கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நேரியல் இருமுனை கோணம்(படம் 3).

படம் 3.

வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு டைஹெட்ரல் கோணமும் எண்ணற்ற நேரியல் கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது.

தேற்றம் 1

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் அனைத்து நேரியல் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

ஆதாரம்.

$AOB$ மற்றும் $A_1(OB)_1$ (படம் 4) ஆகிய இரண்டு நேரியல் கோணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

படம் 4.

$OA$ மற்றும் $(OA)_1$ ஆகிய கதிர்கள் ஒரே அரை-தளத்தில் $\alpha $ மற்றும் ஒரே நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், அவை இணை திசையில் இருக்கும். $OB$ மற்றும் $(OB)_1$ ஆகிய கதிர்கள் ஒரே அரை-தளத்தில் $\beta $ மற்றும் ஒரே நேர்கோட்டில் செங்குத்தாக இருப்பதால், அவை இணைதிசைகளாக இருக்கும். எனவே

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

நேரியல் கோணங்களின் தேர்வின் தன்னிச்சையான தன்மை காரணமாக. ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் அனைத்து நேரியல் கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 3

டைஹெட்ரல் கோணத்தின் டிகிரி அளவீடு என்பது ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் நேரியல் கோணத்தின் டிகிரி அளவாகும்.

மாதிரி சிக்கல்கள்

எடுத்துக்காட்டு 1

$\alpha $ மற்றும் $\beta $ ஆகிய இரண்டு செங்குத்தாக இல்லாத விமானங்களை $m$ என்ற நேர்கோட்டில் வெட்டும். புள்ளி $A$ $\beta$ விமானத்திற்கு சொந்தமானது. $AB$ வரி $m$ க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. $AC$ விமானம் $\alpha $க்கு செங்குத்தாக உள்ளது (புள்ளி $C$ $\alpha $க்கு சொந்தமானது). $ABC$ என்பது இருமுனைக் கோணத்தின் நேரியல் கோணம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

ஆதாரம்.

பிரச்சனையின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப ஒரு படத்தை வரைவோம் (படம் 5).

படம் 5.

அதை நிரூபிக்க, பின்வரும் தேற்றத்தை நினைவுபடுத்தவும்

தேற்றம் 2:சாய்ந்த ஒன்றின் அடிப்பகுதி வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு அதற்கு செங்குத்தாக, அதன் திட்டத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

$ AC$ விமானம் $\alpha $ க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், $C$ என்பது $\alpha $ விமானத்தின் மீது $A$ புள்ளியின் திட்டமாகும். எனவே, $BC$ என்பது சாய்ந்த $AB$ இன் கணிப்பு. தேற்றம் 2 மூலம், $BC$ இருமுனைக் கோணத்தின் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

பின்னர், கோணம் $ABC$ ஒரு நேரியல் இருமுனை கோணத்தை வரையறுப்பதற்கான அனைத்து தேவைகளையும் பூர்த்தி செய்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2

இருமுனை கோணம் $30^\circ$ ஆகும். ஒரு முகத்தில் $A$ புள்ளி உள்ளது, இது மற்ற முகத்திலிருந்து $4$ செமீ தொலைவில் உள்ளது, இது $A$ புள்ளியிலிருந்து இருமுனைக் கோணத்தின் விளிம்பிற்கு உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

படம் 5ஐப் பார்ப்போம்.

நிபந்தனையின்படி, எங்களிடம் $AC=4\cm$ உள்ளது.

டிஹெட்ரல் கோணத்தின் டிகிரி அளவின் வரையறையின்படி, $ABC$ என்பது $30^\circ$ க்கு சமமாக இருக்கும்.

முக்கோணம் $ABC$ ஒரு செங்கோண முக்கோணம். கடுமையான கோணத்தின் சைன் வரையறையின்படி

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

பாடத்தின் உரை டிரான்ஸ்கிரிப்ட்:

பிளானிமெட்ரியில், முக்கிய பொருள்கள் கோடுகள், பிரிவுகள், கதிர்கள் மற்றும் புள்ளிகள். ஒரு புள்ளியில் இருந்து வெளிப்படும் கதிர்கள் அவற்றின் வடிவியல் வடிவங்களில் ஒன்றை உருவாக்குகின்றன - ஒரு கோணம்.

நேரியல் கோணம் டிகிரி மற்றும் ரேடியன்களில் அளவிடப்படுகிறது என்பதை நாம் அறிவோம்.

ஸ்டீரியோமெட்ரியில், ஒரு விமானம் பொருட்களுடன் சேர்க்கப்படுகிறது. வடிவவியலில் ஒரே விமானத்திற்குச் சொந்தமில்லாத ஒரு நேர்கோடு a மற்றும் இரண்டு அரை-தளங்கள் ஒரு பொதுவான எல்லையுடன் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு உருவம் இருமுனை கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அரை-விமானங்கள் ஒரு இருமுனை கோணத்தின் முகங்கள். நேர்கோடு a என்பது ஒரு இருமுனை கோணத்தின் விளிம்பாகும்.

நேரியல் கோணம் போன்ற இருமுனைக் கோணம் பெயரிடலாம், அளவிடலாம் மற்றும் கட்டமைக்கப்படலாம். இந்த பாடத்தில் நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது இதுதான்.

ABCD டெட்ராஹெட்ரான் மாதிரியில் இருமுனை கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

விளிம்பு AB உடன் ஒரு இருமுனை கோணம் CABD என அழைக்கப்படுகிறது, அங்கு புள்ளிகள் C மற்றும் D கோணத்தின் வெவ்வேறு முகங்களுக்கு சொந்தமானது மற்றும் விளிம்பு AB நடுவில் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு இருமுனை கோண வடிவில் உள்ள கூறுகளுடன் நம்மைச் சுற்றி நிறைய பொருள்கள் உள்ளன.

பல நகரங்களில், நல்லிணக்கத்திற்கான சிறப்பு பெஞ்சுகள் பூங்காக்களில் நிறுவப்பட்டுள்ளன. பெஞ்ச் மையத்தை நோக்கி இரண்டு சாய்ந்த விமானங்களின் வடிவத்தில் செய்யப்படுகிறது.

வீடுகள் கட்டும் போது, ​​அழைக்கப்படும் கேபிள் கூரை. இந்த வீட்டில் கூரை 90 டிகிரி டைஹெட்ரல் கோணத்தின் வடிவத்தில் செய்யப்படுகிறது.

டிஹெட்ரல் கோணம் டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் அளவிடப்படுகிறது, ஆனால் அதை எவ்வாறு அளவிடுவது.

வீடுகளின் கூரைகள் ராஃப்டரில் தங்கியிருப்பது சுவாரஸ்யமானது. மற்றும் ராஃப்ட்டர் உறை ஒரு கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தில் இரண்டு கூரை சரிவுகளை உருவாக்குகிறது.

படத்தை வரைபடத்திற்கு மாற்றுவோம். வரைபடத்தில், ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, புள்ளி B அதன் விளிம்பில் குறிக்கப்படுகிறது, இரண்டு கதிர்கள் BA மற்றும் BC கோணத்தின் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக வரையப்படுகின்றன. இந்தக் கதிர்களால் உருவாகும் ஏபிசி கோணம் நேரியல் இருமுனைக் கோணம் எனப்படும்.

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தின் அளவு அதன் நேரியல் கோணத்தின் டிகிரி அளவிற்கு சமம்.

AOB கோணத்தை அளவிடுவோம்.

கொடுக்கப்பட்ட டைஹெட்ரல் கோணத்தின் அளவு அறுபது டிகிரி ஆகும்.

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்திற்கு எண்ணற்ற நேரியல் கோணங்களை வரையலாம், அவை அனைத்தும் சமமானவை என்பதை அறிவது அவசியம்.

AOB மற்றும் A1O1B1 ஆகிய இரண்டு நேரியல் கோணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம். கதிர்கள் OA மற்றும் O1A1 ஆகியவை ஒரே முகத்தில் படுத்து, OO1 என்ற நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், அவை இணை திசையில் இருக்கும். பீம்ஸ் OB மற்றும் O1B1 ஆகியவையும் இணைந்து இயக்கப்படுகின்றன. எனவே, AOB கோணம் A1O1B1 கோணத்திற்கு இணை-திசைப் பக்கங்களைக் கொண்ட கோணங்களாக சமம்.

எனவே ஒரு டைஹெட்ரல் கோணம் ஒரு நேரியல் கோணத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் நேரியல் கோணங்கள் கடுமையான, மழுங்கிய மற்றும் வலதுபுறமாக இருக்கும். டைஹெட்ரல் கோணங்களின் மாதிரிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

அதன் நேரியல் கோணம் 90 மற்றும் 180 டிகிரிக்கு இடையில் இருந்தால் மழுங்கிய கோணம்.

நேரியல் கோணம் 90 டிகிரியாக இருந்தால் செங்கோணம்.

ஒரு கடுமையான கோணம், அதன் நேரியல் கோணம் 0 முதல் 90 டிகிரி வரை இருந்தால்.

நேரியல் கோணத்தின் முக்கியமான பண்புகளில் ஒன்றை நிரூபிப்போம்.

நேரியல் கோணத்தின் விமானம் டைஹெட்ரல் கோணத்தின் விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

AOB கோணம் கொடுக்கப்பட்ட இருமுனைக் கோணத்தின் நேரியல் கோணமாக இருக்கட்டும். கட்டுமானத்தின் மூலம், AO மற்றும் OB கதிர்கள் நேர் கோடு a க்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

AOB விமானம் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளான AO மற்றும் OB வழியாக தேற்றத்தின்படி செல்கிறது: ஒரு விமானம் இரண்டு வெட்டும் கோடுகள் வழியாக செல்கிறது, மேலும் ஒன்று மட்டுமே.

கோடு a என்பது இந்த விமானத்தில் உள்ள இரண்டு வெட்டுக் கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது, கோட்டின் செங்குத்தாக மற்றும் விமானத்தின் அடிப்படையில், நேர் கோடு a என்பது விமானம் AOB க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

சிக்கல்களைத் தீர்க்க, கொடுக்கப்பட்ட இருமுனைக் கோணத்தின் நேரியல் கோணத்தை உருவாக்குவது முக்கியம். டெட்ராஹெட்ரான் ஏபிசிடிக்கு விளிம்பு AB உடன் இருமுனை கோணத்தின் நேரியல் கோணத்தை உருவாக்கவும்.

நாம் ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம், இது முதலில், விளிம்பு AB, ஒரு முகம் ABD மற்றும் இரண்டாவது முகம் ABC மூலம் உருவாகிறது.

அதை உருவாக்க ஒரு வழி இங்கே.

புள்ளி D இலிருந்து விமானம் ABC க்கு செங்குத்தாக வரையலாம் புள்ளி M ஐ செங்குத்தாகக் குறிக்கவும். ஒரு டெட்ராஹெட்ரானில் செங்குத்தாக அடித்தளமானது டெட்ராஹெட்ரானின் அடிப்பகுதியில் உள்ள பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.

புள்ளி D இலிருந்து விளிம்பு AB க்கு செங்குத்தாக ஒரு சாய்ந்த கோட்டை வரைவோம், சாய்ந்த கோட்டின் அடிப்பாக புள்ளி N ஐக் குறிக்கவும்.

டிஎம்என் முக்கோணத்தில், பிரிவு என்எம் என்பது ஏபிசி விமானத்தின் மீது சாய்ந்த டிஎன் ப்ரொஜெக்ஷனாக இருக்கும். மூன்று செங்குத்துகளின் தேற்றத்தின்படி, விளிம்பு AB ஆனது NM க்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

இதன் பொருள் DNM கோணத்தின் பக்கங்கள் AB விளிம்பிற்கு செங்குத்தாக உள்ளன, அதாவது கட்டமைக்கப்பட்ட கோணம் DNM விரும்பிய நேரியல் கோணமாகும்.

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணத்தைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம் ABC மற்றும் வழக்கமான முக்கோணம் ADB ஆகியவை ஒரே விமானத்தில் இல்லை. பிரிவு குறுவட்டு விமானம் ADB க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. AC=CB=2 cm, AB= 4 cm எனில் DABC என்ற இருமுனைக் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

DABC இன் இருமுனை கோணம் அதன் நேரியல் கோணத்திற்கு சமம். இந்த கோணத்தை உருவாக்குவோம்.

சாய்வான CM ஐ விளிம்பில் AB க்கு செங்குத்தாக வரைவோம், முக்கோணம் ACB ஐசோசெல்ஸ் என்பதால், புள்ளி M ஆனது AB விளிம்பின் நடுவில் ஒத்துப்போகும்.

நேர்கோட்டு குறுவட்டு விமானம் ADB க்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது இந்த விமானத்தில் கிடக்கும் நேர்கோட்டு DM க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. மற்றும் பிரிவு MD என்பது விமானம் ADV மீது சாய்ந்த CM இன் திட்டமாகும்.

நேர்கோடு AB என்பது கட்டுமானத்தின் மூலம் சாய்ந்த CM க்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதாவது, மூன்று செங்குத்துகளின் தேற்றத்தின் மூலம், இது MD திட்டத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

எனவே, CM மற்றும் DM ஆகிய இரண்டு செங்குத்துகள் AB விளிம்பில் காணப்படுகின்றன. இதன் பொருள் அவை டிஹெட்ரல் கோணமான டிஏபிசியின் நேரியல் கோண சிஎம்டியை உருவாக்குகின்றன. நாம் செய்ய வேண்டியது வலது முக்கோண சிடிஎம்மில் இருந்து கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

எனவே பிரிவு SM என்பது நடுநிலை மற்றும் சமபக்க முக்கோண ACB இன் உயரம் ஆகும், பின்னர் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் படி, கால் SM 4 செ.மீ.

வலது முக்கோண DMB இலிருந்து, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, கால் DM என்பது மூன்றின் இரண்டு வேர்களுக்குச் சமம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் இருந்து ஒரு கோணத்தின் கொசைன், அருகில் உள்ள கால் MD மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் CM விகிதத்திற்கு சமம் மற்றும் மூன்று முறை இரண்டு மூன்று வேர்களுக்கு சமம். இதன் பொருள் CMD கோணம் 30 டிகிரி ஆகும்.